Annales de l’institut Fourier (AIF)

Shackell, John

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
JOHN SHACKELL
Growth orders occurring in expansions of Hardy-field
solutions of algebraic differential equations
Annales de l’institut Fourier, tome 45, no 5 (1995), p. 1471
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1995__45_5_1471_0>
© Annales de l’institut Fourier, 1995, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »
(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-
nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-
tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-
fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Ann. Inst. Fourier, Grenoble
45, 5 (1995), 1471
ERRATUM
GROWTH ORDERS OCCURRING
IN EXPANSIONS OF HARDY-FIELD SOLUTIONS
OF ALGEBRAIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
by John SHACKELL
(Article paru dans Ie tome 45 (1995), fascicule 1, pp. 183-221)
The following occurs as the second sentence of Section 5, on page 205:
"In fact the polynomial we construct will have all its zeros in the set
{p{u)f)\ p € GM}, and the only property ofg which we use is that g does
not belong to this set."
This is not strictly accurate. For any g ^ GM? we construct a
differential polynomial which vanishes at / but not at g. This is sufficient
for our purposes, but the polynomial might vanish at other functions which
are not of the form p(c^).
The rest of the paper is unaffected by this error.
Canterbury, July 1995.
John SHACKELL,
University of Kent
at Canterbury
Institute of Mathematics & Statistics
Cornwallis Building
Canterbury, Kent CT2 7NF (G.B).


Growth orders occurring in expansions of Hardy-field solutions of algebraic differential equations

Klopp, Frédéric

Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans $L^2({\mathbb {R}}^d)$ : un modèle semi-classique

Guerzhoy, Pavel I.

Jacobi-Eisenstein series and $p$-adic interpolation of symmetric squares of cusp forms

Thangavelu, Sundaram

Mean periodic functions on phase space and the Pompeiu problem with a twist

Barré, Sylvain

Polyèdres finis de dimension 2 à courbure $\le 0$ et de rang 2

Doeraene, Jean-Pierre

Tanré, Daniel

Axiome du cube et foncteurs de Quillen

Krantz, Steven G.

Li, Song-Ying

Duality theorems for Hardy and Bergman spaces on convex domains of finite type in ${\mathbb {C}}^n$

