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Realizations of Hilbert line systems
No full textDie vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur weiteren Erforschung nichtklassischer Geometrien leisten. Hierzu wird ein auf D. Hilbert (1899) bzw. H. Mohrmann (1922) zurückgehendes und von M. Stroppel (1993) systematisch untersuchtes Konstruktionsprinzip zur Realisierung nicht desarguesscher affiner Ebenen verfolgt und erweitert.
Ein sogenanntes Stroppel-Mohrmann-Hilbert-Liniensystem (SMH-System) entsteht, indem eine gegebene affine Ebene, deren Punktraum gleich dem der reellen affinen Ebene ist und deren Geraden jeweils homöomorph zur reellen Zahlengeraden sind, im Innern einer streng konvexen, einfach geschlossenen Kurve so modifiziert wird, dass anstelle des ursprünglichen Innengebiets der Kurve eine flach oder räumlich realisierte Inzidenzstruktur "eingeklebt" wird, welche die von Stroppel formulierten Axiome einer streng konvexen Compact Disk (CD) erfüllt.
Hilbertsche Liniensysteme sind spezielle SMH-Systeme, bei denen lokal desarguessche CDs in die reelle affine Ebene eingepasst werden. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich solche CDs betrachtet, die sich jeweils vermöge einer stetigen injektiven Lineation in die reelle affine Ebene einbetten lassen und die somit lokal desarguessch sind. Im Falle von CDs etwa, die auf Flächenstücken konstanter Gauß-Krümmung im dreidimensionalen Raum realisiert werden, liefern (lokale) geodätische Abbildungen in die reelle euklidische Ebene derartige Lineationen.
Unter den affinen Ebenen, die als Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme entstehen, gibt es desarguessche und nicht desarguessche Vertreterinnen. Als zentrales Resultat der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass ein Hilbertsches Liniensystem genau dann desarguessch ist, wenn die Randkurve der zur Konstruktion des Hilbertsystems eingesetzten CD punktweise projektiv äquivalent zum Bild der Randkurve unter der Lineation ist. Dieses Ergebnis fußt wesentlich auf dem Lokalen Fundamentalsatz von R. Löwen (1982). Zur praktischen Prüfung der projektiven Äquivalenz zweier Kurven werden Techniken aus der Projektiven Differentialgeometrie eingesetzt: zwei parametrisierte ebene Kurven mit gleichem Parameterbereich sind nämlich genau dann projektiv äquivalent, wenn die entsprechenden Koeffizientenfunktionen der (speziellen) Grundgleichungen übereinstimmen, denen ihre (gegebenenfalls geeignet renormierten) projektiven Darstellungen genügen.
Mit diesen Methoden wird zunächst die Klasse der Ebenen untersucht, die wie das von Hilbert im Jahre 1899 vorgestellte Beispiel auf (flachen) CDs basieren, deren Randkurven Ellipsen sind. Das Geradensystem einer solchen CD besteht aus Kreisbögen, die durch einen außerhalb der Ellipse gelegenen festen Punkt verlaufen. Dieser Punkt fungiert als Zentrum einer Inversionsabbildung, welche die Einbettung der CD in die reelle affine Ebene induziert. Damit tatsächlich eine streng konvexe CD vorliegt, muss der Punkt so gewählt werden, dass das Bild des von der Ellipse im Innern berandeten Gebiets unter der Inversionsabbildung streng konvex bezüglich des Geradensystems der reellen affinen Ebene ist. In der vorliegenden Arbeit werden mögliche Lagen des Inversionszentrums zum Ellipsenmittelpunkt in Abhängigkeit von den Halbachsen bestimmt. Mithilfe der oben erwähnten Resultate sowie der Methoden aus der Projektiven Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine affine Ebenen der Hilbertschen Bauart die Desargues-Eigenschaft genau dann besitzt, wenn als Randkurve der CD eine rotationssymmetrische Ellipse, d.h. ein Kreis gewählt wird.
