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Extension de l'homomorphisme de Calabi aux cobordismes lagrangiens
Get PDFCe mémoire traite de la construction d’un nouvel invariant des cobordismes lagrangiens. Cette construction est inspirée des travaux récents de Solomon dans lesquels une extension de l’homomorphisme de Calabi aux chemins lagrangiens exacts est donnée. Cette extension fut entre autres motivée par le fait que le graphe d’une isotopie hamiltonienne est un chemin lagrangien exact. Nous utilisons la suspension lagrangienne, qui associe à chaque chemin lagrangien exact un cobordisme lagrangien, pour étendre la construction de Solomon aux cobordismes lagrangiens. Au premier chapitre nous donnons une brève exposition des propriétés élémentaires des variétés symplectiques et des sous-variétés lagrangiennes. Le second chapitre traite du groupe des difféomorphismes hamiltoniens et des propriétés fondamentales de l’homomorphisme de Calabi. Le chapitre 3 est dédié aux chemins lagrangiens, l’invariant de Solomon et ses points critiques. Au dernier chapitre nous introduisons la notion de cobordisme lagrangien et construisons le nouvel invariant pour finalement analyser ses points critiques et l’évaluer sur la trace de la chirurgie de deux courbes sur le tore. Dans le cadre de ce calcul, nous serons en mesure de borner la valeur du nouvel invariant en fonction de l’ombre du cobordisme, une notion récemment introduite par Cornea et Shelukhin.In this master's thesis, we construct a new invariant of Lagrangian cobordisms. This construction is inspired by the recent works of Solomon in which an extension of the Calabi homomorphism to exact Lagrangian paths is given. Solomon's extension was motivated by the fact that the graph of any Hamiltonian isotopy is an exact Lagrangian path. We use the Lagrangian suspension construction, which associates to every exact Lagrangian path a Lagrangian cobordism, to extend Solomon's invariant to Lagrangian cobordisms. In the first chapter, we give a brief introduction to the elementary properties of symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we present an introduction to the group of Hamiltonian diffeomorphisms and discuss the fundamental properties of the Calabi homomorphism. Chapter 3 is dedicated to Lagrangian paths, Solomon's invariant and its critical points. In the last chapter, we introduce the notion of Lagrangian cobordism and we construct the new invariant. We analyze its critical points and evaluate it on the trace of the Lagrangian surgery of two curves on the torus. In this setting we further bound the new invariant in terms of the shadow of the cobordism, a notion recently introduced by Cornea and Shelukhin
Extension de l'homomorphisme de Calabi aux cobordismes lagrangiens
No full textCe mémoire traite de la construction d’un nouvel invariant des cobordismes lagrangiens. Cette construction est inspirée des travaux récents de Solomon dans lesquels une extension de l’homomorphisme de Calabi aux chemins lagrangiens exacts est donnée. Cette extension fut entre autres motivée par le fait que le graphe d’une isotopie hamiltonienne est un chemin lagrangien exact. Nous utilisons la suspension lagrangienne, qui associe à chaque chemin lagrangien exact un cobordisme lagrangien, pour étendre la construction de Solomon aux cobordismes lagrangiens. Au premier chapitre nous donnons une brève exposition des propriétés élémentaires des variétés symplectiques et des sous-variétés lagrangiennes. Le second chapitre traite du groupe des difféomorphismes hamiltoniens et des propriétés fondamentales de l’homomorphisme de Calabi. Le chapitre 3 est dédié aux chemins lagrangiens, l’invariant de Solomon et ses points critiques. Au dernier chapitre nous introduisons la notion de cobordisme lagrangien et construisons le nouvel invariant pour finalement analyser ses points critiques et l’évaluer sur la trace de la chirurgie de deux courbes sur le tore. Dans le cadre de ce calcul, nous serons en mesure de borner la valeur du nouvel invariant en fonction de l’ombre du cobordisme, une notion récemment introduite par Cornea et Shelukhin.In this master's thesis, we construct a new invariant of Lagrangian cobordisms. This construction is inspired by the recent works of Solomon in which an extension of the Calabi homomorphism to exact Lagrangian paths is given. Solomon's extension was motivated by the fact that the graph of any Hamiltonian isotopy is an exact Lagrangian path. We use the Lagrangian suspension