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Multiscale method with patches for the propagation of localized uncertainties in (semi-)linear elliptic and parabolic equations
No full textSéminaire du Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés (LMSSC), Conservatoire National des Arts et Métiers (CNAM)Uncertainty quantification in structural computation has gained an ever increasing interest in the scientific community during the last decades. The propagation of localized uncertainties through stochastic computational models is critical for the design and analysis of mechanical structures and components. The input uncertainties in the computational model may stem from intrinsic variabilities in the material properties or epistemic variabilities resulting from partial or limited information about the geometry, the boundary or initial conditions. Classical monoscale approaches require either local refinement or enrichment techniques to cope with the high complexity of multiscale stochastic problems. On the contrary, multiscale coupling approaches based on substructuring, domain decomposition or multigrid methods have been designed to solve such intractable high-dimensional problems. A multiscale method based on patches has been recently proposed in [1] for the solution of linear stochastic multiscale models (with localized uncertainties) and extended to a broader class of non-linear stochastic multiscale models (with localized uncertainties and non-linearities) in [2]. It relies on a partition of the domain into several subdomains of interest (called patches) containing the different sources of uncertainties and possible non-linearities, and a complementary subdomain. The multiscale solution is then computed using a global-local iterative algorithm that involves the solution of a sequence of linear global problems (with possibly deterministic operators and uncertain right-hand sides) over a deterministic domain and (non-)linear local problems (with uncertain operators and right-hand sides) over patches.In the present work, the method is extended to time evolution problems featuring localized uncertainties. The convergence of the iterative algorithm is analyzed in the stationary case. The proposed multiscale approach offers the possibility to use different global and local computational models with suitable space and time discretizations (finite element spaces, numerical time integration schemes) as well as stand-alone global and local solvers. At the local level, the stochastic problems are solved using sampling-based approaches combined with adaptive sparse approximation methods [3] in order to efficiently derive sparse representations of high-dimensional stochastic local solutions with controlled accuracy. The performances of the multiscale domain decomposition method are illustrated through numerical experiments carried out on a stationary non-linear diffusion-reaction stochastic problem and a transient linear advection-diffusion-reaction stochastic problem with localized random material heterogeneities.References[1] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Nouy and F. Pled. A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities. ESAIM: M2AN (submitted), 2017.[3] A. Chkifa, A. Cohen, and C. Schwab. Breaking the curse of dimensionality in sparse polynomial approximation of parametric PDEs. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 103(2):400–428, 2015
Méthode de décomposition de domaine multiéchelle pour la résolution de problèmes stochastiques non-linéaires en grande dimension avec sources d'incertitudes et non-linéarités localisées
No full textNational audienceDuring the last few decades, functional approaches for uncertainty quantification and propagation (henceforth known as spectral stochastic methods) have been a subject of growing interest and are currently employed for solving complex multiscale stochastic problems. Such multiscale stochastic models may exhibit some variabilities in the material properties (affecting the operator), the boundary conditions (affecting the loading and the source term) or the geometry at different scales. Classical monoscale approaches based on adaptive remeshing (e.g. mesh refinement) or enrichement techniques may lead to high computational costs and memory storage. Conversely, multiscale approaches based on patches allow to take the high solution complexity into account by operating a separation of scales. A multiscale coupling statregy devoted to stochastic problems featuring localized uncertainties hase been recently proposed in [1]. It relies on an overlapping domain decomposition method and leads to a global-local (two-scale) formulation of the stochastic problem. The associated global-local iterative algorithm requires the successive solution of a series of simplified global problems (with deterministic operators) defined on a deterministic domain and complex local problems (with uncertain operators and/or geometry) defined on subdomains of interest called patches. Convergence and robustness properties of the algorithm have been analyzed in [1] for linear elliptic stochastic problems.In the present work, the method is extended to non-linear elliptic stochastic problems with locaized variabilities and non-linearities. Convergence and robustness results of the global-local iterative algorithm are shown for a class of non-linear elliptic stochastic problems. The multiscale coupling approach appears to be flexible and