1,720,986 research outputs found
Numeričke simulacije Navier-Stokes-Fourierovog sustava
Get PDFOvaj rad podijeljen je u dva dijela, teorijski i praktični dio. Teorijski dio se sastoji od dva poglavlja i pokriva uvod u jednadžbe mehanike kontinuuma te teoriju numeričkih metoda rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Drugi, praktični, dio se sastoji od uvodnog poglavlja za korištenje Autodesk Computational Fluid Dynamics-a, poglavlja sa primjerima napravljenim u istome te zadnjeg poglavlja gdje radimo numeričke simulacije za stvarni model i analiziramo rezultate.This paper is divided into two parts, theoretical and practical part. The theoretical part consists of two chapters and covers the introduction to equations of continuum mechanics and the theory of numerical methods for solving partial differential equations. Practical part consists of introductory three chapters. First is manual for using Autodesk Computational Fluid Dynamics, second contains examples created in Autodesk Computational Fluid Dynamics and last chapter is simulation of real model and analysis of results
Georg Cantor and set theory
No full textOvaj diplomski rad istražuje život i nasljedstvo Georga Cantora, značajnog matematičara čiji su doprinosi imali dubok utjecaj na teoriju skupova i koncept beskonačnosti. U uvodnom dijelu, naglašava se važnost Cantorovih dostignuća za matematičku zajednicu i razlozi za istraživanje njegovog života. Prva sekcija rada detaljno prikazuje rani život Cantora, istražujući njegovo porijeklo, obiteljsku pozadinu te rane sklonosti prema matematici koje su oblikovale njegovu buduću karijeru. Obrazovno putovanje Cantora, koje se raspravlja u drugom dijelu, bilo je ključno za formiranje temelja njegovih matematičkih interesa. Središnji dio rada usmjerava se na Cantorovu revolucionarnu teoriju skupova. Proučavaju se povijesni okviri teorije skupova prije Cantora kako bi se razumio kontekst u kojem su se njegove ideje razvijale. Zatim se analiziraju temeljni koncepti teorije skupova koje je Cantor razvio, kao što su ekvipotentnost skupova, različite vrste beskonačnosti te značajke prebrojivih i neprebrojivih skupova. Zaključna sekcija rada sažima ključne zaključke i naglašava nasljeđe koje je Cantor ostavio u matematici. Njegova teorija skupova nije samo promijenila način na koji matematičari razmišljaju o beskonačnosti, već je postavila temelje za dublje razumijevanje strukture i relacija unutar matematičkih objekata. Kroz sve dijelove rada ističe se Cantorova strast prema istraživanju i njegova upornost u suočavanju s izazovima. Njegova vizija beskonačnosti i inovativni pristupi teoriji skupova ostavili su dubok i trajan utjecaj na matematičku misao.This thesis explores the life and legacy of Georg Cantor, a significant mathematician whose contributions deeply influenced set theory and the concept of infinity. In the introduction, the importance of Cantor’s achievements for the mathematical community is emphasized, along with the reasons for researching his life. The first section of the paper provides a detailed portrayal of Cantor’s early life, delving into his background, family context, and early inclinations towards mathematics that shaped his future career. Cantor’s educational journey, discussed in the second part, was pivotal in laying the foundation for his mathematical interests. The central part of the paper focuses on Cantor’s revolutionary set theory. Historical frameworks of set theory prior to Cantor are studied to understand the context in which his ideas developed. Then, the fundamental concepts of set theory that Cantor developed are analyzed, such as equinumerosity of sets, various types of infinity, and features of countable and uncountable sets. The concluding section of the paper summarizes key findings and highlights the legacy Cantor left in mathematics. His set theory not only changed how mathematicians think about infinity but also laid the groundwork for a deeper understanding of the structure and relationships within mathematical objects. Throughout all sections, Cantor’s passion for research and his perseverance in facing challenges are emphasized. His vision of infinity and innovative approaches to set theory have had a profound and lasting impact on mathematical thought
Georg Cantor and set theory