construction, which associates to every exact Lagrangian path a Lagrangian cobordism, to extend Solomon's invariant to Lagrangian cobordisms. In the first chapter, we give a brief introduction to the elementary properties of symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we present an introduction to the group of Hamiltonian diffeomorphisms and discuss the fundamental properties of the Calabi homomorphism. Chapter 3 is dedicated to Lagrangian paths, Solomon's invariant and its critical points. In the last chapter, we introduce the notion of Lagrangian cobordism and we construct the new invariant. We analyze its critical points and evaluate it on the trace of the Lagrangian surgery of two curves on the torus. In this setting we further bound the new invariant in terms of the shadow of the cobordism, a notion recently introduced by Cornea and Shelukhin
Distribution of reflection points of periodic billiard trajectories in a strictly convex table
Get PDFCe mémoire de maîtrise porte sur les billards mathématiques et la distribution des points de réflexion des trajectoires périodiques d’une table de billard strictement convexe. Un billard mathématique est un système dynamique généré par le mouvement libre d’une particule à l’intérieur d’un domaine dont la frontière est parfaitement réfléchissante. Une question d’intérêt particulier dans l’étude des billards mathématiques est celle de ses trajectoires périodiques. Nous considérons le cas des billards planaires strictement convexes. Il est connu que les points de réflexion des trajectoires périodiques de période n faisant un tour de table sont équidistribués par rapport à une mesure naturelle sur la frontière. Nous montrons ce résultat par une méthode nouvelle et relativement élémentaire utilisant la théorie de Lazuktin [12]. Dans le premier chapitre, nous donnons une description précise de la dynamique des billards et une brève introduction à la théorie de Lazuktin, aux applications de torsion et aux caustiques. Dans les chapitres 2 à 4, nous développons chacun des concepts précédents et expliquons comment ceux-ci sont liés aux billards. Le chapitre 5 est consacré à la preuve de notre résultat principal, divisée en deux parties. Nous concluons en donnant une annexe sur la théorie de la mesure.This master’s thesis is concerned with mathematical billiards and distribution of reflection points of periodic trajectories of a strictly convex billiard table. A mathematical billiard is a dynamical system generated by the free motion of a particle inside of a domain with a perfectly reflecting boundary. A question of particular interest in the study of mathematical billiards is that of its periodic trajectories. We consider the case of planar strictly convex billiards. It is known that the reflection points of periodic trajectories of period n making one turn around the table are equidistributed with respect to a natural measure on the boundary. We show this result by a new and relatively elementary method using Lazuktin’s theory [12]. In the first chapter, we give a precise description of billiard dynamics and a brief introduction of Lazuktin’s theory, twist mappings and caustics. In Chapter 2 to 4, we elaborate each of the previous concepts and explain how they are related to billiards. Chapter 5 is dedicated to the proof of our main result, divided into two parts. We conclude by giving an appendix about measure theory
Sur la dynamique hamiltonienne et les actions symplectiques de groupes
Get PDFCette thèse contient quatre articles qui étudient les phénomènes de rigidité des transforma- tions hamiltoniennes des variétés symplectiques.
Le premier article, rédigé en collaboration avec Egor Shelukhin, examine les obstructions à l’existence de symétries hamiltoniennes d’ordre fini sur une variété symplectique fermée (M,ω); c’est-à-dire de torsion hamiltonienne. En d’autres termes, nous étudions les sous- groupes finis du groupe des difféomorphismes hamiltoniens Ham(M,ω). Nous identifions trois sources principales d’obstructions:
Contraintes topologiques. Inspirés par un résultat de Polterovich montrant que les variétés symplectiques asphériques n’admettent pas de torsion hamiltonienne, nous établissons que la présence d’un sous-groupe fini non trivial de Ham(M, ω) implique l’existence d’une sphère A ∈ π2(M) avec ⟨[ω],A⟩ > 0 et ⟨c1(M),A⟩ > 0. En particulier, les variétés symplectiques négativement monotones et les variétés symplectiques Calabi-Yau n’admettent pas de torsion hamiltonienne.