Zur Konstruktion einer räumlichen Realisierung eines Hilbertschen Liniensystems wird eine spezielle Drehfläche konstanter positiver Gauß-Krümmung, nämlich eine Spindelfläche, mit dem System ihrer Geodätischen herangezogen. Durch eine geeignet parallel zur Drehachse liegende Ebene wird ein Abschnitt der Spindelfläche abgegrenzt, welcher durch eine ebene Schnittkurve berandet wird. Es zeigt sich, dass dieser Spindelflächenabschnitt die Anforderungen erfüllt, die an räumlich realisierte CDs zu stellen sind. Das übliche System der Geraden der Ebene wird im Inneren der Schnittkurve durch das Geodätensystem der CD modifiziert, und auf diese Weise entsteht ein räumlich realisiertes Hilbertsches Liniensystem, welches wir als Spindelflächenebene bezeichnen. Durch computeralgebraisch und numerisch unterstützte Anwendung des oben erwähnten Hauptresultats wird nachgewiesen, dass die betrachtete Spindelflächenebene nicht desarguessch ist, dass sich aber eine desarguessche affine Ebene ergibt, wenn die Spindelfläche in der Konstruktion durch eine Sphäre gleicher Gauß-Krümmung ersetzt wird.The present thesis is meant as a contribution to extend existing research on non-classical geometries. To this end, we employ a construction principle for non-desarguesian affine planes, which traces back to D. Hilbert (1899) and H. Mohrmann (1922), and which was systematically studied by M. Stroppel (1993).
A so-called Stroppel-Mohrmann-Hilbert line system (SMH system) arises by modifying a given affine plane, whose point space is that of the real affine plane and whose lines are homeomorphic to the real axis, in the interior of a strictly convex simply closed curve. The modification consists in "gluing", in place of the original interior of the curve, an incidence structure into the plane that satisfies the axioms of a Compact Disk (CD) formulated by Stroppel.
Hilbert line systems are special SMH systems, for which locally desarguesian CDs are fitted into the real affine plane. In the present thesis, only such CDs are considered which can be embedded into the real affine plane via a continuous injective lineation, which property is sufficient for the CDs being locally desarguesian. In the case of CDs that are realized on surfaces of constant Gaussian curvature in 3-space, such lineations are obtained from local geodesic mappings into the real Euclidean plane.
Among the affine planes that arise as realizations of Hilbert line systems, there are desarguesian and non-desarguesian representatives. We show as a central result of this thesis that a Hilbert line system is desarguesian if and only if the bounding curve of the CD that is being used for the construction is pointwise projectively equivalent to the image of the curve under the lineation. This result is essentially based on the local fundamental theorem proved by R. Löwen in 1982. To test two given plane curves for projective equivalence, we use techniques from projective differential geometry: Two parameterized plane curves are projectively equivalent if and only if the corresponding coefficient functions of the respective fundamental equations coincide.
With these methods, we first study the class of affine planes that, like the example that Hilbert presented in 1899, are constructed by means of flat CDs bounded by ellipses. The line system of such a CD consists of circular arcs passing through a fixed point located outside the ellipse. This point acts as center of an inversion, which induces the embedding of the CD into the real affine plane. In order to obtain a strictly convex CD, the point has to be chosen such that the image of the region bounded by the ellipse in its interior under the inversion is strictly convex with respect to the line system of the real affine plane. We have determined possible locations of the inversion center with respect to the center of the ellipse as a function of the semimajor and semiminor axes. By means of the aforementioned techniques from projective differential geometry, we have shown that affine planes constructed like Hilbert's example of 1899 are desarguesian if and only if the bounding ellipse has rotational symmetry, i.e., if it is a circle.
For the construction of a Hilbert line system in three-dimensional space, we use a special surface of revolution having constant Gaussian curvature, the so-called spindle surface, with its system of geodesics. We choose a suitable plane parallel to the axis of revolution and consider the set of points on the spindle surface that lie in the closed half-space that does not include the axis of revolution. As it turns out, this construction yields a CD in three-dimensional space, which is bounded by a plane curve. A Hilbert line system, which we term "spindle surface plane," arises when modifying the system of straight lines of the original plane such that line segments inside the bounding curve are replaced with geodesic arcs of the CD. We apply the aforementioned main result of this thesis and deploy computer-algebraic and numeric calculations to show that the spindle surface plane under investigation does not possess the Desargues property. If, however, the spindle surface is replaced with a sphere of equal Gaussian curvature, a Desarguesian affine plane ensues
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Get PDFThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
Partial lineations of stable planes
No full textEine stabile lp-Ebene ist eine topologische Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmter Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der die Punktmenge lokalkompakt und von positiver endlicher topologischer Dimension ist, sowie das Stabilitätsaxiom gilt: Die Menge der Paare schneidender Geraden ist offen in der Menge aller Paare von Geraden. Für stabile lp-Ebenen P, P' ist eine partielle Lineation ein Homöomorphismus zwischen offenen Unterebenen von P und P', welcher Geraden in Geraden abbildet. Inspiriert von der kompakt-offenen Topologie definieren wir auf der Menge aller partiellen Lineationen von P auf P' eine Topologie T derart, dass die Spurtopologie auf der Endomorphismen-Halbgruppe die kompakt-offene Topologie ist. Die Topologie T ist nicht hausdorffsch, aber wir beweisen, dass sie lokalkompakt ist, wenn die Punktmengen der Ebenen P und P' Mannigfaltigkeiten sind. Unter der Voraussetzung, dass der Punktraum eine Mannigfaltigkeit ist, erhalten wir die Lokalkompaktheit der Endomorphismen-Halbgruppe einer stabilen lp-Ebene versehen mit der kompakt-offenen Topologie.
