Comptes Rendus Mécanique (CRM)

Sylvain Turgeman

Benaceur Guessab

C. R. Mecanique 330 (2002) 623–626
Méthode d’homogénéisation auto-cohérente en calcul
à la rupture
Sylvain Turgeman, Benaceur Guessab
Laboratoire sols, solides, structures (UMR 5521), domaine Universitaire, BP 53, 38041 Grenoble cedex 9,
France
Reçu le 3 avril 2002 ; accepté après révision le 16 juillet 2002
Note présentée par Jean Salençon.
Résumé On s’intéresse au problème de la détermination du domaine de résistance macroscopique
d’un matériau hétérogène à microstructure aléatoire. On utilise le concept d’auto-cohérence
en considérant un matériau de comparaison qui soit de la même nature que les constituants
du matériau hétérogène, c’est-à-dire non linéaire. On déduit que les estimations du domaine
de résistance recherché sont les solutions d’équations d’auto-cohérence et l’on précise
le processus de leur obtention.Pour citer cet article : S. Turgeman, B. Guessab, C. R.
Mecanique 330 (2002) 623–626.
 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
rhéologie / calcul à la rupture / modèle auto-cohérent / homogénéisation / matériaux
hétérogènes
Self-consistent homogeneization method in yield design
Abstract This work is aimed towards determining the macroscopic strength criterion of a heteroge-
neous material with a random microstructure. We use the self-consistent concept by con-
sidering a reference material, which is of same nature as the constituents of the heteroge-
neous material. We deduce that the estimates of the macroscopic strength domain are the
solutions to self-consistent equations and we give their derivation procedure.To cite this
article: S. Turgeman, B. Guessab, C. R. Mecanique 330 (2002) 623–626.
 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
rheology / yield design / self-consistent model / homogeneization / heterogeneous
materials
1. Introduction
On considère, dans le cadre théorique du calcul à la rupture [1], le problème de la détermination du
domaine de résistance macroscopique d’un matériau hétérogène à microstructure aléatoire. L’hypothèse
de la périodicité permet d’élaborer une théorie bien fondée, capable d’intégrer toutes les informations
microstructurales disponibles [2–4]. Dans le cas où la microstructure est aléatoire, la complexité du
problème est toute autre et se traduit par des méthodes de résolution multiples, généralement basées sur une
extension du modèle auto-cohérent en élasticité (la bibliographie étant très conséquente, nous renvoyons
à [5,6] pour une présentation exhaustive). La méthode développée ici, basée également sur l’idée d’auto-
Adresse e-mail : sylvain.turgeman@hmg.inpg.fr (S. Turgeman).
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S1631-0721(02)01508-5/FLA 623
S. Turgeman, B. Guessab / C. R. Mecanique 330 (2002) 623–626
cohérence, se caractérise (comme dans [7] pour le cas de matériaux poreux) par l’utilisation d’un milieu de
comparaison qui est directement non linéaire.
2. Caractérisation du domaine de résistance macroscopique Gh
On considère un matériau hétérogèneM occupant un volume représentatifM , constitué der phases de
domaines de résistanceGj (j = 1, . . . , r), pouvant être caractérisé macroscopiquement par un domaine
de résistanceGh que l’on cherche à déterminer. On noteCR l’ensemble des convexes fermés deR9S
contenant 0 et inclus dans la boule fermée de centre 0 et de rayonR. On suppose pour simplifier que
ξG(= {Gj, j = 1, . . . , r})⊂ CR .
Soitω(c) un petit volume (sphère deR3 de centrec et de diamètre constantδω par exemple,δω de l’ordre
de la dimension d’une ou de quelques hétérogénéités deM). On suppose que la microstructure observée
dansω(c) quandc parcourtM appartient à un ensemble finiξm dep microstructuresmk, auxquelles
on attribue des coefficients de pondérationρk (k = 1, . . . , p). On réalise des échantillonsE de volume
 en plongeant dans un matériau homogèneM(G0) (la matrice), de domaine de résistanceG0 ∈ CR ,
N inclusions. Ces inclusions de même volumeω, sont centrées en des pointscj (j = 1, . . . ,N) de et on
note :
δ(E)= min(2‖x − cj‖,‖cj − ck‖, x ∈ ∂, j = 1, . . . ,N, k = 1, . . . ,N, j = k) ( δω) (1)
Les échantillonsE constituent un ensembleξE. Le volume, le nombreN d’inclusions de volume total
ω′ = Nω et leur positionnement dans sont variables d’un élémentE à un autre. On considère les deux
cas suivants :
1er cas : les inclusions sont constituées du matériau homogèneM(Gh) de domaine de résistanceGh ; le
domaine de résistance en un pointx de l’échantillonE (noté alorsEh) estϕ(x)=Gh si x se situe dans une
inclusion,φ(x)=G0 sinon.
2e cas : les inclusions sont hétérogènes, la microstructure de chacune d’elles étant dansξm, le nombre
de microstructures identiques àmk étant proportionnel àρk (k = 1, . . . , p) ; le domaine de résistance en un
pointx d’un échantillonE est noté encoreϕ(x) et on aϕ(x) ∈ ξG ∪ {G0}.
