Comptes Rendus Mathématique

Paul Balmer

Pablo Sanchez Ocal

Comptes Rendus
Mathématique
Paul Balmer and Pablo Sanchez Ocal
Universal support for triangulated categories
Volume 362 (2024), p. 635-637
Online since: 9 July 2024
https://doi.org/10.5802/crmath.576
This article is licensed under the
Creative Commons Attribution 4.0 International License.
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
C EN T R E
MER S ENN E
The Comptes Rendus. Mathématique are a member of the
Mersenne Center for open scientific publishing
www.centre-mersenne.org — e-ISSN : 1778-3569
Comptes Rendus. Mathématique
2024, Vol. 362, p. 635-637
https://doi.org/10.5802/crmath.576
Research article / Article de recherche
Algebra / Algèbre
Universal support for triangulated categories
Support universel pour les catégories triangulées
Paul Balmer a and Pablo Sanchez Ocal ,∗,a
a UCLA Mathematics Department, BOX 951555, Los Angeles, CA 90095-1555, USA
URL: https://www.math.ucla.edu/~balmer/
URL: https://pabloocal.github.io/
E-mails: balmer@math.ucla.edu (P. Balmer), socal@math.ucla.edu (P. S. Ocal)
Abstract. We revisit a result of Gratz and Stevenson on the universal space that carries supports for objects of
a triangulated category, in the absence of a tensor product.
Résumé. Nous revisitons un résultat de Gratz et Stevenson au sujet de l’espace universel équipé de supports
pour les objets d’une catégorie triangulée, en l’absence d’un produit tensoriel.
2020 Mathematics Subject Classification. 18F99, 18G80.
Funding. The first author was supported by NSF grant DMS-215375. The second author was supported by an
AMS-Simons Travel Grant.
Manuscript received 21 August 2023, revised and accepted 8 October 2023.
Throughout, T denotes an essentially small triangulated category. In [2], it was established
that if T is moreover a tensor-triangulated category then there exists a universal (final) space X
carrying a support datum for objects of T . In that context, a support datum on T consists of
closed subsets σ(a) ⊆ X for every object a in T satisfying
(SD 1) σ(0) =;,
(SD 2) σ(a ⊕b) =σ(a)∪σ(b) for all objects a,b ∈T ,
(SD 3) σ(Σa) =σ(a) for all objects a ∈T ,
(SD 4) σ(a) ⊆σ(b)∪σ(c) for every distinguished triangle a → b → c →Σa of T ,
(SD 5) σ(1⊗) = X ,
(SD 6) σ(a ⊗b) =σ(a)∩σ(b) for all objects a,b ∈T .
This universal space, denoted Spc(T ) and called the tt-spectrum of T , has become the basis of
tensor-triangular geometry. An early theorem in that field is that Spc(T ) can be used to describe
the lattice of thick ⊗-ideal subcategories of T . (We say “thick” to abbreviate “triangulated and
thick”.)
In view of this result, Buan–Krause–Solberg [1] and Kock–Pitsch [5] argued that lattice theory
should play the primordial role in this story. However Brüning [3] showed early on that, without
tensor, the lattice of thick subcategories is simply not distributive in general, already for the
derived category of the A2 quiver. Stevenson also pointed out that the same issue occurs in
algebraic geometry, e.g. for the projective line.
∗Corresponding author
ISSN (electronic): 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/
636 Paul Balmer and Pablo Sanchez Ocal
Leaving lattices aside, we can return to the original motivation and ask for a universal space
carrying supports for objects of T without the tensor-related axioms (SD 5) and (SD 6). And if
such a universal space exists, we can ask whether it recovers the lattice of thick subcategories.
