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Bounded Cohomology of Discrete Groups
No full textBounded cohomology of groups was first defined by Johnson and Trauber during the seventies in the context of Banach algebras. As an independent and very active research field, however, bounded cohomology started to develop in 1982, thanks to the pioneering paper "Volume and Bounded Cohomology" by M. Gromov, where the definition of bounded cohomology was extended to deal also with topological spaces.
The aim of this monograph is to provide an introduction to bounded cohomology of discrete groups and of topological spaces. We also describe some applications of the theory to related active research fields (that have been chosen according to the taste and the knowledge of the author). The book is essentially self-contained. Even if a few statements do not appear elsewhere and some proofs are slighlty different from the ones already available in the literature, the monograph does not contain original results.
In the first part of the book we settle the fundamental definitions of the theory, and we prove some (by now classical) results on low-dimensional bounded cohomology and on bounded cohomology of topological spaces. Then we describe how bounded cohomology has proved useful in the study of the simplicial volume of manifolds, for the classification of circle actions, for the definition and the description of maximal representations of surface groups, and in the study of higher rank flat vector bundles (also in relation with the Chern conjecture)
Critical Thinking. Un'introduzione
No full textIl termine ‘Critical Thinking’ designa due cose distinte, ma strettamente legate l’una all’altra. Da un lato, designa l’insieme di abilità e competenze che consentono di riconoscere, valutare e produrre buoni argomenti. Nonostante la sua importanza, testimoniata dal fatto che le più importanti università del mondo (e in particolare, del mondo anglosassone) prevedano un corso su tale disciplina nei loro programmi formativi, manca un lavoro che affronti la disciplina non solo a livello laboratoriale o prettamente didattico, ma anche collocandola sullo sfondo di alcune importanti questioni filosofiche che riguardano il valore della razionalità, e i rapporti fra prospettive normative e prospettive descrittive sul pensiero. Questo lavoro si propone di colmare tale lacuna, e lo fa adottando un approccio interdisciplinare che comprende la logica, la teoria della probabilità, la statistica, la teoria della decisione, la teoria dell’argomentazione e la teoria della discussione razionale, come pure le discipline che studiano il linguaggio, prima fra tutte la pragmatica, e la psicologia cognitiva, in particolare la psicologia del ragionamento nelle sue varie e più note specializzazioni, e la psicologia delle decisioni. Un importante contributo a una piena consapevolezza dei problemi e delle abilità che entrano in gioco nel Critical Thinking è inoltre fornito dalla psicologia cognitiva, e in particolare la psicologia del ragionamento e la psicologia delle decisioni. A motivare questa interdisciplinarietà, e soprattutto lo sguardo costante alle discipline descrittive che hanno per oggetto il pensiero, è la consapevolezza di una tensione, in noi reali agenti cognitivi, fra la capacità di fare nostri gli standard ideali di ragionamento e decisioni, e la nostra tendenza a cadere vittima di bias cognitivi o di fallacie logiche. Questa tensione pone il problema di quale sia l’equilibrio fra gli elementi coinvolti. Il punto di vista del lavoro è che la dimensione normativa rappresentata dagli standard ideali del ragionamento e delle decisioni svolga un ruolo cruciale e non sia ‘calata dall’alto’ a prescindere dalle nostre possibilità cognitive o delle nostre esigenze di problem-solving, come è testimoniato dal fatto siamo noi stessi a riconoscere le prescrizioni normative sul ragionamento come razionali, una volta che ci viene spiegato dove sia il nostro errore. Allo stesso tempo, il lavoro si basa sul presupposto che un approccio normativo al ragionamento può davvero essere illuminante soltanto se c’è una consapevolezza di come noi di fatto ragioniamo. Il lavoro è diviso in tre parti. La prima affronta il problema dei rapporti fra attività di ragionamento e razionalità, con particolare attenzione ai rapporti fra razionalità e bias cognitivi, e cosa questi ultimi implichino per la prima, e con attenzione al ruolo della razionalità nella discussione fra diversi agenti. La seconda parte è dedicata al ragionamento deduttivo, con particolare attenzione ai problemi di ragionamento che coinvolgono il condizionale indicativo e quello controfattuale. La terza parte si occupa del ragionamento non deduttivo, con particolare attenzione all’inferenza alla miglior spiegazione, al ragionamento probabilistico e ai bias probabilistici, e al ragionamento statistico
Similar fillings and isolation of cusps of hyperbolic 3-manifolds
No full textIn this paper we deepen the analysis of certain classes M_{g,k} of hyperbolic 3-manifolds that were introduced in a previous work by B. Martelli, C. Petronio and the author. Each element of M_{g,k} is an oriented complete finite-volume hyperbolic 3-manifold with compact connected geodesic boundary of genus g and k cusps. We study small deformations of the complete hyperbolic structure of manifolds in M_{g,k} via a close analysis of their geodesic triangulations. We prove that several elements in M_{g,k} admit non-homeomorphic hyperbolic Dehn fillings sharing the same volume, homology, cusp volume, cusp shape, Heegaard genus, complex length of the shortest geodesic, length of the shortest return path, and Turaev-Viro invariants. Manifolds which share all these invariants are called geometrically similar, and were first studied by C. D. Hodgson, R. G. Meyerhoff and J. R. Weeks. The examples of geometrically similar manifolds they described are commensurable with each other. We show here that many elements in M_{g,k} admit non-commensurable geometrically similar Dehn fillings.
