Comptes Rendus Mécanique (CRM)

Alan C. Newell

Shankar C. Venkataramani

Pattern universes

Yves Pomeau

Is Universe a big pattern? Comment on Newell and Venkataramani's essay

Franck Assous

Moshe Lin

Time reversal for obstacle location in elastodynamics from acoustic recording

Wen Wan

Jie Liu

Yanlin Zhao

Xiang Fan

The effects of the rock bridge ligament angle and the confinement on crack coalescence in rock bridges: An experimental study and discrete element method

Piotr Graczyk

Emmanuelle Guernier

Jean-Jacques Loeb

C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543Contents lists available at ScienceDirect
Comptes Rendus Mecanique
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Hommage à Abraham de Moivre
De Moivre, précurseur des mathématiques modernes
Piotr Graczyk a,∗, Emmanuelle Guernier b, Jean-Jacques Loeb a
a Laboratoire Angevin de Recherche en Mathematiques (LAREMA), Faculté des Sciences, Université d’Angers, 2, bd Lavoisier, 49045 Angers, 
France
b Lycée Duplessis-Mornay, 1, rue Duruy, 49408 Saumur, France
i n f o a r t i c l e r é s u m é
Historique de l’article :
Reçu le 23 avril 2019
Accepté le 23 avril 2019
Disponible sur Internet le 2 juillet 2019
Mots-clés :
De Moivre
Loi binomiale
Loi normale
Théorème central limite
Exponentielle complexe
De Moivre est l’auteur de deux livres de mathématiques : The Doctrine of Chances (« La 
Théorie du hasard ») et Miscellanea Analytica, dans lesquels il pose les fondations des 
probabilités modernes. Y apparaît pour la première fois la loi normale (associée à la 
fameuse courbe en cloche) qui aura le succès que l’on connaît. Il est aussi l’auteur d’une 
formule « magique » associant trigonométrie et nombres imaginaires. Développée par Euler 
et ses successeurs, cette formule est le premier chaînon de la théorie des fonctions 
analytiques.
Le nom d’Abraham de Moivre apparaît ainsi en terminale des lycées (Théorème de Moivre–
Laplace) et en première année de cursus universitaire (formule de Moivre trigonométrique).
© 2019 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en 
Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
1. De Moivre, la trigonométrie et les nombres imaginaires
1.1. Introduction
De Moivre (Fig. 1) est le premier mathématicien à avoir établi un lien entre les formules de trigonométrie et les nombres 
imaginaires (appelés aujourd’hui nombres complexes). Cette idée a été considérablement développée par d’autres mathéma-
ticiens, notamment Euler. Nous allons successivement parler des angles et de la trigonométrie, des nombres complexes, et 
de la « synthèse » initiée par de Moivre.
1.2. Angles et trigononométrie
La notion d’angle est certainement fondamentale dans notre saisie visuelle de l’espace. La mesure d’un angle dessiné peut 
se faire à l’aide d’un rapporteur échelonné en degrés (on divise un cercle en 360 parties égales). Le degré a été probablement 
introduit par les Babyloniens dans leurs mesures astronomiques, le soleil tournant autour de la Terre, comme on le croyait 
à l’époque, décrivant très approximativement un degré en un jour.
* Auteur correspondant.
Adresses e-mail : graczyk@univ-angers.fr (P. Graczyk), emmanuelle.guernier@ac-nantes.fr (E. Guernier), loeb@univ-angers.fr (J.-J. Loeb).https://doi.org/10.1016/j.crme.2019.06.007
1631-0721/© 2019 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
536 P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543Fig. 1. Portrait d’Abraham de Moivre par John Faber (1736).
1.3. Trigononométrie
Comment calculer la hauteur du sommet d’une tour à 100 m d’ici et dont l’angle avec le sol pris à partir d’ici mesure 
30 degrés (un tiers d’angle droit) ? Ce problème et beaucoup d’autres font appel aux fonctions trigonométriques. Comme 
on le sait, dans un triangle rectangle, le cosinus (respectivement le sinus) d’un angle est le rapport de la longueur du côté 
adjacent (respectivement opposé) sur la longueur de l’hypothénuse.
Notons que, bien avant de Moivre, des tables trigonométriques avaient été élaborées.
1.4. Formules d’addition
Quel est le cosinus de la somme de deux angles ? On connaissait depuis longtemps (Ptolémée, deux siècles avant Jésus-
Christ) les formules suivantes :
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
(en particulier, si a = b, cos(2a) = cos2 a − sin2 a) ;
on a aussi une formule pour le sinus, pas trop facile à retenir :
• sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
1.5. Nombres complexes
Les nombres complexes ont été introduits par Cardan pour résoudre des problèmes d’équations algébriques. Du temps 
d’Abraham de Moivre, on savait faire des calculs avec eux, mais ils gardaient un statut obscur.
Pour les décrire succintement, on part d’un symbole « i » tel que i2 = −1, et les nombres complexes sont des expressions 
de la forme a + ib avec a, b des nombres réels (c’est-à-dire les nombres habituels, positifs et négatifs). Ensuite, on les ajoute 
et on les multiplie comme d’habitude. Par exemple : (2 + 3i) + (5 − 7i) = 7 − 4i et (2 + 3i)(5 − 7i) = 2 · 5 + 2(−7i) + (3i)5
+ (3i)(−7i) = 31 + i. Il faut se souvenir que i · i = −1.
1.6. Une meilleure formule d’addition
Quel lien avec la trigonométrie ? Le voici :
• (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos(a + b) + i sin(a + b)
C’est la « vraie » formule de Moivre, essentiellement démontrée par Euler.
Schématisons ce qu’a fait de Moivre sur un exemple. On prend a = b dans la formule précédente. On obtient la formule 
de Moivre :
P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543 537Fig. 2. Portrait d’Euler. La Poste (Suisse), 2007.
• (cos a + i sin a)2 = cos 2a + i sin 2a
Partant du membre gauche, ceci permet, par extraction de racine carrée, de calculer le membre de droite. Autrement 
dit, de calculer le cosinus d’un angle moitié à partir du cosinus de l’angle. Ceci apparaît de manière un peu obscure 
dans les œuvres d’Abraham de Moivre.
1.7. Formule de Moivre selon Euler (Fig. 2)
En posant f (a) = cos a + i sin a, on a : f (a) f (b) = f (a + b) et on voit que f a les mêmes propriétés que la fonction 
exponentielle qui figure dans le chapitre suivant. L’extraordinaire coup de génie d’Euler est de poser exp(ia) = cos a + i sin a, 
et alors la formule d’addition devient presque évidente et facile à retenir :
• exp(ia) exp(ia) = exp(2ia) exp(ia) exp(ib) = exp(i(a + b))
2. De Moivre, l’un des pères fondateurs des probabilités
Les pères fondateurs des probabilités :
Ce sont :
• Cardano [Jérôme Cardan] (1501–1576) ;
• Pierre de Fermat ( ?–1665) ;
• Blaise Pascal (1623–1662) ;
• Christiaan Huygens (1629–1695) ;
• Jakob Bernoulli (1654–1705) : loi binomiale, théorème (loi) des grands nombres ;
• Abraham de Moivre (1667–1754) : théorème de Moivre–Laplace ;
• Pierre-Simon de Laplace (1749–1827) : théorème de la limite centrale ;
• Andrei Kolmogorov (1903–1987) : axiomatisation des probabilités.
Le théorème de Moivre–Laplace est enseigné sous ce nom dans le monde entier. Par exemple, le livre de J. Jakubowski 
et R. Sztencel, Probabilités (2001), destiné aux étudiants de l’Université de Varsovie, est utilisé dans les universités et écoles 
polytechniques en Pologne. Ainsi, les étudiants polonais apprennent que de Moivre étudiait à Saumur !
Le théorème de Moivre–Laplace concerne la loi binomiale.
Une variable « binomiale » X compte le nombre de succès dans une série d’épreuves avec deux issues possibles : succès 
(1) ou échec (0).
Exemple 1. Sondage avant le deuxième tour de l’éléction présidentielle française, avec les candidats M et P. Le Monde
interroge 2000 personnes quant à leur choix : candidat M (succès) ou candidat P (échec) X = nombre de personnes (parmi 
les 2000) qui voteront pour M.
X suit la loi binomiale B(2000, p) ;
p = le taux des partisans de M parmi tous les électeurs.
X peut être égal à 0, 1, . . . , 2000. Soit p = 55%.
