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A general approach to index theorems for holomorphic maps and foliations
No full textLet M be a smooth complex manifold, and S(subset of M) be a compact irreducible subvariety with dim(C) S > 0. Let be given either a holomorphic map f : M -> M with f(|S) = id(S), f not equal id(M), or a holomorphic foliation F on M: we describe an approach that can be applied to both map and foliation in order to obtain index theorems
Poincaré-Bendixson theorems for meromorphic connections and holomorphic homogeneous vector fields
No full textWe first study the dynamics of the geodesic flow of a meromorphic connection on a Riemann surface, and prove a Poincare-Bendixson theorem describing recurrence properties and omega-limit sets of geodesics for a meromorphic connection on P(1) (C). We then show how to associate to a homogeneous vector field Q in C(n) a rank 1 singular holomorphic foliation F of P(n-1) (C) and a (partial) meromorphic connection del(0) along F so that integral curves of Q are described by the geodesic flow of del(0) along the leaves of F, which are Riemann surfaces. The combination of these results yields powerful tools for a detailed study of the dynamics of homogeneous vector fields. For instance, in dimension two we obtain a description of recurrence properties of integral curves of Q, and of the behavior of the geodesic flow in a neighborhood of a singularity, classifying the possible singularities both from a formal point of view and (for generic singularities) from a holomorphic point of view. We also get examples of unexpected new phenomena, we put in a coherent context scattered results previously known, and we obtain (as far as we know for the first time) a complete description of the dynamics in a full neighborhood of the origin for a substantial class of holomorphic maps tangent to the identity. Finally, as an example of application of our methods we study in detail the dynamics of quadratic homogeneous vector fields in C(2)
Geometria Differenziale
No full textL`opera fornisce una introduzione alla geometria delle varieta` differenziabil
Parabolic curves in ℂ3
No full textWe discuss a family of holomorphic self-maps of ℂ3 tangent to the identity at the origin presenting dynamical phenomena not appearing for lower-dimensional maps
Curve e superfici
No full textQuesto libro e' una introduzione alla geometria differenziale di curve e superfici nello spazio
Index Theorems for holomorphic Maps and Foliations
No full textWe describe a general construction providing index theorems localizing the Chern classes of the normal bundle of a subvariety inside a complex manifold. As particular instances of our construction we recover both Lehmann-Suwa's generalization of the classical Camacho-Sad index theorem for holomorphic foliations and our index theorem for holomorphic maps with positive dimensional fixed point set. Furthermore, we also obtain generalizations of recent index theorems of Camacho-Movasati-Sad and Camacho-Lehmann for holomorphic foliations transversal to a subvariety
Index theorems for holomorphic self-maps
No full textLet be a complex manifold and a (possibly singular) subvariety of . Let be a holomorphic map such that restricted to is the identity. We show that one can associate to a holomorphic section of a sheaf related to the embedding of in and that such a section reads the dynamical behavior of along . In particular we prove that under generic hypotheses the canonical section induces a holomorphic action in the sense of Bott on the normal bundle of (the regular part of) in and this allows to obtain for holomorphic self-maps with non- isolated fixed points index theorems similar to Camacho-Sad, Baum-Bott and variation index theorems for holomorphic foliations. Finally we apply our index theorems to obtain information about topology and dynamics of holomorphic self-maps of surfaces with a compact curve of fixed points
On singular projective structures on Riemann Surfaces
No full textLet X be a compact Riemann surface of genus g and consider second order linear differential operators on X. Assuming the singularities on X to be all regular, one deduce a relation between the exponents of two operators with the same projective monodromy representation and the same singularities
Situazioni didattiche in Psicogeometria
No full textA metà degli anni ’30 del ‘900, quando ormai era stata bandita dall’Italia dal governo fascista e si era trasferita a Barcellona, Maria Montessori concentrò la sua attività editoriale sulle Psicodiscipline. Nella sua idea, questo nome era riservato alle discipline indispensabili per una crescita equilibrata del bambino, sviluppate secondo le esigenze della sua psicologia.
Due aspetti meritano di essere sottolineati in questa sua scelta. Il primo è che l’idea di pubblicare testi relativi a una singola disciplina rappresenta una svolta nella produzione pedagogica di Montessori: fino allora i suoi libri avevano riguardato l’educazione da un punto di vista del tutto generale. Il secondo è che, a parte il testo Psicogrammatica, annunciato dell’editore Araluce ma allora rimasto inedito , le psicodiscipline erano l’aritmetica e la geometria. I due libri relativi si intitolano Psicogeometria [1] e Psicoaritmetica [2] e sono stati pubblicati dall’Editore Araluce a Barcellona nel 1934: dunque le uniche opere strettamente disciplinari pubblicate da Montessori riguardano argomenti matematici.
Più o meno nello stesso periodo iniziavano le prime ricerche in didattica della matematica, argomento che si sviluppò poi enormemente nel dopoguerra. Le ricerche partirono dall’idea un po’ ingenua per cui la matematica non può non essere compresa quando viene ben spiegata, riducendo dunque le indagini a una ragionevole definizione di che cosa vuol dire “ben spiegata”. Ben presto ci si è resi conto che occorreva prendere in considerazione il sistema educativo nel suo complesso, considerando la terna docente-sapere-discente [4]. Questo sistema, naturalmente, ha una notevole complessità intrinseca e, dunque, uno sforzo imponente, testimoniato da una vastissima letteratura, è stato quello di definire una cornice metodologica per questi studi. Questo sforzo è stato utilissimo per mettere in evidenza aspetti essenziali della didattica della matematica, e per isolare molte delle criticità del sistema educativo.
In questo lavoro prenderemo come riferimento le idee originariamente formulate da Brousseau, [3]-[4], riguardo alla trasposizione didattica, al contratto educativo e alla teoria delle situazioni didattiche. Queste idee sono relativamente antiche (i primi lavori di Brousseau risalgono agli anni ‘60-’70) ma costituiscono ancora un riferimento di primaria importanza per i ricercatori che si occupano di educazione matematica: nel libro Didattica della Matematica [5], si legge per esempio “La Teoria delle Situazioni didattiche, sviluppata proprio nell’ambito dell’educazione matematica, è una teoria molto fine e ben strutturata che merita di essere conosciuta e approfondita.” (p.48)
Il seguente contributo nasce da una semplice constatazione: i due contesti appena menzionati, il mondo montessoriano e la comunità dei ricercatori in didattica della matematica, si sono finora incontrati molto poco
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