St. Andrew’s Repository System (STARS) / 桃山学院大学学術機関リポジトリ

金江　亮

はじめに
金江［２０２２］では，消費財生産部門，資本財生産部門が多数あり，すべての
生産関数が１次同次のコブ・ダグラス型生産関数で，本源的生産要素が労働
のみで，資本をすべてフローとした場合に，各財の生産量が労働に比例する
という意味での労働価値説を数理的に証明した。しかし，そもそも価格や，
財の生産に直接間接に必要な投下労働量＝価値は考慮外であった。
また，金江［２０２３］では，ソローモデルの黄金律，すなわち定常状態の中で
も特に消費量最大となる場合には，限界原理に基づく価格と，直接間接に必
要な投下労働量である価値が完全に一致するという狭い意味での労働価値説
が成り立っていることを証明した。
では，この２つを組み合わせて考えて，１次同次の生産関数からなる新古
典派的な多部門モデルの黄金律において，限界原理・最適化行動に基づく価
格と，価値が比例するという狭い意味での労働価値説は成り立っているだろ
うか？
本稿では最初に，ソローモデルは，最終生産物が投資にも消費にも使える
という点で，マルクスの２部門モデルでなく，通常，労働価値説と結びつけ
て論じられることはないが，本源的生産要素が労働のみという，これまでの
マルクス派最適成長論の前提としていた仮定が成り立っていることを確かめ
る。
次に，消費財・資本財の２部門モデルの場合で，その後資本財ｎ部門・消
多部門モデルの黄金律と労働価値説
キーワード：労働価値説，限界原理，１次同次，価値，資本蓄積の黄金律
金 江 亮
１６９
：資本
：労働（定数）
：最終生産物
：投資
：貯蓄率（０≤ s ≤１）
：消費財
：減価償却率（０≤ δ ≤１）
：K の時刻t での微分
：１次同次生産関数
費財ｍ部門の多部門モデルの場合に，黄金律に相当する消費量最大化の最適
化の定常状態で，価値と価格が一致する労働価値説が成り立つことを示す。
ソローモデル
金江［２０２３］で取り上げたソローモデルの黄金律と労働価値説について，簡
単に振り返っておく。ソローモデルは，以下のように定式化できる。
消費量最大化問題
s．t．
初期資本 は労働のみで作られているとは言えないが（それは２部門コ
ブ・ダグラス型マルクス派最適成長モデルでも同じ），ごく小さい値（例えば
０．０００１）から出発した，と思えば，ソローモデルもよくよく見れば労働が唯
一の本源的生産要素のモデルと思える。初期資本と労働で，最終生産物を生
産する。それを資本蓄積と消費に回す。
ごく小さい値から出発したという想定は恣意的に思えるかもしれないが，
資本蓄積の式 は，時刻t を負の値に遡ることも形式上でき
て，そうすると無限に遡ればいくらでも小さくできる。そう考えると，限り
１７０ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
：資本
：資本財部門に配分される資本
：消費財部門に配分される資本
：労働（定数）
：資本財部門に配分される労働
：消費財部門に配分される労働
：消費財
：消費財Y から得られる効用
：減価償却率（０≤ δ ≤１）
：K の時刻t での微分
：資本財部門の１次同次生産関数
：消費財部門の１次同次生産関数
なく労働のみで生産されているとみなすこともできる。
この考え方は，金江［２０１３］で資本財・消費財が２部門ともにコブ・ダグラ
ス型のマルクス派最適成長論のモデルで，本源的生産要素が労働のみとみな
したのと基本的に同じである。
このソローモデルの黄金律において，価値と価格が一致することを金江
［２０２３］で示したが，ここでいう価格は限界原理に基づいた価格であり，新古
典派の枠組みの価格と，マルクスの投下労働価値が一致しているというのが
帰結であった。
以下では，これがソローモデルでなく，２部門モデルや多部門モデルでも
成り立つことを示す。
２部門モデル
２部門モデルは，以下のように定式化される。
ソローモデルにおける黄金律は，定常状態において消費量最大化の状態で
ある。そのため，さきほどと同じく追加的な条件として が入ってい
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １７１
る。これは，マルクス派２部門モデルにおける黄金律だと考えることができ
る。
ラグランジアンを以下のようにおく。
なお，ラグランジュ乗数は経済学的には以下のように解釈できる。
効用単位で測って
：資本財価格
：消費財価格
：資本レンタル
：（名目）賃金率
１階条件を求める。
（１）
（１）から， などの８つの変数は値が決まる
ことに注意する。（１）は６つの等式であり， と合
わせて等式はすべてで８つであるからである。
また，生産関数は１次同次だからオイラーの定理より
が成り立っていることに注意すると，以下の式が成り立つことが分かる。
１７２ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
（２）
次に，価値方程式を求める。
：資本財１単位の価値
：消費財１単位の価値
とする。
生産に使用される資本財は，減価償却分だけ生産物に価値が移転する，と
して価値方程式は以下となる。
（３）
（２）（３）が一致することを，これから示す。
（２）の両辺を で割って労働単位にして，（１）を用いると
（４）
（３）（４）の上式より であり，これから
や であることも分かる。
まとめると， となり，価値と価格が完全に
一致していることが分かる。それぞれ，左辺は投下労働量，右辺は支配労働
量になっている。特に，定常状態においては減価償却分の価値は，レンタル
の支配労働量と一致している。
ここで注意しないといけないのは，ソローモデルの場合もそうであった
が，単に定常状態というだけでは価値と価格が一致するわけでなく，消費量
最大化の黄金律の状態，すなわち最適化行動の結果として労働価値説が成立
している。つまり，１次同次の新古典派生産関数で考える限り，価値と価格
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １７３
が一致するという意味での労働価値説は最適化の結果として成り立つことが
分かる。
計算上は，最適化行動のあるなしに関わらず，投入・産出の物量と生産関
数から価値を求めることはできるが，それは価格とは一致しない。
多部門モデル
金江［２０２２］では，消費財・資本財が多部門の定式化であった。このモデル
でも，同じ結果が成り立つ。繰り返しになるため，簡単に書く。
：資本
：第j 資本財部門に配分される第資本財
：第j’ 消費財部門に配分される第資本財
：第資本財
：労働（定数）
：第資本財部門に配分される労働
：第’ 消費財部門に配分される労働
：消費財
：消費財Y1, Y2, …, Ym
から得られる効用
：第資本財の減価償却率（０≤ δ i ≤１）
：K の時刻t での微分
：第資本財部門の１次同次生産関数
：第’ 消費財部門の１次同次生産関数
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
１７４ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
…………………………………………………
ラグランジアンを以下のようにおく。
なお，ラグランジュ乗数は経済学的には以下のように解釈できる。
：第i 資本財価格
：第i’ 消費財価格
：第i 資本財のレンタル
：（名目）賃金率
効用単位と思っても円単位と思ってもよいのは，２部門モデルの場合と同
様である。
１階条件を求める。
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １７５
（５）
これから，以下の価格方程式が成り立つ。
（６）
また，価値方程式は以下となる。
（７）
行列で（７）の上式を書き直すと，
（８）
また，（６）を賃金率 で割って，（５）の最下式を用いると
１７６ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
（９）
行列で（９）の上式を書き直すと
（１０）
（８）（１０）から，係数行列が正則のとき
となり，またこれと（７）（９）の下式から， であ
ることも導かれる。
結局， （１１）
となり，価値と価格は一致する。
正則でないときはもちろん，（１１）は導けないが，その場合でも逆に（１１）が
成り立つならば（６）（７）は一致するので（１１）は価値方程式と価格方程式が一致
