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Linear electron stability for a bi-kinetic sheath model.
No full textInternational audienceIn this paper we establish the linear stability of an electron equilibrium for an electrostatic and collisionless plasma in interaction with a wall. The equilibrium we focus on, is called in plasma physics, a Debye sheath. Specifically, we consider a two species (ions and electrons) Vlasov-Poisson-Ampère system in a bounded and one dimensional geometry. The interaction between the plasma and the wall is modeled by original boundary conditions : On the one hand, ions are absorbed by the wall while electrons are partially re-emited. On the other hand, the electric field at the wall is induced by the accumulation of charged particles at the wall. These boundary conditions ensure the compatibility with the Maxwell-Ampère equation. A global existence, uniqueness and stability result for the linearized system is proven. The main difficulty lies in the fact that (due to the boundaries) the equilibrium is a discontinuous function of the particle energy, which in the end results in a linearized system that contains a degenerate (at the border) transport equation
Study of an asymptotic preserving scheme for the quasi neutral Euler-Boltzmann model in the drift regime
No full textInternational audienceWe deal with the numerical approximation of a simplified quasi neutral plasma model in the drift regime. Specifically, we analyze a finite volume scheme for the quasi neutral Euler-Boltzmann equations.We prove the unconditional stability of the scheme and give some bounds on the numerical approximation that are uniform in the asymptotic parameter. The proof relies on the control of the positivity and the decay of a discrete energy.The severe non linearity of the scheme being the price to pay to get the unconditional stability, to solve it, we propose an iterative linear implicit scheme that reduces to an elliptic system. The elliptic system enjoys a maximum principle that enables to prove the conservation of the positivity under a CFL condition that does not involve the asymptotic parameter . The linear stability analysis of the iterative scheme shows that it does not request the mesh size and time step to be smaller than the asymptotic parameter. Numerical illustrations are given to illustrate the stability and consistency of the scheme in the drift regime. A plasma expansion problem involving a non linear dynamic is investigated.On analyse un schéma de volumes finis pour un modèle simplifié de plasma quasi-neutre en régime de dérive. On prouve la stabilité inconditionnelle du schéma, et donnons des estimations uni-forme en le paramètre asymptotique pour la densité et la pression. La preuve repose sur la conservation de la positivité et la décroissance d'uné energie discrète. La non linéarité du schémá etant le prixàprix`prixà payer pour obtenir la stabilité indépendamment du paramètre asymptotique, nous proposonségalementproposonségalement un méthode itérative pour le résoudre basée sur un schéma linéaire implicite qui est linéairement L 2 stable et préserve la positivité sous une condition CFL n'impliquant pas directement le paramètre asymptotique. Des résultats de simulations numériques sont donnés afin d'illustrer les propriétes de consistence et de stabilité du schéma dans le régime de dérive. Un cas test d'expansion de plasma est aussi illustré
Discrete entropy inequalities of finite volume schemes for nonlinear hyperbolic systems
No full textCe mémoire de thèse concerne le développement de schémas numériques aux volumes finis qui approchent les solutions de systèmes d’équations hyperboliques non linéaires. Ces schémas doivent respecter des critères de stabilité considérés au sens des inégalités d’entropie discrètes et des critères de précisions tels que des propriétés well- balanced ou d’ordre élevé. L’obtention d’une inégalité d’entropie discrète locale est proposée sous la forme de conditions suffisantes directement introduites dans la définition des schémas numériques. Cette approche est appliquée aux cas des systèmes d’Euler, de Saint Venant et de Ripa. Pour ces deux derniers systèmes, les schémas entropiques pro- posés sont complétés d’une propriété well- balanced. Par ailleurs, des schémas d’ordre élevé, sans limiteurs de pente et qui vérifient une inégalité d’entropie discrète globale sont également proposés pour un système hyper- bolique quelconque. Ces schémas sont définis en une dimension d’espace et des ex- tensions sur des maillages non structurés bi- dimensionnels sont également réalisées.This thesis concerns finite volume schemes which approximate the solutions of non linear hyperbolic system of equations. These schemes have to satisfy stability crite- ria in the sense of discrete entropy inequalities and accuracy criteria such as well-balanced or high-order properties. Sufficient conditions are proposed to ensure a fully discrete local entropy inequality in the definition of numer- ical schemes. These conditions are used to design numerical schemes for the Euler, the Shallow Water and the Ripa systems. For the two last systems, the entropic schemes are completed to guarantee a well-balanced prop- erty. In the other hand, high-order non lim- ited finite volume schemes are also proposed. These schemes satisfy a fully discrete global entropy inequality in one-dimensional space and their extensions on two-dimensional un- structured meshes are also done
Mathematical study and numerical simulations of bi-kinetic sheath models
No full textLes résultats présentés dans cette thèse portent sur la construction et la simulation numérique de modèles théoriques de plasmas en présence d'une paroi absorbante. Ces modèles se basent sur des systèmes de Vlasov-Poisson ou Vlasov-Ampère à deux espèces en présence de conditions limites. Les solutions stationnaires recherchées vérifient l'équilibre des flux de charges dans la direction perpendiculaire à la paroi. Cette propriété s'appelle l'ambipolarité. A travers l'étude d'une équation de Poisson non linéaire, on montre le caractère bien posé d'un système de Vlasov-Poisson stationnaire 1d-1v pour lequel on détermine des distributions de particules entrantes et un potential au mur qui induisent l'ambipolarité et une densité de charge positive. On donne également une estimation de la taille de la couche limite au mur. Ces résultats sont illustrés numériquement. On prouve ensuite la stabilité linéaire des solutions stationnaires électroniques pour un modèle de Vlasov-Ampère instationnaire. Enfin, on étudie un modèle de Vlasov-Poisson stationnaire 1d-3v en présence d'un champ magnétique constant