La probabilité que X > 1000 est 99,9996 %. La probabilité que X ≥ 1050 est 98,69 %.
Le sondage a donné X = 1030. Cela est très peu probable si p = 55% !
Exemple 2 (étudié par de Moivre). Cinq cents lancers d’une pièce : pile (succès) ou face (échec). X = nombre des piles 
obtenues.
X suit la loi binomiale B(500, 
1
2
).
Il s’agit d’un cas symétrique : P (X = 249) = P (X = 251) = 3,55%.
538 P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543Exemple 3 (étudié par de Moivre et par 126 participants de la Fête de la science 2017 à Saumur). Un participant lance 12 dés. Il 
lance la face 6 (succès, on obtenait les bonbons !) ou une autre face : 1, 2, 3, 4 ou 5 (échec).
X = le nombre de faces 6 lancées peut être égal à 0, 1, 2, . . . , 11 ou 12.
X suit la loi binomiale B(12, 16 ).
M. le Maire de Saumur a eu 1 succès. Il a lancé 1 3 5 4 3 6 2 2 1 4 5 3.
Loi binomiale B(12, 16 )
Nombre des faces 6 sur 12 lancers Probabilité Nombre théorique d’apparitions sur 126 lancers
0 0,112 14
1 0,269 34
2 0,296 37
3 0,197 25
4 0,089 11
5 0,028 4
6 0,006 1
7 0,001 1 fois sur 1000
8 0,0001 1 fois sur 10 000
9 0,00001 1 fois sur 100 000
10 ≈ 0 ≈ 0
11 ≈ 0 ≈ 0
12 ≈ 0 ≈ 0
Les probabilités de la loi binomiale B(n, p) sont données par la formule
P (k succès en n épreuves) = B(n,k, p) = n!
k!(n − k)! p
k(1 − p)n−k
où n! = 1 × 2 × 3 × · · · (n − 1) × n. Cette formule est facile à justifier, mais difficile à utiliser quand n et k sont grands.
Preuve de la formule pour la probabilité binomiale
Prenons le résultat de M. le maire : 1 3 5 4 3 6 2 2 1 4 5 3, donc (avec E pour échec) E E E E E 6 E E E E E E.
La probabilité de succès pour « 6 » est de 1/6, d’échec E est de 5/6. Donc, par l’indépendance,
Prob(E E E E E 6 E E E E E E) =
(
5
6
)5 1
6
(
5
6
)6
= 1
6
(
5
6
)11
Mais le seul succès 6 peut avoir 12 emplacements.
Donc P (1 succès en 12 épreuves) = 12 × 16 ( 56 )11.
Le théorème de Moivre–Laplace local dit que le calcul compliqué de la loi binomiale P (k succès en n épreuves) =
n!
k!(n − k)! p
k(1 − p)n−k peut être approché, quand n, k sont grands, par la fonction c e− x22 , facile à calculer (c = 1√
2πnpq
, 
q = 1 − p, x = k − np√
npq
, e = 2,718...).
Plus tard, on a reconnu dans cette fonction la densité d’une loi normale de Gauss (Fig. 3).
Soit h = 1/√npq, c = 1√
2πnpq
, x = k − np√
npq
, e = 2,718... .
Le théorème de Moivre–Laplace local. Si n, k → ∞ de sorte que hx3 → 0, alors
P (k succès en n épreuves) ≈ c e− x
2
2
Le théorème de Moivre–Laplace intégral. Soit X une variable de loi B(n, p) et Z = (X − np)/√npq la variable binomiale 
centrée réduite associée. Alors, si n → ∞,
Prob(Z ∈ [a,b]) ≈ Prob(N(0,1) ∈ [a,b]) = 1√
2π
b∫
a
e−
x2
2 dx
En particulier, les fonctions de répartition s’approchent par (Fig. 4) :
Prob(Z ≤ b) ≈ Prob(N(0,1) ≤ b)
La preuve d’Abraham de Moivre (1730) est basée sur la formule qu’il a découverte et qu’on nomme « formule de Stirling »
aujourd’hui (Stirling a seulement prouvé que C = √2π) :
n! ≈ C × nn+ 12 e−n
P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543 539(a)
(b)
Fig. 3. Approximation de l’histogramme de la loi binomiale par la courbe de Gauss : (a) B(12,1/6) (b) B(120,1/6).
540 P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543(a)
(b)
Fig. 4. Approximation de la fonction de répartition binomiale par normale (a) B(12,1/6) (b) B(120,1/6).
P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543 541Fig. 5. Marc Yor sur la Loire (cliché par un photographe anonyme).
2.1. Les probabilités du xxie siècle
Elles sont en grand essor et ont de multiples applications : statistiques, finance, économie, biologie et médecine... .
Un des pères fondateurs des probabilités du xxie siècle est Marc Yor (1949–2014), qui séjournait régulièrement dans sa 
jeunesse (Fig. 5) à Chênehutte, à 7 km de Saumur.
3. Les mathématiques d’Abraham de Moivre au collège et au lycée en 2019
L’importance et la modernité de l’œuvre probabiliste de Moivre est attestée en France par la récente apparition du 
théorème de Moivre–Laplace dans les programmes des lycées et collèges. Sans les travaux de Moivre, pas de big data non 
plus !
Une lente émergence. On sait que les statistiques sont aujourd’hui omniprésentes ; pourtant, leur mise en œuvre dans 
les programmes scolaires a émergé difficilement.
Dans son rapport de 2002, la Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques insiste sur l’importance 
d’une formation en probabilités et statistiques, qui enrichit le langage et fonde un mode de pensée « pertinent, rassurant, 
remarquablement efficace ».
Pour ce qui est des horaires, la majeure partie du programme est dévolue à l’analyse et, dans une moindre mesure, à la 
géométrie ; viennent ensuite les statistiques et probabilités, sur lesquelles il convient de passer environ un mois de l’année, 
quel que soit le niveau de l’élève (Fig. 6).
Au collège. Au collège, seule la statistique exploratoire est abordée et l’aspect descriptif constitue l’essentiel de l’ap-
prentissage : par exemple, lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagramme. Savoir 
utiliser un tableur grapheur. Familiariser les élèves avec les indicateurs de position (moyenne, médiane), ou de dispersion 
(étendue). Au niveau des probabilités, faire acquérir le vocabulaire de base et aborder les questions relatives au hasard à 
partir de problèmes simples (Fig. 7).
Deux principes pédagogiques fondamentaux au départ :
1) partir d’une évaluation des conceptions à priori sur le hasard ;
2) recourir à une approche empiriste et théorique des probabilités.
542 P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543Fig. 6. Extrait du livre Déclic mathématiques 1reS, édition 2011.
Fig. 7. Extrait du manuel Sesamath cycle 4 du collège.
Exemples.
1. Faire comprendre que les probabilités sont relatives à des proportions.
Soient deux urnes A et B .
A contient 3 boules blanches et B contient 500 boules blanches et une boule rouge.
Dans laquelle a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ?
2. Construction d’une notion scientifique du hasard par la réflexion et l’expérimentation. Cette démarche avait été initiée 
par les « pères fondateurs » des probabilités : Pascal, de Moivre... .
Exemples « Un dé n’a pas de mémoire. »
On lance un dé. Le 6 est sorti. On relance le dé. A-t-on plus de chances d’obtenir la prochaine fois un 5 qu’un 6 ?
3. Classer du plus au moins probable certains événements (par exemple, « gagner le gros lot », « faire face avec une pièce », 
« avoir moins de quinze degrés en hiver »).
Au lycée. Le programme actuellement enseigné est déroulé ci-dessous.
• Lois de Bernoulli et binomiales. Reconnaître des situations relevant de ces lois. Coefficients binomiaux. Tester une 
hypothèse. Utilisation d’arbres, en relation avec les probabilités conditionnelles.
Par exemple, est-ce qu’une urne contient bien 3 boules blanches et 7 boules noires comme c’est annoncé ? Je fais 100
tirages avec remise et j’obtiens 38 boules blanches. Qu’en conclure ?
• Utilisation de l’intervalle de fluctuation avec un seuil donné (et d’une calculatrice) pour montrer la plausibilité de 
l’hypothèse.
• Notions de variable aléatoire, espérance, variance.
• En terminale, introduction des lois continues, en particulier la loi normale.
• Énoncé du théorème de Moivre–Laplace d’approximation des lois binomiales par la loi normale (Fig. 8). Utilisation pra-
tique de cette approximation.
• En statistique, analyser les données. Utiliser la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l’écart type 
d’une série statistique. Comparer deux séries statistiques.
P. Graczyk et al. / C. R. Mecanique 347 (2019) 535–543 543Fig. 8. Extrait du livre de terminale S, collection Math’x, Éditions Didier, 2016.
Remerciements
Nous remercions MM. Gino Blandin et Hideto Nakashima pour l’aide apportée à la rédaction de cet article.