Christiansen, Tanya

Zworski, Maciej

Spectral asymptotics for manifolds with cylindrical ends

Flammang, Valérie

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
VALÉRIE FLAMMANG
Sur le diamètre transfini entier d’un intervalle
à extrémités rationnelles
Annales de l’institut Fourier, tome 45, no 3 (1995), p. 779-793
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1995__45_3_779_0>
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
45, 3 (1995), 779-793
SUR LE DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN
INTERVALLE À EXTRÉMITÉS RATIONNELLES
par Valérie FLAMMANG
1. Introduction.
Soient X une partie compacte du plan complexe et P un polynôme
de C[x}. On note ||P||x = max \P(x)\ et deg(P) le degré de P.
XÇ.X
• Le diamètre transfini de X est défini par :
t{X) = inf (HPII^^).pec[a;p" "x /
deg(P)>0
P unitaire
• Le diamètre transfini entier de X est défini par :
w =^myes(p)).
deg(P)>0
II est évident qu'on a toujours t(X) < tz(X).
Des travaux d'Okada et de Fekete et Szegô [6], on déduit que, si X
est une partie symétrique par rapport à l'axe réel, alors t(X) < 1 implique
tz(X) < 1 et que pour un tel X, si t(X) > 1, alors t^{X) = t{X). Dans le
cas où 1 est un intervalle réel de longueur L, on connaît la valeur de t(I) :
t ( I ) = ^ L .
Donc, si L > 4, alors, t-^(I) = t(I) = ^L. Par contre, quand L < 4,
la valeur du diamètre transfini entier n'est pas connue. On peut seulement
dire que tz(I) < 1.
Mots-clés : Diamètre transfini entier - Programmation linéaire semi-infinie.
Classification math. : 41A10 - 11H.
780 VALÉRIE FLAMMANG
Le diamètre transfini entier de [0,1] a été beaucoup étudié car on
pensait pouvoir en tirer une preuve directe du théorème des Nombres
Premiers [7]. Pour estimer ce diamètre, on se sert de la propriété suivante :
t^l}=t^y.
On connaît également l'importance du diamètre transfini entier pour le
calcul de la mesure d'irrationalité du logarithme d'un nombre rationnel [2].
• Concernant la minoration, par des méthodes reposant soit sur une
transformation des polynômes cyclotomiques, soit sur une transformation
rationnelle de l'intervalle [0, -], Aparicio [4] démontre que :
^z[0,l] > 0,420763.
Amoroso [1] combine l'inégalité de Liouville et la théorie des polynômes
orthogonaux pour minorer le diamètre transfini entier d'un intervalle réel.
En particulier, il obtient :
^z[0,l] > 0,415678.
• Pour la majoration, Aparicio considérant sur [0, ^] le polynôme
Q(x) = x^Çl - 4.r)2(l - ̂ xY(2^x2 - llx + 1),
petit sur [0, ^], aboutit à :
tz[0,l] ^0,429053.
Amoroso [l], pour majorer le diamètre transfini d'un intervalle réel, utilise
le théorème de Minkovski et il en déduit, par exemple :
^z[0,l] < 0,424774.
Cependant, sa méthode n'est pas effective et elle ne fournit pas de polynôme
explicite analogue à celui d'Aparicio.
L'objectif de cet article est de donner des encadrements du diamètre
transfini entier d'intervalles à bornes rationnelles 1 = - ? - .\-q s ï
Dans le second paragraphe, nous nous intéressons à la minoration
de tz(I) et nous montrons :
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 781
THÉORÈME 1.1. — Soient p,r des entiers et g, s des entiers positifs
non nuls. Soit (Pn)n>o "̂  famille de polynômes de Z[x] totalement
positifs (i.e dont toutes les racines sont réelles positives) et telle que Pn
et Pm n'ont pas de racine commune pour n ̂  m. Supposons que la suite
(s- |Pn(-^)|l/deg(pî^)),>o, (resp. la suite [q . |Pn(-^)|l/deg(pn)),>o)