et parallèle à la paroi. On détermine les distributions de particules entrantes et un potentiel au mur qui induisent l'ambipolarité. On étudie une équation de Poisson non linéaire associée au modèle à l'aide d'une fonctionnelle non linéaire d'énergie qui admet des minimiseurs. On établit des bornes de paramètres à l'intérieur desquelles notre modèle s'applique et on propose une interprétation des résultats.This thesis focuses on the construction and the numerical simulation theoretical models of plasmas in interaction with an absorbing wall. These models are based on two species Vlasov-Poisson or Vlasov-Ampère systems in the presence of boundary conditions. The expected stationary solutions must verify the balance of the flux of charges in the orthogonal direction to the wall. This feature is called the ambipolarity.Through the study of a non linear Poisson equation, we prove the well-posedness of 1d-1v stationary Vlasov-Poisson system, for which we determine incoming particles distributions and a wall potential that induces the ambipolarity as well as a non negative charge density hold. We also give a quantitative estimates of the thickness of the boundary layer that develops at the wall. These results are illustrated numerically. We prove the linear stability of the electronic stationary solution for a non-stationary Vlasov-Ampère system. Finally, we study a 1d-3v stationary Vlasov-Poisson system in the presence of a constant and parallel to the wall magnetic field . We determine incoming particles distributions and a wall potential so that the ambipolarity holds. We study a non linear Poisson equation through a non linear functional energy that admits minimizers. We established some bounds on the numerical parameters inside which, our model is relevant and we propose an interpretation of the results
Collisional sheath solutions of a bi-species Vlasov-Poisson-Boltzmann boundary value problem
No full textInternational audienceThe mathematical description of the interaction between a collisional plasma and an absorbing surface is a challenging issue. In this paper, we propose to model this interaction by considering a bi-species Vlasov-Poisson-Boltzmann boundary value problem with boundary conditions that are consistent with the physics. In particular, we show that the wall potential can be uniquely determined from the ambipolarity of the particles flows as the unique solution of a non linear equation. We also prove that it is an increasing function of the electrons re-emission coefficient at the wall. Based on the Schauder fixed point theorem, our analysis establishes the existence of a solution provided, on the one hand that the incoming ions density satisfies a moment condition that generalizes the Historical Bohm criterion, and on the other hand that the collision frequency does not exceed a critical value whose definition is subordinated to the strict validity of our generalized Bohm criterion
Stabilité linéaire et non linéaire pour la gaine cinétique sur un intervalle borné
No full textInternational audiencePlasma sheaths are inhomogeneous stationary states that form when a plasma is in contact with an absorbing wall. We prove linear and non linear stability of a kinetic sheath stationary state for a Vlasov-Poisson type system in a bounded interval. Notably, in the linear setting, we obtain exponential decay of the fluctuation provided the rate of injection of particles at equilibrium is smaller than the rate of absorption at the wall. In the non linear setting, we prove a similar result for small enough equilibrium and small localized perturbation of the equilibrium
Study of an asymptotic preserving scheme for the quasi neutral Euler–Boltzmann model in the drift regime
No full textEtude mathématique et simulations numériques de modèles de gaines bi-cinétiques.
No full textLes résultats présentés dans cette thèse portent sur la construction et la simulation numérique de modèles théoriques de plasmas en présence d'une paroi absorbante. Ces modèles se basent sur des systèmes de Vlasov-Poisson ou Vlasov-Ampère à deux espèces en présence de conditions limites. Les solutions stationnaires recherchées vérifient l'équilibre des flux de charges dans la direction perpendiculaire à la paroi. Cette propriété s'appelle l'ambipolarité.A travers l'étude d'une équation de Poisson non linéaire, on montre le caractère bien posé d'un système de Vlasov-Poisson stationnaire 1d-1v pour lequel on détermine des distributions de particules entrantes et un potential au mur qui induisent l'ambipolarité et une densité de charge positive. On donne également une estimation de la taille de la couche limite au mur. Ces résultats sont illustrés numériquement.On prouve ensuite la stabilité linéaire des solutions stationnaires électroniques pour un modèle de Vlasov-Ampère instationnaire. Enfin, on étudie un modèle de Vlasov-Poisson stationnaire 1d-3v en présence d'un champ magnétique constant et parallèle à la paroi. On détermine les distributions de particules entrantes et un potentiel au mur qui induisent l'ambipolarité. On étudie une équation de Poisson non linéaire associée au modèle à l'aide d'une fonctionnelle non linéaire d'énergie qui admet des minimiseurs. On établit des bornes de paramètres à l'intérieur desquelles notre modèle s'applique et on propose une interprétation des résultats
Linear and Non linear stability for the kinetic plasma sheath on a bounded interval
No full textPlasma sheaths are inhomogeneous equilibrium that form when a plasma is in
contact with an absorbing wall. We prove linear and non linear stability of a
kinetic sheath equilibrium for a Vlasov-Poisson type system in a bounded
interval. Notably, in the linear setting, we obtain exponential decay of the
fluctuation provided the rate of injection of particles at equilibrium is
smaller that the rate of absorption at the wall. In the non linear setting, we
prove a similar result for small enough equilibrium and small localized
perturbation of the equilibrium
Modelling and simulating a multispecies plasma
No full textThis paper is devoted to the modelling and numerical simulations of collisionless multispecies plasmas. In the framework of tokamak applications, we detail the dimensional analysis of the coupled kinetic system in order to extract the important parameters of the model. From there, we focus on two asymptotics. We first investigate the implementation of a solver adapted the quasineutral limit in order to deal with large scale simulations. In a second time, we study the massless electron approximation through numerical experiments and question the validity of the usual Maxwell-Boltzmann density approximation