non-intrusive allowing to handle different models, approximation spaces and dedicated solvers at both local and global levels. The stochastic local problems are solved in parallel using a least-squares minimization method (non-intrusive sampling approach) which asks for the evaluation of samples of local solutions thanks to non-linear deterministic codes. Greedy algorithms proposed in [2] and dedicated to the solution of high-dimensional stochastic problems allow the adaptive construction of sparse polynomial approximations. The approximation error of local solutions is controlled by adapting the stochastic approximation basis and the number of samples. The performances of the multiscale domain decomposition method are illustrated through numerical examples carried out on a non-linear diffusion-reaction stochastic problem with localized random material heterogeneities.References[1] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore, and C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013.Durant les deux dernières décennies, les approches fonctionnelles pour la quantification et la propagation d'incertitudes (désormais connues sous le nom de méthodes spectrales stochastiques) ont suscité un intérêt grandissant et sont actuellement employées pour résoudre des problèmes stochastiques multiéchelles complexes. De tels modèles stochastiques multiéchelles peuvent présenter des variabilités au niveau des propriétés matériaux (affectant l'opérateur), des conditions aux limites (affectant le chargement et le terme source) ou de la géométrie à différentes échelles. Les approches monoéchelles classiques basées sur des techniques de raffinement ou d'enrichissement peuvent s'avérer coûteuses en temps de calcul et capacité mémoire. A l'inverse, les approches multiéchelles avec patchs permettent de prendre en compte la grande complexité des solutions en introduisant une séparation d'échelles. Une stratégie de couplage multiéchelle dédiée aux problèmes stochastiques présentant des sources d'incertitudes localisées a été récemment proposée dans [1]. Celle-ci s'appuie sur une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement conduisant à une formulation globale-locale (à deux échelles) du problème stochastique. L'algorithme itératif global-local associé requiert la résolution successive d'une série de problèmes globaux simplifiés (avec opérateurs déterministes) définis sur un domaine déterministe et de problèmes locaux complexes (avec opérateurs et/ou géométrie incertains) définis sur des sous-domaines d'intérêt appelés patchs. Les propriétés de convergence et de robustesse de l'algorithme ont été analysées dans [1] dans le cadre des problèmes stochastiques elliptiques linéaires.Dans ce travail, la méthode est étendue au cas des problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires en présence d'incertitudes et de non-linéarités localisées. La convergence et la robustesse de l'algorithme itératif global-local sont démontrées pour une classe de problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires. L'approche de couplage multi-échelle est flexible et non-intrusive dans la mesure où elle permet la prise en compte de modèles différents, d'espaces d'approximation et de solveurs dédiés aux niveaux global et local. Les problèmes locaux stochastiques sont résolus en parallèle en utilisant une méthode de minimisation au sens des moindres carrés (approche non-intrusive basée sur de l'échantillonnage) qui nécessite l'évaluation d'échantillons des solutions locales à l'aide d'un code déterministe non-linéaire. Des algorithmes gloutons proposés dans [2] et dédiés à la résolution de problèmes stochastiques en grande dimension permettent la construction adaptative d'approximations polynomiales creuses. L'erreur d'approximation des solutions locales est contrôlée en adaptant la base d'approximation stochastique et le nombre d'échantillons. Les performances de la méthode de décomposition de domaine multiéchelle sont illustrées à partir d'exemples numériques sur un problème stochastique de diffusion-réaction non-linéaire présentant des hétérogénéités matériaux aléatoires localisées.Références[1] M. Chevreuil, A. Nouy et E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore et C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013
Méthode de décomposition de domaine multiéchelle pour la résolution de problèmes stochastiques non-linéaires en grande dimension avec sources d'incertitudes et non-linéarités localisées
No full textNational audienceDuring the last few decades, functional approaches for uncertainty quantification and propagation (henceforth known as spectral stochastic methods) have been a subject of growing interest and are currently employed for solving complex multiscale stochastic problems. Such multiscale stochastic models may exhibit some variabilities in the material properties (affecting the operator), the boundary conditions (affecting the loading and the source term) or the geometry at different scales. Classical monoscale approaches based on adaptive remeshing (e.g. mesh refinement) or enrichement techniques may lead to high computational costs and memory storage. Conversely, multiscale approaches based on patches allow to take the high solution complexity into account by operating a separation of scales. A multiscale coupling statregy devoted to stochastic problems featuring localized uncertainties hase been recently proposed in [1]. It relies on an overlapping domain decomposition