De Moivre, précurseur des mathématiques modernes

Bruno Chanetz

C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549Contents lists available at ScienceDirect
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Hommage à Abraham de Moivre
L’application des nombres complexes au calcul
des profils d’aile
Bruno Chanetz
Onera, chemin de la Hunière, BP 80100, 91123 Palaiseau cedex, France
i n f o a r t i c l e r é s u m é
Historique de l’article :
Reçu le 23 avril 2019
Accepté le 23 avril 2019
Disponible sur Internet le 3 juillet 2019
Mots-clés :
Aérodynamique
Soufflerie
Méthode des singularités
Cuve rhéoélectrique
Équations de Navier–Stokes
Paradoxe de d’Alembert
Si le sujet central en est bien le calcul théorique de la forme d’une aile d’avion au moyen 
des nombres complexes, domaine dans lequel s’est illustré Abraham de Moivre, cet article 
présente quatre moyens très différents qui permettent de parvenir à établir ces résultats. 
Après un bref rappel de la théorie du vol, une première partie est consacrée aux travaux 
expérimentaux de Gustave Eiffel, puis, en poursuivant l’ordre chronologique, on traite la 
méthode des singularités due à Nicolaï Joukovski, puis un procédé analogique développé 
par Joseph Pérès et Lucien Malavard, et enfin la technique contemporaine de résolution 
numérique des équations de Navier–Stokes. Si le recours à l’expérience en soufflerie 
subsiste de nos jours, les méthodes théoriques et analogiques, qui ont eu leurs heures 
de gloire au milieu du xxe siècle, sont aujourd’hui abandonnées, la puissance de calcul des 
ordinateurs les rendant désormais désuètes. Pour autant, elles constituent des manières 
très élégantes de résoudre le problème.
© 2019 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en 
Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
1. La théorie du vol : état de l’art au siècle d’Abraham de Moivre
Évoquer le calcul des ailes d’avion dans le cadre d’un hommage rendu à Abraham de Moivre tient de la gageure, car 
jamais ce dernier ne s’intéressa au problème de la sustentation. Pourtant, certains de ses contemporains contribuèrent de 
manière décisive à l’élaboration de la théorie du vol. Son ami Newton est à l’origine d’une formule, encore en usage de nos 
jours, donnant la pression au point d’arrêt d’un véhicule hypersonique. Daniel Bernoulli, fils de Jean, un autre ami de Moivre, 
avait énoncé que pression et vitesse variaient en sens inverse, sans toutefois trouver la formule liant ces deux grandeurs. 
Leibniz, qui honorait également de Moivre de son amitié, énonça le théorème de la force vive – ou de l’énergie cinétique – 
qui permit à Euler d’établir l’équation différentielle à laquelle il laissa son nom :
dp + ρV dV = 0
où p est la pression, V la vitesse et ρ la masse volumique du fluide.
La version intégrée sur une ligne de courant de l’équation d’Euler est la célèbre formule de Bernoulli, qui rend hommage 
à son intuition :
p + 1/2ρV 2 = C ste
Adresse e-mail : chanetz@onera.fr.https://doi.org/10.1016/j.crme.2019.06.005
1631-0721/© 2019 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
B. Chanetz / C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549 545Fig. 1. Écoulement autour d’un barreau cylindrique.
Quant au calcul des profils d’aile par l’utilisation de la théorie des nombres complexes, elle suppose que l’on connaisse la 
solution de l’équation de Laplace. L’élégance de cette résolution réside dans l’introduction d’un potentiel des vitesses ϕ , 
dont dérive la vitesse, et d’une fonction de courant . Ces deux fonctions doivent avoir leur laplacien nul, c’est-à-dire que 
la somme de leurs dérivées secondes par rapport aux variables d’espace x et y est nulle. Pour la fonction de courant en 
coordonnées cartésiennes, l’équation de Laplace s’exprime par :
∂2
∂x2
+ ∂
2
∂ y2
= 0
Cette équation fut résolue par Jean Le Rond d’Alembert à la fin du xviiie siècle, en bidimensionnel dans le cas d’un cylindre. 
La condition aux limites imposée à la paroi du cylindre est que le vecteur vitesse est tangent à la paroi, donc perpendiculaire 
à celle-ci, mais non nul. C’est l’hypothèse du fluide parfait. Dans la réalité, le fluide étant visqueux, une couche limite se 
développe au contact de la paroi, aboutissant à une vitesse nulle au contact de cette dernière.
Le fait de négliger les termes visqueux conduisit d’Alembert à trouver une force de traînée nulle pour un barreau cy-
lindrique, en contradiction évidente avec la réalité qu’il observait, d’où le paradoxe qu’il énonce, resté célèbre. Le barreau 
cylindrique, de la même manière que la sphère, n’étant pas un corps portant, la résolution mathématique aboutissait logi-
quement à une portance nulle, caractérisée sur le schéma de la Fig. 1a par une symétrie haut/bas par rapport au diamètre 
AB. En revanche, dans la réalité, le corps est le siège d’une traînée, ce dont le calcul ne rendait pas compte, les lignes de 
courant en aval du corps étant symétriques aux lignes amont par rapport à l’axe vertical CC de la Fig. 1a.
On en resta là à l’époque. Ce ne fut qu’au xixe siècle que la prise en compte des effets visqueux permit d’établir les 
équations de Navier–Stokes, qui régissent le mouvement du fluide réel visqueux, lequel se caractérise, dans le cas du barreau 
cylindrique, par l’existence d’une couche limite à la paroi du corps et d’un sillage en aval, rompant la symétrie gauche/droite, 
comme il est représenté sur la Fig. 1b.
2. Expérience : les essais en soufflerie de Gustave Eiffel (1909)
Au cours de la première partie du XIXe siècle, Georges Cayley établit la théorie des corps portants, énonçant qu’un profil 
cambré est portant, même à incidence nulle. En 1852, le Prussien Gustav Magnus s’intéressa à l’effet de giration des boulet 
de canon, phénomène qu’on rencontre aussi lorsque les balles ou ballons ont de l’ « effet ». Il établit ainsi que la rotation 
d’un boulet infléchissait la trajectoire balistique, avec pour conséquence le ratage de la cible. La force de Magnus (ou effet 
Magnus) n’est autre qu’une force de portance ou de déportance, selon le sens de giration. Tout était dès lors en place – ou 
presque – au niveau des éléments théoriques pour permettre d’appréhender le vol. Le capitaine Ferdinand Ferber qui, deux 
ans après les frères Wright, réussit en 1905 le premier envol d’un avion motorisé, avait joliment énoncé que la portance est 
une fleur qui naît de la vitesse.
Il fallut en effet attendre la charnière entre les xixe et xxe siècles, quand l’invention du moteur thermique mit à la 
disposition des pionniers de l’air une propulsion suffisante, pour que ceux-ci élaborent les profils cambrés dont ils allaient 
équiper leurs aéronefs.
Jusqu’aux travaux de Gustave Eiffel, ces inventeurs ne se doutaient pas que l’aile était plus aspirée par l’air au-dessus 
(extrados) que portée par l’air au-dessous (intrados). En 1909, Gustave Eiffel conçut une soufflerie au Champ-de-Mars, dans 
laquelle il testa des profils d’ailes à deux ou trois bosses en mesurant la répartition des coefficients de pression sur les par-
ties intrados et extrados de l’aile (voir Fig. 2) : « Cette étude a fait ressortir l’importance prépondérante des dépressions à l’arrière 
et a montré que l’aile de l’aéroplane est deux fois plus aspirée par l’air qui s’écoule sur sa face dorsale qu’elle n’est poussée par l’air 
qui s’écoule sur sa face ventrale. Avant que ce fait ne fût mis en évidence au laboratoire du Champ-de-Mars, les constructeurs d’avions 
546 B. Chanetz / C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549Fig. 2. Mesures de Gustave Eiffel sur des profils à deux et trois bosses.
ne tenaient pas compte des dépressions sur la face dorsale pour l’attache des toiles des ailes, et cela a dû amener des catastrophes par 
déchirure inexpliquées de cette toile pendant le vol. On y a remédié depuis la publication de mes travaux. » [1].
3. Théorie : la méthode de calcul des singularités due à Nikolaï Joukovski (1913)
Concomitamment aux essais d’Eiffel, Erich Trefftz publie en 1913 une note sur la construction graphique de Joukovski 
basée sur une étude d’Otto Blumenthal. La transformation de Joukovsky est une transformation conforme définie dans le 
plan complexe par :
z → 1
2
(
z + b2/z)
