Tohoku University Repository (TOUR) / 東北大学機関リポジトリ

Nakagawa, Yuto

Left Regular Band (LRB)とマルコフ連鎖について

及川, 達希

Japanese

時間反転対称性の破れの効果を取り込んだ第一原理フォノン計算手法の開発

斎藤, 興也

運動量分解EELSによる誘電特性解析法の構築と光触媒粒子への応用

Kannari, Koki

English

その場振動分光法を用いたリチウム酸素二次電池のカソード反応機構解明

Ono, Hisashi

西部北太平洋の海洋表層におけるCO2と酸性化の長期変化傾向と変動

Matsumoto, Ryoga

（別紙様式５）                                       
論 文 内 容 要 旨 
(NO．1) 
氏  名 松本 遼河 提出年 令和６年 
学位論文の 
題   目 
 
 
Jones Wenzl projectors in Verma modules and irreducible modules 
(ヴァーマ加群と既約加群におけるジョーンズ・ウェンツル射影子) 
 
 
 
 
 
論 文 目 次 
 
1 Introduction… 1 
2 Quantum groups and their representations… 2 
2.1 Quantum groups 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔤𝔤𝔤𝔤𝑛𝑛) and 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤𝑛𝑛)…2 
2.2 R-matrix in 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)…9 
2.3 Verma modules and the irreducible modules of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)…15 
2.4 The quantum symmetric tensors of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔤𝔤𝔤𝔤𝑛𝑛) and 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤𝑛𝑛)…16 
3 Intertwining operators in the representations of quantum groups…18 
3.1 Temperley Lieb algebra 
3.2 The symmetric 𝔰𝔰𝔤𝔤2-spider 
3.3 Blob algebra and intertwining operators in tensor products with Verma modules 
4 Jones Wenzl projectors…33 
4.1 The usual Jones Wenzl projectors…33 
4.2 Jones Wenzl projectors in blob algebras…38 
4.3 Jones Wenzl projectors in End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇1)⨂⋯⨂𝑀𝑀(𝜇𝜇𝑛𝑛))…41 
5 Future prospects…49 
5.1 Turaev-Viro invariant…53 
5.2 WRT invariant…56 
 
論文内容要旨 
 
Quantum groups and their representations play important roles in low-dimensional topology and 
mathematical physics. Temperley and Lieb constructed Temperley Lieb algebra to solve the 
problem of statistical physics in [20]. The Temperley Lieb algebra is a diagrammatic algebra 
generated by cap and cup and it is isomorphic to the endomorphism algebra of the tensor products 
（別紙様式５）                                       
of the 2-dimensional irreducible representation of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)by Theorem 1.1 in [1]. Then the 
intertwining operators of the representations have diagrammatic descriptions. From Section 2 in 
[5], the isomorphism between the Temperley Lieb algebra and the endomorphism algebra is 
extended to the category equivalence between the Temperley Lieb category and the category of the 
tensor products of 2-dimensional irreducible representations over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). 
Jones introduced a knot invariant called the Jones polynomial using Hecke algebra in [10]. The 
Jones polynomials are also constructed by the 2-dimensional irreducible representation of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). 
The Jones polynomials are viewed as the intertwining operators between 1-dimensional irreducible 
representations over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). The Jones polynomials have diagrammatic descriptions using 
Kauffman brackets. The Kauffman brackets are generated by the diagrams called cap, cup, and 
crossing. The crossing is expressed by the cap and cup. The cap and cup in the Kauffman brackets 
are related to the cap and cup in the Temperley Lieb category. A special idempotent in Temperley 
Lieb algebra called Jones Wenzl projector is introduced by Wenzl [22]. By the relation between the 
Temperley Lieb category, the Kauffman bracket and the representation of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2), the Jones Wenzl 
idempotent is constructed via the Kauffman bracket and the representation of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). Using the 
Jones Wenzl projector, Murakami and Murakami introduce the new knot invariants called colored 
Jones polynomials in [18]. The colored Jones polynomial of degree 1 is the Jones polynomial. It is 
also obtained from (n+1)-dimensional representations over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). The colored Jones polynomials 
are also introduced by the compositions of intertwining operators on tensor products of 2-
dimensional irreducible modules of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). Since the colored Jones polynomials are constructed by 
the cap and cup morphisms, these have diagrammatic descriptions like Jones polynomials. 
It is known that the Jones Wenzl projector has another construction. Cautis, Kamnitzer, and 
Morrison study the intertwining operators of tensor products of quantum exterior algebra on 
𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤𝑛𝑛) in [3]. By using the way of [3], Rose and Tubbenhauer construct the diagrammatic 
descriptions of intertwining operators between all finite-dimensional representations of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) in 
[19]. That is, the category of symmetric 𝔰𝔰𝔤𝔤2-spider is equivalent to the category of finite 
dimensional representations of 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2). To prove the equivalence, it is important to extend the 
usual Howe duality (defined in [4,8]) to the quantum version of Howe duality. In [19], Rose and 
Tubbenhauer prove the quantum Howe duality using the results of Berenstein and Zwicknagl [2]. 
The Jones Wenzl projector can be constructed by the compositions of the intertwining operators 
𝑉𝑉𝑖𝑖⨂𝑉𝑉1 → 𝑉𝑉𝑖𝑖+1 and 𝑉𝑉𝑖𝑖+1 → 𝑉𝑉𝑖𝑖⨂𝑉𝑉1. 
 On the other side, Iohara, Lehrer and Zhang [9] determined the structure of End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1
𝑛𝑛) 
using blob algebra constructed by [6,7,15] in where 𝑀𝑀(𝜇𝜇) is Verma module whose highest weight is 
𝜇𝜇 and 𝑉𝑉1 is 2-dimensional irreducible module. The intertwining operators in End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1
𝑛𝑛) 
are locally generated by the compositions of two R-matrices and the compositions of the cap and 
cup morphisms. The composition of R-matrices is explicitly calculated in [12]. In [13], the structure 
of the endomorphism algebra of tensor products of Verma modules over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) is determined 
using Howe duality like method. However the Jones Wenzl projector like idempotents in 
End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1
𝑛𝑛) and End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇1)⨂⋯⨂𝑀𝑀(𝜇𝜇𝑛𝑛)) have not been constructed. In this article, 
（別紙様式５）                                       
we construct special idempotents in End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1
𝑛𝑛) and End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇1)⨂⋯⨂𝑀𝑀(𝜇𝜇𝑛𝑛)) like 
Jones Wenzl projector. 
First, we construct intertwining operators of tensor products including Verma modules analogous 
to [19]. 
 
Definition 1. Set 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) linear maps 𝐸𝐸𝜇𝜇: 𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1 → 𝑀𝑀(𝜇𝜇 + 1) and 𝐹𝐹𝜇𝜇:𝑀𝑀(𝜇𝜇 + 1) → 𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1 as 
follows.  
𝐸𝐸𝜇𝜇�𝑣𝑣𝑖𝑖,0� ≔ 𝑞𝑞𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖 
𝐸𝐸𝜇𝜇�𝑣𝑣𝑖𝑖,1� ≔ 𝑣𝑣𝑖𝑖+1 
𝐹𝐹𝜇𝜇(𝑣𝑣𝑖𝑖) ≔ [𝜇𝜇 + 1 − 𝑖𝑖]𝑣𝑣𝑖𝑖,0 + 𝑞𝑞𝑖𝑖−1−𝜇𝜇𝑣𝑣𝑖𝑖−1,1 
 
Definition 2.  Set 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) linear maps 𝐸𝐸𝜇𝜇,𝜆𝜆:𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑀𝑀(𝜆𝜆) → 𝑀𝑀(𝜇𝜇 + 𝜆𝜆) and 𝐹𝐹𝜇𝜇,𝜆𝜆:𝑀𝑀(𝜇𝜇 + 𝜆𝜆) →
𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑀𝑀(𝜆𝜆) as follows.  
𝐸𝐸𝜇𝜇,𝜆𝜆�𝑣𝑣𝑖𝑖,𝑗𝑗� ≔ 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝜆𝜆−𝑗𝑗)𝑣𝑣𝑖𝑖+𝑗𝑗 
𝐹𝐹𝜇𝜇,𝜆𝜆(𝑣𝑣𝑘𝑘) ≔�𝑞𝑞−(𝑘𝑘−𝑗𝑗)(𝜇𝜇−𝑗𝑗)
[𝑘𝑘]!
[𝑗𝑗]! [𝑘𝑘 − 𝑗𝑗]!
∏ [𝜇𝜇 − 𝑖𝑖]∏ [𝜆𝜆 − 𝑖𝑖]𝑘𝑘−𝑗𝑗−1𝑖𝑖=0
𝑗𝑗−1
𝑖𝑖=0
∏ [𝜇𝜇 + 𝜆𝜆 − 𝑖𝑖]𝑘𝑘−1𝑖𝑖=0
𝑣𝑣𝑗𝑗,𝑘𝑘−𝑗𝑗
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
 
 
Next, we define the Jones Wenzl projectors like idempotents and we prove the idempotents satisfy 
the characteristics like the usual Jones Wenzl projectors. 
 