method and leads to a global-local (two-scale) formulation of the stochastic problem. The associated global-local iterative algorithm requires the successive solution of a series of simplified global problems (with deterministic operators) defined on a deterministic domain and complex local problems (with uncertain operators and/or geometry) defined on subdomains of interest called patches. Convergence and robustness properties of the algorithm have been analyzed in [1] for linear elliptic stochastic problems.In the present work, the method is extended to non-linear elliptic stochastic problems with locaized variabilities and non-linearities. Convergence and robustness results of the global-local iterative algorithm are shown for a class of non-linear elliptic stochastic problems. The multiscale coupling approach appears to be flexible and non-intrusive allowing to handle different models, approximation spaces and dedicated solvers at both local and global levels. The stochastic local problems are solved in parallel using a least-squares minimization method (non-intrusive sampling approach) which asks for the evaluation of samples of local solutions thanks to non-linear deterministic codes. Greedy algorithms proposed in [2] and dedicated to the solution of high-dimensional stochastic problems allow the adaptive construction of sparse polynomial approximations. The approximation error of local solutions is controlled by adapting the stochastic approximation basis and the number of samples. The performances of the multiscale domain decomposition method are illustrated through numerical examples carried out on a non-linear diffusion-reaction stochastic problem with localized random material heterogeneities.References[1] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore, and C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013.Durant les deux dernières décennies, les approches fonctionnelles pour la quantification et la propagation d'incertitudes (désormais connues sous le nom de méthodes spectrales stochastiques) ont suscité un intérêt grandissant et sont actuellement employées pour résoudre des problèmes stochastiques multiéchelles complexes. De tels modèles stochastiques multiéchelles peuvent présenter des variabilités au niveau des propriétés matériaux (affectant l'opérateur), des conditions aux limites (affectant le chargement et le terme source) ou de la géométrie à différentes échelles. Les approches monoéchelles classiques basées sur des techniques de raffinement ou d'enrichissement peuvent s'avérer coûteuses en temps de calcul et capacité mémoire. A l'inverse, les approches multiéchelles avec patchs permettent de prendre en compte la grande complexité des solutions en introduisant une séparation d'échelles. Une stratégie de couplage multiéchelle dédiée aux problèmes stochastiques présentant des sources d'incertitudes localisées a été récemment proposée dans [1]. Celle-ci s'appuie sur une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement conduisant à une formulation globale-locale (à deux échelles) du problème stochastique. L'algorithme itératif global-local associé requiert la résolution successive d'une série de problèmes globaux simplifiés (avec opérateurs déterministes) définis sur un domaine déterministe et de problèmes locaux complexes (avec opérateurs et/ou géométrie incertains) définis sur des sous-domaines d'intérêt appelés patchs. Les propriétés de convergence et de robustesse de l'algorithme ont été analysées dans [1] dans le cadre des problèmes stochastiques elliptiques linéaires.Dans ce travail, la méthode est étendue au cas des problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires en présence d'incertitudes et de non-linéarités localisées. La convergence et la robustesse de l'algorithme itératif global-local sont démontrées pour une classe de problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires. L'approche de couplage multi-échelle est flexible et non-intrusive dans la mesure où elle permet la prise en compte de modèles différents, d'espaces d'approximation et de solveurs dédiés aux niveaux global et local. Les problèmes locaux stochastiques sont résolus en parallèle en utilisant une méthode de minimisation au sens des moindres carrés (approche non-intrusive basée sur de l'échantillonnage) qui nécessite l'évaluation d'échantillons des solutions locales à l'aide d'un code déterministe non-linéaire. Des algorithmes gloutons proposés dans [2] et dédiés à la résolution de problèmes stochastiques en grande dimension permettent la construction adaptative d'approximations polynomiales creuses. L'erreur d'approximation des solutions locales est contrôlée en adaptant la base d'approximation stochastique et le nombre d'échantillons. Les performances de la méthode de décomposition de domaine multiéchelle sont illustrées à partir d'exemples numériques sur un problème stochastique de diffusion-réaction non-linéaire présentant des hétérogénéités matériaux aléatoires localisées.Références[1] M. Chevreuil, A. Nouy et E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore et C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013
Multiscale method with patches for the propagation of localized uncertainties in (semi-)linear elliptic and parabolic equations