Cette transformation conforme transpose le cercle en un profil et la résolution de l’écoulement autour du profil est ramenée 
à celle de l’écoulement autour d’un cylindre circulaire (voir Fig. 3).
Cette astuce est géniale, à condition que l’on sache résoudre l’écoulement autour du cercle. Ainsi, la méthode des sin-
gularités repose tout d’abord sur la résolution de l’équation de Laplace déjà évoquée. Nous avons vu que cette résolution 
mathématiquement juste, mais avec des hypothèses non réalistes, est insuffisante à rendre compte de la réalité. Néanmoins, 
elle sert de cadre à l’élaboration d’une remarquable méthode de résolution mathématique, dite méthode des singularités. 
Elle tire son nom des singularités mathématiques qui sont additionnées au cas de base de l’écoulement calculé par d’Alem-
bert afin de rendre compte mathématiquement de la réalité des écoulements fluides.
B. Chanetz / C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549 547Fig. 3. La transformation conforme permettant de passer du cercle au profil d’aile.
L’équation de Laplace étant une équation linéaire, la combinaison de n solutions linéairement indépendantes sera égale-
ment une solution de l’équation. Ainsi, la superposition de solutions élémentaires permet de construire des solutions plus 
complexes. Parmi les solutions élémentaires de l’équation de Laplace, quelques-unes sont très intéressantes :
– l’écoulement de vitesse uniforme V∞ ;
– la source, caractérisée par des vitesses radiales dirigées vers l’extérieur et inversement proportionnelles à la distance au 
point source ;
– le puits, caractérisé par des vitesses radiales dirigées vers le centre et inversement proportionnelles à la distance au 
puits ;
– le doublet, combinaison d’une source et d’un puits infiniment rapprochés ;
– le tourbillon, caractérisé par des vitesses radiales nulles et des vitesses tangentielles dont le module est inversement 
proportionnel à la distance au centre.
Ainsi, il appert que la superposition d’un écoulement uniforme, d’un doublet et d’un tourbillon permet de créer un écoule-
ment portant autour d’un cercle en détruisant la symétrie haut/bas (voir Fig. 4). La présence d’un tourbillon crée un effet 
de rotation similaire à celui observé par Magnus et permet de conférer une portance au barreau cylindrique, représenté en 
coupe par un cercle. Le calcul permet d’exprimer le coefficient de pression en chaque point du cercle et d’en déduire par 
intégration le coefficient de portance.
Par intégration, on obtient aussi le coefficient de trainée, qui est encore nul du fait de la symétrie gauche/droite. En 
revanche, on obtient un coefficient de portance C Z non nul.
Grâce à ce subterfuge, Joukovski put calculer des profils d’aile portants, qui équipèrent les avions russes durant la Pre-
mière Guerre mondiale. Cependant, l’impasse faite sur le calcul de la traînée eut des répercussions néfastes, ces profils 
ayant une forte traînée qui rendait nécessaire une importante motorisation, si bien qu’ils furent abandonnés dès la fin de 
la guerre. Il s’agissait néanmoins d’une élégante résolution, toujours enseignée [2], car riche au niveau de la compréhension 
de la théorie du vol.
4. Analogie : résolution au moyen de la cuve rhéoélectrique de Lucien Malavard (1910–1990) et Joseph Pérès (1915–1998)
Cette méthode analogique [3] repose sur l’identité des équations qui régissent :
– la distribution du potentiel électrique dans un milieu conducteur (bassin électrique [voir Fig. 5]) ;
– l’écoulement des fluides parfaits incompressibles irrotationnels.
Suivant les conditions aux limites imposées aux frontières du domaine, on pourra assimiler le potentiel électrique :
– soit au potentiel des vitesses ϕ ,
– soit à la fonction de courant .
5. Calcul : résolution numérique par discrétisation des équations de Navier–Stokes (depuis 1980)
Au début du xixe siècle, il appartint à Adhémar Barré de Saint-Venant et Henri Navier, avec la contribution ultérieure de 
George Stokes, de proposer ce qui deviendront les célèbres équations de Navier–Stokes afin de tenir compte du caractère 
visqueux de l’air. Ces équations, qui contiennent toute la richesse du fluide de base qu’est l’air, sont des équations aux 
dérivées partielles, auxquelles on n’a toujours n’a pas trouvé de solution théorique.
En 1903, Ludwig Prandtl présente au congrès de mathématiques d’Heidelberg la théorie de la couche limite. Il s’agit d’une 
simplification des équations de Navier–Stokes dans la zone de proche paroi où se développe une couche où sont concentrés 
548 B. Chanetz / C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549Fig. 4. Superposition de solutions élémentaires (écoulement uniforme, doublet et tourbillon) de l’équation de Laplace.
Fig. 5. Le calculateur d’aile rhéoélectrique de l’Onera.
les effets visqueux, les gradients de température dans cette zone étant responsables du flux thermique à la paroi et les 
gradients de vitesse du frottement pariétal. Dans les décennies suivantes se font jour des méthodes de calcul séparant les 
problèmes avec résolution des équations de Prandtl à la paroi et, dans le champ extérieur à la couche limite, des équations 
d’Euler, qui sont les équations de Navier–Stokes sans les termes visqueux. Ces méthodes de couplage deviendront caduques 
dès lors que la puissance des ordinateurs permettra la résolution des équations complètes.
Mais c’est seulement dans les années 1970–1980 que s’impose cette résolution numérique des équations de Navier–
Stokes. La forte progression des ordinateurs, en termes de stockage mémoire comme de réduction des temps de calcul, rend 
alors possible la résolution des équations de Navier–Stokes en s’affranchissant du découpage antérieur en deux zones [4]. 
B. Chanetz / C. R. Mecanique 347 (2019) 544–549 549Fig. 6. Répartition du nombre de Mach autour d’un profil transsonique obtenue par calcul Navier–Stokes.
La Fig. 6 montre la répartition du nombre de Mach autour d’un profil en transsonique mettant en évidence l’onde de choc 
se formant à l’extrados.
6. Conclusion
Ce panorama des différentes méthodes de calcul des profils d’aile a permis d’éclairer le cheminement de la recherche de-
puis une centaine d’années dans un domaine qui a fortement évolué. Les expériences de Gustave Eiffel ont permis d’apporter 
la preuve de l’aspiration de l’aile par la dépression à l’extrados de l’aile, dépression consécutive à l’accélération de la vitesse 
sur cet extrados, elle-même due à la configuration d’aile cambrée. La résolution par la méthode des singularités, sur laquelle 
a principalement porté notre propos, est très bien menée et didactique. Elle montre tout l’intérêt des mathématiques pour 
la résolution de problèmes physiques. La méthode analogique met en valeur l’astuce des physiciens qui l’ont conçue. Elle est 
également un hommage rendu aux mathématiques, puisqu’elle repose sur une identité d’équations entre deux problèmes 
physiques distincts. Enfin, la résolution numérique des équations de Navier–Stokes est la solution qui prévaudra jusqu’à ce 
que ces équations soient résolues théoriquement. L’institut de mathématiques Clay, fondé en septembre 1998 par Landon 
Clay, a proposé en l’an 2000 sept problèmes mathématiques, dits du millénaire, et a promis un million de dollars à quiconque 
en résoudrait un. L’un de ces problèmes, la conjecture de Poincaré, a déjà été résolu par un mathématicien russe Grigori 
Perelman. Parmi les problèmes restant à résoudre, les équations de Navier–Stokes. Il est permis de rêver. . .
Références
[1] B. Chanetz, M. Peter, Eiffel, pioneer of aerodynamics, Int. J. Eng. Syst. Model. Simul. 5 (1–3) (2013) 3–7.
[2] J. Délery, Traité d’aérodynamique théorique, vol. 1, Éditions Lavoisier, Paris, 2008, https://www.lavoisier.fr /livre /physique /traite -d -aerodynamique -
compressible -volume -1 /delery /descriptif -9782746220027.
[3] P. Marty, Le Strand, un système de transmission analogique de données en avance sur son temps, in: Les histoires de l’Histoire, Association aéronautique 
et astronautique de France, Paris, 2007, https://www.3af .fr /sites /default /files /letttre _3af _n _8 _2007.pdf.
[4] B. Chanetz, J. Délery, J.-P. Veuillot, Aérodynamique, Encyclopaedia Universalis, http://www.universalis -edu .com /encyclopedie /aerodynamique/.