Definition 3. Put 𝐸𝐸𝜇𝜇,𝑖𝑖 ≔ 𝐸𝐸𝜇𝜇⨂Id𝑉𝑉1
⨂𝑖𝑖 and 𝐹𝐹𝜇𝜇,𝑖𝑖 ≔ 𝐹𝐹𝜇𝜇⨂Id𝑉𝑉1
⨂𝑖𝑖. Blob version of Jones Wenzl projector 𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛 is 
defined as follows.  
𝑃𝑃𝜇𝜇,1 ≔
𝐹𝐹𝜇𝜇𝐸𝐸𝜇𝜇
[𝜇𝜇 + 1]
 
𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛 ≔
𝐹𝐹𝜇𝜇,𝑛𝑛−1𝐹𝐹𝜇𝜇+1,𝑛𝑛−2 ⋯𝐹𝐹𝜇𝜇+𝑛𝑛−1,1𝐹𝐹𝜇𝜇+𝑛𝑛−1𝐸𝐸𝜇𝜇+𝑛𝑛−1𝐸𝐸𝜇𝜇+𝑛𝑛−1,1 ⋯𝐸𝐸𝜇𝜇+1,𝑛𝑛−2𝐸𝐸𝜇𝜇,𝑛𝑛−1
[𝜇𝜇 + 𝑛𝑛][𝜇𝜇 + 𝑛𝑛 − 1]⋯ [𝜇𝜇 + 1]
 
 
Definition 4. Let Id𝜇𝜇: 𝑀𝑀(𝜇𝜇) → 𝑀𝑀(𝜇𝜇) be an identity morphism and we let Id𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑖𝑖 ≔ Id𝜇𝜇1⨂⋯⨂Id𝜇𝜇𝑖𝑖. 
Put 𝐸𝐸𝜇𝜇,𝜆𝜆;𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑖𝑖 ≔ 𝐸𝐸𝜇𝜇,𝜆𝜆⨂Id𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑖𝑖 and 𝐹𝐹𝜇𝜇,𝜆𝜆;𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑖𝑖 ≔ 𝐹𝐹𝜇𝜇,𝜆𝜆⨂Id𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑖𝑖. By induction on 𝑛𝑛, Verma versions of 
Jones Wenzl projectors 𝑃𝑃𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛 are defined as follows.  
𝑃𝑃𝜇𝜇1 ≔ Id𝜇𝜇1 
𝑃𝑃𝜇𝜇1,𝜇𝜇2 ≔ 𝐹𝐹𝜇𝜇1,𝜇𝜇2𝐸𝐸𝜇𝜇1,𝜇𝜇2 
𝑃𝑃𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛 ≔ 𝐹𝐹𝜇𝜇1,𝜇𝜇2;𝜇𝜇3,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛𝑃𝑃𝜇𝜇1+𝜇𝜇2,𝜇𝜇3,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛𝐸𝐸𝜇𝜇1,𝜇𝜇2;𝜇𝜇3,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛 
 
Theorem 5. (Theorem 4.7 in [16]) Let ⋂𝑖𝑖 and ∪𝑖𝑖 be intertwining operators over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) called cap 
and cup. Then 𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛 ∈ End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇)⨂𝑉𝑉1
𝑛𝑛) satisfies the following properties.  
 
𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛2 = 𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛 
（別紙様式５）                                       
𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛⋂𝑖𝑖 =∪𝑖𝑖 𝑃𝑃𝜇𝜇,𝑛𝑛 = 0 
 
Theorem 6. (Theorem 4.6 in [17]) 𝑃𝑃𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛 ∈ End𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)(𝑀𝑀(𝜇𝜇1)⨂⋯⨂𝑀𝑀(𝜇𝜇𝑛𝑛)) satisfies the following.  
 
𝑃𝑃𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛
2 = 𝑃𝑃𝜇𝜇1,⋯,𝜇𝜇𝑛𝑛 
 
Our motivation is to construct Verma versions of 3-manifold invariants such as the Turaev-Viro 
invariants and WRT invariants. The Turaev-Viro invariant is defined by the triangulation of the 
closed 3-manifold (we can construct the invariant for the case of unoriented 3-manifold) in [21]. It 
is invariant under the Pachner moves of the triangulations. Turaev-Viro invariants are constructed 
by the sum of the polynomials defined by coloring the edges of each tetrahedron with integers. For 
each colored tetrahedron of the triangulation of the 3-manifold, we can define a polynomial of 𝑞𝑞-
variable using the quantum 6j-symbols, 𝜃𝜃-nets, and the closure of the Jones-Wenzl projectors. The 
quantum 6j-symbols and the 𝜃𝜃-nets are defined using usual Jones Wenzl projectors. Then the 
Jones-Wenzl projector is important to construct the Turaev-Viro invariant. We expect to construct 
Verma versions of the quantum 6j-symbols and Turaev-Viro invariants by constructing Verma 
versions of Jones Wenzl projectors. 
In addition, the WRT invariants are constructed using Kauffman brackets of parallel links with 
Jones Wenzl projectors inserted (see p. 146 of [11]). The knot invariants obtained from the Verma 
module over 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2) are introduced in Willetts [23] and Martel and Willets [14]. The knot 
invariants are similar to the colored Jones polynomials (see Theorem 67 and Corollary 68 in [14]). 
Since the colored Jones polynomials are obtained by the Kauffman brackets multiplied by a 
polynomial of variable 𝑞𝑞, we expect that the Verma versions of WRT invariants are constructed by 
the knot invariants in the Verma module. However, the knot invariants in [14] do not have 
diagrammatic representations. Then it is difficult to construct the Verma versions of the WRT 
invariants using the knot invariants from the Verma module. To get the diagrammatic construction 
of the knot invariants in the Verma module, we must introduce Verma versions of Jones Wenzl 
projectors. 
 
