21 research outputs found
On the Stark Units of Drinfeld Modules
No full textInternational audienceWe present the notion of Stark units and various techniques involving it. The Stark units constitute a useful tool to study the unit and class modules of a Drinfeld module as defined by Taelman. We review some recent results on Drinfeld Fq[θ]-modules which make use of this notion. In particular, we present the "discrete Greenberg conjectures" which explain the structure of the class module of the canonical multi-variable deformations of the Carlitz module, and a result on the non vanishing modulo a given prime of a class of Bernoulli-Carlitz numbers. Content
Modules d'Anderson et séries L : une étude P-adique
No full textIn this thesis, we study P-adic L-series in the context of Anderson modules, which are the P-adic analogues of Taelman L-series for Drinfeld modules. The starting point is the construction of L-series with a variable z introduced by Anglès and Tavares Ribeiro, and the class formula for Anderson t-modules with this variable z proved by Demeslay. We first construct these P-adic L-series, study their convergence, and prove a P-adic class number formula. We then extend these constructions to the case of Anderson modules over base rings with several variables. Finally, we study the case of Drinfeld modules.Dans cette thèse, nous étudions des séries L P-adiques dans le contexte des modules d’Anderson, qui seront les analogues P-adiques des séries L de Taelman pour les modules de Drinfeld. Le point de départ est la construction des séries L avec une variable z introduite par Anglès et Tavares Ribeiro, et la formule des classes pour les t-modules d’Anderson avec cette variable z démontrée par Demeslay. Nous construisons d’abord ces séries L P-adiques, étudions leur convergence et démontrons une formule P-adique du nombre de classes. Nous étendons ensuite ces constructions au cas des modules d’Anderson sur des anneaux de base possédant plusieurs variables. Enfin, nous effectuons une étude approfondie de ces séries L P-adiques dans le cas des modules de Drinfeld
Modules d'Anderson et séries L : une étude P-adique
No full textIn this thesis, we study P-adic L-series in the context of Anderson modules, which are the P-adic analogues of Taelman L-series for Drinfeld modules. The starting point is the construction of L-series with a variable z introduced by Anglès and Tavares Ribeiro, and the class formula for Anderson t-modules with this variable z proved by Demeslay. We first construct these P-adic L-series, study their convergence, and prove a P-adic class number formula. We then extend these constructions to the case of Anderson modules over base rings with several variables. Finally, we study the case of Drinfeld modules.Dans cette thèse, nous étudions des séries L P-adiques dans le contexte des modules d’Anderson, qui seront les analogues P-adiques des séries L de Taelman pour les modules de Drinfeld. Le point de départ est la construction des séries L avec une variable z introduite par Anglès et Tavares Ribeiro, et la formule des classes pour les t-modules d’Anderson avec cette variable z démontrée par Demeslay. Nous construisons d’abord ces séries L P-adiques, étudions leur convergence et démontrons une formule P-adique du nombre de classes. Nous étendons ensuite ces constructions au cas des modules d’Anderson sur des anneaux de base possédant plusieurs variables. Enfin, nous effectuons une étude approfondie de ces séries L P-adiques dans le cas des modules de Drinfeld
An explicit formula for the Hilbert symbol of a formal group
No full textAbrashkin established the Bruckner-Vostokov formula for the Hilbert symbol of a formal group under the assumption that roots of unity belong to the base field. The main motivation of this work is to remove this hypothesis. It is obtained by combining methods of (phi, Gamma)-modules and a cohomological interpretation of Abrashkin's technique. To do this, we build (phi, Gamma)-modules adapted to the false Tate curve extension and generalize some related tools like the Herr complex with explicit formulas for the cup-product and the Kummer map
Arithmetic of positive characteristic L-series values in Tate algebras
No full textfinal versionInternational audienceThe second author has recently introduced a new class of L-series in the arithmetic theory of function fields over finite fields. We show that the value at one of these L-series encode arithmetic informations of certain Drinfeld modules defined over Tate algebras. This enables us to generalize Anderson's log-algebraicity Theorem and Taelman's Herbrand-Ribet Theorem
EXCEPTIONAL ZEROS OF L-SERIES AND BERNOULLI-CARLITZ NUMBERS
No full textInternational audienceBernoulli-Carlitz numbers were introduced by L. Carlitz in 1935, they are the analogues in positive characteristic of Bernoulli numbers. We prove a conjecture formulated by F. Pellarin and the first author on the non-vanishing modulo a given prime of families of Bernoulli-Carlitz numbers. We then show that the " exceptional zeros " of certain L-series are intimately connected to the Bernoulli-Carlitz numbers
(phi, Gamma)-modules et loi explicite de réciprocité
No full textThe framework of this thesis is the theory of p-adic representations, in particular Fontaine's theory. I am interested in the case of a metabelian extension of a local field, I build a (phi, Gamma)-module adapted to this extension, then generalizations of some usual tools associated with this (phi, Gamma)-module are given, such as a complex calculating the cohomology of the representation. Furthermore, I establish explicit formulas of the dictionnary between the word of representations and the one of (phi, Gamma)-modules, for the Herr complex, the cup-product or Kummer's map.The second part of this work is devoted to the proof of Brückner-Vostokov reciprocity law for a formal group. Combining methods of (phi, Gamma)-modules and specified techniques introduced by Abrashkin with a cohomological interpretation of his work, I give a proof of the reciprocity law free from the non natural assumption that roots of unity belong to the base field.Le cadre de cette thèse est celui de la théorie des représentations p-adiques, et plus particulièrement la théorie de Fontaine. Je m'intéresse au cas d'une extension métabélienne d'un corps local et construit un (phi, Gamma)-module adapté à cette extension, puis je fournis des généralisations de certains outils usuels associés à ce (phi, Gamma)-module tel qu'un complexe calculant la cohomologie de la représentation. J'établis encore les formules explicites du dictionnaire entre le monde des représentations et celui des (phi, Gamma)-modules, pour le complexe de Herr, le cup-produit ou l'application de Kummer.La seconde partie de ce travail est dévolue à la preuve de la loi de réciprocité de Brückner-Vostokov pour un groupe formel. Je combine pour cela des méthodes relevant des (phi, Gamma)-modules à l'aide des résultats de la première partie et des techniques spécifiques introduites par Abrashkin à travers une interprétation cohomologique de ses travaux. J'obtiens ainsi une preuve de la loi de réciprocité libre de toute hypothèse non naturelle sur l'appartenance de racines de l'unité au corps de base