L'application des nombres complexes au calcul des profils d'aile

Editorial Board

Vincent Chai

Dushyant Parkhi

Sethu Boopathy

Junting Xiang

Jörg Schlüter

A model for the aerodynamic coefficients of rock-like debris

Xu Wang

Peter Schiavone

C. R. Mecanique 347 (2019) 734–739Contents lists available at ScienceDirect
Comptes Rendus Mecanique
www.sciencedirect.com
A screw dislocation near a non-elliptical piezoelectric 
inhomogeneity with internal uniform electroelastic field
Xu Wang a,∗, Peter Schiavone b,∗
a School of Mechanical and Power Engineering, East China University of Science and Technology, 130 Meilong Road, Shanghai 200237, China
b Department of Mechanical Engineering, University of Alberta, 10-203 Donadeo Innovation Centre for Engineering, Edmonton, Alberta, T6G 
1H9, Canada
a r t i c l e i n f o a b s t r a c t
Article history:
Received 4 July 2019
Accepted 8 August 2019
Available online 26 August 2019
Keywords:
Uniform electroelastic field
Piezoelectric inhomogeneity
Screw dislocation
Conformal mapping
Analytic continuation
Conformal mapping and analytic continuation are employed to prove the existence of an 
internal uniform electroelastic field inside a non-elliptical piezoelectric inhomogeneity 
interacting with a screw dislocation. We focus specifically on the case when the 
piezoelectric matrix surrounding the inhomogeneity is subjected to uniform remote anti-
plane mechanical and in-plane electrical loading and a constraint is imposed between the 
remote loading and the screw dislocation. The constraint can be expressed in a relatively 
simple decoupled form by utilizing orthogonality relationships between two corresponding 
eigenvectors. The internal uniform electroelastic field is found to be independent of the 
presence of the screw dislocation; moreover, it can be expressed in decoupled form.
© 2019 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.
1. Introduction
The uniformity of stresses and strains inside elastic inhomogeneities has been discussed extensively in the literature by 
numerous investigators (see, for example, [1–14]). In particular, it was shown recently that the stress and strain fields inside 
elastic inhomogeneities can remain uniform despite the presence of nearby screw dislocations [15–17]. The electromechan-
ical coupling phenomenon of piezoelectric materials has led to their widespread use as sensors and actuators in smart 
materials and structures. The study of piezoelectric solids with various kinds of defects is extensive, for example, we cite 
the works of Pak [18,19], Suo et al. [20], Ting [8], Lee et al. [21] and Wang & Schiavone [22].
In this paper, we show that, in the case of anti-plane shear deformations of a piezoelectric composite, the electroelastic 
field (stress, strain, electric displacement and electric field) inside a non-elliptical piezoelectric inhomogeneity interacting 
with a nearby screw dislocation in the matrix subjected to uniform remote anti-plane mechanical and in-plane electric 
loading can remain uniform subject to a particular constraint. For given material and geometric parameters, this constraint 
can be considered as two separate conditions on the remote loading and the screw dislocation after employing orthogonal 
relations for the two associated eigenvectors. The screw dislocation itself suffers jumps in anti-plane displacement and 
in electric potential across the slip plane, and is also subjected to an anti-plane line force and a line charge at the core. 
During the solution procedure, two either real or complex conjugate mismatch parameters, the magnitudes of which are 
smaller than unity, are introduced for the two-phase piezoelectric composite. The internal uniform electroelastic field, which 
* Corresponding authors.
E-mail addresses: xuwang@ecust.edu.cn (X. Wang), p.schiavone@ualberta.ca (P. Schiavone).https://doi.org/10.1016/j.crme.2019.08.002
1631-0721/© 2019 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.
X. Wang, P. Schiavone / C. R. Mecanique 347 (2019) 734–739 735is found to be independent of the presence of the screw dislocation, can be described in terms of the two mismatch 
parameters and a single geometric parameter.
2. Complex variable formulation
In the case of anti-plane shear deformations of a hexagonal piezoelectric material exhibiting 6 mm symmetry with its 
poling direction along the x3-axis of a Cartesian coordinate system {xi} (i = 1, 2, 3), the general solution is given by [23][
u3
φ
]
= Im{f(z)}, (1)
[
2ε32 + 2iε31
−E2 − iE1
]
= f′(z),
[
σ32 + iσ31
D2 + iD1
]
= Cf′(z), (2)
where, respectively, u3 and φ are the anti-plane displacement and electric potential; σ31 and σ32 are the Cartesian anti-
plane shear stresses; D1 and D2 are the in-plane electric displacements; E1 and E2 are the in-plane electric fields; ε31 and 
ε32 are strain components; f(z) is a 2D analytic vector function of the complex variable z = x1 + ix2; the 2 ×2 dimensionless 
real symmetric matrix C is defined by
C = Cᵀ =
[