参考文献 
 
[1] H. Andersen, G. Lehrer, and R. Zhang, Cellularity of certain quantum endomorphism 
 algebras, Pacific Journal of Mathematics 279 (2013), 11-35. 
[2] A. Berenstein and S. Zwicknagl, Braided Symmetric and Exterior Algebras, Transactions 
 of the American Mathematical Society 360 (2005). 
[3] S. Cautis, J. Kamnitzer, and S. Morrison, Webs and quantum skew Howe duality, Math. 
 Ann. 360 (2014), no. 1-2, 351–390. 
[4] S. J. Cheng and W. Wang, Dualities and Representations of Lie Superalgebras, American 
Mathematical Society, 2012. 
（別紙様式５）                                       
[5] I. B. Frenkel and M. Khovanov, Canonical bases in tensor products and graphical calculus for 
𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2), Duke Mathematical Journal 87 (1997), 409-480. 
[6] J. J. Graham and G. I. Lehrer, Diagram algebras, Hecke algebras and decomposition numbers 
at roots of unity, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Sup´ erieure 36 (2003), no. 4, 479-
524. 
[7] R. M. GREEN, GENERALIZED TEMPERLEY-LIEB ALGEBRAS AND DECORATED 
TANGLES, Journal of Knot Theory and Its Ramifications 07 (1998), no. 02, 155-171. 
[8] R. Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond, 
Israel mathematical conference proceedings 8 (1992), 1-182. 
[9] K. Iohara, G. I. Lehrer, and R. Zhang, Equivalence of a tangle category and a category of 
infinite dimensional 𝑈𝑈𝑞𝑞(𝔰𝔰𝔤𝔤2)-modules, Representation Theory of The American Mathematical 
Society 25 (2021), 265-299. 
[10] V. F. R. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bulletin (New 
Series) of the American Mathematical Society 12 (1985), no. 1, 103-111. 
[11] L. H. Kauffman and S. Lins, Temperley-Lieb Recoupling Theory and Invariants of 3-Manifolds 
(AM-134), Princeton University Press, 1994. 
[12] A. Lacabanne, G. Naisse, and P. Vaz, Tensor product categorifications, Verma modules and the 
blob 2-category, Quantum Topology 12 (2021), no. 4, 705–812. 
[13] A. Lacabanne, D. Tubbenhauer, and P. Vaz, Verma Howe duality and LKB representations 
(2022). preprint. 
[14] J. Martel and S. Willetts, Unified invariant of knots from homological braid action on Verma 
modules, Proceedings of the London Mathematical Society 128 (2021). 
[15] P. Martin and H. Saleur, The Blob Algebra and the Periodic Temperley-Lieb Algebra, Letters 
in Mathematical Physics 30 (1994), 189-206. 
[16] R. Matsumoto, Jones Wenzl projectors in tensor products of a Verma module and irreducible 
modules (2023). preprint. 
[17] R. Matsumoto, Jones Wenzl projectors in Verma modules (2024). preprint. 
[18] H. Murakami and J. Murakami, The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a 
knot, Acta Mathematica 186 (2001), no. 1, 85- 104. 
[19] D. E. V. Rose and D. Tubbenhauer, Symmetric Webs, Jones-Wenzl Recursions, and 𝑞𝑞-Howe 
Duality, International Mathematics Research Notices 2016 (2015), no. 17, 5249-5290. 
[20] H. N. V. Temperley and E. H. Lieb, Relations between the ’Percolation’ and ’Colouring’ Problem 
and other Graph-Theoretical Problems Associated with Regular Planar Lattices: Some Exact 
Results for the ’Percolation’ Problem, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 
Mathematical and Physical Sciences 322 (1971), no. 1549, 251–280. 
[21] V.G. Turaev and O.Y. Viro, State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols, 
Topology 31 (1992), no. 4, 865-902. 
[22] H. Wenzl, On a sequence of projections, C. R. Math. Rep. Can. J. Math 9 (1897), 5-9. 
[23] S. Willetts, A unification of the ADO and colored Jones polynomials of a knot (2020). preprint. 
別 紙 
 
論文審査の結果の要旨 
 
松本遼河氏の博士論文の研究対象は Temperley-Lieb 代数の Jones-Wenzl 射影子の一般化である． 
Temperley と Lieb は統計物理の問題を解決するために Temperley-Lieb 代数を構成した．Temperley-
Lieb 代数は、キャップとカップによって生成される図式的代数であり，2 次の特殊線形群のリー環に付随
する量子群の 2 次元既約表現のテンソル積の自己準同型代数と同型である．この同型により，表現のテン
ソル積の絡み合い作用素は図式的に記述できる．Temperley-Lieb 代数における特別な冪等元として，
Jones-Wenzl 射影子が Wenzl によって導入された．3 次元多様体の重要な量子不変量である Turaev-Viro 
不変量は Jones-Wenzl 射影子を用いて構成された量子 6j 記号を 3 次元多様体の四面体分割における各四
面体に各辺に割り当てられた重みに対応して与えることで構成され，その四面体分割の取り換えについて
の不変性は Jones-Wenzl 射影子のもつ特別な性質に帰着される．また，3 次元多様体の別の重要な量子不
変量である WRT 不変量も 3 次元多様体の結び目手術表示において結び目に Jones-Wenzl 射影子を埋め込む
ことで構成される．このように，Jones-Wenzl 射影子は 3 次元多様体の量子不変量の研究において極めて
重要な役割を担う． 
このことを一つの動機として，松本氏は従来量子群の有限次元表現の場合に与えられていた Jones-Wemzl 
射影子の量子群の重要な無限次元表現であるヴァーマ表現を用いた類似を構成し，Jones-Wenzl 射影子の
持っている重要な性質の類似を持つことを証明することに成功した．量子群のヴァーマ表現と有限次元表
現のテンソル積についての絡み合い作用素のなす代数の構造は Iohara, Lehrer, Zhang によってブロッブ
代数を用いて決定された．松本氏は Cautis, Kamnitzer, Morrison による量子外積代数のテンソル積にお
ける絡み合い作用素の研究に基づいて Rose と Tubbenhauer が与えた量子群の有限次元表現のテンソル積
についての絡み合い作用素のなす代数の図式的表示における Jones-Wenzl 射影子の図式的表示に着目し，
ブロッブ代数においてその類似を実行した．さらに，すべてがヴァーマ表現であるテンソル積についての
絡み合い作用素のなす代数における元で Jones-Wenzl 射影子の持っている重要な性質の類似をみたすもの
を膨大な計算に基づいて発見することができた．従来の Jones-Wenzl 射影子は 3 次元多様体の量子不変量
の構成において重要な役割を担うため，松本氏の無限次元表現であるヴァーマ表現についての Jones-
Wenzl 射影子の類似は 3 次元多様体論における重要な未解決である無限次元表現に基づいた 3 次元多様体
の量子不変量の構成などを含めて，これからの発展が大いに期待できる． 
 
以上のように，松本遼河氏は博士論文においてに Jones-Wenzl 射影子の一般化についての大変優れた発展
性の高い結果を得ている．これらの研究結果は量子群の表現論と 3 次元多様体論に興味深い知見をもたら
したものであり，高度の研究能力と学識を有することを示している．したがって，松本遼河氏の博士論文
を博士（理学）の学位論文として合格と認める． 
 


ヴァーマ加群と既約加群におけるジョーンズ・ウェンツル射影子

Kimura, Haruki

（別紙様式５）                                       
論 文 内 容 要 旨 
(NO．1) 
氏  名 KIMURA, Haruki 提出年 ２０２４年 
学位論文の 
題   目 
 
 
Theoretical study of spin electromagnetic responses in antiferromagnetic Dirac electron system 
（反強磁性ディラック電子系におけるスピン電磁応答の理論的研究） 
 
 
 
 
 
 
論 文 目 次 
1. Introduction 
  1.1 Antiferromagnetic spintronics 
  1.2 Topological materials 
     1.2.1 Quantum Hall insulator 
     1.2.2 Topological insulator 
     1.2.3 Topological Dirac semimetals 
  1.3 Orthorhombic CuMnAs 
     1.3.1 Electronic structure 
     1.3.2 Spin Hall conductivity in orthorhombic CuMnAs 
     1.3.3 Experimental research on orthorhombic CuMnAs 
  1.4 Chiral magnetic effect 
  1.5 Issues and the purpose of this thesis 
 
2. Dynamical chiral magnetic effect and real-time evolution 
  2.1 Model and method 
     2.1.1 Lattice model 
     2.1.2 θ term and dynamical chiral magnetic effect 
     2.1.3 Method for evaluating the θ 
     2.1.4 Real-time evolution method 
  2.2 Numerical calculation of the response factorθ 
     2.2.1 θ for DC type mass term 
     2.2.2 θ for AC type mass term 
  2.3 Real-time evolution method of dynamical chiral magnetic effect 
     2.3.1 DC type dynamical chiral magnetic effect 
（別紙様式５）                                       
         (NO．2) 
     2.3.2 AC type dynamical chiral magnetic effect 
  2.4 Short summary 
 