After answering these questions, we realized that Gratz and Stevenson [4] implicitly provide a
solution, namely by combining their Proposition 5.3.3 and their Subsection 5.4. We hope there is
some didactic value in spelling out our answer.
Definition 1. A support datum on T is a pair (X ,σ) where X is a topological space and σ :
Obj(T ) → Closed(X ) associates to every object a ∈ T a closed subset σ(a) ⊆ X satisfying Condi-
tions (SD 1)–(SD 4). A morphism of support data f : (X ,σ) → (Y ,τ) is a continuous map f : X → Y
such that σ(a) = f −1(τ(a)) for all objects a ∈T .
The good news is: The universal support theory always exists.
Theorem 2. Every essentially small triangulated category T admits a final support datum.
Proof. Now comes the bad news. Define the set Sp(T ) as follows
Sp(T ) = {J ⊆T ∣∣J thick subcategory of T } (1)
together with the subsets sup(a) = {J ∈ Sp(T ) |a ∉J } for every object a ∈T . These give a final
support datum on T if we define a topology on Sp(T ) as having {sup(a)}a∈T as basis of closed
subsets. Let (X ,σ) be a support datum on T . Define f : X → Sp(T ) by
f (x) = {a ∈T |x ∉σ(a)}
for every x ∈ X . From σ being a support datum one checks that f (x) is a thick subcategory, so f
is well-defined. By definition of sup(−) and of f we have for every a ∈T
f −1(sup(a)) = {x ∈ X ∣∣ f (x) ∈ sup(a)}= {x ∈ X ∣∣a ∉ f (x)}= {x ∈ X |x ∈σ(a)} =σ(a).
This implies that f : X → Sp(T ) is continuous, and a morphism of support data. For uniqueness,
note that if g : (X ,σ) → (Sp(T ),sup) is another such morphism then we have
g (x) = {a ∈T ∣∣a ∈ g (x)}= {a ∈T ∣∣g (x) ∉ sup(a)}
= {a ∈T ∣∣x ∉ g−1(sup(a))}= {a ∈T |x ∉σ(a)} = f (x)
for all x ∈ X , using the definitions of sup and of f , together with g−1(sup(a)) =σ(a). □
Remark 3. The space Sp(T ) does “classify” all thick subcategories of T but in an extremely
dull way: It is itself the whole lattice. Unfortunately, the compression of information that prime
ideals allow in the tensor setting does not happen anymore. And this is not because of whimsical
choices in the construction (1). Being the solution to a universal problem, the space Sp(T ) does
not involve any choice. It is what it is.
Acknowledgments
We thank Greg Stevenson for explanations about [4]. We thank Henning Krause for mentioning
our viewpoint in [6].
Declaration of interests
The authors do not work for, advise, own shares in, or receive funds from any organization
that could benefit from this article, and have declared no affiliation other than their research
organizations.
Paul Balmer and Pablo Sanchez Ocal 637
References
[1] A. Bakke Buan, H. Krause and Ø. Solberg, “Support varieties: an ideal approach”, Homology
Homotopy Appl. 9 (2007), no. 1, pp. 45–74.
[2] P. Balmer, “The spectrum of prime ideals in tensor triangulated categories”, J. Reine Angew.
Math. 588 (2005), pp. 149–168.
[3] K. Brüning, “Thick subcategories of the derived category of a hereditary algebra”, Homology
Homotopy Appl. 9 (2007), no. 2, pp. 165–176.
[4] S. Gratz and G. Stevenson, “Approximating triangulated categories by spaces”, Adv. Math.
(2023), article no. 109073.
[5] J. Kock and P. Wolfgang, “Hochster duality in derived categories and point-free reconstruc-
tion of schemes”, Trans. Am. Math. Soc. 369 (2017), no. 1, pp. 223–261.
[6] H. Krause, “An analogue of Stone duality via support”, 2023. https://arxiv.org/abs/2307.
12391.