No full textSéminaire du Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés (LMSSC), Conservatoire National des Arts et Métiers (CNAM)Uncertainty quantification in structural computation has gained an ever increasing interest in the scientific community during the last decades. The propagation of localized uncertainties through stochastic computational models is critical for the design and analysis of mechanical structures and components. The input uncertainties in the computational model may stem from intrinsic variabilities in the material properties or epistemic variabilities resulting from partial or limited information about the geometry, the boundary or initial conditions. Classical monoscale approaches require either local refinement or enrichment techniques to cope with the high complexity of multiscale stochastic problems. On the contrary, multiscale coupling approaches based on substructuring, domain decomposition or multigrid methods have been designed to solve such intractable high-dimensional problems. A multiscale method based on patches has been recently proposed in [1] for the solution of linear stochastic multiscale models (with localized uncertainties) and extended to a broader class of non-linear stochastic multiscale models (with localized uncertainties and non-linearities) in [2]. It relies on a partition of the domain into several subdomains of interest (called patches) containing the different sources of uncertainties and possible non-linearities, and a complementary subdomain. The multiscale solution is then computed using a global-local iterative algorithm that involves the solution of a sequence of linear global problems (with possibly deterministic operators and uncertain right-hand sides) over a deterministic domain and (non-)linear local problems (with uncertain operators and right-hand sides) over patches.In the present work, the method is extended to time evolution problems featuring localized uncertainties. The convergence of the iterative algorithm is analyzed in the stationary case. The proposed multiscale approach offers the possibility to use different global and local computational models with suitable space and time discretizations (finite element spaces, numerical time integration schemes) as well as stand-alone global and local solvers. At the local level, the stochastic problems are solved using sampling-based approaches combined with adaptive sparse approximation methods [3] in order to efficiently derive sparse representations of high-dimensional stochastic local solutions with controlled accuracy. The performances of the multiscale domain decomposition method are illustrated through numerical experiments carried out on a stationary non-linear diffusion-reaction stochastic problem and a transient linear advection-diffusion-reaction stochastic problem with localized random material heterogeneities.References[1] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.[2] A. Nouy and F. Pled. A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities. ESAIM: M2AN (submitted), 2017.[3] A. Chkifa, A. Cohen, and C. Schwab. Breaking the curse of dimensionality in sparse polynomial approximation of parametric PDEs. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 103(2):400–428, 2015
A multiscale method for the propagation of localized uncertainties in linear parabolic equations
No full textInvited seminar at Arizona State University (ASU), Tempe, Arizona, US
Vers une stratégie robuste et efficace pour le contrôle des calculs par éléments finis en ingénierie mécanique
No full textThis research work aims at contributing to the development of innovative global and goal-oriented error estimation tools applied to Computational Mechanics. The global error estimators considered rely on the concept of constitutive relation error through specific techniques for constructing admissible fields ensuring the recovery of strict and high-quality error estimates. A new hybrid method for constructing admissible stress fields is set up and compared to two other techniques with respect to three different criteria, namely the quality of associated error estimators, the computational cost and the simplicity of practical implementation into finite element codes. An enhanced version of this new technique based on local minimization of the complementary energy is also proposed. Judicious geometric and energetic criteria are introduced to select the relevant zones for optimizing the quality of the admissible fields locally. In the context of goal-oriented error estimation based on the use of both extraction techniques and global error estimators, two new improved bounding techniques are proposed. They lean on Saint-Venant's principle through specific homotheticity properties in order to obtain guaranteed and relevant bounds of better quality than with the classical bounding technique based on the Cauchy-Schwarz inequality. The various comparative studies are conducted on linear elasticity problems under quasi-static loading conditions. The behaviour of the different error estimators is illustrated and discussed through several numerical experiments carried out on industrial cases. The associated results may open up opportunities and help broaden the field of model verification for both academic research and industrial applications.Ce travail de recherche vise à contribuer au développement de nouveaux outils d'estimation d'erreur globale et locale en ingénierie mécanique. Les estimateurs d'erreur globale étudiés reposent sur le concept d'erreur en relation de comportement à travers des techniques spécifiques de construction de champs admissibles, assurant l'aspect conservatif ou garanti de l'estimation. Une