Desweiteren untersuchen wir partielle Lineationen stabiler Dreiecke, das sind verallgemeinerte stabile Ebenen, und beweisen eine Verallgemeinerung des lokalen Fundamentalsatzes von Löwen: Jede partielle Lineation eines graphenzusammenhängenden stabilen Unterdreiecks einer projektiven Ebenen über einer der Divisions-Algeberen, welche über den Cayley-Dickson-Prozess konstruiert werden (also den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaterionen oder den Okterionen), lässt sich zu einem Automorphismus dieser Ebene fortsetzen.
Neben anderen Beispielen untersuchen wir die Menge der partiellen Lineationen der Pickert-Moulton-Ebene. Wir zeigen, dass jede bijektive Lineation zwischen zwei Pickert-Moulton-Ebenen stetig ist. Außerdem bestimmen wir die Automorphismen-Gruppe einer Pickert-Moulton-Ebene und deren Struktur: Die Automorphismen-Gruppe der Pickert-Moulton-Ebene über dem Körper F mit dem Knickfaktor k ist das semidirekte Produkt einer Gruppe, deren Elemente auf der Pickert-Moulton-Ebene lokal wie Elemente der Automorphismen-Gruppe der projektiven Ebene über dem Körper F wirken, und einer Gruppe, die isomorph ist zur Gruppe derjenigen ordnungserhaltenden Körperautomorphismen des Körpers F, welche den Knickfaktor k fixieren.A stable lp-plane is a topological linear space whose point space is locally compact and of finite and positive (topological) dimension and the domain of intersection is open in the set of pairs of lines. For stable lp-planes P, P' we study partial lineations. These are homeomorphisms between open subplanes of P and P', respectively, that preserve collinearity. Inspired by the compact-open topology we define a topology T on the set of all partial lineations between P and P'. The topology T is not Hausdorff, but we prove that it is locally compact if the point spaces of P and P' are manifolds. This entails the following: if the point space of a stable lp-plane is a manifold then the semigroup of endomorphisms is locally compact.
Furthermore we study a generalization of stable planes: stable triangles. We prove that every continuous and injective lineation of an open subtriangle of a classical projective plane over any one of the division algebras with can be constructed by the Cayley-Dickson process (the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions) can be extended to an automorphism of the projective plane. This is a generalization of L"owen's local fundamental theorem.
One example we study is the Pickert-Moulton plane. We show that every injective lineation between two Pickert-Moulton planes is continuous. Analysing the structure of the automorphism group of a Pickert-Moulton plane yields the following result: Let Mk(F) be the Pickert-Moulton-Plane over the field F, and let k be the factor of the kinked lines of Mk(F). Then the automorphism group of Mk(F) is a semidirect product of a group whose elements locally act on the Pickert-Moulton plane like elements of the automorphism group of the projective plane over the field F and a group which is isomorphic to the group of those order-preserving field automorphisms of F that fix k
Actions of compact groups on spheres and on generalized quadrangles
Get PDFAlle Wirkungen kompakter zusammenhängender Gruppen von genügend großer Dimension auf Sphären und auf zwei Arten von verallgemeinerten Vierecken werden im einzelnen beschrieben. Für Sphären läßt sich das Ergebnis wie folgt zusammenfassen: Jede treue stetige Wirkung einer kompakten zusammenhängenden Gruppe, deren Dimension 1 + dim SO(n-2) übersteigt, auf einer n-Sphäre ist linear, also äquivalent zur natürlichen Wirkung einer Untergruppe von SO(n+1). Unter ähnlichen Voraussetzungen untersuchen wir Wirkungen auf endlichdimensionalen kompakten verallgemeinerten Vierecken, deren Punktreihen Dimension 1 oder 4 haben. Hier zeigen wir, daß jede treue Wirkung einer kompakten Gruppe von genügend großer Dimension äquivalent ist zu einer Wirkung auf einem Moufang-Viereck, also auf einer Nebenklassengeometrie einer einfachen Lie-Gruppe, die durch ein BN-Paar beschrieben wird.