No full textOvaj diplomski rad istražuje život i nasljedstvo Georga Cantora, značajnog matematičara čiji su doprinosi imali dubok utjecaj na teoriju skupova i koncept beskonačnosti. U uvodnom dijelu, naglašava se važnost Cantorovih dostignuća za matematičku zajednicu i razlozi za istraživanje njegovog života. Prva sekcija rada detaljno prikazuje rani život Cantora, istražujući njegovo porijeklo, obiteljsku pozadinu te rane sklonosti prema matematici koje su oblikovale njegovu buduću karijeru. Obrazovno putovanje Cantora, koje se raspravlja u drugom dijelu, bilo je ključno za formiranje temelja njegovih matematičkih interesa. Središnji dio rada usmjerava se na Cantorovu revolucionarnu teoriju skupova. Proučavaju se povijesni okviri teorije skupova prije Cantora kako bi se razumio kontekst u kojem su se njegove ideje razvijale. Zatim se analiziraju temeljni koncepti teorije skupova koje je Cantor razvio, kao što su ekvipotentnost skupova, različite vrste beskonačnosti te značajke prebrojivih i neprebrojivih skupova. Zaključna sekcija rada sažima ključne zaključke i naglašava nasljeđe koje je Cantor ostavio u matematici. Njegova teorija skupova nije samo promijenila način na koji matematičari razmišljaju o beskonačnosti, već je postavila temelje za dublje razumijevanje strukture i relacija unutar matematičkih objekata. Kroz sve dijelove rada ističe se Cantorova strast prema istraživanju i njegova upornost u suočavanju s izazovima. Njegova vizija beskonačnosti i inovativni pristupi teoriji skupova ostavili su dubok i trajan utjecaj na matematičku misao.This thesis explores the life and legacy of Georg Cantor, a significant mathematician whose contributions deeply influenced set theory and the concept of infinity. In the introduction, the importance of Cantor’s achievements for the mathematical community is emphasized, along with the reasons for researching his life. The first section of the paper provides a detailed portrayal of Cantor’s early life, delving into his background, family context, and early inclinations towards mathematics that shaped his future career. Cantor’s educational journey, discussed in the second part, was pivotal in laying the foundation for his mathematical interests. The central part of the paper focuses on Cantor’s revolutionary set theory. Historical frameworks of set theory prior to Cantor are studied to understand the context in which his ideas developed. Then, the fundamental concepts of set theory that Cantor developed are analyzed, such as equinumerosity of sets, various types of infinity, and features of countable and uncountable sets. The concluding section of the paper summarizes key findings and highlights the legacy Cantor left in mathematics. His set theory not only changed how mathematicians think about infinity but also laid the groundwork for a deeper understanding of the structure and relationships within mathematical objects. Throughout all sections, Cantor’s passion for research and his perseverance in facing challenges are emphasized. His vision of infinity and innovative approaches to set theory have had a profound and lasting impact on mathematical thought
Navier-Stokesove jednadžbe
Get PDFNavier-Stokesove jednadžbe opisuju gibanje inkompresibilnog Newtonovog fluida. Unatoč detaljnom proučavanju kroz godine (problem je postavljen pred gotovo 200 godina), egzistencija i jedinstvenost glatkog rješenja i dalje su otvoreno pitanje i spadaju u jedan od milenijskih problema. Cilj ovog rada je pokazati egzistenciju i jedinstvenost slabog rješenja u dvije i tri dimenzije pod određenim uvjetima, diskutirati problematiku vezanu uz sama rješenja i konačno dati neke primjere primjena Navier-Stokesovih jednadžbi u realnim fizikalnim problemima.Navier-Stokes equations describe motion of incompressible Newtonian fluid. Although heavily studied over the years (problem was set almost 200 years ago), it is still unsolved problem in classical sense - existence and uniqueness of smooth solutions - and is one of the millennium problems. Objective of this work is to show existence and uniqueness of weak solutions in two and three dimensions under certain conditions, discuss on the major problems, and give some examples of applications together with numerical simulations of real world problems
Shema usrednjenja prijenosa za zakone sačuvanja