Présence de courbes J-holomorphes. De manière générale, il y a de nombreux exemples de torsion hamiltonienne, par exemple toute rotation de la sphère de dimension deux par une fraction irrationnelle de π. Lorsque (M,ω) est positivement monotone, nous montrons que l’existence de torsion hamiltonienne impose une condition géométrique qui implique que les sphères J-holomorphes non constantes sont présentes partout. Ce phénomène était prédit dans une liste de problèmes contenue dans la monographie d’introduction de McDuff et de Salamon.
Rigidité métrique spectrale. Notre analyse révèle que, pour les variétés symplectiques posi- tivement monotones, il existe un voisinage de l’identité dans Ham(M,ω) dans la topologie induite par la métrique spectrale qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial.
Le principal résultat du deuxième article établit que, pour une large classe de variétés sym- plectiques, le flux d’un lacet de difféomorphismes symplectiques est entièrement déterminé par la classe d’homotopie de ses orbites. Comme application, nous obtenons de nouveaux exemples où l’existence d’un point fixe d’une action symplectique du cercle implique qu’elle est hamiltonienne et de nouvelles conditions assurant que le groupe de flux est trivial. De plus, nous obtenons des obstructions à l’existence d’éléments non triviaux de Symp0(M,ω) ayant un ordre fini.
Le troisième article, rédigé en collaboration avec Han Lou, démontre une version de la conjecture de Hofer-Zehnder pour les variétés symplectiques fermées semi-positives dont l’homologie quantique est semi-simple; ce résultat généralise le travail révolutionnaire de Shelukhin sur les variétés symplectiques monotones. Le résultat montre qu’un difféomor- phisme hamiltonien possédant plus de points fixes contractiles, comptés homologiquement, que le nombre total de Betti de la variété doit avoir une infinité de points périodiques. La composante clé de la preuve est une nouvelle étude de l’effet de la réduction modulo p, un nombre premier, sur les bornes de l’homologie de Floer filtrée qui proviennent de la semi- simplicité. Cette étude repose sur la théorie des extensions algébriques des corps équipés d’une norme non-archimédienne.
Le quatrième article, écrit en collaboration avec Habib Alizadeh et Dylan Cant, examine la déplaçabilité d’une sous-variété lagrangienne fermée L d’une variété symplectique convexe á l’infini par un difféomorphisme hamiltonien à support compact. Nous concluons qu’un difféomorphisme hamiltonien φ dont la norme spectrale est plus petite qu’un ħ(L) > 0 ne dépendant que de L ⊆ W ne peut pas déplacer L. De plus, nous établissons une estimation du nombre de valeurs d’action en terme de la longueur du cup-produit pour le nombre de valeurs d’action; lorsque L est rationnelle, cela implique une estimation du nombre de points d’intersection L ∩ φ(L) en terme de la longueur du cup-produit. Ainsi, nous montrons que le nombre de points fixes d’un difféomorphisme hamiltonien d’une variété symplectique fermée rationnelle (M, ω) dont la norme spectrale est plus petite que la constante de rationalité est au moins de 1 plus la longueur du cup-produit de M.This thesis comprises four articles that study rigidity phenomena of Hamiltonian transfor- mations of symplectic manifolds.
The first article, co-authored with Egor Shelukhin, examines obstructions to the existence of Hamiltonian symmetries of finite order on a closed symplectic manifold (M,ω); Hamil- tonian torsion. In other words, we study the finite subgroups of the group of Hamiltonian diffeomorphisms Ham(M, ω). We identify three primary sources of obstructions:
Topological constraints. Inspired by a result of Polterovich showing that symplectically aspherical symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion, we establish that the presence of a non-trivial finite subgroup of Ham(M,ω) implies that there exists a sphere A ∈ π2(M) with ⟨[ω],A⟩ > 0 and ⟨c1(M),A⟩ > 0. In particular, symplectically Calabi-Yau, and spherically negative-monotone symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion.