admette un plus petit point d7 accumulation a > 0, (resp. f3 > 0). Alors :
^[^n^ma^l,1).
\\.q 5 -1 / Va ( 3 /
Remarque. — Si 1 = [0,1], alors .5 . IP^-g/.s)!1/^^ est égal à
II^Pyi)!1/^^7^ où L(P) désigne la longueur usuelle de P. Dans ce cas
particulier, on obtient donc une relation entre le diamètre transfini entier
de [0,1] et la longueur des polynômes totalement positifs.
L'outil essentiel de la démonstration est un lemme de Chudnovsky.
Soulignons que toute suite de polynômes satisfaisant les hypothèses de ce
lemme sur 1 fournit une minoration de tz(I). Le problème devient donc
de construire une bonne famille de polynômes afin que la minoration soit
la meilleure possible. Nous appliquons ce lemme à une suite de polynômes
introduite par C.J. Smyth (définie dans le paragraphe 2.3). Nous constatons
alors que cette suite transposée sur l'intervalle [0, ^] coïncide avec celle
utilisée par Aparicio en 1979 qui donne la meilleure minoration connue
de tz[0? 1]' Nous obtenons :
THÉORÈME 1.2. — On a :
.̂ a^n .̂)--,
qs \i
^(çT^ et ^^(H^)2-
II découle de cette minoration le résultat suivant :
COROLLAIRE 1.3. — On a :
1 / r p r]\ 1 / 1 \-1
max(ç, s) ~ v L ç ' s J / ^ ç + s V q/s + s/q 4- 2 )
En particulier, quand s tend vers +00, on a :
^(?î^(l-^o(?))-
782 VALÉRIE FLAMMANG
Ces résultats améliorent ceux d'Amoroso pour tous les intervalles
satisfaisant \ps - qr\ = 1. Pour [0, l], nous retrouvons la valeur cTAparicio.
D'autres exemples seront donnés à la fin du dernier paragraphe.
Dans le troisième paragraphe, nous examinons des intervalles
I = [P/^/5] avec \P8 ~ ^l = L Nous montrons que la majoration
de t^(I) est liée à la minoration de certaines mesures de polynômes de Z[rc]
à racines réelles positives. Ces minorations s'obtiennent à l'aide de fonctions
auxiliaires (cf. [10] et [8]). Nous en ferons un bref rappel.
En particulier, pour l'intervalle [0, ^], nous montrons qu'une trans-
formation naturelle des polynômes du théorème 4.1 de [8] fournit une suite
d'éléments de Z[rc] qui constituent les facteurs d'un polynôme de petite
norme sur [0, ^]. Ce polynôme donne donc une majoration de ^z[0, ^]
(les premiers termes de la suite sont a;, 4:x — 1, 5x — 1 et 29x2 — llx + 1).
Les majorations de tz(I) obtenues améliorent les résultats présentés
par Amoroso dans [1]. De plus, nous obtenons par notre méthode un
polynôme explicite majorant t^(I).
Dans le quatrième paragraphe, nous présentons un tableau donnant
des encadrements de tz(J) pour quelques intervalles I .
Je remercie Christopher Smyth pour m'avoir fait remarquer le lien
entre le diamètre transfini entier et la longueur des polynômes. Cette
relation lui avait été signalée par Péter Borwein.
2. Minoration de tz(I) quand J = [p/ç,r/s].
2.1. Démonstration du théorème 1.1.
Nous utiliserons le résultat suivant de Chudnovsky [5] :
LEMME 2.1. — Soient X un compact de C et (Tn)n>o des polynômes
de 7\x\ vérifiant :
(a) Tn et Tm n'ont pas de racines communes pour n -^ m ;
(b) le coefficient dominant de Tn est an et son degré dn ;
(c) toutes les racines des polynômes Tn appartiennent à X.
Alors :
tz(X) ^ lim K|-1/^
n—>oo
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 783
Démonstration. — Soit (Qe)^o une suite de polynômes à coefficients
entiers telle que
^mJI^II^^^X).
Si Tn ne divise pas Qn alors
Kirésultant^,^)!^!^^)!^^ ^ |Q,(a,)|
Tn(a,)=0
c'est-à-dire
Kl^rjl^^ii^n^
et donc
| [-1/dn < liDJI^n
l^nl -^ IIWlIx •
La suite (Pn)n>o du théorème 1.1 permet de construire une suite de