3. Low-energy effective model of orthorhombic CuMnAs 
  3.1 Model Hamiltonian 
  3.2 Dirac band structure 
  3.3 Short summary 
 
4. Dynamical chiral magnetic effect in orthorhombic CuMnAs 
  4.1 Numerical calculation of the response factorθ 
     4.2.1 Effective model of orthorhombic CuMnAs with a magnetic field 
     4.2.2 Real-time evolution method 
     4.2.3 Quantitative evaluation 
  4.2 Real-time evolution method 
  4.3 Short summary 
 
5. Summary and Conclusion 
Important issues in the field of spintronics include high-speed operation and miniaturization of 
devices. Ferromagnetic materials used in conventional spintronics devices have a finite net 
magnetization, so magnetic interference occurs between adjacent ferromagnetic materials. To 
prevent this interference, it is necessary to leave a gap between the magnetic materials, which 
limits the miniaturization and density of devices. In addition, the resonance frequency is known to 
be on the order of gigahertz, and it is said to be difficult to support next-generation high-speed 
communication technology in the terahertz band. In light of this, spintronics of antiferromagnetic 
materials has been attracting attention in recent years. Since antiferromagnetic materials have 
zero net magnetization, the stray field is zero, making it easy to miniaturize and densify devices. 
Furthermore, since the resonance frequency is on the order of terahertz, high-speed operation is 
possible. However, magnetic control is difficult due to zero net magnetization. For this reason, 
electrical control of antiferromagnetic materials has attracted attention as an important issue.  
In this thesis, we focus on the dynamical chiral magnetic effect in the antiferromagnetic topological 
Dirac semimetal orthorhombic CuMnAs and propose a basic theory of spin-charge conversion in 
antiferromagnets in the terahertz spin dynamics. The chiral magnetic effect is a phenomenon in 
which a current flows parallel to the magnetic field, and is known to occur in non-equilibrium 
states in three-dimensional topological materials such as Weyl semimetals and topological 
insulators with antiferromagnetic order. We analyze the dynamical chiral magnetic effect in 
orthorhombic CuMnAs and show that electric current is generated by spin dynamics in the 
terahertz range.  
（別紙様式５）                                       
(NO．3) 
First, we propose a method for analyzing the dynamical chiral magnetic effect, including non-
adiabatic processes. The method for numerically calculating the response factor of the dynamical 
chiral magnetic effect proposed in previous studies assumes a weak magnetic field and adiabatic 
processes, and is not compatible with general dynamics including strong magnetic fields and non-
adiabatic processes. Therefore, we analyzed the magnetic field dependence and period dependence 
of the dynamical chiral magnetic effect using a method called the real-time evolution method, 
which numerically solves the time-dependent Schrodinger equation. As a result, we found that the 
solution agrees with the analytical solution in the weak magnetic field and adiabatic process 
region, but that the dynamical chiral magnetic effect decreases as the magnetic field or high-
frequency region approaches.  
Next, we construct a two-orbital effective tight-binding model of the antiferromagnetic Dirac 
semimetal orthorhombic CuMnAs. Two orbitals dxy , dx2 −y2 with different glide-mirror symmetries 
are extracted from the five Mn 3d orbitals, and an effective Hamiltonian with a 16×16 matrix is 
constructed. This model qualitatively reproduces the band structure and spin Hall conductivity 
near the Dirac point obtained by first-principles calculations.  
Finally, we analyze the dynamical chiral magnetic effect induced by spin dynamics using an 
effective model of orthorhombic CuMnAs. First, we calculate the dependence of the response factor 
on the angle of the antiferromagnetic order, and clarify that the dynamical chiral magnetic effect 
due to spin dynamics appears in the adiabatic process and weak magnetic field limit. Furthermore, 
we analyze the electric current induced by the spin dynamics in the terahertz range using the real-
time evolution method. As a result, we show that an alternating current is induced.  
In this thesis, we first demonstrate the effectiveness of the real-time evolution method for the 
analysis of the dynamical chiral magnetic effect. Next, we construct a low-energy effective model of 
orthorhombic CuMnAs. Based on these results, we analyze the current induced by the spin 
dynamics using an effective tight-binding model of orthorhombic CuMnAs. Through this research, 
we establish a basic theory of spin-charge conversion for terahertz dynamics in antiferromagnets.  
 
別 紙 
 
論文審査の結果の要旨 
 
 
本論文は, 反強磁性トポロジカル物質直方晶 CuMnAs におけるテラヘルツスピンダイナミクスに
対するスピン-電荷変換を理論的に解析したものである. 
  近年, スピントロニクス分野で反強磁性体におけるスピン-電荷変換が注目を集めている. 反強
磁性体は, 漏れ磁場ゼロであることやテラヘルツ帯のスピンダイナミクスといった特性を持つこ
とから微細化・高速制御可能なスピントロデバイスへの応用が期待されている. 一方で, 磁気的
な制御が困難であることから電気的制御が重要課題となる. そこで反強磁性体におけるスピン-電
荷変換の解明が求められている. 本研究は, 反強磁性ディラック半金属候補物質の一つである直
方晶 CuMnAs におけるスピン-電荷変換の理論提案を目的とし，非断熱領域における動的カイラル
磁気効果の解析，低エネルギー有効模型の構築，および磁気秩序のダイナミクスにより生成され
る電流を解明した． 
 本論文では，はじめに磁性絶縁体のトイモデルに対し非断熱領域での動的カイラル磁気効果を
解析し, 反強磁性秩序ダイナミクスの周波数帯が断熱領域から外れるにつれ効果が減衰すること
を明らかにした. 次に直方晶 CuMnAs に対して, 物質を構成する元素の軌道からフェルミ準位近傍
にあると考えられるいくつかの軌道のみを取り入れた強束縛模型を構築し，反強磁性ディラック
半金属特有の線形分散やバンド交差点（ディラック点）の位置などに関する情報を再現できるこ
とを示した．構築した模型を用いて, 磁気秩序の変化に対する動的カイラル磁気効果の応答係数
を解析したところ、断熱・弱磁場極限において交流電流が生成されることを明らかにした. 最後
に実時間発展法によりテラヘルツ帯のスピンダイナミクスに対する電荷蓄積量を解析したところ, 
時間振動する電荷蓄積が生じることを明らかにした. これらの結果は反強磁性トポロジカル物質
における非自明な輸送現象を示したものであり, トポロジカル物質科学およびスピントロニクス
分野の発展に大きく寄与するものである. 
 以上の成果は低エネルギー有効模型の解析による，磁性と輸送現象の協働に着目した新現象の
実現可能性を理論的に示唆したものであり，木村氏が自立して研究活動を行うのに必要な高度
の研究能力と学識を有することを示している．したがって，木村春貴氏の博士論文を，博士
（理学）の学位論文として合格と認める． 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


反強磁性ディラック電子系におけるスピン電磁応答の理論的研究

山本, 洋椰

（別紙様式５）                                       
論 文 内 容 要 旨 
(NO．1) 
氏  名 山本 洋椰 提出年 ２０２４年 
学位論文の 
題   目 
高速自走時のアクティブブラウン粒子系の運動性誘起相分離 
 
 
 
 
 
 
 