The presence of J-holomorphic curves. For general closed symplectic manifolds, there are plenty of examples of Hamiltonian torsion, for instance, any rotation of the two-sphere by an irrational fraction of π. When (M, ω) is spherically positive-monotone, we show the existence of Hamiltonian torsion imposes geometrical uniruledness, which implies that non-constant J-holomorphic spheres are ubiquitous. This phenomenon was predicted in a list of problems contained in the introductory monograph of McDuff and Salamon.
The spectral metric rigidity. Our study reveals that for spherically positive-monotone (M, ω), there exists a neighbourhood of the identity in Ham(M,ω), in the topology induced by the spectral metric, that does not contain any non-trivial finite subgroup.
The main result of the second article establishes that for a broad class of symplectic manifolds the flux of a loop of symplectic diffeomorphisms is completely determined by the homotopy class of its orbits. As an application, we obtain a new vanishing result for the flux group and new instances where the existence of a fixed point of a symplectic circle action implies that it is Hamiltonian. Moreover, we obtain obstructions to the existence of non-trivial elements of Symp0(M,ω) that have finite order.
The third article, co-authored with Han Lou, proves a version of the Hofer-Zehnder conjec- ture for closed semipositive symplectic manifolds whose quantum homology is semisimple; this result generalizes the groundbreaking work of Shelukhin in the spherically positive- monotone setting. The result shows that a Hamiltonian diffeomorphism possessing more contractible fixed points, counted homologically, than the total Betti number of the mani- fold, must have infinitely many periodic points. The key component of the proof is a new study of the effect of reduction modulo a prime on the bounds on filtered Floer homology that arise from semisimplicity. It relies on the theory of algebraic extensions of non-Archimedean normed fields.
The fourth article, co-authored with Habib Alizadeh and Dylan Cant, investigates the dis- placeability of a closed Lagrangian submanifold L of a convex-at-infinity symplectic manifold by a compactly supported Hamiltonian diffeomorphism. We conclude that a Hamiltonian diffeomorphism φ whose spectral norm is smaller than some ħ(L) > 0, depending only on L ⊂ W , cannot displace L. Furthermore, we establish a cup-length estimate for the number of action values; when L is rational, this implies a cup-length estimate on the number of intersection points L ∩ φ(L). As a corollary, we demonstrate that the number of fixed points of a Hamiltonian diffeomorphism of a closed rational symplectic manifold (M,ω), whose spectral norm is smaller than the rationality constant, is bounded below by one plus the cup-length of M
Sur le diamètre du groupe de difféomorphismes du cube préservant les volumes
Get PDFDans ce mémoire de maîtrise, nous étudions le groupe des difféomorphismes du cube qui préservent les volumes, avec la métrique L2. Ces fonctions représentent les configurations d’un fluide incompressible dans un cube. La distance entre deux configurations dans ce contexte est définie par l’énergie cinétique minimale nécessaire pour passer de l’une à l’autre. Nous présenterons un résultat de Shnirelman qui établit que le diamètre de ce groupe est fini. Cela signifie que pour toute paire de configurations, l’énergie minimale requise pour passer de l’une à l’autre est bornée. Shnirelman montre également qu’il existe des configurations pour lesquelles il n’existe pas de chemin minimal en termes d’énergie cinétique entre les deux. Dans le premier chapitre, nous définissons les objets d’étude qui seront utilisés tout au long du mémoire. Le deuxième chapitre présente le résultat principal de l’article, qui consiste en une borne sur la distance entre deux configurations, et nous montrons comment ce résultat permet de conclure que le diamètre du groupe est fini. Nous construisons également, dans ce chapitre, une configuration pour laquelle la distance par rapport à l’identité ne peut pas être minimisée. Le chapitre 3 est consacré aux flots discrets, tandis que le chapitre 4 expose comment certaines configurations peuvent être approximées par des flots discrets. Enfin, le chapitre 5 traite de la démonstration du résultat principal.In this master’s thesis, we delve into the study of the group of volume-preserving diffeomor- phisms of the cube, equipped with the L2 metric. These functions represent configurations of an incompressible fluid within a cube. The distance between two configurations in this context is defined by the minimal kinetic energy required to transition from one to the other. We will present a result by Shnirelman establishing that the diameter of this group is finite. This means that for any pair of configurations, the minimal energy required to transition from one to the other is bounded. Shnirelman also shows that there exist configurations for which there is no minimizing path between them in terms of kinetic energy. In the first chapter, we define the objects of study that will be used throughout the thesis. The second chapter presents the main result of the paper, which is a bound on the distance between two configurations, and we demonstrate how this result leads to the conclusion that the diameter of the group is finite. Additionally, in this chapter, we construct a configuration for which the length with respect to the identity cannot be minimized. Chapter 3 is devoted to discrete flows, while Chapter 4 explains how certain configurations can be approximated by discrete flows. Finally, Chapter 5 deals with the proof of the main result
Diamètre spectral et cohomologie symplectique
Get PDFLe groupe de difféomorphismes hamiltoniens à support compact d’une variété
symplectique admet une distance naturelle bi-invariante, d’après les
travaux de Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder et Schlenk, construite à partir
des invariants spectraux en homologie de Floer Hamiltonienne. Cette
distance, appelée la norme spectrale, s’est révélée être un outil fort utile en
topologie symplectique. Par contre, son diamètre reste inconnu en général.
