1,721,017 research outputs found
The Donovan--Wemyss Conjecture via the Derived Auslander--Iyama Correspondence
Get PDFWe provide an outline of the proof of the Donovan--Wemyss Conjecture in the
context of the Homological Minimal Model Program for threefolds. The proof
relies on results of August, of Hua and the second-named author, Wemyss, and on
the Derived Auslander--Iyama Correspondence -- a recent result by the first-
and third-named authors.Comment: 25 pages. v4: Corrected several minor typos. v3: New title; final
version; to appear in the proceedings of the Abel Symposium 2022:
Triangulated categories in representation theory and beyon
Decomposition of Modules over finite-dimensional Algebras
Get PDFWe investigate algorithms for decomposing a module over a finite-dimensional path algebra . The algorithms first have to construct the endomorphism ring
\End(M) = \Hom(M, M).
\noindent Consequently, we look at three different algorithms for constructing the set of homomorphisms \HomMN between two modules and . By extension we get \End_\Lambda(M) = \Hom_\Lambda(M, M). After calculating \End_\Lambda(M) we investigate in detail a method for decomposing the module , using a probabilistic approach by iteratively applying Fitting\textquotesingle s Lemma.
Finally, we provide asymptotic bounds for the runtime of all the algorithms. We then categorise them into complexity classes. Constructing the set of homomorphisms \HomMN is shown to be in the complexity class \textbf{P} of polynomial-time functions
Finitistic Dimension Conjecture
Get PDFI denne oppgaven oppsummerer vi arbeidet gjort på finitistisk dimensjonsformodning for endeligdimensjonale algebraer siden den først ble postulert i 1960. Vi fokuserer spesielt på å vise hvilke klasser av algebraer hvor det er kjent at formodningen er tilfredsstilt.In this thesis we summarize the progress that has been made on the finitistic dimension conjecture for finite dimensional algebras since its conception in 1960. Special emphasis is put on showing which classes of algebras are known to satisfy the conjecture
Quivers, Gröbner bases, and tensor products
No full textVi presenterer teori for Gröbner-basis i algebraer med multiplikativ basis, og spesielt for Gröbner-basis i vei-algebraer.
Vi viser hvordan man kan konstruere tensorproduktet av algebraer og som en kvotient av an vei-algebra, når og er gitt som kvotienter av vei-algebraer. Vi utvider dette til et nytt resultat som viser hvordan vi kan konstruere tensorproduktet , der er en annen algebra. I tillegg viser vi hvordan vi eksplisitt kan beskrive en Gröbner-basis for tilfellet der tensorproduktet tas over kroppen .
Vi undersøker også, gitt et kogger og et ideal som tilfredsstiller betingelsen
for en eller annen verdi av , hvordan vi kan finne et nytt kogger og et ideal slik at
og slik at er et tillatelig ideal, det vil si
for en eller annen verdi av
Quivers, Gröbner bases, and tensor products
Get PDFVi presenterer teori for Gröbner-basis i algebraer med multiplikativ basis, og spesielt for Gröbner-basis i vei-algebraer.
Vi viser hvordan man kan konstruere tensorproduktet av algebraer og som en kvotient av an vei-algebra, når og er gitt som kvotienter av vei-algebraer. Vi utvider dette til et nytt resultat som viser hvordan vi kan konstruere tensorproduktet , der er en annen algebra. I tillegg viser vi hvordan vi eksplisitt kan beskrive en Gröbner-basis for tilfellet der tensorproduktet tas over kroppen .
Vi undersøker også, gitt et kogger og et ideal som tilfredsstiller betingelsen
for en eller annen verdi av , hvordan vi kan finne et nytt kogger og et ideal slik at
og slik at er et tillatelig ideal, det vil si
for en eller annen verdi av .We present the theory of Gröbner bases in algebras with a multiplicative basis, and in particular of Gröbner bases in path algebras.
We show how to construct the tensor product of algebras and as a quotient of a path algebra, when and are given as quotients of path algebras. We extend this to a new result showing how we can construct the tensor product , where is another algebra. Additionally, we show how we can explicitly describe a Gröbner basis for the case where the tensor product is taken over the field .
