Waseda University Repository

Musashi, Yuka

武蔵, 由佳

Traditional Chinese

児童期青年期の友人関係研究の展望 -友人関係の構造, 発達的変化, 個人内要因の視点から-

二三号（二）
N
o. 23-2,  2015
No.23-2, 2015
２３号 -２
No.23-2, 2015
Waka Poems of Michitomo Minamoto: 
Sengohyakuban Uta-Awase, Love and Miscellaneous Poems ···········Yuri KOMEDA ···     1
A Study on the Difference in Awareness of Entrance into 
Graduate Education between Academic Degree Students 
and Professional Degree Students in China··················································Jina, HAN ···     1
The Prospect of the Study on Friendship in Childhood 
and in Adolescence. 
― Perspective from the Friendship Structure, the Developmental 
　　 Transformation, and from the Intrapersonal Factors ― ······ Yuka MUSASHI ···   13
The Prospect of the Study of Humor on Educational Field in Japan 
········································································································Akihiro KAWAMURA ···   25
Exploring Disaster Education in Ishinomaki City 
after the Great East Japan Earthquake ···········································Yuna HAYASHIDA ···   37
An Opportunity of Learning at the University Museum 
― The Case of Volunteer Work ― ··································Momoko YAMAMOTO ···   49
The Relationship between Types of Acquiring Fundamental 
Competencies for Working Persons and Ego Identity 
in University Students ·············································· Mai ISERI, Shigeo KAWAMURA ···   61
History Education of the International 
Baccalaureate Diploma Programme 
― An Analysis of Assessment Objectives ― ··············· Naoyoshi HASHIMOTO ···   73
Analyze the Efforts of Business Improvement of Schools 
―  Based on the Description of the Contents of the Individual 
　　 Improvement Cases of “Faculty-business Improvement 
　　Manual to Reduce the Work Burden of Teachers”  ― ·······Hiroaki KOJIMA ···   85
Secondary Education for Japanese Boys in Tianjin 
― Focus on Tianjin Japanese Business School ― ····································Xue, LI ···   97
Multisensory Method in Arithematic Division ············································ Yasuko IKEDA ··· 109
Rethinking the Goldhagen Controversy: 
New Perspecives through a Comparison with Arguments 
in America ·································································································Daisuke SATO ··· 123
Geography Teacher Education in Germany since 2000 ···················· Ryuta YAMAMOTO ··· 135
CONTENTS


English

表紙、裏表紙、CONTENTS

Kumagai, Keijiro

Kawamura, Shigeo

熊谷, 圭二郎

河村, 茂雄

高校生に対する協同学習の効果に関する検証 -古典における協同学習実施クラスの3ヶ月後の変化-

　　　　
執筆者紹介
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刊行委員??
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Japanese