En fait, pour les variétés symplectiques fermées, il n’existe même pas de
critère pour déterminer si la norme spectrale a un diamètre fini ou infini.
Il a été conjecturé que, pour les variétés symplectiquement asphériques, le
diamètre de la norme spectrale est infini.
Dans cette thèse, nous démontrons que pour tout domaine de Liouville, la
norme spectrale a un diamètre infini si et seulement si la cohomologie symplectique
du domaine de Liouville en question est non nulle. Ceci généralise
un résultat de Monzner-Vichery-Zapolsky et admet plusieurs applications
dans le cadre des variétés symplectiques fermées. En particulier, nous démontrons
que le produit de deux variétés symplectiquement asphériques a
un diamètre spectral infini. Plus généralement, nous démontrons que toute
variété symplectiquement asphérique contenant un domaine de Liouville incompressible
de codimension zéro avec cohomologie symplectique non nulle
doit avoir un diamètre spectral infini.The group of compactly supported Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic
manifold is endowed with a natural bi-invariant distance, due to
Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder and Schlenk, coming from spectral invariants
in Hamiltonian Floer homology. This distance, called the spectral
norm, has found numerous applications in symplectic topology. However,
its diameter is still unknown in general. In fact, for closed symplectic manifolds
there is no unifying criterion for the diameter to be finite or infinite.
It has been conjectured that for closed symplectically aspherical manifolds,
the spectral norm has infinite diameter.
In this thesis, we prove that for any Liouville domain the spectral norm has
infinite diameter if and only if its symplectic cohomology does not vanish.
This generalizes a result of Monzner-Vichery-Zapolsky and has applications
in the setting of closed symplectic manifolds. For instance, we show that the
product of two closed symplectically aspherical manifold has an infinite spectral
diameter . More generally, we prove that any symplectically aspherical
manifold which contains an incompressible Liouville domain of codimension
zero with non-vanishing symplectic cohomology must have infinite spectral
diameter
Borne géométrique sur le code-barres d'une fonction
Get PDFLes années 2000 ont vu naître l'homologie de persistance, un outil visant à construire l'homologie d'une variété par le biais de techniques provenant de la science des données. Un des intérêts de cette construction, qui prend à la base une forme algébrique, est qu'elle peut être mise en relation avec une autre construction, plus facile à interpréter d'un point de vue analytique et géométrique: un code-barres. Sur une variété lisse , celui-ci prend la forme d'une collection d'intervalles dont les intervalles infinis nous permettent de lire l'homologie de . Il est donc pertinent de pouvoir compter les barres d'une longueur supérieure à un nombre fixé . Un tel code barre peut être engendré par une fonction lisse . Le récent article \cite{Egor} de Buhovsky, Payette, Polterovich, Polterovich, Shelukhin et Stojisavljević, établit une inégalité mettant en relation les barres de longueur supérieure à un nombre dans le code-barres engendré par et le volume du graphe de cette fonction, vu comme une sous-variété du fibré cotangent . Cette inégalité prend la forme où le côté gauche est le nombre de barres de longueur supérieure à , est le volume du graphe de vu comme une sous-variété de , qu'on a muni de la métrique de Sasaki, et est une constante dépendant de et de quelques données sur la variété . L'objet de ce mémoire est d'expliciter la dépendance en du nombre . Nous y parviendrons en utilisant quelques techniques de géométrie intégrales, utilisées de façon similaire dans l'article \textit{Topological entropy of hamiltonian diffeomorphisms: a persistence homology and floer theory perspective} de Çineli, Ginzburg et Gürel.The 2000s saw the