論 文 目 次 
第1章 イントロダクション 
1.1 研究の背景 
1.2 BP と ABP の数学的なモデル 
1.3 分布関数 
1.4 密度に依存する自己推進の速さの平均値 
1.5 1 次元 Run-and-Tumble Particles 
1.6 MIPS の概要 
1.7 クラスターサイズ Lc 
1.8 ヘキサティックオーダーパラメータ 
1.9 MIPS の起こりうる条件を議論した先行研究 
1.10 本研究の目的と本論文の構成 
第2章 計算手法 
2.1 ソフトウェアとコンピュータのスペック 
2.2 ABPs の時間発展方程式の積分 
2.3 BPs の時間発展方程式の積分 
2.4 初期条件とパラメータ 
2.5 シミュレーション時間と計算コスト 
第3章 MIPS の臨界点の推定方法 
3.1 イジングモデルの臨界点の推定方法 
3.2 LJ 流体の臨界点の推定方法 
3.3 MIPS の臨界点の推定方法と推定結果 
第4章 最大クラスターと最大クラスターの表面 
4.1 最大クラスター 
4.2 ボロノイ法による分布関数の測定 
4.3 最大クラスターの表面 
第5章 凝縮相の粒子数が最大となる速さ v0 
（別紙様式５）                                       
5.1 MIPS の起こる条件 
5.2 MIPS の抑制と希薄相の体積分率が最小となる v*の存在 
5.3 MIPS の相図 
5.4 希薄相と凝縮相の密度の平均値 
5.5 Pp(ρp)のピーク位置 
5.6 最大クラスターの内部の MSD 
5.7 静的構造因子 
5.8 v*についてのまとめ 
第6章 密度に依存する自己推進の速さの平均値 v の詳細 
6.1 v の局所密度近似 
6.2 先行研究による v の関数形 
6.3 v の測定方法 
6.4 v の測定結果 
6.5 v の測定結果の説明や考察と本研究における v の関数形の予想 
第7章 v*の存在を反映したスピノーダル曲線 
7.1 ABPs に対する分布関数の時間発展方程式の導出 
7.2 ψの時間は天方程式の近似と自由エネルギーの導出 
7.3 スピノーダル曲線 
第8章 まとめと今後の展望 
参考文献 
 
自ら運動する物体はアクティブマターと呼ばれ、近年盛んに研究されている物理系である。アクティブ
マターは、構成要素の各々がエネルギーを消費し運動を行っているため非平衡の系となる。アクティブ
マターの例としては動物、細菌、自動車などが挙げられ、様々な長さや時間のスケールが対象となる。
アクティブマターの運動のうち、一定方向への推進は自己推進と呼ばれる。自己推進を行う粒子(自己推
進粒子系)の簡単な数理モデルとして、Active Brownian Particles(ABPs)と呼ばれるモデルが存在する。
コンピューターシミュレーションを用いたこれまでの研究により、系の面積分率と ABPs の自己推進の
速さが大きい場合に、系が自発的に希薄相と凝縮相に相分離することが報告されており、
Motility-Induced Phase Separation(MIPS)と呼ばれている。MIPS は自己推進と粒子間相互作用の組
み合わせにより生じる現象であり、粒子間相互作用が斥力のみの場合でも生じる。また、ABPs は非平
衡の系であるにもかかわらず、MIPS を平衡統計力学の枠組みで定性的に説明できることがこれまでの
研究で報告されていた。MIPS において、面積分率と自己推進の速さが MIPS が生じる条件を満たして
いる場合に、自己推進の速さをさらに大きくすると MIPS が生じなくなる現象(MIPS のリエントラント
性)が確認されている。MIPS のリエントラント性の存在は先行研究においても予想されていたが、ほと
んど注目されていなかった。本研究では MIPS のリエントラント性を平衡統計力学の枠組み内で説明す
ることを目的とし、MIPS の生じる条件の解明することを目的として研究を行った。本研究により、
MIPS のリエントラント性が自己推進の速さを大きくした場合に、MIPS により生じた凝縮相が融解に
起因すること、そして、MIPS のリエントラント性が平衡統計力学の枠組み内で定性的に説明できるこ
とが確認された。 
別 紙 
 
論文審査の結果の要旨 
 
個々の要素が推進機構を持って自発的に運動する物質群はアクティブマターとよばれる。微生
物の群れや自走コロイド粒子などに代表されるアクティブマターの集団運動は、統計物理学の研
究対象として関心を集めている。その基本的なモデルの一つとして、ブラウン粒子に自己推進機
構を加えたアクティブブラウン粒子がある。これはクインケローラーとよばれる自走コロイド粒
子や走化性バクテリアに関連したモデルであり、粒子が自発的に集積して高密度のクラスターを
形成する運動性誘起相分離が起きることが知られている。 
山本洋椰氏提出の博士論文は、アクティブブラウン粒子系の集団運動を数値的、理論的に解析
したものである。特に、自走速度が高い領域で運動性誘起相分離が消失するリエントランスの可
能性に着目して相挙動の解析を行った。リエントランスが生じることは、粒子が慣性を持つ場合
やポテンシャルが上限値を持つ場合に知られていたが、山本氏の研究はより一般的な斥力ポテン
シャルに対してリエントランスが生じる可能性を探索したものである。 
論文では第１に、ボロノイ分割を用いた局所的な数密度の測定により、希薄相および凝縮相に
おける粒子数密度を求め、自走速度と体積分率をパラメータとする相図を作成した。自走速度の
高い領域で希薄相の数密度は極小となったのち増加に転じること、すなわちリエントランスが生
じることが示された。第２に、凝縮相にある粒子に対して平均２乗変位を測定し、平均２乗変位
がプラトー的な挙動を示すこと、および自走速度が高い領域ではプラトーが見られにくくなるこ
とを示した。これは、凝縮相の内部の粒子の運動が流動的になり、凝縮相が融解することでリエ
ントランスが生じることを示唆する結果である。第３に、粒子の速度を局所密度の関数として測
定し、先行理論の有効自由エネルギーと組み合わせることで、スピノーダル分解の起きるパラメ
ータ領域を特定した。その結果、スピノーダル線もリエントランスを示すことが確認された。 
これらの成果は、高速領域でのアクティブブラウン粒子系の相挙動を解明したものであり、統
計物理学における基礎研究として有用かつ価値のあるものであると認められる。これは申請者が
自立して研究活動を行うに必要な高度の研究能力と学識を有していることを示している。したが
って、山本洋椰氏提出の博士論文は、博士（理学）の学位論文として合格と認める。 


高速自走時のアクティブブラウン粒子系の運動性誘起相分離

小山, 慎之介

（別紙様式５）                                       
論 文 内 容 要 旨 
(NO．1) 
氏  名 小山 慎之介 提出年 ２０２４年 
学位論文の 
題   目 
 
 
 
局在電子系で現れる準粒子に由来したトポロジカル熱輸送とスピン輸送の理論 
 
 
 
 
 
