Hakuoh University Repository / 白鷗大学機関リポジトリ

後藤,学

1．はじめに
筆者はこれまで，現行の教科書に縛られない教材開発の必要性から，海
外の数学の文化を取り入れた教材開発の研究に取り組んできた。2015年9
月に初めてイタリアを訪問した時に訪れた，フィレンツェのガリレオ博物
館（museo galileo）では，“Optical toy”という展示物に出会った。
　　　図1-1　ガリレオ博物館外観　　　　　　　　　図1-2　Optical toy　　
また，博物館のミュージアムショップでは多くの科学に関する書籍が販
売されており，その中にガリレオ博物館の解説書や，ガリレオやイタリア
15～18世紀の比例コンパス
後　藤　　　学１
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１白鷗大学教育学部
e-mail：mgoto@fc.hakuoh.ac.jp
白鷗大学教育学部論集
2025，19（1），203－217
ノート・資料
の科学に関する子ども向けの解説書があった。それにもOptical toyの解説
があったため，それを入手し新しい教材として導入できないかを検討し
た。研究の結果，Optical toyを使った新たな教材を開発し，その手順が妥
当であることを明らかにすることが出来た（後藤，2017）。
その後，2023年9月の2度目のガリレオ博物館では，コロナ禍の間にすっ
かり様変わりして，展示品の他にその解説動画を見ることができるモニ
ターが数多く設置されていた。その1つにコンパスの解説動画があり，日
本でよく目にするコンパスとは機能が全く違うことに驚かされた。その時
はいつか研究の対象になるであろうと，モニター画面を写真で撮影してき
ただけで研究をするまでには至っていなかった。しかし，2024年8月の3
度目の訪問では各展示室での展示品の動画による説明だけでなく，特別展
“CIRCINVS Proportional compasses from the 15th to the 18th century”（15
世紀から18世紀の比例コンパス）として開催されていた。
図1-3　特別展の案内
そこで，本稿では特別展で提示されていたコンパスの解説動画を翻訳す
ることで，15世紀から18世紀にかけての比例コンパスの機能や操作を考察
する。
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後　藤　　　学
2．コンパスの種類
図2-1　コンパスの種類1　　　　　　図2-2　コンパスの種類2
「コンパス」という用語には，製図，測定，比例計算のためのさまざま
な器具が含まれる。
図2-3　　　　　　　　　　　　　　　図2-4
古代から円周を描くために広く使われてきた一般的な分度器の他に，ル
ネッサンスは特殊な機能のために設計された多くの種類のコンパスを私た
ちに授けた。
図2-5　楕円コンパス　　　　　　　　 図2-6　ディバイダ
楕円，双曲線，放物線を描くための楕円コンパス。線を分割したり測定
した長さを写し取ったり，ディバイダと呼ばれる2点コンパス。
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15～18世紀の比例コンパス
図2-7　航海用コンパス1　　　　　　図2-8　航海用コンパス2
海図上で航路をたどるための航海用コンパス。
図2-9　ノギスコンパス1　　　　　　図2-10　ノギスコンパス2
大砲の砲口，砲弾，柱の直径を測定するための湾曲した先端を持つノギ
スコンパス。
図2-11　3点コンパス　　　　　　　 図2-12　4点コンパス
地図を再現するための3点コンパス。
図面を拡大または縮小したり，線や円周を比例分割したり，多角形を描
いたりするための4点コンパス，または縮小コンパス。
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図2-13　8点コンパス
角度の分割数を測り，比例計算を行うための点コンパス。
図2-14　大砲の角度
算術，幾何学，三角法の計算，重量，傾斜や軍事利用のための距離の測
定に使用できる比例コンパス。
図2-15　地形コンパス1　　　　　　　図2-16　地形コンパス2
磁気コンパス，風向計，測量や地形図作成のための光学照準器がついた
高度な地形コンパス。
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15～18世紀の比例コンパス
3．ガリレオのコンパス　3つのルール
　　　図3-1　比　　　　　　　　　　図3-2　内積・外積の計算
中世以来，いわゆる「3の法則」は，3つの既知の数を持つ幾何学的比率
の4番目の未知の数を決定するために使用されていた。比率が，80：120
＝100：x である場合，平均値の積と最大値の積の等式を決定することに
よって未知の数を求めることができる。
図3-3　計算結果
つまり，結果は120と100を掛けて80で割ったもの，150となる。
図3-4　マークの仕方1　　　　　　　　図3-5　マークの仕方2
コンパスを使って操作を完了するには，算術線上で120を測定し，その
長さを80とマークされた点の間で横方向に転送する。
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 図3-6　マークの仕方3　　　　　　　　　　 図3-7　計算結果
次に，100とマークされた点の間の測定値を算術線に移すと，結果150
になる。
4．ガリレオのコンパス・比例の線
図4-1　算術線
算術線： 250等分された目盛り。加算，減算，乗算，除算に使用する。
図4-2　幾何学線
幾何学線： √1から√50に分割された比例スケール。2次元図形の幾何
学的演算や平方根の抽出に使用する。
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15～18世紀の比例コンパス
図4-3　立体線
立体線： 3√1から3√140に分割された比例スケール。正多面体に対する
幾何学的演算や立方根の抽出に使用する。
図4-4　金属線
金属線：同じ重さのさまざまな材料で構成された球の直径を示す比例定
規。砲兵が発射対の光景を計算するために使用する。
図4-5　ポリグラフィックライン
ポリグラフィックライン：同じ辺を共有する正多角形に外接する円の半
径を示す比例定規。正多角形を描画し，円を均等に分割するために使用す
る。
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図4-6　四角形線
四角形線：同じ面積を持つ正多角形の辺を示す比例定規。正多角形の面
積を決定する。
図4-7　追加線
追加線：同じ線上に描かれた2つの比例目盛り。扇形の面積を決定する。
外側のスケールを20等分して，同じ弦を持つ円弧の矢状面を示す。内側
の目盛りには，それぞれの円扇形に等しい面積の20個の正方形の辺が表
示される。
図4-8　砲撃用スケール
砲撃用スケール：12等分された目盛り。大砲の仰角を測定するために
使用する。