Universal support for triangulated categories

Yousra Gati

Vladimir Petrov Kostov

Mohamed Chaouki Tarchi

Further than Descartes’ rule of signs

Frédérique Le Louër

Boundary integral equation methods for Lipschitz domains in linear elasticity

Martin Halla

Peter Monk

On the analysis of modes in a closed electromagnetic waveguide

Claire Voisin

Comptes Rendus
Mathématique
Claire Voisin
Géométrie algébrique complexe, en mémoire de Jean-Pierre Demailly :
Avant-propos
Volume 362, Numéro spécial S1 (2024), p. 1-4
En ligne depuis le 6 juin 2024
Numéro publié le 6 juin 2024
Numéro spécial : Géométrie algébrique complexe, en mémoire de Jean-Pierre
Demailly
Rédacteur en chef invité : Claire Voisin (CNRS, Institut de Mathématiques de
Jussieu-Paris rive gauche, France)
https://doi.org/10.5802/crmath.627
Cet article est publié sous la license
Creative Commons Attribution 4.0 International.
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
C EN T R E
MER S ENN E
Les Comptes Rendus. Mathématique sont membres du
Centre Mersenne pour l’édition scientifique ouverte
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Comptes Rendus. Mathématique
2024, Vol. 362, Numéro spécial S1, p. 1-4
https://doi.org/10.5802/crmath.627
Avant-propos / Foreword
Géométrie algébrique / Algebraic geometry
Géométrie algébrique complexe, en mémoire de Jean-Pierre
Demailly / Complex algebraic geometry, in memory of Jean-Pierre
Demailly
Géométrie algébrique complexe, en mémoire
de Jean-Pierre Demailly : Avant-propos
Complex algebraic geometry, in memory of Jean-Pierre
Demailly: Foreword
Claire Voisin a
a CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche, France
The English version is available after the French version
Demailly est un spécialiste d’analyse et de géométrie algébrique complexes. Son œuvre s’ins-
crit dans une grande tradition mathématique, remontant à Riemann, qui étudie les variétés al-
gébriques sur le corps des nombres complexes sous l’angle de la géométrie différentielle com-
plexe et leur applique des méthodes qui peuvent être très analytiques. Par exemple, Hodge dé-
veloppa la théorie des formes harmoniques et l’appliqua aux variétés kählériennes compactes,
produisant le fameux théorème de décomposition de Hodge, qui reste de nos jours l’énoncé le
plus qualitatif dont on dispose concernant la topologie des variétés algébriques projectives sur
les nombres complexes. Il fut suivi de peu par Kodaira et son magnifique théorème de plonge-
ment, donnant la généralisation optimale du théorème de plongement de Riemann pour les sur-
faces de Riemann compactes. Demailly s’inscrit dans cette tradition et plusieurs de ses contribu-
tions majeures sont liées aux travaux de Kodaira qu’elles généralisent d’une façon spectaculaire
et extrêmement importante pour la géométrie algébrique moderne.
Demailly appartient aussi à l’école de Lelong, qui utilise l’analyse pour étudier des objets
beaucoup moins, voire pas du tout, réguliers, à savoir des courants au lieu de formes différen-
tielles. On sait que les fonctions holomorphes sur une variété complexe compacte connexe sont
constantes. On leur substitue donc des sections holomorphes de fibrés en droites holomorphes,
le quotient de deux telles sections fournissant une fonction méromorphe. C’est la « positivité » de
ce fibré en droites qui garantit l’existence de telles sections non identiquement nulles. Mais de
quelle notion de positivité s’agit-il ? Dans le théorème de Kodaira, la positivité est donnée par le
choix d’une métrique de classe C∞ sur le fibré en droites, telle que la forme de Chern, ou courbure
de la connexion de Chern associée, soit positive dans le sens le plus fort possible, c’est-à-dire soit
une forme de Kähler. La conclusion est alors que le fibré en droites est ample, ce qui est aussi la
plus forte notion de positivité pour un fibré en droites dont on dispose en géométrie algébrique.
ISSN (électronique) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/
2 Claire Voisin
Demailly a utilisé la théorie et l’analyse des courants de courbure associés à des métriques moins
régulières et cela lui a permis d’introduire et caractériser des notions moins restrictives de po-
sitivité, telles que la pseudo-effectivité, pour les fibrés en droites. C’est via les estimées L2 à la
Hörmander qu’il caractérise la pseudo-effectivité. En combinant ce type de techniques avec la
résolution d’équation de Monge–Ampère à second membre singulier, il a également été un pion-
nier sur le problème de la grande amplitude effective, où l’on demande quelles puissances ten-
sorielles d’un fibré en droites ample possèdent suffisamment de sections pour fournir un plon-
gement dans l’espace projectif.