On détermine les ensemblesKσ (E) et Kv(E) constitués de chargements dits cohérents, c’est-à-dire
résultant de champs de contraintesσ et de vitesses de déformationd (dérivant de champs de vitesses de
déplacementv) « cohérents » (la moyenne de ces champs dans le volume occupé par les inclusions est égale
à celle dans le volume occupé par la matrice cf. (2a), (3a)) :
Kσ (E)=
{
S ∈ R9S | ∃σ sur; divσ = 0; σ(x) · n(x)= S · n(x) ∀x ∈ ∂; (2)
〈σ 〉ω′ = S (2a), σ (x) ∈ ϕ(x) ∀x ∈
}
Kv(E)=
{
S ∈ R9S | ∀D ∈ R9S, ‖D‖ = 1, S ·D  min
(〈
"
(
x, d(x)
)〉

, d ∈ UD
)}
(3)
avecn(x) la normale extérieure à∂ enx, "(x,d(x))= max(σ · d(x), σ ∈ ϕ(x)) etUD = {d | 〈d〉ω′ =D
(3a) ;v =D · x, ∀x ∈ ∂}.
Les chargements deKσ (E) sont inclus dans l’ensemble des chargements potentiellement supportables
(P.S.) deE soumis à sa frontière à une sollicitation uniforme en contrainteS · n(x) ; les chargements de
Kv(E) contiennent les chargements P.S. deE soumis à sa frontière à une sollicitation linéaire en vitesse de
déplacement.
L’intérêt de considérer ces chargements cohérents est que l’on peut alors, lorsque l’on utilise les
échantillonsEh, obtenir des conditions suffisantes pour situerG0 par rapport àGh : ainsi, on montre
que s’il existeδ0  δω tel queKσ (Eh)⊃G0 pourEh tel queδ(Eh)= δ0 alorsG0 ⊂Gh ; s’il existeδ0  δω
tel queKv(Eh) ⊂ G0 pourEh tel queδ(Eh) = δ0 alorsG0 ⊃ Gh. CependantKσ (Eh) etKv(Eh) ne sont
pas accessibles (Gh étant inconnu), contrairement àKσ (E) etKv(E). Ceci nous conduit à substituer dans
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Pour citer cet article : S. Turgeman, B. Guessab, C. R. Mecanique 330 (2002) 623–626
les conditions suffisantes précédentesEh parE et à examiner le domaine de validité des propriétésPσ (δ0)
etPv(δ0) qui en résultent :
Pσ (δ0) :
(∃δ0  δω |Kσ (E)⊃G0 ∀E tel queδ(E)= δ0) ⇒ G0 ⊂Gh (4)
Pv(δ0) :
(∃δ0  δω |Kv(E)⊂G0 ∀E tel queδ(E)= δ0) ⇒ G0 ⊃ Gh (5)
On montre que les propriétésPσ (δ0) etPv(δ0) sont vraies pourδ0 = δω ; qu’elles sont vraies pourδ0 si
elles sont vraies pourδ′0  δ0 et qu’elles sont donc vraies sur un intervalle[δω, δi]. La borne supérieureδi
pourrait être approchée si l’on disposait d’une définition opératoire deGh. Inversement, fixerδi revient à
situerGh : c’est le problème que l’on cherche à résoudre dans Section 3.
3. Bornes auto-cohérentes de Gh
On considère dansξE la relation d’équivalence⊥ suivante : deux élémentsE1 et E2 de ξE sont
équivalents si leur matrice est constituée du même matériauM(G0) et siδ(E1)= δ(E2). On note(G0, •δ0)
les éléments deξE/⊥ et on détermine des approchesKS(G0, δ0) de Kσ (E) et KC(G0, δ0) deKv(E),
ne dépendant que de la classe d’équivalence deE. A cet effet on formep systèmes mécaniquesBk
(k = 1, . . . , p) de même volumeV homothétique deω (homothétie de centre celui deω et de rapport
δ0/δω  1). Le matériau constitutif deBk estM(G0) dansV ′ = V \ω, conforme à la microstructuremk
dansω (k = 1, . . . , p).
On note)k(x) le domaine de résistance au pointx ∈ V du systèmeBk et"k(d(x))= max(σ · d(x), σ ∈
)k(x)).