論 文 目 次 
第 1 章 序論 
1.1  局在電子系と有効ハミルトニアン ....................................................7 
1.1.1 Mott 絶縁体と局在電子模型 ...................................................8 
1.1.2 局在電子系における素励起 ..................................................14 
1.2  局在電子系におけるトポロジカル熱輸送現象 .........................................19 
1.2.1 ボソン準粒子をキャリアとしたトポロジカル輸送現象 ..........................21 
1.2.2 ボソン準粒子の減衰効果が熱輸送現象に与える影響 ............................25 
1.2.2 スピン非保存系におけるスピン Nernst 効果 ....................................28 
1.3  本研究の目的と構成 ...............................................................31 
第 2 章 Flavor-wave 理論 
2.1  平均場理論 .......................................................................34 
2.2  一般化 Holstein-Primakoff 変換 ......................................................35 
2.3  線形 Flavor-wave 理論 ..............................................................36 
2.4  準粒子間相互作用 .................................................................39 
2.5  準粒子 Green 関数と自己エネルギー .................................................40 
第 3 章 準粒子の減衰効果が励起スペクトルに与える影響 
3.1  相互作用による繰り込み ...........................................................43 
3.2  Imaginary Dyson 方程式 ............................................................45 
3.3  励起スペクトルの表式 .............................................................47 
3.4  結果 .............................................................................47 
（別紙様式５）                                       
(NO．2) 
3.4.1 適用模型 ..................................................................47 
3.4.2 平均場解 ..................................................................48 
3.4.3 励起スペクトル ............................................................49 
3.4.4 カイラルエッジモードの安定性 ..............................................54 
3.5  まとめ ...........................................................................56 
第 4 章 準粒子減衰を考慮した熱 Hall 効果 
4.1  一般論と定式化 ...................................................................59 
4.1.1 熱流と熱 Hall 伝導率 ........................................................60 
4.1.2 Green 関数による熱 Hall 伝導率の表式 ........................................62 
4.1.3 Green 関数の近似と熱 Hall 伝導率 ............................................63 
4.1.4 減衰を考慮した熱 Hall 伝導率の基本的な特性 ..................................66 
4.2  結果 .............................................................................67 
4.2.1 適用模型 ..................................................................67 
4.2.2 熱 Hall 伝導率 .............................................................68 
4.3  まとめ ...........................................................................74 
第 5 章 スピン非保存系におけるスピン Nernst 効果 
5.1  定式化と一般化 ...................................................................79 
5.1.1 ボソニック BdG 系における Bloch 状態........................................79 
5.1.2 局所物理量の時間微分 ......................................................80 
5.1.3 ボソニック BdG 系における半古典理論 .......................................81 
5.1.4 半古典理論を用いたスピン流の評価 ..........................................82 
5.1.5 トルクを考慮したスピン Nernst 伝導率 ........................................85 
5.2  結果 .............................................................................87 
5.2.1 適用模型 ..................................................................87 
5.2.2 スピン Nernst 伝導率 ........................................................90 
5.3  まとめ ...........................................................................97 
第 6 章 結論 
付録 
A    連続極限におけるボソニック BdG ハミルトニアンの表式 ............................. 101 
B    Cholesky 分解を用いたパラユニタリー行列の評価 .................................... 102 
C    ボソン三次項の導出および摂動論的取り扱い ........................................ 103 
D    動的構造因子 .................................................................... 107 
E    ボソン準粒子の減衰を考慮した熱 Hall 伝導率 ........................................ 109 
（別紙様式５）                                       
(NO．3) 
E.1 熱磁化の定義 ............................................................... 109 
E.2 熱流演算子とスケーリング則 ................................................. 110 
E.3 熱流演算子に関するスケーリング則 ........................................... 112 
E.4 熱応答係数の評価 ........................................................... 113 
E.5 𝑆𝑆𝜆𝜆𝜆𝜆′  の表式 ................................................................. 113 
E.6 熱 Hall 伝導率の表式......................................................... 116 
E.7 𝑆𝑆𝜆𝜆𝜆𝜆′  の計算 ................................................................. 116 
E.8 𝑀𝑀𝜆𝜆
𝑄𝑄 の計算 .................................................................. 117 
F    Heisenberg-DM 模型における強磁性状態の磁化方向依存性 ............................. 122 
G    ボソニック BdG 系における半古典理論 ............................................. 122 
G.1 変分アプローチ法における一体ハミルトニアン ................................. 122 
G.2 波束の一次補正 ............................................................. 125 
G.3 波束重心 ................................................................... 128 
G.4 二次のラグランジアン ....................................................... 129 
G.5 変分アプローチ ............................................................. 137 
G.6 スピン流への適用 ........................................................... 140 
H    平衡状態におけるスピン流の表式 .................................................. 150 
I    スピン Nernst 伝導率 .............................................................. 152 
J    スピン Nernst 伝導率における微分項の離散和への変換 ................................ 154 
参考文献 
論文目録 
謝辞 
 
（別紙様式５）                                       
(NO．4) 
論 文 要 旨 
１ 背景と目的 
 電子間に働く強い Coulomb 斥力によって電子が局
在した系では，スピンと軌道の自由度が物性に大き
な影響を与える．これらの局在自由度が秩序化した
場合，そこからの素励起はボソン準粒子によって記
述される．このボソンはトポロジカルに非自明なバ
ンド構造をとる場合があり，これに起因して熱 Hall
効果やスピン Nernst 効果などの輸送現象が現れるこ
とが知られている[図 1]． 
 熱 Hall 効果に関しては，これまで自由ボソン描像
を仮定した定式化が行われてきた．しかし近年，そ
のような描像が妥当ではない可能性を示唆する結果
が報告されている．この問題は，ボソン準粒子の化
学ポテンシャルがゼロであることに伴って，絶対零
度・低温でも準粒子が顕著な減衰を示すことが原因であると考えられている．熱 Hall 効果をより正
確に理解するためには，ボソン準粒子間の相互作用効果を取り入れた熱 Hall 伝導率の定式化が不可
欠である． 
 スピン Nernst 効果に関しては，自由ボソン描像の範囲でも，その理論的な定式化が十分に確立さ
れていない．この困難は，全スピン演算子がハミルトニアンと非可換な場合に現れる．このような
スピン非保存系においては，ボソン準粒子が運ぶスピン密度が連続の式を満たさず，トルク項と呼
ばれる余分な項が出現する．そのため，熱スピン応答の定式化が困難となる．従来の研究では， こ
のトルク項を実質的に無視した定式化が行われているが，トポロジカル応答が重要な系ではスピン
非保存系であることがほとんどであり，新たにこのような系で適用可能なスピン流応答の理論の構
築が必要とされている． 
 以上の課題を踏まえ，本研究では熱 Hall 効果およびスピン Nernst 効果に関する定式化を行うこ
とを目的とする．熱 Hall 効果に関しては，準粒子間相互作用，特に減衰効果を取り入れた理論的な
定式化を行う．またその際，任意の有限温度での Green 関数が必要となるが，これを準粒子間相互
作用の下で評価する理論も構築する．一方，スピン Nernst 効果については，自由ボソン描像の枠組
みを用いて，スピン非保存系におけるトルクの影響を考慮した定式化を構築する． 
 
２ 準粒子間相互作用を取り入れた熱 Hall 効果 
 局在自由度が秩序化した際の素励起は，Flavor-wave 理論を用いることによってボソン準粒子で記
述される．一般にそのハミルトニアンは，一体項とボソン準粒子間の相互作用項から構成される． 
一体項を非摂動項とし，相互作用項は Green 関数を用いて摂動的に取り扱うこととする． 
 熱 Hall 伝導率 𝜅𝜅𝜆𝜆𝜆𝜆′
𝐻𝐻  を 𝐽𝐽𝜆𝜆
𝑄𝑄 = 𝜅𝜅𝜆𝜆𝜆𝜆′
𝐻𝐻 (−∇𝜆𝜆′𝑇𝑇) で定義する．ここで 𝐽𝐽𝜆𝜆
𝑄𝑄 は熱流を示す．本研究では，相互
作用の効果を Green 関数を介して導入することにより，準粒子間相互作用が考慮された 𝜅𝜅𝜆𝜆𝜆𝜆′
𝐻𝐻  を温
度勾配に対する一次応答として定式化した．これより，熱 Hall 伝導率は波数空間における Berry 曲
図 1 熱 Hall 効果およびスピン Nernst 効果
の概念図． 𝑻𝑻 は温度勾配がない場合の温度
を示し， 𝛁𝛁𝑻𝑻 は温度勾配を示す．黄色の矢印
は，熱 Hall 効果の場合は熱流，スピン Nernst
効果の場合はスピン流を示す． 
（別紙様式５）                                       
率だけでなく，ボソン準粒子のスペクトルにも依存することを明らかにした． 
 得られた表式を，ハニカム構造上で定義されたスピン 1 2⁄  の磁場下の強磁性 Kitaev 模型に適用
し，熱 Hall 伝導率の温度依存性を計算した．その結果，低磁場領域では熱 Hall 伝導率の強度が抑
制されることを明らかにした．これは，減衰が顕著なマグノンは熱 Hall 伝導率に寄与しなくなる
ことを示している．一方で，磁場を強くすると抑制の度合いが小さくなるが，これは高磁場領域で
は相互作用の効果が相対的に小さくなるためである． 
 