C44 e15
e15 − ∈11
]
, (3)
where C44, e15 and ∈11 are the elastic stiffness, the piezoelectric constant and the dielectric constant, respectively. Note that 
C defined by Eq. (3) is neither positive definite nor negative definite.
3. Internal uniform electroelastic field
Consider a domain in 2, infinite in extent, containing a non-elliptical piezoelectric inhomogeneity, with electroelastic 
properties different from those of the surrounding matrix. Both the inhomogeneity and the matrix are hexagonal with their 
poling directions along the x3-axis. Let S1 and S2 denote the inhomogeneity and the matrix, respectively, perfectly bonded 
through the non-elliptical interface L. The matrix is subjected to uniform remote anti-plane shear stresses (σ∞31 , σ∞32 ) and 
in-plane electric displacements (D∞1 , D∞2 ). In addition, a piezoelectric screw dislocation is applied at z = z0 in the matrix. 
The screw dislocation suffers a jump b3 in anti-plane displacement and a jump φ in electric potential across the slip plane. 
Meanwhile, the screw dislocation is subjected to an anti-plane line force f3 and a line charge Q at its core. Throughout the 
paper, the subscripts 1 and 2 are used to identify the respective quantities in S1 and S2. In the remaining of this section, 
we will study the existence of an internal uniform electroelastic field inside the non-elliptical piezoelectric inhomogeneity 
in the presence of the nearby screw dislocation.
The boundary value problem for the two-phase piezoelectric composite has the form:
f2(z) + f2(z) = C−12 C1f1(z) + C−12 C1f1(z),
f2(z) − f2(z) = f1(z) − f1(z), z ∈ L;
(4a)
f2(z) ∼= b̂ − iC
−1
2 f̂
2π
ln(z − z0) + O (1), z → z0; (4b)
f2(z) ∼= C−12 wz +
b̂ − iC−12 f̂
2π
ln z + O (1), |z| → ∞, (4c)
where
b̂ =
[
b3
φ
]
, f̂ =
[
f3
−Q
]
, w =
[
σ∞32 + iσ∞31
D∞2 + iD∞1
]
. (5)
Equation (4a) describes the continuity of traction, normal electric displacement, displacement and electric potential 
across the perfectly bonded inhomogeneity-matrix interface L; Eq. (4b) describes the logarithmic singular behavior of f2(z)
at the location of the screw dislocation; Eq. (4c) gives the remote asymptotic behavior of f2(z) due to the remote loading 
and the screw dislocation.
For our purposes, it is sufficient to consider the following conformal mapping function [16]
z = ω(ξ) = R
(
ξ + p
ξ
+ q ln ξ − ξ̄
−1
0
ξ
)
, ξ = ω−1(z), |ξ | ≥ 1, (6)
where R is a real scaling constant, p and q are two complex constants, ξ0 = ω−1(z0). The branch cut for the logarithmic 
function appearing in Eq. (6) is chosen as the line segment connecting ξ = 0 and ξ = ξ̄−1(|ξ̄−1| < 1). Thus, the logarithmic 0 0
736 X. Wang, P. Schiavone / C. R. Mecanique 347 (2019) 734–739function in Eq. (6) is analytic and single-valued for |ξ | ≥ 1. Using the above mapping function, the exterior of the inhomo-
geneity is mapped onto |ξ | ≥ 1, the inhomogeneity-matrix interface L is mapped onto the unit circle |ξ | = 1, the location of 
the piezoelectric screw dislocation z = z0 is mapped onto ξ = ξ0.
In order to ensure the uniformity of the electroelastic field incorporating stresses, strains, electric displacements and 
electric fields inside the piezoelectric inhomogeneity, it is sufficient that the analytic vector function defined inside the 
inhomogeneity take the following form
f1(z) = kz, z ∈ S1, (7)
where k is a two-dimensional complex vector to be determined.
By using Eq. (7) and imposing the continuity conditions for traction, normal electric displacement, displacement and 
electric potential across the perfect interface L in Eq. (4a), we arrive at
f2(ξ) = f2
(
ω(ξ)
) = (C−12 C1 + I)k
2
ω(ξ) + (C
−1
2 C1 − I)k̄
2
ω̄
(
1
ξ
)
, |ξ | ≥ 1. (8)
Using Eq. (8) and satisfying Eqs. (4a) and (4c), we obtain the following relationships
(C1 + C2)k + p̄(C1 − C2)k̄ = 2w, (9)
Rq(C1 − C2)k = 2(C2b̂ + if̂). (10)
The constant vector k can be uniquely determined from Eq. (9) as
k = 2[C1 + C2 − |p|2(C1 − C2)(C1 + C2)−1(C1 − C2)]−1[w − p̄(C1 − C2)(C1 + C2)−1w̄]. (11)
Substitution of Eq. (11) into Eq. (10) yields the following constraint between the remote loading characterized by w and 
the piezoelectric screw dislocation characterized by b̂ and f̂:
Rq
[
w − p̄(C1 − C2)(C1 + C2)−1w̄
]
= [(C1 + C2)(C1 − C2)−1 − |p|2(C1 − C2)(C1 + C2)−1](C2b̂ + if̂). (12)
The coupling present in the above constraint makes it somewhat difficult to interpret. Consider the following eigenvalue 
problem:
C2v = λC1v, (13)
where λ denotes an eigenvalue and v the associated eigenvector.
Let λ1 and λ2 be the two eigenvalues from Eq. (13) with associated eigenvectors v1 and v2, respectively (explicit expres-
sions for λ1, λ2, v1 and v2 can be found in the appendix). It is relatively straightforward to verify the following orthogonality 
relationships for the two eigenvectors with respect to the two real symmetric matrices C1 and C2:
ΦT C1Φ = diag
[
δ1 δ2
]
,
ΦT C2Φ = diag
[
λ1δ1 λ2δ2
]
,
(14)
where δ1 and δ2 are constants, and
Φ = [ v1 v2 ] . (15)
We further introduce the following transforms:


w′ = [ 
w ′1 
w ′2 ]T = ΦT w′, 
w′′ = [ 
w ′′1 
w ′′2 ]T = ΦT w′′,


b =
[


b1


b2
]T = ΦT C2b̂, 
f = [ 
f1 
f2 ]T = ΦT f̂, (16)
where w′ and w′′ are the real and imaginary parts of w. It is seen from Eq. (16) that both 
w′ and 
w′′ are complex-valued 
when the two eigenvectors are complex.
Using Eqs. (14) and (16), the constraint in Eq. (12) can be rewritten in the following simpler decoupled form
Rq = (K
−1
1 − |p|2 K1)(


b1 + i


f1)


w ′ + i 
w ′′ − p̄K ( 
w ′ − i 
w ′′) =
(K −12 − |p|2 K2)(


b2 + i


f2)


w ′ + i 
w ′′ − p̄K ( 
w ′ − i 
w ′′) , (17)1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
X. Wang, P. Schiavone / C. R. Mecanique 347 (2019) 734–739 737where the two either real or complex conjugate mismatch parameters K1 and K2 are defined by
K1 = 1 − λ1
1 + λ1 , K2 =
1 − λ2
1 + λ2 , |K1| < 1, |K2| < 1. (18)
The magnitudes of K1 and K2 are smaller than one since the two eigenvalues always have positive real parts (see the 
Appendix). The constraint in Eq. (17) can be considered as two separate conditions on the remote loading characterized by 


w′ and 
w′′ and on the screw dislocation characterized by 


b and 


f for given material and geometric parameters K1, K2, p
and Rq.
For example, when p = 0, Eq. (17) reduces to the following one


b1 + i


f1


w ′1 + i


w ′′1
= RqK1,


b2 + i


f2


w ′2 + i


w ′′2
= RqK2. (19)
The internal uniform electroelastic field quantities of stress and electric displacement inside the piezoelectric inhomo-
geneity is given by[
σ32 + iσ31
D2 + iD1
]
= 2C1
[
C1 + C2 − |p|2(C1 − C2)(C1 + C2)−1(C1 − C2)
]−1
× [w − p̄(C1 − C2)(C1 + C2)−1w̄], z ∈ S1, (20)
which is independent of the complex constant q, in other words, independent of the existence of the piezoelectric screw 
dislocation.
The stresses and electric displacements are distributed within the matrix as follows[
σ32 + iσ31
D2 + iD1
]
= [I − |p|2(C1 − C2)(C1 + C2)−1(C1 − C2)(C1 + C2)−1]−1[w − p̄(C1 − C2)(C1 + C2)−1w̄]
− [(C1 + C2)(C1 − C2)−1 − |p|2(C1 − C2)(C1 + C2)−1]−1
× [w̄ − p(C1 − C2)(C1 + C2)−1w] ω̄′( 1ξ )
ξ2ω′(ξ)
, |ξ | ≥ 1. (21)
Using Eq. (14) and (16), the expressions for stresses and electric displacements in Eqs. (20) and (21) can be concisely 
written into the following decoupled form