Die vorliegende Arbeit steht in der Tradition der Untersuchung kompakter projektiver Ebenen und neuerdings anderer kompakter verallgemeinerter Polygone durch Salzmann und seine Schule. Der dabei entstandene Leitgedanke, nur die Wirkung einer Gruppe von genügend großer Dimension vorauszusetzen, wird in dieser Arbeit erstmals für verallgemeinerte Vierecke durchgeführt. Wir setzen zusätzlich voraus, daß die Gruppe kompakt ist, um die hochentwickelte Theorie der Wirkungen kompakter Gruppen auf (Kohomologie-) Mannigfaltigkeiten für die topologische Inzidenzgeometrie weiter zu erschließen. Umgekehrt ermöglicht erst die spezifische Salzmannsche Fragestellung die Ergebnisse über Sphären, die ja dem Bereich der klassischen Theorie angehören. Indem die Klassifikation der kompakten Lie-Gruppen konsequent ausgenutzt wird, läßt sich das Problem auf die Behandlung weniger Serien von Gruppen zurückführen. Bei verallgemeinerten Vierecken zeigt man dagegen zuerst die Transitivität der Wirkung und benutzt dann die bestehende (teilweise hier neu bewiesene) Klassifikation.The actions of sufficiently high-dimensional compact connected groups on spheres and on two types of compact Tits buildings are classified explicitly. The result for spheres may be summarized as follows: every effective continuous action of a compact connected group whose dimension exceeds 1 + dim SO(n-2) on an n-sphere is linear, i.e. it is equivalent to the natural action of a subgroup of SO(n+1). Under similar hypotheses, we study actions on finite-dimensional compact generalized quadrangles whose point rows have dimension either 1 or 4. We find that every effective action of a sufficiently high-dimensional compact group is equivalent to an action on a Moufang quadrangle, i.e. on a coset geometry associated to a BN-pair in a simple Lie group. Both for spheres and for generalized quadrangles, the classification arises from an explicit description of the actions.
One main source for this thesis is the investigation of compact projective planes and, recently, other compact generalized polygons by Salzmann and his school. They developed the specific hypothesis of a sufficiently large group dimension, which here is applied to generalized quadrangles for the first time. Compactness of the group is a strong additional assumption which allows us to introduce the sophisticated theory of actions of compact groups on (cohomology) manifolds further into topological incidence geometry. Conversely, the results about spheres, which lie completely within the scope of the classical theory, are rendered possible by Salzmann's specific question. When combined with a thorough exploitation of the classification of compact Lie groups, it essentially reduces the problem to the consideration of a small number of series of groups. To obtain the results about generalized quadrangles, we first show transitivity of the action and then use, and partly re-prove, recent classification results
Skizzierte stabile Ebenen
No full textStandard objects in classical (topological) geometry are the real affine and hyperbolic planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane (endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability.
One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes - in fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane. Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes.
An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups. Planes of that type can be treated more efficiently studying these groups along with certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been gratifying.
Maier in his dissertation gives a classification of all 4-dimensional connected Lie groups which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group Gamma - the semidirect product of the real numbers and the 3-dimensional Heisenberg group - had not been expected, and it hosts an infinite number of stable partitions. Our objective is whether or not the resulting stable planes are embeddable into an already well known plane. Using sketches, it can be proved that none of these planes is embeddable into the classical complex projective plane.
As an interesting counterpoint, those planes - hostile as they are towards being embedded into classical planes - do contain an abundance of both, affine and non-affine 2-dimensional classical subplanes.
The full automorphism group of such a plane does not contain a certain selection of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble this automorphism group is : either it is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl(2,R). The normaliser Gamma in the full automorphism group turns out to be soluble, after all.
On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes so far have been point homogeneous geometries? And indeed, any line homegeneous sketched stable plane is necessarily flag homogeneous.Der Begriff der stabilen Ebenen verallgemeinert alltägliche klassische Ebenen wie die reelle affine Ebene oder die reelle hyperbolische Ebene. Besonders schöne Exemplare lassen sich aus Gruppen mit gewissen Partitionen konstruieren, die sogenannten skizzierten stabilen Ebenen. Die Gruppen, die solche stabilen Partitionen zulassen, sind sehr häufig Liegruppen und haben nach einem Satz von Löwen die Dimension 2, 4, 8 oder 16.