nouvelle méthode de construction de champs admissibles est mise en place et comparée à deux autres méthodes concurrentes, en matière de précision, coût de calcul et facilité d'implémentation dans les codes éléments finis. Une amélioration de cette nouvelle méthode hybride fondée sur une minimisation locale de l'énergie complémentaire est également proposée. Celle-ci conduit à l'introduction et à l'élaboration de critères géométriques et énergétiques judicieux, permettant un choix approprié des régions à sélectionner pour améliorer localement la qualité des champs admissibles. Dans le cadre des estimateurs d'erreur locale basés sur l'utilisation conjointe des outils d'extraction et des estimateurs d'erreur globale, deux nouvelles techniques d'encadrement de l'erreur en quantité d'intérêt sont proposées. Celles-ci sont basées sur le principe de Saint-Venant à travers l'emploi de propriétés spécifiques d'homothétie, afin d'améliorer la précision des bornes d'erreur locale obtenues à partir de la technique d'encadrement classique fondée sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes d'élasticité linéaire en quasi-statique. Le comportement des différents estimateurs d'erreur est illustré et discuté sur des exemples numériques tirés d'applications industrielles. Les travaux réalisés constituent des éléments de réponse à la problématique de la vérification dans un contexte industriel
A multiscale method for the propagation of localized uncertainties in linear parabolic equations
No full textInvited seminar at Arizona State University (ASU), Tempe, Arizona, US
A multiscale method for the propagation of localized uncertainties in linear parabolic equations
No full textInvited seminar at Arizona State University (ASU), Tempe, Arizona, US
Towards a robust and effective strategy for the control of finite element computations in mechanical engineering
No full textCe travail de recherche vise à contribuer au développement de nouveaux outils d'estimation d'erreur globale et locale en ingénierie mécanique. Les estimateurs d'erreur globale étudiés reposent sur le concept d'erreur en relation de comportement à travers des techniques spécifiques de construction de champs admissibles, assurant l'aspect conservatif ou garanti de l'estimation. Une nouvelle méthode de construction de champs admissibles est mise en place et comparée à deux autres méthodes concurrentes, en matière de précision, coût de calcul et facilité d'implémentation dans les codes éléments finis. Une amélioration de cette nouvelle méthode hybride fondée sur une minimisation locale de l'énergie complémentaire est également proposée. Celle-ci conduit à l'introduction et à l'élaboration de critères géométriques et énergétiques judicieux, permettant un choix approprié des régions à sélectionner pour améliorer localement la qualité des champs admissibles. Dans le cadre des estimateurs d'erreur locale basés sur l'utilisation conjointe des outils d'extraction et des estimateurs d'erreur globale, deux nouvelles techniques d'encadrement de l'erreur en quantité d'intérêt sont proposées. Celles-ci sont basées sur le principe de Saint-Venant à travers l'emploi de propriétés spécifiques d'homothétie, afin d'améliorer la précision des bornes d'erreur locale obtenues à partir de la technique d'encadrement classique fondée sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes d'élasticité linéaire en quasi-statique. Le comportement des différents estimateurs d'erreur est illustré et discuté sur des exemples numériques tirés d'applications industrielles. Les travaux réalisés constituent des éléments de réponse à la problématique de la vérification dans un contexte industriel.This research work aims at contributing to the development of innovative global and goal-oriented error estimation tools applied to Computational Mechanics. The global error estimators considered rely on the concept of constitutive relation error through specific techniques for constructing admissible fields ensuring the recovery of strict and high-quality error estimates. A new hybrid method for constructing admissible stress fields is set up and compared to two other techniques with respect to three different criteria, namely the quality of associated error estimators, the computational cost and the simplicity of practical implementation into finite element codes. An enhanced version of this new technique based on local minimization of the complementary energy is also proposed. Judicious geometric and energetic criteria are introduced to select the relevant zones for optimizing the quality of the admissible fields locally. In the context of goal-oriented error estimation based on the use of both extraction techniques and global error estimators, two new improved bounding techniques are proposed. They lean on Saint-Venant's principle through specific homotheticity properties in order to obtain guaranteed and relevant bounds of better quality than with the classical bounding technique based on the Cauchy-Schwarz inequality. The various comparative studies are conducted on linear elasticity problems under quasi-static loading conditions. The behaviour of the different error estimators is illustrated and discussed through several numerical experiments carried out on industrial cases. The associated results may open up opportunities and help broaden the field of model verification for both academic research and industrial applications
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