Get PDFZakoni sačuvanja opisuju brojne prirodne pojave, između ostalog tok u poroznoj sredini (Buckley-Leverettove jednadžbe). U ovom diplomskom radu opisat ćemo nedavno uvedenu numeričku metodu za zakone sačuvanja te dokazati konvergenciju metode prema entropijskom rješenju. Metoda povezuje suvremene s poznatim tehnikama iz tog područja, poput kinetičke formulacije i entropijskih uvjeta. Opisno govoreći, osnova metode je pretvaranje nelinearne jednadžbe skalarnog zakona sačuvanja u linearnu (kinetičku) jednadžbu. Usrednjavanjem rješenja linearne jednadžbe dobiva se dopustivo entropijsko rješenje inicijalnog problema. Na kraju dajemo numeričku implementaciju metode na poznatim problemima Burgersove i Buckley-Leverettove jednadžbe.Scalar conservation laws are key in modelling different natural phenomena, for example two-phase flow in porous media (Buckley-Leverett equations). In this thesis a new numerical method for conservation laws is described and it is proven that the solution given by this method converges to the entropy solution. This method includes both modern and classic methods for solving conservation laws, such as entropy conditions in method of characteristics and kinetic formulation. Basic idea is to make a linear (kinetic) equation from a nonlinear homogeneous conservation law and then average out the solution to get the entropy admissible solution of the initial problem. We also provide numerical examples of implementing the described method on Burgers’ equation and Buckley-Leverett equation
Analiza nelinearnog trodimenzionalnog problema interakcije fluida, stenta i ljuske
Get PDFIn the first part of this thesis, we introduce the fluid-structure interaction problems that we are dealing with, and present a literature review of completed and ongoing research on this matter. In the second part of this thesis we prove the existence of a weak solution to a linear fluid-structure interaction problem modeling the flow of an incompressible, viscous three-dimensional fluid, flowing through a cylinder whose lateral wall is described by the two-dimensional linearly elastic Koiter shell equations coupled with the one-dimensional elastic mesh equations. The fluid and the composite structure are fully coupled via the kinematic and dynamic coupling conditions describing continuity of velocity and balance of contact forces. The methodology of the proof is based on the semi-discretization approach, in which the full, coupled problem is discretized in time, and, at the same time, split into a fluid and a composite structure subproblem using the so-called Lie operator splitting strategy. The third part of this thesis deals with a nonlinear, moving boundary fluid-structure interaction problem between an incompressible, viscous fluid flow and an elastic structure composed of a cylindrical shell supported by a mesh-like elastic structure. The first main difference with regards to the linear case is that the fluid flow, which is driven by the time-dependent dynamic pressure data, is modeled by the Navier-Stokes equations. Furthermore, we had to employ the Arbitrary-Lagrangian Eulerian mapping to deal with the motion of the fluid domain, which introduces an additional nonlinearities in the problem. Finally, we prove the existence of a weak solution to this nonlinear, moving boundary fluid-structure interaction problem by using the same strategy as in the linear case together with the non-trivial compactness results, which enabled us to pass to the limit in the weak formulation. These problems were motivated by studying fluid-structure interaction between blood flow through coronary arteries treated with metallic mesh-like devices called stents.U prvom dijelu ove radnje uvodimo probleme interakcije fluida i strukture kojima ćemo se baviti i dajemo pregled literature o istraživanjima koja su napravljena u tom području. U drugom dijelu ove radnje dokazujemo egzistenciju slabog rješenja linearnog problema interakcije fluida i strukture koji modelira tok inkompresibilnog, viskoznog, trodimenzionalnog fluida kroz cilindričnu domenu čija lateralna granica je modelirana dvodimenzionalnim jednadžbama linearne elastične Koiterove ljuske spojenima s jednodimenzionalnim jednadžbama elastične mreže. Fluid i složena struktura su potpuno spojeni kinematičkim i dinamičkim rubnim uvjetima koji opisuju neprekidnost brzine i balans kontaktnih sila. Metodologija dokaza se sastoji u tome da naš puni problem podijelimo na dva jednostavnija potproblema, tj. potproblem za fluid i potproblem za strukturu, te ih semi-diskretiziramo, tj. diskretiziramo u vremenu, koristeći Lie operator splitting metodu. Treći dio ove radnje se bavi nelinearnim problemom interakcije fluida i strukture s pomičnom granicom. Tok