The notion of geometric isolation for cusps in a hyperbolic 3-manifold was introduced by W. D. Neumann and A. W. Reid and studied by D. Calegary, who provided explanations for all the previously known examples of isolation phenomena. We show here that the cusps of any manifold M_{g,k} are geometrically isolated from each other. Apparently, isolation of cusps in our examples arises for different reasons from those described by Calegari.
We also show that any element in M_{g,k} admits an infinite family of hyperbolic Dehn fillings inducing non-trivial deformations of the hyperbolic structure on the geodesic boundary
Distinto ragguaglio dell'ottava maraviglia del mondo, o sia, della gran metropolitana dell'Insubria volgarmente detta il duomo di Milano, cominciando dalla sua origine sino allo stato presente : in cui vengono minutamente, e con molta diligenza descritte tutte le sue parti tanto esteriori, come interiori, con tutto ciò, che in esso si contiene di ammirabile, di vago, di pregievole, e di sacrosanto, oltre diverse altre notizie intorno alla grandezza, magnificenza, e prerogative di questa santa ambrosiana chiesa, e finalmente si descrivono alcune chiese di particolar divozione, con altre cose notabili di questa insigne metropoli ...
No full textUniversity of Illinois Library bookplate "From the library of Conte Antonio Cavagna Sangiuliani di Gualdana Lazelada di Bereguardo, purchased 1921" on the inside front cover.Errata on last page.Includes alphabetical index.Authorship uncertain. Generally attributed to P.A. Frigerio--cf. Universal Cat. 607; Cicognara 4239. Attributed to P.F. Nava by Schlosser (p. 573)Dedication signed: Pietro Antonio Frigerio.Mode of access: Internet
Ideal simplicial volume of manifolds with boundary
No full textWe define the ideal simplicial volume for compact manifolds with boundary. Roughly speaking, the ideal simplicial volume of a manifold M measures the minimal size of possibly ideal triangulations of M “with real coefficients”, thus providing a variation of the ordinary simplicial volume defined by Gromov in 1982, the main difference being that ideal simplices are now allowed to appear in representatives of the fundamental class. We show that the ideal simplicial volume is bounded above by the ordinary simplicial volume, and that it vanishes if and only if the ordinary simplicial volume does. We show that, for manifolds with amenable boundary, the ideal simplicial volume coincides with the classical one, whereas for hyperbolic manifolds with geodesic boundary it can be strictly smaller. We compute the ideal simplicial volume of an infinite family of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, for which the exact value of the classical simplicial volume is not known, and we exhibit examples where the ideal simplicial volume provides sharper bounds on mapping degrees than the classical simplicial volume
On volumes of truncated tetrahedra with constrained edge lengths
No full textTruncated tetrahedra are the fundamental building blocks of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary. The study of their geometric properties (in particular, of their volume) has applications also in other areas of low-dimensional topology, like the computation of quantum invariants of 3-manifolds and the use of variational methods in the study of circle packings on surfaces. The Lobachevsky–Schläfli formula neatly describes the behaviour of the volume of truncated tetrahedra with respect to dihedral angles, while the dependence of volume on edge lengths is worse understood. In this paper we prove that, for every l< l0, where l0 is an explicit constant, the regular truncated tetrahedron of edge length l maximizes the volume among truncated tetrahedra whose edge lengths are all not smaller than l. This result provides a fundamental step in the computation of the ideal simplicial volume of an infinite family of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary
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