Une variété complexe ou algébrique lisse possède toujours au moins un fibré en droites
holomorphe, à savoir son fibré canonique (qui peut être trivial). La géométrie birationnelle dans
sa forme moderne étudie les propriétés du fibré canonique. C’est un fait remarquable que les
formes pluricanoniques des variétés projectives lisses sont contravariantes sous les applications
rationnelles dominantes entre variétés de même dimension. L’une des grandes conjectures du
domaine est qu’une variété projective lisse est uniréglée, c’est-à-dire couverte par une famille
de courbes rationnelles (ou surfaces de Riemann de genre 0), si et seulement si elle ne possède
aucune forme pluricanonique non nulle (le « seulement si » étant facile). Dans le magnifique
article The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira
dimension [1], Boucksom, Demailly, Păun et Peternell montrent qu’une variété projective lisse
est uniréglée si et seulement si son fibré canonique n’est pas pseudo-effectif, ce qui est une
condition plus forte que l’annulation des plurigenres, mais l’énoncé constitue néanmoins un pas
important vers cette conjecture. Cet article fournit aussi une caractérisation duale (dans l’esprit
de Moishezon–Nakai) extrêmement intéressante du cône des diviseurs pseudo-effectifs.
Une autre contribution majeure de Demailly est l’article Numerical characterization of the
Kähler cone of a compact Kähler manifold [2] écrit avec Păun, où ils démontrent un superbe
résultat généralisant le critère de Moishezon–Nakai pour l’amplitude des fibrés en droites. Le
critère de Moishezon–Nakai dit qu’un fibré en droites est ample s’il est de degré strictement
positif sur toutes les courbes contenues dans la variété et plus généralement, les puissances de
sa forme de courbure (ou première classe de Chern) sont d’intégrale strictement positive sur tout
fermé algébrique (ou analytique) de la variété. Le théorème de Demailly–Păun étend ce résultat
à la positivité des classes de formes fermées de type (1,1) sur une variété kählérienne compacte.
Dans ce cas, la variété peut ne contenir aucune sous-variété complexe propre, mais leur résultat
est que le cône des classes (1,1) positives est une composante connexe du cône déterminé par la
positivité de toutes ces intégrales.
Demailly est également un leader en analyse complexe et il fait partie des rares mathémati-
ciens dont l’œuvre a une grande influence scientifique dans plusieurs domaines. Son école, l’en-
semble de ses étudiants et leurs orientations mathématiques, témoignent largement de cette ou-
verture. La raison pour laquelle je n’ai mentionné ci-dessus que certains de ses résultats liés à
la géométrie complexe (algébrique ou kählérienne) est non seulement le fait que je ne suis pas
moi-même compétente dans la partie « analyse complexe », mais aussi que le présent volume
rassemble des articles relevant pour la plupart de la géométrie algébrique complexe. Un autre
volume en hommage à Demailly, d’inspiration plus analytique, sera publié au PAMQ.
Jean-Pierre Demailly était un grand scientifique inspiré à la fois par l’analyse et la géométrie.
Il laisse une œuvre magnifique d’un impact considérable. Ce volume qui lui est consacré célèbre
la partie de son œuvre touchant la géométrie algébrique et rend hommage à une personnalité
exceptionnelle à tous points de vue.
Claire Voisin
CNRS, IMJ-PRG
Claire Voisin 3
English version
Demailly’s work is mainly devoted to complex analysis and algebraic geometry. It follows a
great mathematical tradition, going back to Riemann, where algebraic varieties over the field of
complex numbers are studied via complex differential geometry, using methods from analysis.
For example, Hodge developped the theory of harmonic forms and applied it to compact Kähler
manifolds, proving the famous Hodge decomposition theorem, which is still today the most
qualitative theorem concerning the topology of projective algebraic varieties over the field of
complex numbers. Soon after, Kodaira proved his magnificent embedding theorem, establishing
the optimal generalization in higher dimension of the Riemann embedding theorem for compact
Riemann surfaces. Demailly continues this tradition and several of his major contributions,
which are related to the work of Kodaira, generalize it in a spectacular and extremely important
way for modern algebraic geometry.
Demailly also belongs to the Lelong school, where analysis is used to study objects with
very low regularity, namely currents instead of differential forms. It is known that holomorphic
functions on a compact connected complex manifold are constant. We thus use as a substitute
holomorphic sections of holomorphic line bundles, the quotient of two such sections being a