執筆者紹介、刊行委員

Noboriguchi, Dai

登口, 大

1ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）早稲田大学　教育・総合科学学術院　学術研究（自然科学編）第 64号　1～ 6ページ，2016年 3月
ある確率微分方程式に対するL1-理論
登口 大
1 導入
本研究では確率微分方程式
du = Φ(u)dW (t), x ∈ D, t ∈ (0, T ) (1.1)
を考える. (Ω,F , (Ft), P )をフィルター付き確率空間, Dを Rd の有界領域,
Φは L2(D)から Hilbert-Schmidt型作用素の空間 L2(H : L2(D))への写像
とする. W は柱状Wiener過程, すなわち, W =
∑
k≥1 βkek なるものである.
ここで, βk は互いに独立な Brown運動, (ek)k≥1 は Hilbert空間H の完全正
規直交基底である. 本研究の目的は L1(D)の枠組みで方程式 (1.1)の解の存
在を捕えることである. 従って, Φは通常の意味では定義されないことを注意
しておく (定義 2.1を見よ).
本研究は有界領域D上の確率保存即方程式:
du+ divA(u)dt = Φ(u)dW (1.2)
の L1(D)の枠組みにおける kinetic解の存在性の議論を見据えた研究である.
そのため, 定義 2.1では方程式 (1.2)などで用いられる kinetic法による解の
定義を採用している.
Debussche, Vovelle [DeVo10], [DeVo14] により周期領域上の確率保存則方
程式に対する Lp 理論が研究された. さらに [DeVo14(2), Appendix]におい
て周期領域上の加法的な確率項 (Φが uに依存しない)に対する L1理論が展
開された. 有界領域上の保存則方程式に対する Lp理論についてはKobayasi,
Noboriguchi [KoNo14]の結果があるが, 流束関数Aに対してやや強い仮定を
課していた. 適切な仮定の下で有界領域上の保存則方程式を解くことが目的
であり, L1理論の枠組みにおいてはその強い仮定をせずとも理論展開ができ
ることを期待している. そこでまずは乗法的な確率項のみの方程式に注目し
て [DeVo14(2)]で用いられた L1 理論が適用できることを確かめたい.
本研究では, Φに対して次の仮定 (H)を与える.
(H) 各 z ∈ L2(D)に対して Φ(z) : H → L2(D)は Φ(z)ek = gk(·, z(·))によ
り定義される. ここで, gk ∈ C(D × R)はすべての x, y ∈ D, ξ, ζ ∈ R
1
ある確率微分方程式に対する L1-理論
登口　　大
2 ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）
に対して条件
|gk(x, ξ)| ≤ Ck(1 + |ξ|) (1.3)
|gk(x, ξ)− gk(y, ζ)| ≤ Ck(|x− y|+ |ξ − ζ|1/2r(|ξ − ζ|)) (1.4)
を満たすものとする. ここで Ck は
∑∞
k=1 C
2
k < +∞, r : R+ → R+ は
r(0) = 0なる非減少連続関数とする.
Φ の仮定, 特に (1.3) により, 任意の z ∈ L2(D) に対して Φ(z) ∈ L2(H :
L2(D))であることが保証される. 実際,
∥Φ(z)∥2L2(H:L2(D)) =
∞∑
k=1
∥Φ(z)ek∥2L2(D) =
∞∑
k=1
∫
D
|gk(x, z(x))|2 dx
≤
∞∑
k=1
∫
D
C2k (1 + |z(x)|)2 dx = C
∫
D
(1 + |z(x)|)2dx < +∞.
仮定 (1.3)は Debussche, Vovelle [DeVo10], [DeVo14], [DeVo14(2)] が用いた
仮定:
∞∑
k=1
|gk(x, ξ)|2 ≤ C(1 + |ξ|2)
よりもわずかに強い. しかし, 乗法的な確率項に対する L1(D)理論において
適切なアプリオリ評価 (3.1)を得るためには (1.3)の仮定が自然な仮定である
ように思える.
2 解の定義と主結果
定義 2.1 (解). u0 ∈ L2(Ω,F0, dP ;L1(D))とする. u ∈ L2(Ω×[0, T ),P, dP⊗
dt;L1(D)) ∩ L2(Ω;L∞(0, T ;L1(D)))が初期条件 u0 を持つ (1.1)の解である
とは次が成り立つときをいう:
すべての φ ∈ C∞c (D × R)に対して, P -a.s., a.e. t ∈ [0, T )で∫
D
∫
R
f(t, x, ξ)φ(x, ξ) dξdx−
∫
D
∫
R
f0(x, ξ)φ(x, ξ) dξdx
=
∞∑
k=1
∫ t
0
∫
D
gk(x, u(s, x))φ(x, u(s, x)) dxdβk(s)
+
1
2
∫ t
0
∫
D
G2(x, u(s, x))∂ξφ(x, u(s, x)) dxds. (2.1)
ここで, P は (Ft)に対応する Ω × [0, T )上の可予測 σ-加法族, f(t, x, ξ) =
1u(t,x)>ξ, f0(x, ξ) = 1u0(x)>ξ, G
2(x, ξ) =
∑∞
k=1 |gk(x, ξ)|2 とする.
2
3ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）
注意 2.2. 数式 (2.1) を扱う手法は kinetic 法と呼ばれる. その導出方法は
