Comptes Rendus Mathématique

Vladimir Pestov

An amenability-like property of finite energy path and loop groups

Doğa Can Sertbaş

Hyperharmonic integers exist

Jorge Martín-Morales

Hussein Mourtada

Willem Veys

Lena Vos

Note on the monodromy conjecture for a space monomial curve with a plane semigroup

Mengmeng Li

JinRong Wang

Donal O’Regan

Michal Fečkan

Center Manifolds for Non-instantaneous Impulsive Equations Under Nonuniform Hyperbolicity

Li Liang

Junpeng Wang

Relative global dimensions and stable homotopy categories

Eknath Ghate

Mihir Sheth

On non-admissible irreducible modulo $p$ representations of $\protect \mathrm{GL}_{2}(\protect \mathbb{Q}_{p^{2}})$

Bérangère Delourme

David P. Hewett

Electromagnetic shielding by thin periodic structures and the Faraday cage effect

Guillaume Pagel

On the modular Jones polynomial

Abdoul Karim Sane

Intersection norms and one-faced collections

Jean-Pierre Serre

Comptes Rendus
Mathématique
Jean-Pierre Serre
La vie et l’oeuvre de Jean-Marc Fontaine
Volume 358, issue 9-10 (2020), p. 1045-1046.
<https://doi.org/10.5802/crmath.126>
© Académie des sciences, Paris and the authors, 2020.
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Comptes Rendus
Mathématique
2020, 358, n 9-10, p. 1045-1046
https://doi.org/10.5802/crmath.126
Biographie, Théorie des nombres / Biography, Number Theory
La vie et l’oeuvre de Jean-Marc Fontaine
Jean-Pierre Serrea
a Collège de France
Manuscrit reçu le 5 mars 2020, accepté le 29 septembre 2020.
Jean-Marc Fontaine, né en 1944, était membre de la section Mathématique de l’Académie des
Sciences depuis 2002, après avoir été élu correspondant en 1986. Il est mort le 29 janvier 2019.
Il avait été élève à l’Ecole Polytechnique (1962), et était entré ensuite au C.N.R.S. jusqu’à
son doctorat en 1972. Il avait été professeur à l’université de Grenoble (1972-1988), et ensuite
à l’université Paris-Sud.
Ses travaux ont une remarquable homogénéité : ils sont tous relatifs aux corps locaux, et plus
précisément à leur représentations galoisiennes. On trouvera dans [1] une analyse détaillée de
ceux postérieurs à 1980. Je vais me borner à en indiquer quelques aspects.
Sa thèse [3] résout affirmativement un problème que j’avais posé sur les corps où l’on peut
réaliser les représentations d’Artin.
Fontaine s’attaque ensuite à une question de Grothendieck, celle du foncteur mystérieux qui
relie le module de Dieudonné d’un groupe p-divisible (par exemple une variété abélienne) à
son module de Tate (cf. [4–6]). Il obtient, dans le cas peu ramifié, une classification complète
des groupes p-divisibles au moyen de leurs groupes de Dieudonné filtrés. Il introduit toute
une série d’anneaux : Bcris, Bst, BdR, . . . (la lettre B étant l’initiale du nom du mathématicien
italien Iacopo Barsotti), cf. [6, 8]. Ces anneaux servent à détecter, et à étudier, certains types de
représentations galoisiennes (sur un corps p-adique) qui interviennent en géométrie algébrique :
représentations cristallines, semi-stables, de de Rham. Pour des conjectures précises, voir [6,
8] ; pour une démonstration (avec une hypothèse restrictive sur p), voir son article avec W.
Messing [9]. Ces anneaux permettent aussi de donner un sens raisonnable à des « périodes » p-
adiques, que les définitions standard ne permettaient pas de définir, ne serait-ce que 2iπ (qui
apparaît dans BdR).
Les résultats obtenus ont des énoncés quelque peu techniques1, pour lesquels je renvoie à
l’exposé de Pierre Colmez cité au début ([1]). Ces résultats ont pourtant une grande utilité en
géométrie algébrique arithmétique. Voici ce qu’en dit le rédacteur anonyme de Wikipedia :
1 Sauf un, celui de [7], qui dit qu’il n’existe pas de schéma en variétés abéliennes sur Z de dimension Ê 1. Autrement
dit, toute variété abélienne 6= 0 surQ a mauvaise réduction en au moins un nombre premier : son conducteur est > 1. Un
bel énoncé !
ISSN (electronic) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/
1046 Jean-Pierre Serre
« La théorie de Fontaine est l’outil le plus puissant dont on dispose pour étudier les
propriétés fines des représentations des groupes de Galois des corps globaux ; elle
intervient de manière cruciale dans tous les progrès en direction de la correspondance
de Langlands (dans le sens Galois vers automorphe, le plus difficile) depuis les travaux
d’Andrew Wiles sur le théorème de Fermat. Tout récemment, en collaboration avec
Laurent Fargues, il a donné un point de vue plus géométrique sur son programme,
en en décrivant tous les objets en termes de fibrés sur une courbe aux propriétés
surprenantes (la courbe de Fargues–Fontaine). »
En janvier 2019, Fontaine avait eu le grand plaisir de recevoir le premier exemplaire de La
Courbe : un volume de plus de 380 pages, [2]. Il est mort quelques jours après.
Références
[1] P. Colmez, « Le programme de Fontaine », à paraître dans L’Enseignement Mathématique, https://webusers.imj-prg.
fr/~pierre.colmez/FW.pdf.
[2] L. Fargues, J.-M. Fontaine, Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique, Astérisque, vol. 406, Société
Mathématique de France, 2018.
[3] J.-M. Fontaine, « Groupes de ramification et représentations d’Artin », Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 4 (1971), p. 337-392.
[4] ——— , Groupes p-divisibles sur les corps locaux, Astérisque, vol. 47-48, Société Mathématique de France, 1977.
[5] ——— , « Modules galoisiens, modules filtrés et anneaux de Barsotti–Tate », in Groupes formels, représentations
galoisiennes et cohomologie des variétés de caractéristique positive. III., Astérisque, vol. 65, Société Mathématique de
France, 1978, p. 3-80.
[6] ——— , « Sur certains types de représentations p-adiques du groupe de Galois d’un corps local ; construction d’un
anneau de Barsotti–Tate », Ann. Math. 115 (1982), p. 529-577.
[7] ——— , « Il n’y a pas de variété abélienne sur Z », Invent. Math. 81 (1985), n 3, p. 515-538.
[8] ——— (éd.), Périodes p-adiques, Astérisque, vol. 223, Société Mathématique de France, 1993.
[9] J.-M. Fontaine, W. Messing, « p-adic periods and p-adic etale cohomology », in Current trends in arithmetical algebraic
geometry, Contemporary Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, 1987, p. 179-207.
C. R. Mathématique, 2020, 358, n 9-10, 1045-1046


La vie et l’oeuvre de Jean-Marc Fontaine

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