inkompresibilnog, viskoznog fluida je, za razliku od linearnog slučaja, modeliran Navier-Stokesovim jednadžbama i pokreće ga dinamički tlak na ulazu i izlazu iz cilindrične domene. Lateralna/pomična granica je opisana jednadžbama linearne elastične Koiterove ljuske spojenima s jednadžbama elastične mreže i na njoj su zadani kinematički i dinamički uvjeti spajanja. S obzirom da je lateralna granica pomična, u svakom trenutku je njen položaj jedna od nepoznanica problema, što uvodi dodatne nelinearnosti u problem. Dokazujemo egzistenciju slabog rješenja ovog nelinearnog problema koristeći Lie operator splitting metodu i semi-diskretizaciju, kao i u linearnom slučaju, Arbitrary Lagrangian-Eulerian preslikavanje kojim ”fiksiramo” pomičnu granicu, te netrivijalne rezultate kompaktnosti koji nam omogućuju prelazak na limes u slaboj formulaciji. Motivacija za oba problema dolazi iz primjena u hemodinamici, odnosno iz proučavanja toka krvi kroz koronarne arterije tretirane sa stentovima. Stent je mala, metalna, mrežasta cjevčica koja se postavlja u suženi ili zatvoreni dio koronarne arterije s ciljem otvaranja i uspostavljanja normalnog protoka krvi
Mathematical modeling of attitude dynamics
No full textFormiranje stavova, bilo unutar jednog čitavog društva bilo unutar manje grupe, vrlo je složen proces. U matematičkim modelima koristeći se dinamičkim sustavima pojednostavljujemo socijalne interakcije, ljude promatramo kao stilizirane figure, no nastojimo zadržati najbitnija obilježja komunikacije te njihovom analizom doći do zaključaka primjenjivih u stvarnosti. U ovom radu dan je pregled nekoliko jednostavnih modela dinamike mišljenja baziranih na interakcijama agenata. U glavnom fokusu modela je problem postizanja konsenzusa. U prvom poglavlju kratko su opisani neki od najpoznatijih modela te vrste s diskretnim vremenom. Drugo poglavlje bavi se modelom konsenzusa s neprekidnim vremenom, u kojem su mišljenja agenata opisana sustavom nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Analizirali smo model s globalnim i lokalnim interakcijama te opisali interakcije koje osiguravaju postizanje konsenzusa i one koje vode do podjele društva na tzv. klastere. Računalnim simulacijama je ilustrirano kako u lokalnoj dinamici, u kojoj su interakcije ograničene na skupine agenata čija mišljenja nisu predaleko, tendencija ka povezivanju s drugačijima povećava izglede za postizanje konsenzusa. U posljednjem poglavlju predstavljen je modificirani BC (eng. bounded confidence) model koji opisuje društvo s lokalnim interakcijama, ograničenima na radijus povjerenja, u prisutnosti nepromjenjivog signala. Simulacijama je pokazano kako različite kombinacije radijusa povjerenja i jačine signala utječu na formiranje mišljenja agenata.Opinion formation, either within an entire society or within a smaller group, is a very complex process. In mathematical models, using dynamic systems, we simplify social interactions, view people as stylized figures, but we try to keep the most important features of communication and analyse them to reach conclusions applicable in reality. This thesis provides an overview of several simple models of opinion dynamics based on agent interactions. The main focus of the models is the problem of reaching consensus. The first chapter briefly describes some of the most well-known models of this type with discrete time. The second chapter deals with the continuous-time consensus model, in which the opinions of agents are described by a system of nonlinear differential equations. We analyzed the model with global and local interactions and described the interactions that ensure the achievement of consensus and those that lead to the division of society into so-called clusters. Computer simulations illustrated that in local dynamics, where interactions are limited to groups of agents whose opinions are not too far apart, the tendency to connect more with the different increases the likelihood of reaching consensus. The last chapter presents a modified BC (bounded confidence) model that describes a society with local interactions, limited to a radius of confidence, in the presence of a fixed signal. Simulations have shown how different combinations of confidence radius and signal strength affect the formation of agents’ opinions
Rezultati jedinstvenosti i regularnosti za probleme interakcije fluida i strukture i povezane teme