[DeVo10], [DeVo14]などを参照せよ.
注意 2.3. 初期条件が u0 ∈ L∞(Ω,F0;L∞(D)) ならば定義 2.1 の意味で
の解の存在と一意性が知られている. さらに, u, v を初期条件 u0, v0 ∈
L∞(Ω,F0;L∞(D)) に対する (1.1) の解とするとき, L1-縮小性, すなわち,
a.e. t ∈ [0, T ),
E∥u(t)− v(t)∥L1(D) ≤ E∥u0 − v0∥L1(D) (2.2)
が成り立つ ([KoNo14]を見よ).
本研究における主結果は次である. 
定理 2.4. u0 ∈ L2(Ω,F0;L1(D))とする. 初期条件 u0を持つ (1.1)の解
が定義 2.1の意味で存在する. 
3 存在性の証明
u0 ∈ L1(D) に対して近似列 u0,n := max{−n,min{u0, n}} を考える. un
を初期条件 u0,n ∈ L∞(D) に対する (1.1) の解とする. このとき, L1(D)
における u0,n の u0 への強収束性と un の L1-縮小性 (2.2) より列 {un} は
L1(Ω× (0, T )×D)でコーシー列である. 従って, ある u ∈ L1(Ω× (0, T )×D)
で
un → u in L1(Ω× (0, T )×D)
なるものが存在する. Lebesgueの収束定理と確率積分に対する Lebesgueの
収束定理 (下の定理 A.1)より uは (2.1)を満たす. さらに, 可測性は L1-収束
で閉じているので uは可予測である. 従って uが求めるべき解であることを
示すためには u ∈ L2(Ω;L∞(0, T ;L1(D)))を示せば良い.
命題 3.1 (L1アプリオリ評価). u ∈ L1(Ω× (0, T )×D)を定義 2.1の (iii)を
満たすものとする. このとき, L1 アプリオリ評価:
E ess sup
t∈[0,T )
∥u(t)∥2L1(D) ≤ C(1 + E∥u0∥2L1(D)) (3.1)
が成り立つ. ここで, C ≥ 0は T と |D|にのみ依存する定数である.
証明. Step 1. R上の関数 θ, Θを
θ(ξ) = 1−1≤ξ<0, Θ(ξ) =
∫ ξ
−1
∫ ζ
−1
θ(r) drdζ
3
4 ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）
により定義する. さらに, R上のカット ·オフ関数 χnを χn(ξ) = χ(ξ/n)によ
り定義する, ここで,
χ(ξ) =
1 0 ≤ |ξ| ≤ 10 2 ≤ |ξ|,
かつ, |χ′(ξ)| ≤ C なる C∞-級関数とする. 適当に近似を考えることで, (2.1)
の試験関数として Θ′(ξ)χn(ξ)を取ることができる. このとき, 左辺第一項は
次のように下から評価できる:∫
D
∫
R
f(t, x, ξ)Θ′(ξ)χn(ξ) dξdx ≥
∫
D
∫
R
1u>ξ10≤ξ1|ξ|≤n dξdx
=
∫
D
∫
R
10≤ξ≤u+∧n dξdx ≥ 12
∫
D
∫
R
10≤ξ≤u+∧2n dξdx
=
1
2
∫
D
u+(t) ∧ 2n dx
一方, 二次変分の項は (1.3)により次のように上から評価できる:
1
2
∫ t
0
∫
D
G2(x, u)(θ(u)χn(u) + Θ
′(u)χ′n(u)) dxds
≤ C
∫ t
0
∫
D
(1 + |u|2)10≤u<1 dxds+ C
∫ t
0
∫
D
(1 + |u|2) 1
n
1|u|≤2n dxds
≤ C + C
∫ t
0
∫
D
(1 + |u|)1|u|≤2n dxds ≤ C + C
∫ t
0
∫
D
|u|1|u|≤2n dxds
≤ C + C
∫ t
0
∫
D
|u| ∧ 2n dxds,
ただし, C は T , |D| にのみ依存する定数とする. 従って, (2.1) より a.e.
t ∈ [0, T ), a.s. ω ∈ Ωに対して,
1
2
∫
D
(u(t, x))+ ∧ 2n dx ≤ ∥u0∥L1(D) + C + C
∫ t
0
∫
D
|u| ∧ 2n dxds
+
∞∑
k=1
∫ t
0
∫
D
gk(x, u(s, x))Θ
′(u(s, x))χn(u(s, x)) dxdβk(s). (3.2)
今, (3.2)の両辺を二乗して, 期待値を取ることを考える. このとき, 確率積分
の項は Burkholderの不等式と (1.3)を用いて次のように計算できる:
E
�����
∞∑
k=1
∫ t
0
∫
D
gk(x, u)Θ
′(u)χn(u) dxdβk(s)
�����
2
≤ CE
∫ t
0
(∫
D
(1 + |u|)1|u|≤2n dx
)2
ds
≤ C + CE
∫ t
0
(∫
D
|u|1|u|≤2n dx
)2
ds
≤ C + CE
∫ t
0
(∫
D
|u| ∧ 2n dx
)2
ds
4
5ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）
よって, a.e. t ∈ [0, T )に対して,
E
(∫
D
u+(t) ∧ 2n dx
)2
≤ CE∥u0∥2L1(D) + C + CE
∫ t
0
(∫
D
|u| ∧ 2n dx
)2
ds
u− に対しても同様の評価をして, Gronwallの不等式を用いて, n → ∞とす
れば,
ess sup
t∈[0,T )
E∥u(t)∥2L1(D) ≤ C(1 + E∥u0∥2L1(D)) (3.3)
を得る.