σ = (1 + K1)[


w ′1 + i


w ′′1 − p̄K1(


w ′1 − i


w ′′1)]
1 − |p|2 K 21
,


D = (1 + K2)[


w ′2 + i


w ′′2 − p̄K2(


w ′2 − i


w ′′2)]
1 − |p|2 K 22
, z ∈ S1;
(22)


σ =


w ′1 + i


w ′′1 − p̄K1(


w ′1 − i


w ′′1)
1 − |p|2 K 21
− K1[


w ′1 − i


w ′′1 − pK1(


w ′1 + i


w ′′1)]
1 − |p|2 K 21
ω̄′( 1
ξ
)
ξ2ω′(ξ)
,


D =


w ′2 + i


w ′′2 − p̄K2(


w ′2 − i


w ′′2)
1 − |p|2 K 22
− K2[


w ′2 − i


w ′′2 − pK2(


w ′2 + i


w ′′2)]
1 − |p|2 K 22
ω̄′( 1
ξ
)
ξ2ω′(ξ)
, |ξ | ≥ 1,
(23)
where[


σ


D
]
= Φᵀ
[
σ32 + iσ31
D2 + iD1
]
. (24)
It can be seen from Eqs. (22) and (23) that the constants 
σ and 


D inside the piezoelectric inhomogeneity can be 
completely determined once the three parameters K1, K2 and p and the remote loading 


w′ and 
w′′ are given. More precisely, 


σ is determined only by K1, p, 


w ′1, 


w ′′1; whilst 


D is determined only by K2, p, 


w ′2, 


w ′′2.
When p = 0, Eqs. (22) and (23) reduce to


σ = (1 + K1)
( 

w ′1 + i 
w ′′1
)
,


D = (1 + K2)
( 

w ′2 + i 
w ′′2
)
, z ∈ S1; (25)


σ = 
w ′1 + i 
w ′′1 − K1
( 

w ′1 − i 
w ′′1
) ω̄′( 1ξ )
ξ2ω′(ξ)
,


D = 
w ′2 + i 
w ′′2 − K2
( 

w ′2 − i 
w ′′2
) ω̄′( 1ξ )
ξ2ω′(ξ)
, |ξ | ≥ 1. (26)
We have verified that the uniform electroelastic field in Eq. (25) agrees with the uniform field inside a circular piezo-
electric inhomogeneity under uniform remote electromechanical loading in the absence of the screw dislocation [19]. The 
adoption of the transform in Eq. (24) makes the expression in Eq. (25) rather concise.
738 X. Wang, P. Schiavone / C. R. Mecanique 347 (2019) 734–7394. Conclusions
Within the framework of anti-plane piezoelectricity, we have shown that the internal electroelastic field inside a non-
elliptical piezoelectric inhomogeneity interacting with a nearby screw dislocation can be maintained uniform when the 
constraint in Eq. (17) is satisfied. After the introduction of the transform in Eq. (24), the electroelastic field in the piezoelec-
tric composite can be written concisely in the decoupled form in Eqs. (22) and (23).
Acknowledgements
This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11272121) and through a Discov-
ery Grant from the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (Grant No. RGPIN – 2017-03716115112).
Appendix A
Let
C1 =
[
C (1)44 e
(1)
15
e(1)15 − ∈(1)11
]
, C2 =
[
C (2)44 e
(2)
15
e(2)15 − ∈(2)11
]
. (27)
When (C (1)44 ∈(2)11 +C (2)44 ∈(1)11 +2e(1)15 e(2)15 )2 > 4(C (1)44 ∈(1)11 +e(1)215 )(C (2)44 ∈(2)11 +e(2)215 ), the two distinct eigenvalues of Eq. (13) are 
positive real and are given by
λ1,2 =
⎛
⎝ C (1)44 ∈(2)11 +C (2)44 ∈(1)11 +2e(1)15 e(2)15
±
√
(C (1)44 ∈(2)11 −C (2)44 ∈(1)11 )2 + 4(C (1)44 e(2)15 − C (2)44 e(1)15 )(∈(2)11 e(1)15 − ∈(1)11 e(2)15 )
⎞
⎠
2(C (1)44 ∈(1)11 +e(1)215 )
> 0. (28)
When (C (1)44 ∈(2)11 +C (2)44 ∈(1)11 +2e(1)15 e(2)15 )2 < 4(C (1)44 ∈(1)11 +e(1)215 )(C (2)44 ∈(2)11 +e(2)215 ), the two distinct eigenvalues of Eq. (13) are 
complex conjugates with positive real part and are given by
λ1,2 =
⎛
⎝ C (1)44 ∈(2)11 +C (2)44 ∈(1)11 +2e(1)15 e(2)15
±i
√
4(C (1)44 e
(2)
15 − C (2)44 e(1)15 )(∈(1)11 e(2)15 − ∈(2)11 e(1)15 ) − (C (1)44 ∈(2)11 −C (2)44 ∈(1)11 )2
⎞
⎠
2(C (1)44 ∈(1)11 +e(1)215 )
,
Re{λ1} = Re{λ2} > 0. (29)
The two eigenvectors associated with the eigenvalues for the above two cases are
v1 =
[
λ1e
(1)
15 − e(2)15
C (2)44 − λ1C (1)44
]
, v2 =
[
λ2e
(1)
15 − e(2)15
C (2)44 − λ2C (1)44
]
. (30)
When the two eigenvalues are real, the two eigenvectors are also real. When the two eigenvalues are complex conjugates, 
we have from Eq. (30) that v2 = v̄1.
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A screw dislocation near a non-elliptical piezoelectric inhomogeneity with internal uniform electroelastic field

Amine Ammar

Francisco Chinesta

Direct numerical simulation of flexible molecules and data-driven molecular conformation

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