meromorphic function. The “positivity” of this line bundle guarantees the existence of such
nonzero sections. The question is “which notion of positivity do we use ?”. In the Kodaira theorem,
positivity is given by the choice of a C∞ metric on the line bundle, such that the Chern form,
or curvature of the associated Chern connection, is positive in the strongest possible sense,
namely is a Kähler form. The conclusion then is that the line bundle is ample, which is also
the strongest positivity notion for a line bundle that appears in algebraic geometry. Demailly
used the theory and the analysis of curvature currents associated to less regular metrics and
this led him to introduce and characterize less restrictive notions of positivity, such as pseudo-
effectivity, for line bundles. He succeeded characterizing pseudo-effectivity via L2 estimates à
la Hörmander. Combining this type of technics with the resolution of singular Monge–Ampère
equations, he obtained pioneering results on the problem of effective very ampleness, where one
asks which powers of an ample line bundle have enough global sections to provide an embedding
in projective space.
A complex manifold or smooth algebraic variety always carries at least one holomorphic (al-
gebraic) line bundle, namely its canonical bundle (which can be trivial). Modern birational geo-
metry studies the properties of the canonical bundle. It is a remarkable fact that pluricanonical
forms on smooth projective varieties are contravariant under the dominant rational maps bet-
ween varieties of the same dimension. A big conjecture in the field is that a smooth projective
variety is uniruled, that is swept-out by a family of rational curves (or genus 0 Riemann surfaces),
if and only if it has no nonzero pluricanonical form (the “only if” being easy). In the superb article
The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimen-
sion [1], Boucksom, Demailly, Păun and Peternell prove that a smooth projective variety is uniru-
led if and only if its canonical bundle is not pseudo-effective, a condition which is stronger than
the vanishing of the plurigenera, but the statement is nevertheless an important step towards
the conjecture. This paper also provides a very interesting dual characterization (in the spirit of
Moishezon–Nakai) of the cone of pseudo-effective divisors.
Another major contribution of Demailly is the paper Numerical characterization of the Kähler
cone of a compact Kähler manifold [2], written with Păun, where they prove a superb result ge-
neralizing the Moishezon–Nakai criterion for the ampleness of the line bundle. The Moishezon–
Nakai criterion says that a line bundle an a smooth projective variety is ample if has strictly po-
sitive degree on all curves contained in the variety and more generally, the powers of its curva-
4 Claire Voisin
ture form (or first Chern class) have strictly positive integral on any closed algebraic (or analytic)
subset of the variety. The Demailly–Păun theorem extends this result to the positivity of classes
of closed forms of type (1,1) on a compact Kähler manifold. In this case, the manifold may not
contain any proper closed analytic subset, but their result is that the cone of positive (1,1)-classes
is a connected component of the cone determined by the positivity of all these integrals.
Demailly is also a leader in complex analysis and he is one of the few mathematicians whose
work is greatly influential in several areas. His school, his students and their mathematical
orientations, illustrate this breadth. The reason why I mentioned above only his results related
to complex geometry (algebraic or Kähler) is not only the fact that I am not myself competent in
the analytic aspects of his work, but also that mots papers presented in this volume are related
to complex algebraic geometry. Another volume dedicated to Demailly, with more emphasis on
analysis, will be published in PAMQ.
Jean-Pierre Demailly was a great scientist inspired both by analysis and geometry. His mathe-
matical work is splendid and highly influential. This volume dedicated to him emphasizes the
algebrogeometric aspects of his work and honors an exceptional personality.
Claire Voisin
CNRS, IMJ-PRG
Références
[1] S. Boucksom, J.-P. Demailly, M. Păun and T. Peternell, « The pseudo-effective cone of a
compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimension », J. Algebr. Geom. 22
(2013), no. 2, p. 201-248.
[2] J.-P. Demailly and M. Păun, « Numerical characterization of the Kähler cone of a compact
Kähler manifold », Ann. Math. 159 (2004), no. 3, p. 1247-1274.


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