We also investigate how, given a quiver and an ideal satisfying the condition
for some , we can find a new quiver and ideal such that
and such that is an admissible ideal, i.e.\
for some
Additive og subadditive funksjoner og Auslander-Reiten-quiver
Get PDFI denne oppgaven studerer vi Cartanmatriser, additive og subadditive funksjoner og translasjonsquivre. Spesielt vil vi se hvordan additive og subadditive funksjoner er definert både for Cartanmatriser og for translasjonsquivre, og hvordan disse funksjonene gir restriksjoner for Cartanklassen til et stabilt valuert sammenhengende translasjonsquiver som inneholder et periodisk hjørne. Videre vil vi bruke denne informasjonen til å bevise at Cartanklassen til en komponent i det stabile Auslander-Reiten-quiveret over en Artinsk algebra som inneholder periodiske moduler er enten et Dynkindiagram eller
Algebraens fundamentalteorem
No full textAlgebraens fundamentalteorem lyder som følgende:
Alle polynomer med komplekse koeffisienter har en kompleks rot.
I denne oppgaven skal vi se på et bevis for fundamentalteorem utledet av Harm Derksen.
Beviset baserer seg på lineær algebra og går ut på å se på n x n-matriser som kommuterer og vise at de har en felles egenvektor. Gjennom å vise dette ønsker vi å bevise at det karakteristiske polynomet har en egenverdi, og dermed eksisterer det et nullpunkt.
Oppgaven er delt opp i fem seksjoner, hvor den første er introduksjonen. Den andre seksjonen gjengir regneregler vi har for matriser. I den tredje seksjonen blir preliminære resultater presentert. Disse resultatene er ikke direkte knyttet opp til beviset av algebraens fundamentalteorem, men vi kommer til å bruke de som støtte. Harm Derksen sitt bevis blir presentert i seksjon fire. Avslutningsvis så kommer det til å bli presentert to alternative bevis for fundamentalteorem, samt konsekvenser av det
Text Classification via Topological Data Analysis
Get PDFModerne generative språkmodeller som ChatGPT har en bemerkelsesverdig evne til å generere tekster som er vanskelige å skille fra menneskeskrevne tekster. Topologisk dataanalyse (TDA) brukes til å studere formen på data, og kan trekke ut betydelig kvalitativ og kvantitativ informasjon fra komplekse datasett. Denne masteroppgaven gir en introduksjon til matematikken som ligger til grunn for hovedverktøyet innen TDA, persistent homologi. Deretter presenterer vi teknikker innen naturlig språkprosessering (NLP) som kan transformere tekster til mengder av vektorer, med en tilhørende geometri som kan analyseres ved hjelp av TDA. Til slutt utforsker vi bruken av TDA i eksperimenter som involverer gjenkjenning av maskingenererte tekster.Recent generative language models such as ChatGPT have demonstrated a remarkable capacity to generate texts that are difficult to distinguish from human-written texts. Topological Data Analysis (TDA) is concerned with the shape of data and can extract significant qualitative and quantitative information from complex datasets. This thesis provides an introduction to the mathematics underlying the main tool of TDA, persistent homology. We then present techniques from the field of Natural Language Processing (NLP) that can transform texts to collections of vectors whose shapes may be analyzed using TDA. Finally, we explore the application of TDA to tasks involving detection of machine-generated texts
Support Varieties for Finite Dimensional Algebras
Get PDFWe give a presentation of the theory of support varieties for finite dimensional
algebras A using the Hochschild cohomology ring. Our presentation is especially
focused on the finite generation hypotheses an algebra must satisfy to have an adequate
theory of support varieties, as well as the consequences of these hypotheses
for the complexity of the modules of such an algebra. To demonstrate that certain
aspects of the corresponding theory for group algebras can be recovered, we show
that by assuming the finite generation hypotheses we can prove that every closed
homogeneous variety is the variety of some module. Following this, we investigate
whether a result of Purin in [29] concerning the complexity of trivial extensions of
hereditary algebras can be generalized: Firstly, using a result of Benson and some
well-known results concerning radical square zero algebras, we give an example
that shows that an algebra A can be of finite representation type while its trivial
extension T(A) has infinite complexity, hence showing that a straightforward generalization
of Purin's result is not available. After this, we derive a weak bound on
the length of the terms of the minimal T(A)-projective resolution of an A-module
considered as a T(A)-module. Following this, we utilize the proof of a result of
Guo et al. in [22] in giving a description of the syzygies and the minimal T(A)-
projective resolution of an A-module considered as a T(A)-module. Using this and
a result by Dichi and Sangare in [16], we are able to show that if a selfinjective
algebra A satisfies the finite generation hypotheses (Fg) then the complexity of
T(A) is exactly one greater than that of A
Path Algebras of Coverings and Twisted Tensor Products
No full textThe first part of the thesis introduces and discusses the twisted tensor product of two algebras. This is then used to show how the path algebra of a covering quiver relates to the quiver it is a covering of. In the end the Hochschild cohomology is introduced and it is briefly discussed whether or not taking Hochschild cohomology commutes with the twisted tensor product
- …