emergence of persistence homology, a tool for constructing the homology of a manifold using techniques from data science. One of the advantages of this construction, which is of an algebraic nature, is that it can be linked to another construction that is easier to interpret from an analytical and geometric point of view: a barcode. On a smooth manifold , this takes the form of a collection of intervals, whose infinite intervals allow us to read the homology of . It is therefore useful to be able to count bars longer than a fixed number . Such a barcode can be generated by a smooth function . The recent article \cite{Egor} by Buhovsky, Payette, Polterovich, Polterovich, Shelukhin, and Stojisavljević establishes an inequality relating bars of length greater than a number in the barcode generated by and the volume of the graph of this function, viewed as a submanifold of the cotangent bundle . This inequality takes the form where the left-hand side is the number of bars longer than , is the volume of the graph of viewed as a submanifold of , equipped with the Sasaki metric, and is a constant depending on and some structural information on the manifold . The purpose of this thesis is to explain the dependence of the number on . We will achieve this by using some integral geometry techniques, used in a similar way in the paper \textit{Topological entropy of hamiltonian diffeomorphisms: a persistence homology and floer theory perspective} by Çineli, Ginzburg and Gürel
K-theoretic invariants in symplectic topology
Get PDFEn employant des méthodes de la théorie de Chern-Weil, Reznikov produit une condition suffisante qui assure la non-trivialité de la projectivisation d'un fibré vectoriel complexe en tant que fibré Hamiltonien.
Dans le contexte de la quantification géométrique, Savelyev et Shelukhin introduisent un nouvel invariant des fibrés Hamiltoniens avec valeurs dans la K-théorie et étendent le résultat de Reznikov. Cet invariant est donné par l'indice d'Atiyah-Singer d'une famille d'opérateurs de Dirac.
Dans ce mémoire, on s'intéresse à des fibrés Hamiltoniens résultant d'un produit fibré et d'un produit cartésien d'une collection de fibrés projectifs complexes . En usant des mêmes méthodes que Shelukhin et Savelyev, on définit une famille d'opérateurs de Dirac qui agissent sur les sections d'un fibré de Dirac canonique à valeurs dans un fibré pré-quantique. L'indice de famille produit un invariant de fibrés Hamiltoniens avec fibres données par un produit d'espaces projectifs complexes et permet de construire des exemples de fibrés Hamiltoniens non-triviaux.Using methods of Chern-Weil Theory, Reznikov provides a sufficient condition for the non-triviality of the projectivization of a complex vector bundle as a Hamiltonian fibration. In the setting of geometric quantization, Savelyev and Shelukhin introduce a new invariant of Hamiltonian fibrations and a K-theoretic lift of Reznikov's result. This invariant is given by the Atiyah-Singer index of a family of -Dirac operators.
In this thesis, we consider Hamiltonian fibrations given by the Cartesian product and the fiber product of a collection of complex projective bundles . Using the same methods as Savelyev and Shelukhin, we define a family of -Dirac operators acting on sections of a canonical Dirac bundle with values in a suitable prequantum fibration. The family index gives then an invariant of Hamiltonian fibrations with fibers given by a product of complex projective spaces and allows to construct examples of non-trivial Hamiltonian fibrations
Invariants symplectiques et fragmentation des difféomorphismes hamiltoniens
Get PDFCette thèse est une collection de quatre articles rédigés par l’auteur pendant son programme
de doctorat. La plupart des résultats des articles se concentrent sur la théorie de Floer et les
invariants numériques extraits des homologies de Floer filtrées. Une brève description des
résultats de chaque article est fournie ci-dessous.