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １７７
するための十分条件にはなっている。また，現実経済では価格は存在するこ
とから正則行列になっているはずなので，最初から正則と仮定しておいても
よいだろう。
結語
金江［２０１３］第１０章では，ラムゼーモデルにおいて，時間選好率 が０に
近いほど，定常状態で価値と価格との乖離が０に近づくことを示している。
本稿でのすべてのモデルの黄金律は，時間選好率 を０とした状態“のよ
うなもの”と思えば，価値と価格が一致していることは自然な結果である。
金江［２０２２］での多部門モデルにおいて成立すると示された労働価値説は，
あくまで各財の生産量が投下労働量に比例するということだけで，最適化行
動は全く前提とされておらず，またそもそも，価格と価値の式を立てて求め
ることもしていなかった。つまり，通常とは異なった定義の労働価値説で
あった。
本稿のモデルは，定常状態における消費量最大化という最適化の条件とい
う制約を課す代わりに，限界原理に基づく価格と，その財の生産に直接間接
に必要な投下労働量である価値が比例するという通常の，狭い意味での労働
価値説が成り立っていることを示せたのが新しい点である。
ただし，係数行列が正則としたが，正則の条件は一般に満たされるだろう
とはいえ，数学的に検討する余地は残っている。
また，本稿では狭い意味での労働価値説は黄金律という限定された条件で
しか成り立たないということを示したとも言えるが，これを黄金律や定常状
態，時間選好率 が正といったもっと一般的な条件下で，価値の定義を修
正することで，価値と価格が一致することを示せることを探るのが，今後の
検討課題である。
１７８ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
参考文献
石山健一［２０１６］「第３章ソロー成長モデル」國士舘大學政經論叢第２８巻第３号，国
士舘大学政経学会。
大西広［２０２０］『マルクス経済学 第３版』慶應義塾大学出版会。
置塩信雄［２００４］『経済学と現代の諸問題─置塩信雄のメッセージ』大月書店。
金江亮［２０１３］『マルクス派最適成長論』京都大学学術出版会。
金江亮［２０２２］「固定係数でない多部門モデルにおける労働価値説」桃山学院大学経済
経営論集第６４巻第３号，pp．７９-９２。
金江亮［２０２３］「ソローモデルと労働価値説」桃山学院大学経済経営論集第６４巻第４
号，pp．４９７-５０４。
ロバート・M．ソロー，福岡正夫（訳）［２０００］『成長理論 第２版』岩波書店。
R．J．バロー／X．サラ-イ-マーティン，大住圭介（訳）［２００６］『内生的経済成長論Ⅰ［第２
版］』九州大学出版会。
Hiroshi Onishi,Shunya Yoshii [2019] “A Proof of Labor Theory of Value Based on
Marginalist Principle.” World Review of Political Economy volume 10, Issue 1.
Ramsey, Frank [1928] “A Mathematical Theory of Saving.” Economic Journal, 38,
December, 543-559.
（かなえ・りょう／経済学部准教授／２０２３年９月２２日受理）
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １７９
Golden Rule of a Multi Sector Model and
Labor Theory of Value
Ryo Kanae
Kanae [2022] mathematically proved the labor value theory in the sense
that the output of each good is proportional to labor when there are many
consumption goods production sectors and capital goods production sectors,
when all production functions are linear homogeneous Cobb-Douglas type,
and when the only primary production factor is labor and all capital is a
flow. However, it did not take into account the price or the amount of labor
invested, which is directly or indirectly necessary for the production of the
good, or its value.
Kanae [2023] also proved that in the golden rule of the Solow model, i.e.,
in the steady state, especially when consumption is at a maximum, the
theory of labor value in the narrow sense that price, based on the marginal
principle, and value, which is the amount of directly and indirectly
necessary invested labor, are perfectly consistent.
So, considering the two in combination, does the labor theory of value
hold in the narrow sense that value is proportional to price based on the
marginal principle and optimization behavior in the golden rule of the
neoclassical multi-sector model consisting of linear homogeneous production
functions?
In this paper, we first confirm that the Solow model is not Marx’s two-
sector model in that the final product can be used for both investment and
consumption, and is not usually discussed in connection with the labor
value theory, but the assumption that the only primary factor of production
is labor, which has been the assumption of the Marxist optimal growth
theory so far, does hold. We confirm that the assumption of Marxian
optimal growth theory that the only primary factor of production is labor
１８０ 桃山学院大学経済経営論集 第６５巻第３号
holds.
Next, in the case of the two-sector model of consumption and capital
goods, and then in the case of the multisector model of n sectors of capital
goods and m sectors of consumption goods, we show that the labor value
theory, in which value and price coincide in the steady state of optimization
of consumption maximization corresponding to the golden rule, is valid.
多部門モデルの黄金律と労働価値説 １８１