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15～18世紀の比例コンパス
図4-9　天文象限
天文象限：90等分されたスケール。地平線上の星の高度を測定する。
図4-10　傾斜象限
傾斜象限：壁の高さと崖の間の比率1対1.5から1対10の比率まで，壁の
傾斜をマークするために使用される。
図4-11　シャドウスクエア
シャドウスクエア：外接正方形の辺を等分割して円弧に投影することで
得られる。200の不等分割スケール。アクセスできない距離の測定に使用
する。
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5．セクター –昔ながらの万能計算機–
新しい多目的計算補助機器を発明する努力の中で，ルネサンスの学者
たちは数多くの普遍的な道具を開発した。そのような計器の1つに，セク
ターコンパスまたは比例コンパスがある。16世紀から19世紀にかけて算
術や幾何学の問題を解くために使われた（図5-1）。
図5-1　大砲の角度
これらは真鍮，木，象牙，またはこの場合は銀で作られることもある。
セクターで計算を実行するにはディバイダを2つ使用する必要がある。さ
まざまなバリエーションがあるにもかかわらず，ほとんどのセクターは同
様の構造になっている。それらは，角度の側面を形成する2本の平らな脚
で構成されている。これらは，一方の端のヒンジによって互いに接続され
ている。したがって，セクターを完全に開いて，まっすぐな定規を形成す
ることができる。両方の定規には対称的に，つまりペアで同一の異なる目
盛りが刻まれている。これらのスケールは，さまざまな数学的および実践
的な問題解決が可能である（図5-2）。
図5-2　真っ直ぐになったセクター
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15～18世紀の比例コンパス
しかし，セクターは具体的にどのように機能するのだろうか。まず幾何
学の歴史的な始まりを見てみる。扇形は相似三角形の基本的な性質を利用
する。相似三角形の対応する辺は互いに比例する。そして，対応する角度
はすべて一致する。この比例関係から，幾何学における最も重要な記述の
1つが導き出される（切片定理）。
図5-3　切片定理
切片定理は古代ギリシャの哲学者と数学者によって考案された。ミレト
スのタレスによって提唱されたため，タレスの定理とも呼ばれる。しか
し，ドイツ語圏では，この定理は通常「Strahlensatz」と呼ばれている。
円周角の定理と混同しないようにするためである。
図5-4　タレス
この定理の前提条件は共通の中心から始まる2本の光線と，2本の平行
な直線によって交差していることである。
この図から2つのことが言える。最初のものは，光線セグメントの関係
を定義する。1つのレイ上の2つのセグメントは，2番目のレイ上の対応す
るセグメントと同様に動作する。2番目の文は光線セクション間の関係を
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後　藤　　　学
記述する。
および並行セクション：この定理によれば，平行線上の断面の長さは中
心から放射される光線セクションと同様に動作する。
図5-5　セグメントの関係
伝説によれば，タレスは彼の定理を使って，エジプトのクフ王のピラ
ミッドの高さを決定するために，彼はまずピラミッドの辺の長さとその影
の長さを決定した。そしてピラミッドの前の地面に棒を垂直に立てた。そ
してその長さとその影の長さも測定した。切片定理の2番目のステートメ
ントの助けを借りて，ピラミッドの高さを与えられた測定値から計算でき
るようになった。この有名な例はミレトスのタレスに帰せられるが，この
定理をさらに詳しく述べたのはアレクサンドリアの数学者ユークリッドで
あった。そしてそれを論文「原論」で証明した。
図5-6　ピラミッドの高さ
これらは，セクターの使用の基礎となる数学的原理であり，一対のディ
バイダを使用する。このセクターはアナログ機器なので，計算プロセスは
セクションの測定に置き換えられる。2つの計算例から，単純な比の方程
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15～18世紀の比例コンパス
式（切片定理による）が問題であることがわかる。最も簡単なタスクの1
つは，線を均等な部分に分割することである。計算は次の2つのステップ
で行われる。まず，被演算子は算数のスケールに沿って除算器を使用して
測定される。次に，セクターは2つの反対のポイント間の距離が仕切りに
よって測定された値に対応するまで開かれる。2番目の要素は，脚の長さ
の比率（measure）を示し，結果は脚の距離としても測定される。この距
離は算術スケールを介して再び解釈される。
例えば，ある距離の10分の1を計算したい場合，初期値80は脚間の脚の
長さ100の距離として設定される。
図5-7　ディバイダとセクター
その結果，設定距離の10%が目盛り4と目盛り10の両脚間の距離として
測定できる。例えば距離の33%を計算したい場合は，結果は，対応する
スケールの33のマーキング5の脚の距離として簡単に読み取ることができ
る。この比率の式を巧みに変換することでセクターの助けを借りて乗算を
実行することもできる。80×33を計算するには，結果の小数点をシフト
するだけでよい。2桁右に移動する。これは結果に100を掛けることに相
当する。これにより，求めている結果2640が得られる。
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後　藤　　　学
6．考察
比例コンパス（proportional compass）**とは，主に製図や測量，数学的
な作図に使われる道具で，異なる比率で長さを測定・転写するためのコン
パスである。一般的なコンパスとは異なり，2本のアームがヒンジでつな
がれており，スライダーや調整ネジを使って比率を変更できる。
主な用途としては，図形の拡大・縮小，設定した比率で長さを測定し，
別の場所にそのまま転写できる。測量や地図作成では，縮尺を適用して，
地図や図面の距離を測る際に便利である。幾何学的な作図では，黄金比な
ど特定の比率を保ったまま図形を描く際に使用する。建築やデザインで
は，比率を調整しながら，美しいデザインを作るために活用したりする。
構造と特徴としては，2組のポイント（針や鉛筆など）を持ち，スライ
ダーや調整ネジで比率を調整可能である。古代ギリシャやルネサンス期の
数学者や建築家も使用していた。
7．終わりに
今回はガリレオ博物館で展示されていた動画を調査してきたが，主な用
途と構造が分かっただけであり，文字盤の詳しい検討や具体的な使用方法
までは分析することが出来なかった。図録やガリレオ博物館のwebサイト
に掲載されているアーカイブなどを引き続き調査し，より詳しい検討を行
う予定である。
参考・引用文献
CIRCINVS, Firenze, Museo Gallileo, 28 giugno - 15 settembre 2024.
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15～18世紀の比例コンパス