Le premier article (Chapitre 1) concerne le groupe des difféomorphismes préservant la forme
ωᵏ. On démontre que la composante de l’identité du groupe des difféomorphismes d’une
variété symplectique (M, ω) préservant la forme ωᵏ pour k < n coïncide avec la composante
de l’identité du groupe des symplectomorphismes. Ce n’est pas le cas pour k = n, en raison
du célèbre théorème de non-plongement symplectique [Gro85].
Le deuxième article (Chapitre 2) concerne les intersections lagrangiennes. Nous prouvons
que, étant donné une sous-variété lagrangienne rationnelle fermée L d’une variété symplectique
convexe compacte W, pour chaque difféomorphisme hamiltonien f de W avec
γ(f) < ρ(L), où ρ(L) est la constante de rationalité de L, on a #f(L) ∩ L ≥ cl(L,Z/2) + 1.
Cela généralise les résultats de [Pol93, Che98, KS21].
Dans le troisième article (Chapitre 3), nous montrons que la capacité spectrale de la boule
de Darboux standard est égale à sa capacité standard. Nous calculons ensuite les capacités
spectrales des ellipsoïdes symplectiques et des polydisques. De plus, nous prouvons que si
deux boules disjointes de capacités a and b se plongent symplectiquement dans un ouvert
U d’une variété symplectique asphérique, alors la capacité spectrale de U est au moins
a + b. En corollaire, nous présentons une preuve alternative du théorème de l’empilement
de deux boules de Gromov. Des résultats analogues sont obtenus pour les espaces projectifs
complexes. Le quatrième article (Chapitre 4) étudie la fragmentation hamiltonienne en dimension
quatre. Nous prouvons que, pour un ϵ > 0 donné, chaque difféomorphisme hamiltonien
C⁰-petit de × peut être décomposé en N = N(ε) difféomorphismes hamiltoniens, chacun
supporté dans D × D, pour un certain disque topologique D dont l’aire est plus petite que
ϵ. Cela constitue le premier résultat de fragmentation hamiltonienne en quatre dimensions à la suite de [Fat80, LR10, EPPK12]. Comme applications, nous prouvons la C0-continuité
des estimateurs spectraux de Polterovich-Shelukhin et détectons un plongement isométrique
de C∞ c (0,b) muni la distance C0 dans le groupe Ham(D × D) muni de la distance de Hofer.Most of the results of the (four) articles included in this thesis focus on Floer theory and
numerical invariants extracted from the filtered Floer homologies. A brief description of the
results from each article is provided below.
The first article (Chapter 1) is about the group of diffeomorphisms that preserve the form
ωk. It is shown that the identity component of the group of diffeomorphisms of a symplectic
manifold (M2n, ω) preserving the form ωk for k < n coincides with the identity component
of the group of symplectomorphisms. This is not the case for k = n due to the famous
symplectic non-squeezing theorem of Gromov [Gro85].
The second article (Chapter 2), concerns Lagrangian intersections. Let L be a closed rational
Lagrangian submanifold of a compact convex symplectic manifold W with a rationality
constant ρ. We prove that for every compactly supported Hamiltonian diffeomorphism f of
W with γ(f) < ρ(L) one has #f(L) ∩ L ≥ cl(L,Z/2) + 1. This generalized the results of
Polterovich [Pol93], Chekonov [Che98] and Kislev-Shelukhin [KS21].
In the third article (Chapter 3), we show that the spectral capacity of a Darboux ball is
equal to its standard capacity, πr2 where r is the radius of the ball. We compute the spectral
capacities of ellipsoids and polydisks. We show that if two disjoint balls with capacities a
and b symplectically embed in an open set U of an aspherical symplectic manifold, then the
spectral capacity of U is at least a + b. This gives an alternative proof of Gromov’s two
ball-packing theorem. Analogous results are obtained for complex projective spaces.
The fourth article (Chapter 4), studies Hamiltonian fragmentation in dimension four.