polynômes (Tn)n>o satisfaisant aux hypothèses du lemme précédent sur 1
à l'aide de la transformation de ]0, +oo[ dans 1 qui à x associe t = p
r. , q-\-sxOn a alors :
T^t)=(st-r)de^.P^P-tq).
\ st — r /
Notons que deg(T^) = deg(P^)
Quand t tend vers +00, la limite de T^t)/^^) fournit le coefficient
dominant o,n de Tn dont nous avons besoin pour appliquer le lemme. Il vaut
donc :
a,=.W-).P,(-î).
On remarque que les intervalles 1 = f p r 1 et J = fl - r- 1 - p ] ont
Lç s i L 5 ' q\
le même diamètre transfini entier (utiliser la transformation x \-^ 1 - x).
Donc le résultat reste vrai en échangeant s et q.
Il résulte du lemme de Chudnovsky la minoration annoncée de tz(I).
784 VALÉRIE FLAMMANG
2.2. Démonstration du corollaire 1.3.
Une récurrence montre aisément que pour tout i >, 0 :
l a s— ^ - + - +2.
A, s q
Par le théorème 1.1, on obtient :
wste+.r-no+ïTïT^r''"
c'est-à-dire :
^^(^/^/^r-
La seconde minoration du corollaire est évidente en posant q = 1.
2.3. Démonstration du théorème 1.2.
Nous allons tout d'abord introduire une suite de polynômes de 'L[x\
vérifiant les hypothèses du théorème 1.1 sur J.
Smyth [9] a introduit une suite (f3n) de nombres réels avec :
f A ) = l ,
\(3n-i=(3n-(3n1
à partir de laquelle se déduit une suite de nombres positifs (7^ = /32^) telle
que :
f 7 o = l ,
l7n-l =rïn-^^nl -2'
LEMME 2.2. — Les polynômes minimaux Pn de ̂ n satisfont :
(a) Po(x) = x - 1 et Pn{x) = x06^-^ • Pn-i(x + x-1 - 2) ;
(b) Pn est réciproque, i.e. Pn{x) = x^^^ ' Pn(x~1) pour n > 1 ;
(c) deg(Pn)=271;
(d) toutes les racines des Pn sont dans ]0, +oo[ ;
(e) pour n 7^ m, Pn et Pm n^ont pas de racine commune
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 785
t^n iyn—1(o pn(x) = n^ - 7n,o = n (x - ̂ ^ - ̂ )
2=1 î=l
gn—l= n^-^n-i^^+i).
î=l
II nous faut évaluer le coefficient dominant dn = .ŝ ^"^ • Pn(—q/s) :
<^n—l1^1 = n [g2 + (7n-1'1 + t^q8 + 52]
î=l
r^n—l on—1= n [^+ 5)2 + ̂ ^-i^] = (^+ 5)271 n(1 + ̂ ^-1,0
Z=l î=l
\ 95OU ÀO = 7————r. .
(ç + 5)2
Nous avons besoin ici d'un résultat intermédiaire.
LEMME 2.3.
^( l+Ao7n,.)=(^( l+À-)2-^)2n où ^-T—^'
i=l i=0 ^^-^i)
Démonstration. — Procédons par récurrence sur n.
^n+l
An+i = ]"J (1 + Ao7n+l,î)
z=l
2"
= Y[(l + Ao7n+l,z)(l + Ao7n^l,z)
2=1
^n
= JJ [1 + Ao(7n+l,z + 7n l̂,,) + Ag]
î=l
2"
=]^[l+\^Xo(-fn^2)]
î=l
271
=^[(l+Ào)2+Ao7n,^]
î=l
=(l+Ào)2"+l^(l+^) où Ao= (1^2-
786 VALÉRIE FLAMMANG
On utilise l'hypothèse de récurrence sur n avec Ag :
A.+i = (1 + Ao)2^ (f[(l + ̂ 2~i)2n où A^ = —————
\=o v ' Aî /
n+l yz
= (1 + Ao)2^1 (n (1 + A^i)2"0"^) en posant i = j - 1
.7=1
= [(1 + Ao) II(1 + ̂ '"T + car A^ = ̂ -i
j=i
n+l .-l2T^+l^nd+^'l •
J=0
Ceci prouve le lemme et |ayj vaut :
Kl=(ç+s)2"(^ l( l+À<)2- ' )2" - l•
î=0
Finalement, d'après le lemme de Chudnovsky, on obtient
t.(\p-.r-})^———{ lim ÏÏ^+V}"1'2
\\-q S J / (7 + S Ln-^+oo ^^ v J1=0i=
avec
. _ qs . „ _ Az
Ao — 7——i——^2 el A^+l — 7~t——, \ \9 '(ç+5)  (1+A,)2
Ceci achève la preuve du théorème 1.2. On remarquera que la
minoration ne dépend que de Ao == { q / s + s / q + 2)"1.
2.4. Comparaison avec la méthode cPAparicio pour I = [0,1].
Nous montrons dans ce paragraphe que, pour l'intervalle [0, l], la suite
de polynômes donnée par Aparicio et la nôtre sont identiques.
Pour ses polynômes, Aparicio utilise une transformation rationnelle 0
de [0, ^] dans lui-même : (j)(t) = -——-^ .
{L — ôt)
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 787
• II définit la suite (Qn)n>o par :
F Qo = 1 - 5t,
{Qn = (1 - 3^)271 . Qn-i^(t)) ; deg(Ç,) = 271.