No full textWe study nonlinear fluid-rigid body interaction problems involving the 3D Navier-Stokes equations for fluid flow and ordinary differential equations for rigid body motion. The fluid and rigid body together occupy a bounded and fixed domain . We examine two initial-boundary value problems: one with incompressible flow and no-slip boundary conditions, and another with compressible flow and inhomogeneous boundary conditions on the boundary . In both cases, we assume that the rigid body does not touch the boundary . In this thesis, we explore three main topics across three chapters. The first two topics deal with the incompressible fluid-rigid body interaction problem. Our goal is to extend the well-known results of weak-strong uniqueness and regularity for the Navier-Stokes equations to the considered fluid-rigid body system. We prove the uniqueness of the weak solution, which satisfies the Prodi-Serrin condition, within a broader class of Leray-Hopf weak solutions. Additionally, we establish that the Prodi-Serrin condition implies the regularity for the fluid velocity and the regularity for the fluid pressure. Moreover, we show that the solutions are if we additionally assume that the acceleration of the rigid body is bounded almost everywhere in time. The final chapter focuses on the motion of a rigid body in a compressible, isentropic, viscous fluid. We consider a scenario where a time-independent fluid velocity is prescribed on the entire boundary , along with a time-independent fluid density on the inflow boundary of . Our objective is to establish the existence of a global-in-time weak solution to the given problem on a time interval where the rigid body does not touch the boundary .Proučavamo nelinearne probleme interakcije fluida i strukture u kojima je tok fluida dan 3D Navier-Stokesovim jednadžbama, dok je struktura kruto tijelo čije je gibanje određeno sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju očuvanje linearnog i kutnog momenta. Jednadžbe su u potpunosti povezane preko dinamičkih i kinematičkih uvjeta spajanja. Nadalje, pretpostavljamo da fluid i kruto tijelo zajedno zauzimaju ograničeno i fiksno područje . Razmatramo dvije različite inicijalno-rubne zadaće. U prvom slučaju, tok fluida je zadan inkompresibilnim Navier-Stokesovim jednadžbama, pri čemu je na granici domene postavljen homogeni rubni uvjet. U drugom slučaju, tok fluida određuju kompresibilne Navier-Stokesove jednadžbe, s nehomogenim rubnim uvjetima na granici . Također, u oba slučaja pretpostavljamo da kruto tijelo ne dodiruje rub . U disertaciji istražujemo tri različite teme predstavljene kroz tri poglavlja. Prva tema odnosi se na pitanje jedinstvenosti slabog rješenja problema interakcije inkompresiblinog fluida i krutog tijela. Naš cilj je proširiti poznati rezultat slabo-jake jedinstvenosti za Navier-Stokesove jednadžbe na promatrani sustav fluid-kruto tijelo. Konkretno, dokazujemo da je slabo rješenje koje zadovoljava Prodi-Serrinov uvjet jedinstveno unutar šire klase Leray-Hopfovih slabih rješenja. U ovom poglavlju uzimamo u obzir dvije različite vrste kinematičkih uvjeta povezivanja: uvjet bez klizanja (no-slip) i uvjet klizanja (slip), dok u nastavku pretpostavljamo uvjet bez klizanja. Druga tema je regularnost slabog rješenja iste inicijalno-rubne zadaće. Cilj nam je poopćiti klasični rezultat o regularnosti za 3D inkompresibilne Navier-Stokesove jednadžbe, koji kaže da je slabo rješenje koje zadovoljava Prodi-Serrinov uvjet glatko. Dokazujemo da Prodi-Serrinov uvjet za sustav fluid-kruto tijelo implicira regularnost za brzinu fluida i regularnost za tlak fluida. Nadalje, pokazujemo da su rješenja ako dodatno pretpostavimo ograničenost akceleracije krutog tijela gotovo svugdje u vremenskoj varijabli. Zadnje poglavlje posvećeno je proučavanju gibanja krutog tijela uronjenog u kompresibilni, izentropski, viskozni fluid. Na rubu domene postavljamo vremenski neovisnu brzinu fluida na cijeloj granici i vremenski neovisnu gustoću fluida na dijelu ruba na kojim fluid utječe u područje . Naš cilj je dokazati postojanje slabog rješenja dane zadaće na intervalu na kojem kruto tijelo ne dodiruje rub
Mathematical modeling of the dynamics of the spread of infectious diseases