Maier klassifizierte alle vierdimensionalen Liegruppen mit stabilen Partitionen. Die stabilen Ebenen, die sich aus den vier Kandidaten ergeben, sind wohlbekannt - mit Ausnahme derer, die aus einer bestimmten Frobeniusgruppe Gamma, dem semidirekten Produkt aus den reellen Zahlen und der dreidimensionalen reellen Heisenberggruppe, entstehen. Diese Familie von Ebenen wird hier näher beleuchtet.
Neben dem erwähnten Konstruktionsmechanismus spielt der Begriff der Einbettung eine tragende Rolle. Beispielsweise lassen sich die affine und auch die hyperbolische reelle Ebene als offene Unterebenen einbetten in die reelle projektive Ebene, erschließen sich mithin dem gemeinsamen Zugriff mit Hilfe nur einer Theorie. Umgekehrt ist jede offene Unterebene einer stabilen Ebene wiederum eine stabile Ebene. Auf diesem Wege kann man sich also mit einer fremden stabilen Ebene vertraut machen - indem man nämlich eine bekannte Ebene findet, in die sie einbettbar wäre. Die begehrtesten "Betten" sind natürlich die klassischen stabilen Ebenen, also die projektiven Ebenen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Hamiltonschen Quaternionen und den Cayleyschen Oktaven.
Es wird nachgewiesen, dass keine der aus Gamma konstruierten stabilen Ebenen auf irgendeinem Wege in die vierdimensionale komplexe projektive Ebene eingebettet werden kann. Dieses Ergebnis schränkt die Suche nach der vollen Automorphismengruppe einer solchen Ebene deutlich ein: gewisse klassische Gruppen können nicht als Automorphismengruppen auftauchen, und mithin ist die volle Automorphismengruppe entweder selbst auflösbar oder enthält genau ein Exemplar einer Untergruppe mit Liealgebra sl(2,R). Der Normalisator der Gruppe in der vollen Automorphismengruppe der Ebene ist auflösbar.
Umgekehrt ergibt sich, dass diese Ebenen selber eine Vielzahl von zweidimensionalen Unterebenen enthalten, die affine oder nichtaffine Unterebenen der reellen affinen Ebene sind.
In allgemeinerem Kontext wird ausgeleuchtet, weshalb bislang keine anderen als punkthomogene skizzierte stabile Ebenen bekannt sind: jede geradenhomogene skizzierte stabile Ebene ist notwendigerweise bereits fahnenhomogen
Variations on the Author
Get PDF“Variations on the Author” discusses two of Eduardo Coutinho’s recent films (Um Dia na Vida, from 2010, and Últimas Conversas, posthumously released in 2015) and their contribution to the general question of documentary authorship. The director’s filmography is characterized by a consistent yet self-effacing form of authorial self-inscription: Coutinho often features as an interviewer that rather than express opinions propels discourses; an interviewer that is good at listening. This mode of self-inscription characterizes him as an author who is not expressive but who is nonetheless markedly present on the screen. In Um Dia na Vida, however, Coutinho is completely absent form the image, while Últimas Conversas, on the contrary, includes a confessional prologue that moves the director from the margins to the center of his films. This article examines the ways in which these works stand out in the filmography of a director who offers new insights into the notion of cinematic authorship
Appropriate Similarity Measures for Author Cocitation Analysis
Get PDFWe provide a number of new insights into the methodological discussion about author cocitation analysis. We first argue that the use of the Pearson correlation for measuring the similarity between authors’ cocitation profiles is not very satisfactory. We then discuss what kind of similarity measures may be used as an alternative to the Pearson correlation. We consider three similarity measures in particular. One is the well-known cosine. The other two similarity measures have not been used before in the bibliometric literature. Finally, we show by means of an example that our findings have a high practical relevance.information science;Pearson correlation;cosine;similarity measure;author cocitation analysis
Dispelling the Myths Behind First-author Citation Counts
Get PDFWe conducted a full-scale evaluative citation analysis study of scholars in the XML research field to explore just how different from each other author rankings resulting from different citation counting methods actually are, and to demonstrate the capability of emerging data and tools on the Web in supporting more realistic citation counting methods. Our results contest some common arguments for the continued
use of first-author citation counts in the evaluation of scholars, such as high correlations between author rankings by first-author citation counts and other citation
counting methods, and high costs of using more realistic citation counting methods that are not well-supported by the ISI databases. It is argued that increasingly available digital full text research papers make it possible for citation analysis studies to go beyond what the ISI databases have directly supported and to employ more
sophisticated methods
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