Les Çy, vérifient les hypothèses du lemme 2.1 sur fO 1]
L / 4 -I*
• Dans notre méthode, les Tn sur [0, ^] satisfont :
( To = 1 - 5t
{^,=(l-4^.P,(^);deg(T,)=2n .
Procédons par récurrence pour montrer l'égalité de nos suites.
Supposons donc que Tn = Qn. Alors :
^,.(i-3,r^(^)
-n Q^^ ̂  ^(l - ̂ t) \— H - ât) ' 1^ { ^ 1 par hypothèse de récurrence
/1 r.^71-^1 r^ / ^(1 — 4^) \= ( 1 - 5t) • Pn ̂  . _ / J par définition de Tn.
Calculons d'autre part Pn+i (——\ 'n l V 1 - 4:t ) '
^^--^f-^^^r-^
= (-L_\2; p ( (1_^\
V I -4t} "U(l-4<)^
- f1-^^1 _ (t(l-^t)\
~ \ T~^ ) '^{ ^ _ 5^2 ) car •p" est réciproque.
Revenons maintenant à Qn+i '•
^-^^•(^r-^T1»)
c'est-à-dire
Çn+l(^)=Tn+l(^).
La suite de polynômes d'Aparicio et la nôtre sont donc bien identiques.
788 VALÉRIE FLAMMANG
3. Majoration de tz(\p/q,r/s}) quand \ps — qr\ = 1.
PROPOSITION 3.1. — Soient net N des entiers positifs non nuls. Soient
b = (&j)i<j<n des entiers strictement positifs et (Pj)i<j<n des polynômes
de l\x\ tels que ^ bj deg(Pj) < N. Soit la fonction
j=i
W)=J^l
n 1 )̂1^j=i
définie pour x > 0 et Pj(x) -^ 0 pour 1 < j < n et telle que
mmh(x,b) = e171 > 0.
Alors il existe un polynôme P dans Z[rc] de degré N tel que :
HPIÎ  <. 6——.
Par conséquente
W < e-^.
Démonstration. — Pour x > 0 et Pj(x) 7^ 0, 1 < j < n, on a :
€-< , h?+^ .n i^^)!^7^j=i
II en résulte :
n
(1) ^PjÇx)^ ^e-^^-^-sx^ pour ^ > 0.
j'=i
Posons
P^x)=f[\P,(x)\bj^ deg(P*)<^V.
j=i
La relation (1) ci-dessus devient |P*(^)| <: e"^771!^ + sx^ pour x > 0.
On effectue maintenant un changement de variable pour se ramener
T) -I- TX
dans I . Si a; > 0 alors t = ——— appartient à I . Enfin, définissons :q + sx 5
^'^•(^c'-^-
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 789
On a deg(P) = deg(P*) + (N - deg(P*)) = N. La relation (1) donne
alors, pour t € 7,
\P(t)\<e-Nmq+sp—stN\st-r\N1 1 st — r
c'est-à-dire \P(t)\ <: e"^771 puisque \ps — qr\ = 1. Donc
maxIP^I^^e-771;
P est explicite et t^(I) < e'171.
Soit P e Z[a;] un polynôme à racines réelles ai positives, 1 < i < d.
d
La quantité fj (q+sai) = Jîg^(P) définit une mesure de P. La proposition
i=l
précédente montre que la majoration de t^(I) dépend de la minoration de
la mesure Rq^s'
Nous exploitons le principe des fonctions auxiliaires pour déterminer
la solution m du problème d'optimisation suivant :
e771 = max mïnh(x. b).
(bj) x>0 ' ' /
(Les bj sont des réels strictement positifs.)
Afin de rendre ce problème linéaire par rapport aux bj, nous étudions
la fonction
f{x^b) =\og\q+sx\ - ̂  ̂ b,\og\P,{x)\.
j=i
Une méthode de programmation linéaire semi-infinie permet de
donner une valeur numérique approchée des bj optimaux.
On choisit d'abord un ensemble fini XQ de nombres positifs sur
lequel / est susceptible de prendre de petites valeurs. L'ensemble, constitué
des milieux de deux zéros consécutifs des polynômes intervenant dans la
fonction auxiliaire, convient. Puis, on résout le problème de programmation
linéaire standard suivant :
max min f(x.b).
(bj) XÇXo" '
On obtient une famille particulière b° = (tô) et rriQ = min f(x, b°). Ensuite,J xç.Xo
on calcule m'Q = min/(:K,&°) et l'on a m'Q < m <, mo. L'étape suivante
X^\J
790 VALÉRIE FLAMMANG
consiste à recommencer le procédé sur l'ensemble fini Xi réunion de XQ et
des zéros de f ' ( x ^ 6°). On trouve, en général, m\ et m[ vérifiant :
m'Q < m[ < m < m\ <_ mo.
L'opération ainsi répétée fournit deux suites (m^) et (m^) telles que :
m'Q <_ ' ' • < m[<_ m < mi < ' • ' < mo.
On s'arrête dès qu'il y a assez bonne convergence, quand m^ — m\ < 10~6,