Step 2. Step 1の結果より適当に近似することで, (2.1)の試験関数として
Θ′(ξ)を取ることができる. (3.2)と同様にして a.e. t ∈ [0, T )に対して,
1
2
∥u(t)∥ ≤ ∥u0∥L1(D) + C + C
∫ t
0
∥u(s)∥L1(D) ds
+ C
∞∑
k=1
∫ t
0
∫
D
gk(x, u(s, x))Θ
′(u(s, x)) dxdβk(s) (3.4)
が成り立つ. (3.4)の両辺を二乗して, t ∈ [0, T )について上限を取り, 期待値
を取り, Step 1の結果を用いて次のように計算する:
E ess sup
t∈[0,T )
∥u(t)∥2L1(D) ≤ CE∥u0∥2L1(D) + C + CE
∫ T
0
∥u(t)∥2L1(D) dt
+ CE ess sup
t∈[0,T )
�����
∞∑
k=1
∫ t
0
∫
D
gk(x, u)Θ
′(u) dxdβk(s)
�����
2
≤ C(1 + E∥u0∥2L1(D)) + CE
∫ T
0
(∫
D
(1 + |u|) dx
)2
dt
≤ C(1 + E∥u0∥2L1(D)),
ここで, Burkholderの不等式と (1.3)を用いた.
A 確率積分に対するLebesgueの収束定理
定理 A.1. fn, f ∈ L2(Ω× [0, T ))を (Ft)-適合確率過程, β を Brown運動と
する. fn → f a.e. かつ |fn| ≤ gなる g ∈ L2(Ω× [0, T ))が存在するとき,∫ T
0
fn(t) dβ(t)→
∫ T
0
f(t) dβ(t) in L2(Ω)
が成り立つ.
5
6 ある確率微分方程式に対する L1-理論（登口）
証明. 通常の Lebesgueの収束定理より fn → f in L2(Ω× [0, T ))が従う. Itoˆ
の等長性より,
E
�����
∫ T
0
(fn(t)− f(t)) dβ(t)
�����
2
= E
∫ T
0
|fn(t)− f(t)|2 dt→ 0.
よって結論を得る.
参考文献
[DeVo10] A. Debussche, J. Vovelle, Scalar conservation laws with stochastic
forcing, J. Funct. Anal. 259 (4) (2010) 1040-1042.
[DeVo14] A. Debussche, J. Vovelle, Scalar conservation laws with stochas-
tic forcing, revised version (2014), http://math.univ-lyon1.fr/
~vovelle/DebusscheVovelleRevised.pdf.
[DeVo14(2)] A. Debussche, J. Vovelle, Invariant measure of scalar ﬁrst-order
conservation laws with stochastic forcing, arXiv: 1310.3779 [math.AP].
[KoNo14] K. Kobayasi, D. Noboriguchi, A stochastic conservation law with
nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions, Acta Mathematica
Vietnamica, to appear.
6
［参考文献］
[DeVo10] A. Debussche, J. Vovelle, Scalar conservation laws with stochastic 
forcing, J. Funct. Anal. 259 (4) (2010) 1040–1042.
[DeVo14] A. Debussche, J. Vovelle, Scalar conservation laws with stochas-
tic forcing, revised version (2014), http://math.univ-lyon1.fr/~vovelle/
DebusscheVovelleRevised.pdf.
[DeVo14(2)] A. Debussche, J. Vovelle, Invariant measure of scalar rst-order 
conservation laws with stochastic forcing, arXiv: 1310.3779 [math.AP].
[KoNo14] K. Kobayasi, D. Noboriguchi, A stochastic conservation law with 
nonhomogeneous Dirichlet boundar y conditions, Acta Mathematica 
Vietnamica, to appear.


ある確率微分方程式に対するL1-理論

Fujita, Kayoko

藤田, 加世子

『平家花揃』の成立過程についての考察

Kishikawa, Shuntaro

岸川, 俊太郎

滞米初期における永井荷風の「思想混乱」の解明に向けて -姉崎嘲風、ワーグナー、メレシコフスキイの同時代受容の分析を通して-

Hida, Yuichiro

樋田, 有一郎

人口減少時代の地方郡部の高校教育の変化 -学校知の変化と魅力化 (学校) コーディネーター制度に着目して-

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