Japanese

多部門モデルの黄金律と労働価値説

高村　幸典

大島　一二

Japanese Companiesʼ Withdrawal from China　ー Focusing on the Cases of Japanese Companiesー

竹内真澄

「法の支配」再考

寺田　友子

戸籍制度とマイナンバー

河野　敏也

Erlaubnis zur Umgestaltung des Urteilsgegenstandes

VOL．６６ NO．２ October ２０２４
Articles
The Actual Working Conditions of Construction
Employees in China’s Building Industry
A Questionnaire Survey of Construction Employees in S City,
Henan Province
……………………………………LI Laifeng （ １ ）
OSHIMA Kazutsugu
Expansion of Pesticide and Chemical Fertilizer
Applications and Soil Pollution in China
…………………………………RUAN Yili （２３）
OSHIMA Kazutsugu
Current Status and Issues of Fruit Distribution Problems in China
A Case Study of Cherry Peach Distribution in X Village,
District L, Qingdao City
……………………………ZHONG Yixiao （４５）
OSHIMA Kazutsugu
The Actual Situation of Dispatching Workers to Japan in Myanmar
Focusing on the Survey of Sending Agencies to Japan
…………………THINN THINN KHAINE （６１）
OSHIMA Kazutsugu
Published by the Research Institute,
St. Andrew’s University
1-1 Manabino, Izumi, Osaka 594-1198, Japan


English

CONTENTS66(2)

江藤，隆之

スペインにおける性犯罪規定の変遷：  1995 年制定時，2022 年改正以前， 2022 年改正時，2023 年改正以降

中村, 浩也

舞, 寿之

Research on the Value and Utilization of Sports in the Age of Well-Being: Social Significance and Challenges of Regional Sports and Community Collaboration Projects

今宮, 信吾

Vocabulary Teaching in Japanese Literature Educational Materials in Elementary Schools: A Comparison of "Letters" in Textbooks

奥付(6)

Not a member yet