On définit les convexes :
KS(G0, δ0)=
{
S ∈ R9S |
(∃σk surV,divσk = 0, σk(x) · n(x)= S · n(x) ∀x ∈ ∂V,
σk(x) ∈)k(x) ∀x ∈ V
)
(k = 1, . . . , p) et
p∑
k=1
ρk〈σk〉ω = S
}
(6)
KC(G0, δ0)=
{
S ∈ R9S | ∀D ∈ R9S, ‖D‖ = 1,
S ·D  min
[
max
(
p∑
k=1
ρk
〈
"k
(
dk(x)
)〉
V
,"G(D)
)
, (dk)k=1,...,p ∈ UpD
]}
(7)
avec
U
p
D =
{
(dk dérivant devk surV )k=1,...,p; vk(x)=D · x sur∂V (∀k = 1, . . . , p) et
p∑
k=1
ρk〈dk〉ω =D
}
Ces convexes sont tels que :
∀E ∈ (G0, •δ0), KS(G0, δ0)⊂Kσ (E) et Kv(E)⊂KC(G0, δ0)
On résout les équations d’auto-cohérence suivantes pourδ0 fixé ( δω) :
KS(G0, δ0)=G0 (8a), KC(G0, δ0)=G0 (8b) (8)
On montre que (8a) admet une solutionG+S (δ0) ∈CR qui contient toutes les autres et qui est la limite de la
suite(G̃i (δ0))i∈N avecG̃0(δ0) = Gu (Gu : union convexe des éléments deξG) ; G̃i+1(δ0) = KS(G̃i(δ0),
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δ0) ∀i ∈ N. De même, (8b) admet une solutionG−C(δ0) ∈ CR contenue dans toutes les autres et qui est
la limite de la suite(G̃ ′i (δ0))i∈N avecG̃′0(δ0) = {0} ; G̃′i+1(δ0) = KC(G̃′i (δ0), δ0) ∀i ∈ N. On a de plus
G+S (δω) etG
−
C(δω) égales aux bornes de Reuss et Voigt généralisées et :
∀δ1  δ2 :G+S (δ1)⊃G+S (δ2), G−C(δ1)⊂G−C(δ2) (9)
Il s’ensuit :∀G0 tel queG0 = KS(G0, δ0) on aG0 ⊂ Kσ (E), ∀E ∈ (G0, •δ0) d’où G0 ⊂ Gh si δ0  δi
(cf. (4)) ; par conséquentG+S (δ0)⊂Gh, ∀δ0 ∈ [δω, δi].
De même,∀G0 tel queG0 = KC(G0, δ0) on aG0 ⊃ Kv(E), ∀E ∈ (G0, •δ0) d’où G0 ⊃ Gh si δ0  δi
(cf. (5)) ; par conséquentG−C(δ0)⊃Gh, ∀δ0 ∈ [δω, δi].
On obtient donc les bornes auto-cohérentes rigoureuses deGh suivantes :G
+
S (δ0)⊂Gh ⊂G−C(δ0) pour
tout δ0 ∈ [δω, δi] (les meilleures bornes correspondent àδ0 = δi ) ainsi qu’un majorant deδi : δi  δh, δh
étant la plus grande valeur deδ0 telle queG
+
S (δ0)⊂G−C(δ0).
4. Conjecture et conclusion
Les estimations deGh dépendent de la valeur deδi . On conjecture queδi varie de manière monotone
entre sa valeur minimaleδω et le majorantδh en fonction des informations microstructurales utilisées pour
représenter le matériau hétérogèneM. Ainsi dans le cas oùM est caractérisé par une information minimale
(limitée aux domaines de résistance et aux fractions volumiques des matériaux constitutifs deM) on pose
δi = δω. La méthode proposée fournit alors les bornes de ReussGR et de VoigtGV . Ainsi pour un milieu
poreux caractérisé exclusivement par les domaines de résistance(G1 = {0},G2 = {0}) et les fractions
volumiques de ses phases, on obtient queG+S (δ) = G2(= GR), ∀δ  δω, G−C(δω) = GV , G−C(δ) = G2,∀δ  δω.
Il s’ensuit queδh est infini et fixer δi à une valeur strictement positive conduirait àGh = GR .
La résolution des équations d’auto-cohérence dans un cas moins grossier, nécessaire pour analyser la
conjecture sur la position deδi , passe par le développement de programmes numériques, en cours de
réalisation.
Références bibliographiques
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[2] P. de Buhan, J. Salençon, Determination of a macroscopic yield criterion for a multilayered material, C.N.R.S.,
Coll. on Failure criteria for structural media, Grenoble, 1983.
[3] P. Suquet, Analyse limite et homogénéisation, C. R. Acad. Sci. Paris, Série II 295 (1983) 1355–1358.
[4] P. de Buhan, Critère de rupture macroscopique d’un matériau renforcé par des armatures, C. R. Acad. Sci. Paris,
Série II 296 (1985) 933–936.
[5] M. Bornert, P. Suquet, Propriétés non linéaires des composites : Approches par les potentiels, in : M. Bornert,
T. Bretheau, P. Gilormini (Eds.), Homogénéisation en Mécanique des Matériaux, Vol. 2, Hermes Science, Paris,
2001.
[6] A. Zaoui, Plasticité : Approches en champ moyen, in : M. Bornert, T. Bretheau, P. Gilormini (Eds.), Homogénéisa-
tion en Mécanique des Matériaux, Vol. 2, Hermes Science, Paris, 2001.
[7] J.B. Leblond, G. Perrin, A self-consistent approach to coalescence of cavities in inhomogeneously voided ductile
solids, J. Mech. Phys. Solids 47 (1999) 1823–1841.
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