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On Linnik's theorem on Goldbach numbers in short intervals and related problems
No full textLinnik proved, assuming the Riemann Hypothesis, that for any , the interval contains a number which is the sum of tw primes, provided that is sufficiently large. This has subsequently been
improved to the same assertion being valid for the smaller gap , the added new ingredient being Selberg's estimate for the mean-square of primes in short intevals. Here we give another proof of this sharper result which avoids the use of Selberg's estimate and is therefore more in the spirit of Linnik's original approach. We also improve an unconditional result of Lavrik's on truncated forms of Parseval's identity for exponential sums over primes
Pair correlation of zeros, primes in short intervals and exponential sums over primes
No full textAssume the Riemann
Hypothesis and let , where
, , run over the imaginary part of the non-trivial zeros of
the Riemann zeta-function, be the Montgomery's pair correlation function.
Goldston-Montgomery proved, for any , that uniformly for is equivalent
to where is Selberg's integral. Here we prove, for any
, that uniformly for
is equivalent to a suitable asymptotic formula
for the truncated mean-square of exponential sums over primes
A pair correlation hypothesis and the exceptional set in Goldbach's problem
No full textLet be the
exceptional set for Goldbach's problem in short intervals. We will assume the
Generalized Riemann Hypothesis and that, for , and
fixed, where , denotes the
Gauss sum and , , run over the imaginary part of the non
trivial zeros of , holds uniformly for
and . Under the
previous hypotheses we prove, for every fixed, that
i.e. for
all even integers in any interval of the form
but exceptions are a sum of two primes
Numeri primi e Crittografia
No full textDa una parte lo studio dei
numeri, in particolare dei numeri primi, ha affascinato i matematici fin
dalle epoche pi\`u antiche; d'altra parte, la sicurezza nella comunicazione
dell'informazione \'e una necessit\`a da sempre sentita dall'umanit\`a. Negli
ultimi vent'anni, grazie alla scoperta di nuovi metodi matematici e al
notevole progresso nel campo dei computers, si \'e gradualmente sviluppato
uno stretto rapporto tra le due discipline. Attualmente i metodi pi\`u sicuri
per la trasmissione dell'informazione, che hanno recentemente avuto nuovo
impulso dallo sviluppo del commercio elettronico, si basano su algoritmi che
dipendono da notevoli propriet\`a dei numeri primi. In questo intervento
tratteggeremo dapprima alcuni elementi dello sviluppo della teoria dei numeri
primi; descriveremo poi un'applicazione al problema della sicurezza nella
trasmissione dell'informazione, ossia alla crittografia
An extension of the pair-correlation conjecture and applications
No full textWe study an extension of Montgomery's pair-correlation conjecture and its relevance in some problems on the distribution of prime numbers
An extended pair-correlation conjecture and primes in short intervals
No full textIn this paper we extend the well-known investigations of Montgomery and Goldston & Montgomery, concerning the pair-correlation function and its relations with the distribution of primes in short intervals, to a more general version of the pair-correlation function
Crittografia e firma digitale
No full textLa sicurezza nella
trasmissione dell'informazione \`e una necessit\`a da sempre sentita
dall'u\-manit\`a. Nel corso dei secoli sono state utilizzate varie idee per
questo scopo; esempi famosi sono il metodo di trasposizione di Giulio Cesare
e la macchina di cifratura Enigma (utilizzata dalle forze armate tedesche
durante la seconda guerra mondiale). I tentativi fatti precedentemente agli
anni '70 non furono completamente soddisfacenti (si ricordi ad esempio la
storia della forzatura del codice Enigma operata dal matematico A. Turing e
dal suo gruppo negli anni '40); la possibilit\`a di costruire un sistema
crittografico rispondente a requisiti di sicurezza e autenticit\`a fu provata
a livello teorico da Diffie e Hellman nel 1976, mediante un rivoluzionario
metodo detto a chiave pubblica. Tale idea trov\`o applicazione pratica due
anni dopo, quando Rivest, Shamir e Adleman, utilizzando le propriet\`a dei
numeri primi, concretizzarono l'idea di Diffie e Hellman. La crittografia
moderna nasce quindi negli anni '70, e soppianta quasi completamente i metodi
ottenuti come evoluzione delle idee classiche perch\'e consente varie altre
applicazioni. Ad esempio, la crittografia a chiave pubblica permette la
costruzione di algoritmi efficienti e sicuri per l'autenticazione di
documenti elettronici, ossia apre il campo ad una definizione di firma
digitale
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