Japanese

15～18世紀の比例コンパス

上野,義雄

学校英文法の句、節、基本５文型を検討する

益井,公司

Zum Schmerzensgeld im Zusammenhang mit der Ehescheidung:―Anlässlich einer Frage des Verzugseintrittzeitpunktes bei Zahlung von Schmerzensgeld―

田中,嘉彦

英国における議院内閣制の史的展開と変容

論集委員長
論 集 委 員
　　青　﨑　智　行
　　藤　浪　英　也
禁無断転載
2024年９月20日　印刷
2024年９月30日　発行
第　39　巻　第　１　号
頒価（送料とも実費販売）
白鷗大学論集
白鷗大学　　　経営学部
栃木県小山市駅東通り2-2-2
編集発行人
白 鷗 大 学
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栃木県小山市駅東通り2-2-2
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電　話 0287－82－2688 ㈹
印刷所
白鷗大学経営学部
論集委員会
執 筆 者 紹 介（掲載順）
関　戸　冬　彦
Devon Arthurson
呉　　　　　庭
李　　　　　丹
上　野　義　雄
八　尾　政　行
白 鷗 大 学 法 学 部 教 授
白 鷗 大 学 教 育 学 部 講 師
上海第二工業大学外国語講師
文 化 伝 播 学 院 講 師
白鷗大学経営学部非常勤講師
白鷗大学教育学部非常勤講師
早 稲 田 大 学 名 誉 教 授
白 鷗 大 学 経 営 学 部 講 師


奥付

川上,生馬

改正前民法724条後段の起算点に関する序論的考察：―最高裁令和３年４月26日第二小法廷判決を題材として―

浅木,尚実

山路,千華

鄭,暁琳

子育て支援と保育実践： ―絵本力とアタッチメント

奥田,順也

休符の名称と形状の定着を図る小学校音楽科の常時活動の教材の開発： ―《やまびこごっこ》の替え歌《休符を描く歌》―

小松,幹太

伊勢,正明

秋田県を例にした知的障害者のバスケットボール競技の実践と発展

関戸,冬彦

Why Did Drucker Like Jane Austin’s Works?  　– A Study on Inner Innovation

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