３ スピン非保存系におけるスピン Nernst 効果 
 スピン非保存系におけるスピン Nernst 効果について考える．系は自由ボソンを仮定し，スピン
Nernst 伝導率 (𝜅𝜅𝑺𝑺)𝜆𝜆𝜆𝜆′
𝛾𝛾  を 𝐽𝐽𝜆𝜆
𝑆𝑆𝛾𝛾 = (𝜅𝜅𝑺𝑺)𝜆𝜆𝜆𝜆′
𝛾𝛾 (−∇𝜆𝜆′𝑇𝑇) で定義する．ここで 𝐽𝐽𝜆𝜆
𝑆𝑆𝛾𝛾 はボソン準粒子が運ぶスピン
密度の 𝛾𝛾 成分から生じるスピン流を示す．ボソン準粒子のハミルトニアンが 𝒌𝒌 と−𝒌𝒌 で等しいとい
う仮定を置くことによって，トルクを考慮したスピン Nernst 伝導率を温度勾配に対する一次応答と
して定式化した．これより，スピン Nernst 効果は熱 Hall 効果と同様に，波数空間の Berry 曲率によ
って生じる現象であることを明らかにした．これはトルクを無視した場合の表式との大きな違いで
ある． 
 得られた表式を，熱 Hall 効果と同様に磁場下の強磁性 Kitaev 模型に適用し，スピン Nernst 伝導
率の温度依存性を調べた．磁場下では全てのスピンモーメントが磁場方向に向いているが，このと
き，マグノンが運ぶスピン密度は保存せず有限のトルク項が生じる．一方で，系には空間反転対称
が存在するためマグノンのハミルトニアンは 𝒌𝒌 と−𝒌𝒌 で等価になる．したがって，我々が提案した
トルクを考慮したスピン Nernst 伝導率の表式を適用することができる． 得られた結果は，トルク
を無視した場合と比較して，その強度が大きくなることを明らかにした． 
 
４ まとめ 
 局在電子系で現れるボソン準粒子を起因とした熱 Hall 効果とスピン Nernst 効果の定式化を行っ
た．熱 Hall 効果に関しては，準粒子の相互作用効果を取り入れることによって熱 Hall 伝導率が 波
数空間の Berry 曲率とスペクトルの両方に依存することを明らかにした．特に，準粒子減衰が顕著
な場合には，熱 Hall 伝導率が抑制されることを明らかにした．また，スピン Nernst 効果に関して
は，新たにトルクの影響を考慮した表式を考案した．その結果，スピン Nernst 効果も熱 Hall 効果と
同様に，波数空間の Berry 曲率によって生じる現象であることを明らかにした． 
 我々のアプローチは一般のボソンハミルトニアンを出発点としているため，局在電子系で現れる
マグノンやトリプロンなどのボソン準粒子の他，カイラルフォノン系などへの適用が期待される． 
 
別 紙 
 
論文審査の結果の要旨 
 
本論文は、局在電子系で現れる準粒子に由来したトポロジカル熱輸送とスピン輸送を解析する
理論体系を構築し、局在電子模型の輸送現象とその起源について論じたものである。 
強い電子相関によって結晶格子上の原子位置に電子が局在するモット絶縁体においては、スピ
ンや軌道といった局在多極子自由度が各格子点に現れ、それらが相互作用をすることで多彩な秩
序が現れる。こうした秩序状態からの集団励起はボース準粒子として表すことができ、磁気励起
だけでなく熱輸送やスピン輸送などの輸送現象に大きな影響を及ぼす。近年、トポロジカル量子
現象やスピントロニクスの観点から、ボース準粒子系のトポロジカルに非自明なバンド構造を起
源とした熱ホール効果やスピンネルンスト効果が注目を集めている。このような現象は多くの場
合スピン軌道相互作用が起源と考えられているが、一般的には全準粒子数や全スピンが保存量と
ならないために、従来の理論体系の適用範囲は大きく制限されている。 
本研究では、この準粒子の非保存性の問題を解決するため、スピン波理論の多自由度系への拡
張である Flavor-wave 理論に基づいたグリーン関数論を用いて、有限温度において準粒子間相互
作用を系統的に取り入れた準粒子の寿命の計算手法を新たに開発した。この計算法を用いて、こ
れまで自由ボース粒子系でのみ展開されてきた熱ホール効果の理論体系を、準粒子が有限の寿命
を持つ場合にも適用できるように定式化し、スピンネルンスト効果に関しては、新たに全スピン
が保存量とならない場合にも適用可能なスピンネルンスト係数の公式を導出した。さらに、得ら
れた熱ホール効果とスピンネルンスト効果に関する公式を局在スピン模型に適用することで、従
来の計算手法との差とその起源を示した。 
以上の成果は、局在電子系に幅広く適用可能なトポロジカル輸送現象を解析する理論体系を構
築するものであり、小山氏が自立して研究活動を行うに必要な高度の研究能力と学識を有するこ
とを示している。したがって、小山慎之介氏の博士論文を、博士（理学）の学位論文として合格
と認める。 
 
 
 
 


局在電子系で現れる準粒子に由来したトポロジカル熱輸送とスピン輸送の理論

小湊, 瑞央

（別紙様式５）                                       
論 文 内 容 要 旨 
(NO．1) 
氏  名 小 湊 瑞 央 提出年 2024 年 
学位論文の 
題   目 
 
 
 
水ラジカルカチオンクラスターにおける半結合の分光研究 
 
 
 
 
 
論 文 目 次 
 
第 1 章 序論 
第 2 章 実験 
第 3 章 [H2O-Xn]+ラジカルカチオンクラスターの赤外分光研究 
第 4 章 [H2O-Arn]+ラジカルカチオンクラスターの紫外・可視分光研究 
第 5 章 総括 
 
 
論 文 内 容 要 旨 
 
第 1 章：序論 
水のイオン化及びその後続過程は、放射線化学の重要課題の 1 つとして注目されてきた。水や水溶液
に放射線が照射されると、水分子のイオン化が起こり、最初期には水ラジカルカチオン H2O+が生成す
る。生成した H2O+は様々な後続反応を引き起こし、結果として、例えば、生体の放射線障害を生じさ
せる。一方、H2O+自身はその反応性の高さからフェムト秒スケールで反応してしまうため、凝縮相にお
けるその検出と実験は非常に困難である。そこで本研究では、この反応性の高い H2O+を真空中に孤立
させることで、H2O+の実験的知見を獲得する。こうした反応性の高い化学種について実験的に調べる上
で、気相に取り出されたクラスターは良い実験対象となる。本研究では、特に H2O+が他の分子 X と形
成する[H2O-X]+の構造に着目する。[H2O-X]+は、H2O+と分子 X の反応中間体と見なすことができ、その
構造解明は重要である。 
[H2O-X]+は、2 つの構造モチーフを持つと考えられており、1 つは H2O+の OH 基の先に分子 X が水素
結合する H-bond 型、もう 1 つが O 原子の先に分子 X が結合する hemibond 型である。ここで、hemibond 
(半結合)とは、2 分子のローンペア軌道同士が重なり合って形成された結合性及び反結合性軌道に計 3
電子が共有されて生じる共有結合である。[H2O-X]+では、H2O+の酸性度の高さから、一般に H-bond 型
が安定であり、H-bond 型が観測されることがほとんどであった。しかし最近、いくつかの系で hemibond
（別紙様式５）                                       
型が観測されており、H2O+の半結合に関する更なる研究が期待されている。 
そこで本研究では，[H2O-X]+を対象に，①赤外光解離分光実験、②紫外・可視光解離分光及び光解離
画像観測実験を行い、その構造について調べた。①赤外光解離分光実験では、様々な分子 X (X = N2, CO2, 
CO, N2O)を用いて[H2O-X]+の構造研究を行い、水が半結合を形成する新たな系を見出した。また、
hemibond 型と H-bond 型の競合条件を明らかにした。②紫外・可視光解離分光及び光解離画像観測実験
では、[H2O-Ar]+を対象に、hemibond 型がエネルギー的に不利でその分布が少数であっても、紫外・可
視域の電子遷移を用いることで水の形成する半結合を観測できることを示した。 
 