We prove that for a given ϵ > 0 every C0-small enough Hamiltonian diffeomorphism of
D × D can be decomposed into N = N(ϵ) Hamiltonian diffeomorphisms, each supported in
D × D, for some topological disk D, can be different for each fragment, with area smaller
than ϵ. This is the first four-dimensional Hamiltonian fragmentation result subsequent
to the two-dimensional results [Fat80, LR10, EPPK12]. We prove the C0-continuity of
Polterovich-Shelukhin spectral estimators and detect an isometric embedding of C∞
c (0,b) with C0-distance into the group Ham(D × D) equipped with the Hofer distance
Topologie symplectique qualitative et quantitative des fibrés cotangents
Get PDFCette thèse explore les propriétés quantitatives et qualitatives des fibrés cotangents T∗M de variétés lisses fermées M, d’un point de vue symplectique.
Les aspects quantitatifs concernent le problème d’empilement de boules symplectiques dans un voisinage ouvert W de la section nulle. Nous introduisons une fonction de type distance ρW sur la section nulle M en utilisant l’empilement symplectique de deux boules. Dans le cas où W est le fibré en disques unitaire associé à une métrique riemannienne g, nous montrons comment reconstruire la métrique g à partir de ρW. Comme étape intermédiaire, nous construisons un plongement symplectique de la boule B2n(2/√π) de capacité 4 dans le produit de disques unitaires lagrangiens Bn(1) × Bn(1). Une telle construction implique la conjecture de Viterbo forte pour Bn(1) × Bn(1).
Nous donnons aussi une borne sur le rayon relatif de Gromov Gr(M, W) lorsque M admet une action non-contractile de S1. La borne est donnée en termes de l’action symplectique des relevés des orbites non-contractiles de l’action de S1. Nous donnons aussi des exemples de cas où cette borne est optimale. Ce résultat fait partie d’un travail en collaboration avec Dylan Cant. La deuxième partie du travail est liée aux aspects qualitatifs. Nous montrons l’existence d’orbites périodiques de systèmes hamiltoniens sur T∗M pour une grande classe d’hamiltoniens.
Un autre aspect qualitatif est la preuve de la conjecture de la corde Arnol’d pour les sous-variétés legendriennes conormales dans le fibré en co-sphères S∗M. Cette partie de la thèse est un travail conjoint avec Dylan Cant et Egor Shelukhin. Nous montrons que pour une sous-variété fermée donnée N ⊂ M, il existe une corde de Reeb non-constante dans (S∗M,α) avec extrémités sur ΛN := ν∗N ∩S∗M, pour toute forme de contact α sur S∗M qui induit la structure de contact standard.This dissertation explores the quantitative and qualitative properties of the cotangent bundles T ∗M of a closed smooth manifolds M , from the symplectic point of view. Quantitative aspects involve packing the open neighborhood W of the zero section with symplectic balls. We introduce a distance-like function ρW on the zero section M using the symplectic packing of two balls. In the case when W is the unit disc-cotangent bundle associated to the Riemannian metric g, we show how to recover the metric g from ρW . As an intermediate step, we construct a symplectic embedding from the ball B2n(2/√π) of capacity 4 to the product of Lagrangian unit discs Bn(1) × Bn(1). Such a construction implies the
strong Viterbo conjecture for Bn(1) × Bn(1). We also give a bound on the relative Gromov width Gr(M, W) when M admits a non-contractible S1-action. The bound is given in terms of the symplectic action of the lift of non-contractible orbits of the S1-action. We also provide examples of when such a bound is sharp. This result is part of the joint work with Dylan Cant. The second part of this joint work is related to the qualitative aspects. We show the existence of periodic orbits of
Hamiltonian systems on T ∗M for a large class of Hamiltonians. Another qualitative aspect is proof of the Arnol’d chord conjecture for conormal Legendrians in the co-sphere bundle S∗M . This part of the dissertation is joint work with
Dylan Cant and Egor Shelukhin. We show that for a given closed submanifold N ⊂ M there exists a non-constant Reeb chord in (S∗M, α) with endpoints on ΛN := ν∗N ∩ S∗M, for arbitrary contact form α on S∗M which induces standard contact structure
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