par exemple. Ceci est possible pourvu que le nombre de polynômes ne soit
pas trop grand. Supposons que p itérations suffisent, alors on prend m = m?.
Détaillons l'exemple où 1 = [0,1]. La fonction auxiliaire qui intervient
est de la forme :
f(x) = \og(x + 1) - bo \og(x) - h log \x - 1| - ̂  bj log \P,{x)
J=2
7
s^
avec
?2 =x2 -3^+1,
PS = (x3 - 5x2 + 6x - l)(x3 - 6x2 + 5rr - 1),
?4 = X4- - 7x3 + 13x2 - 7x + 1,
PS = (^4 - 7x3 + Ux2 - 8x + l)(.r4 - 8.r3 + Ux2 - 7x + 1),
Pe = x8 - 15x7 + 83.T6 - 220.T5 + 303a;4 - 220x3 + 83x2 -15^+1,
Py =x2 -4a;+ 1.
C'est la même fonction qui apparaît dans [8] pour l'étude de la
longueur des entiers algébriques totalement positifs car log (a; +1) est
directement associé à la longueur L(P) d'un polynôme à racines positives.
Nous obtenions le théorème suivant (th 4.1) :
THÉORÈME 3.2. — Tous les polynômes P à coefficients entiers^ de
degré d, unitaires^ totalement positifs et non divisibles par a-, x — 1 et par
les facteurs irréductibles des Pi pour i = 2 , . . . , 6, vérifient :
6
L(PY^ = R{P) ̂  2,3611014 |P(0) 1'°^ |P(1) p^ JJ |rés (P, P,)^
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 791
avec
CQ = 0,31784899 ci = 0,11621266
C2 = 0,03824029 cy = 0,00624421
C4 = 0,01501115 ça = 0,00321130
CQ = 0,00575228.
-En particulier,
R(P) > 2,3611014.
Ici, on en déduit
m =2,3611014 et *z([0,1]) ^ e-"1 = 0,42353115.
Remarque. — Comme tz[0,1] = ^[0, ^}ï, on aurait pu étudier une
fonction auxiliaire sur [0, ^]. Elle serait composée des transformés des Pj
par x = , soit respectivement
To=t,
îi = 5t - 1,
Ta =29t2- m+1,
r3 = 30589^ - 34083t5 + 15613f4 - 3759t3 + 501f2 - 35t + 1,
Ï4 = 941f4 - 703t3 + 193t2 - 23t + 1,
TQ = 981181f8 - 1456351f7 + 936448t6 - 340465f5 + 76491f4
- 10865f3 + 952t2 - 47t + 1,
Tg = 969581Î8 - 144151 lt7 + 928579*6 - 338252(5 + 76143t4
- 10836Ï3 + 951^2 - 47t + 1,
Tr = 33t2 - 12t + 1 ;
Uo = 1 - 4t.
Les trois premiers polynômes apparaissent dans le polynôme cité dans
l'introduction et étudié par Aparicio pour [0, 1].
792 VALÉRIE FLAMMANG
4. Résultats numériques.
Minoration et majoration de t^(I).
minoration majoration
[o 'è] (0,27334798) (0,29069307)
[04 (0,21095904) (0,22210898)
M] (0,17278874) (0,18043337)
M (0,14665213) (0,15220315)
[o'è (0,12752602) (0,13173675)
[0410. (0,08408791) (0,08592011)
[o'è] (0,07190912) (0,07324779)
[O'À] (0,05909715) (0,06000011)
[o'è] (0,04558513) (0,04612155)
ri 1 1
I.35 2 J (0,11954914) (0,17181856)
ri 21
L s ' i J (0,06153947) (0,10832409)
"i r
.4 ' 3. (0,07255604) (0,12313371)
r 2 1 1
Ls^J (0,08230163) (0,12578497)
[,4] (0,05014593) (0,09567263)
Les résultats entre parenthèses sont ceux d'Amoroso [1].
Tableau 1
Remarque. — Les intervalles
\P r5 - et
q 5J
h-^i-y
L s q-
ayant même diamètre transfini entier, pour [0,^], [0,^], [0, ^] et
[0, ^Q ], nous avons utilisé la fonction auxiliaire :
1 n
\og\s-^-qx\-^^bj\og\Pj(x)\.
j'==i
DIAMÈTRE TRANSFINI ENTIER D'UN INTERVALLE 793
BIBLIOGRAPHIE
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Manuscrit reçu le 25 avril 1994,
révisé le 2 janvier 1995,
accepté le 29 mars 1995.
Valérie FLAMMANG,
URA CNRS n° 399
Département de Mathématiques et Informatique
Université de Metz, île du Saulcy
57045 Metz Cedex 1 (France).


Sur le diamètre transfini entier d'un intervalle à extrémités rationnelles

Bacher, Roland

Venkov, Boris

Lattices and association schemes: a unimodular example without roots in dimension 28

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