第 2 章：実験 
 ①赤外光解離分光実験にはタンデム型の四重極質量分析計(Q-MS)を備えた真空装置を用いた。対象と
する[H2O-X]+には、光解離分光実験を行う都合上、Ar 原子を付加させた。Ar は分子 X に比べて弱く結
合するため、[H2O-X]+部分の構造には影響を与えないと考えられる。[H2O-X]+-Ar の生成は、電子衝撃イ
オン化(EI)法と超音速ジェット法を組み合わせて行った。生成した[H2O-X]+-Ar を初段の Q-MS で質量選
別し、赤外光を照射した。光解離によって生成した[H2O-X]+を後段の Q-MS によって質量選別し、検出
することで、赤外スペクトルを獲得した。 
②紫外・可視光解離分光実験は、紫外・可視光を用いて①と同様の実験を行い、紫外・可視スペクト
ルを獲得した。光解離画像観測実験には、2 段反射型質量分析計と位置敏感型検出器を組み合わせた画
像観測装置を用いた。超音速ジェット法と EI 法を組み合わせて[H2O-Ar]+を生成した。生成したイオン
をパルス制御された 2 組の反射電極に向けて加速し、第 1 反射電極で反射させることで質量選別した。
質量選別された[H2O-Ar]+に直線偏光の 532 nm のパルスレーザーを照射し、光解離させた。解離イオン
H2O+は第 2 反射電極で反射され、その空間分布を位置情報を保ったまま検出することで画像を獲得した。 
 
第 3 章：[H2O-Xn]+ラジカルカチオンクラスターの赤外分光研究 
 [H2O-X]+の構造は、いくつかの系で過去にも気相の赤外光解離分光実験及び量子化学計算を用いて調
べられてきたが、H-bond 型の報告がほとんどであり、hemibond 型の観測例は少ない。そこで、本研究
では、様々な分子 X を用いて[H2O-X]+の構造を赤外分光及び量子化学計算を用いて調べることで、水が
半結合を形成する新たな系を見出すことを目的とした。分子 X としては、N2, CO2, CO, N2O 分子を用い
た。その結果、分子 X が N2, CO2 の場合には、[H2O-X]+において H-bond 型が好まれると結論した。一方
で、分子 X が CO, N2O の場合には、hemibond 型が好まれることがわかり、水が半結合を形成する新た
な系を見出した。加えて、本研究では[H2O-X]+における hemibond 型と H-bond 型の競合を決定する因子
についても調べた。上記の通り、[H2O-X]+の構造はこれまで各分子 X について個別の報告がいくつかあ
る一方で、この H-bond 型と hemibond 型の競合は体系的な検討はされておらず、十分な理解がなされて
いない。そこで本研究では、先行研究及び本研究で得られた[H2O-X]+の好む構造を基にして、H-bond 型
と hemibond 型の競合を決定する要因について調べ、その競合条件を明らかにすることをもう 1 つの目
的としている。結果として、分子 X の性質であるプロトン親和力(PA)とイオン化ポテンシャル(IP)によ
って[H2O-X]+の好む構造が概ね決まることが明らかとなった。また、その考察から hemibond 型が好まれ
る条件は限られており、分子 X と水分子の IP の差が~1.5 eV 以内かつ、分子 X の PA が水分子より小さ
い場合にのみ hemibond 型が好まれる(それ以外の分子 X では H-bond 型が好まれる)ことが明らかになっ
た。 
（別紙様式５）                                       
第 4 章 [H2O-Arn]+ラジカルカチオンクラスターの紫外・可視分光研究 
  [H2O-X]+の構造は、上述のように気相の赤外分光により様々な系で調べられてきたが、H-bond 型の
報告がほとんどで、hemibond 型の観測例は少ない。これはほとんどの場合、H-bond 型がエネルギー的
に有利で、hemibond 型の存在量が圧倒的に少ないことに起因する。よって、hemibond 型と H-bond 型の
吸収強度に大きな差が無い赤外分光では、存在量の多い H-bond 型のみが観測されてしまう。そこで本
研究では、hemibond 型の示す特徴的な電子遷移に着目した。hemibond 型の電子遷移の強度は一般に
H-bond 型のものより数十倍強い。したがって、hemibond 型が H-bond 型の数%だけでも存在すれば、電
子遷移の観測によって、H2O+の形成する hemibond 型構造を観測することできると期待される。本研究
では、[H2O-Arn]+に着目した。[H2O-Arn]+は、赤外分光によって既に H-bond 型が hemibond 型より安定で
あることが示されている。一方で、少数成分として hemibond 型の共存が示唆されてきたが、その正否
についてはまだ議論がある。そこで本研究では、[H2O-Arn]+を対象に紫外・可視光解離分光実験を行い、
[H2O-Arn]+における hemibond 型構造を観測することを目的とした。得られた[H2O-Arn]+の紫外・可視ス
ペクトル及び量子化学計算の結果から、hemibond 型の共存を示唆する結果を得ることに成功した。また、
本研究では、[H2O-Arn]+において、より確固たる半結合形成の実験的証拠を示すために、[H2O-Ar]+の光
解離画像観測実験も併せて行った。光解離画像観測実験では、解離生成物の空間放出分布を観測するこ
とで、電子遷移の性質等の情報を獲得できる。H-bond 型と hemibond 型は異なる電子構造を持つため、
その電子遷移の性質が異なると予測される。したがって、画像観測実験によって解離生成物の放出分布
を獲得することで、[H2O-Ar]+における半結合形成の確固たる実験的証拠を得ることができると期待され
る。結果として、観測された画像は hemibond 型の電子遷移に起因する分布を明瞭に示し、[H2O-Ar]+に
おける半結合形成の確固たる実験的証拠を獲得することに成功した。 
 
第 5 章：総括 
 本研究では、H2O+と分子 X が形成する[H2O-X]+を対象に気相分光実験を行い、その構造情報を獲得し
た。本研究により、今まで観測例の少なかった水の形成する半結合の実験的知見を得ることができた。
今後、本研究に基づいて、放射線化学の重要課題である水や水溶液におけるイオン化及びその後続過程
の詳細についての理解がより深まると期待される。 
別 紙 
 
論文審査の結果の要旨 
 
 
 半結合とは中性分子の非共有電子対とラジカル（カチオン）のホールが生じた非共有電子対と
の間の軌道相互作用により生じる結合であり（2 中心 3 電子結合）、結合次数が 1/2 となる非古典
的共有結合である。水分子のラジカルカチオンが形成する半結合については、水のイオン化初期
過程に関連する興味から様々な議論が行われてきた。しかし水ラジカルカチオンの反応性の高さ
故に、実験結果は乏しく、未だ未解明な点は多い。本研究は気相に孤立した水ラジカルカチオン
のクラスターを対象とし、先端的な分子分光実験と理論計算の組み合わせにより、水ラジカルカ
チオンの半結合形成条件を実証したものである。 
 本研究ではまず、水と様々な分子 X とのラジカルカチオンクラスター[H2O-Xn]+ (n=1-3)の分子
間構造を赤外分光と理論計算の結合により調べた。その結果、水ラジカルカチオンが半結合を形
成する新たな系を発見すると共に、半結合の優先的な形成の条件を分子 X のイオン化エネルギー
及びプロトン親和力の範囲として定めることに成功した。これは水ラジカルカチオンの半結合に
関する初めての系統的な実験研究であり、今後の研究対象系の選択に指針を与えるものとして、
その意義は非常に大きい。さらに、これまで実験・理論解析において論争のあった[H2O-Arn]+ 
(n=1-3)における半結合の生成について、電子遷移の観測、さらに電子励起後の解離イオンの画像
観測実験を行い、少数成分としての半結合型異性体の存在の実験的確証を得て、論争に終止符を
打った。同時に、これまで水ラジカルカチオンの半結合研究では行われてこなかった電子遷移観
測の有効性を実証した。 
これらの結果は先端的な分子分光手法と理論計算を駆使して得られたものであり、現代の分子
分光研究の最前線に位置するものである。また、その成果は水分子のラジカルカチオン状態にお
ける半結合形成の性質理解の基礎をなし、極めて重要性が高い。本論文は小湊瑞央氏が自立して
研究活動を行うに必要な高度の研究能力と学識を有していることを示している。したがって、小
湊瑞央氏提出の博士論文は博士（理学）の学位論文として合格と認める。 
 
 


水ラジカルカチオンクラスターにおける半結合の分光研究

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