No full textU suvremenom društvu vrlo je važno ne samo donositi dobre odluke u određenoj situaciji nego i predvidjeti neke buduće događaje. Da bi predviđanje budućih zbivanja bilo što vjerodostojnije, potrebno je prikupiti što više informacija o postojećem problemu. Jedan od takvih problema su zarazne bolesti, njihov uzrok i širenje. S razvojem tehnologije počele su se razvijati i znanstveno-istraživačke djelatnosti koje su korištenjem određenih metoda (poput matematičkog modeliranja) omogućile pristup rješavanju problema. U ovom su radu promatrani jednostavni matematički modeli koji se koriste u epidemiologiji pri modeliranju dinamike širenja zaraznih bolesti poput bovine tuberkuloze i HIV-a te su napravljene simulacije tih modela u programskom jeziku Python koristeći se stvarnim podacima.In modern society, it is crucial not only to make good decisions in a given situation but also to anticipate future events. In order to predict future events as realistic as possible, it is necessary to gather as much information as possible about the existing problem. One such problem is infectious diseases, their cause, and their spread. With the development of technology, scientific research activities began to develop, which, using specific methods (such as mathematical modeling), provided an approach to solving problems. This thesis observes simple mathematical models used in epidemiology in modeling the dynamics of the spread of infectious diseases such as bovine tuberculosis and HIV. At the end of these models, we have made simulations written in Python by using actual data
Georg Cantor and set theory
No full textOvaj diplomski rad istražuje život i nasljedstvo Georga Cantora, značajnog matematičara čiji su doprinosi imali dubok utjecaj na teoriju skupova i koncept beskonačnosti. U uvodnom dijelu, naglašava se važnost Cantorovih dostignuća za matematičku zajednicu i razlozi za istraživanje njegovog života. Prva sekcija rada detaljno prikazuje rani život Cantora, istražujući njegovo porijeklo, obiteljsku pozadinu te rane sklonosti prema matematici koje su oblikovale njegovu buduću karijeru. Obrazovno putovanje Cantora, koje se raspravlja u drugom dijelu, bilo je ključno za formiranje temelja njegovih matematičkih interesa. Središnji dio rada usmjerava se na Cantorovu revolucionarnu teoriju skupova. Proučavaju se povijesni okviri teorije skupova prije Cantora kako bi se razumio kontekst u kojem su se njegove ideje razvijale. Zatim se analiziraju temeljni koncepti teorije skupova koje je Cantor razvio, kao što su ekvipotentnost skupova, različite vrste beskonačnosti te značajke prebrojivih i neprebrojivih skupova. Zaključna sekcija rada sažima ključne zaključke i naglašava nasljeđe koje je Cantor ostavio u matematici. Njegova teorija skupova nije samo promijenila način na koji matematičari razmišljaju o beskonačnosti, već je postavila temelje za dublje razumijevanje strukture i relacija unutar matematičkih objekata. Kroz sve dijelove rada ističe se Cantorova strast prema istraživanju i njegova upornost u suočavanju s izazovima. Njegova vizija beskonačnosti i inovativni pristupi teoriji skupova ostavili su dubok i trajan utjecaj na matematičku misao.This thesis explores the life and legacy of Georg Cantor, a significant mathematician whose contributions deeply influenced set theory and the concept of infinity. In the introduction, the importance of Cantor’s achievements for the mathematical community is emphasized, along with the reasons for researching his life. The first section of the paper provides a detailed portrayal of Cantor’s early life, delving into his background, family context, and early inclinations towards mathematics that shaped his future career. Cantor’s educational journey, discussed in the second part, was pivotal in laying the foundation for his mathematical interests. The central part of the paper focuses on Cantor’s revolutionary set theory. Historical frameworks of set theory prior to Cantor are studied to understand the context in which his ideas developed. Then, the fundamental concepts of set theory that Cantor developed are analyzed, such as equinumerosity of sets, various types of infinity, and features of countable and uncountable sets. The concluding section of the paper summarizes key findings and highlights the legacy Cantor left in mathematics. His set theory not only changed how mathematicians think about infinity but also laid the groundwork for a deeper understanding of the structure and relationships within mathematical objects. Throughout all sections, Cantor’s passion for research and his perseverance in facing challenges are emphasized. His vision of infinity and innovative approaches to set theory have had a profound and lasting impact on mathematical thought
- …
