18 research outputs found
The charge statistic in type A via the affine Grassmannian
No full textWe give a new construction of Lascoux–Schützenberger's charge statistic in type A which is motivated by the geometric Satake equivalence. We obtain a new formula for the charge statistic in terms of modified crystal operators and an independent proof of this formula which does not rely on tableaux combinatorics
The Hard Lefschetz theorem in positive characteristic for the flag varieties
No full textFor a given flag variety, we characterize the primes p for which there exists a weight l such that the hard Lefschetz theorem holds for multiplication by l on the cohomology of the flag variety with coefficients in an infinite field of characteristic p
Bases of the intersection cohomology of Grassmannian Schubert varieties
No full textThe parabolic Kazhdan–Lusztig polynomials for Grassmannians can be computed by counting Dyck partitions. We “lift” this combinatorial formula to the corresponding category of singular Soergel bimodules to obtain bases of the Hom spaces between indecomposable objects. In particular, we describe bases of intersection cohomology of Schubert varieties in Grassmannians parametrized by Dyck partitions which extend (after dualizing) the classical Schubert basis of the ordinary cohomology
A combinatorial formula for the coefficient of q in Kazhdan-Lusztig polynomials
No full textWe propose a combinatorial interpretation of the coefficient of q in Kazhdan-Lusztig polynomials and we prove it for finite simply-laced Weyl groups
Singular Rouquier complexes
No full textWe generalize the construction of Rouquier complexes to the setting of one-sided singular Soergel bimodules. Singular Rouquier complexes are defined by takingminimal complexes of restricted Rouquier complexes. We show that they retain many of the properties of ordinary Rouquier complexes: they are Δ-split, they satisfy a vanishing formula, and when Soergel’s conjecture holdsthey are perverse. As an application, we establish Hodge theory for singular Soergel bimodules
On the Induction of p-Cells
No full textWe study cells with respect to the p-canonical basis of the Hecke algebra of a crystallographic Coxeter system (see Jensen and Williamson (2017) and Jensen (2020)) and their compatibility with standard parabolic subgroups. We show that after induction to the surrounding bigger Coxeter group the cell module of a right p-cell in a standard parabolic subgroup decomposes as a direct sum of cell modules. Along the way, we state some new positivity properties of the p-canonical basis
Hodge theoretic aspects of Soergel bimodules and representation theory
No full textIn the last years, methods coming from Hodge theory have proven to be fruitful in representation theory, most remarkably leading to a new algebraic proof of the Kazhdan-Lusztig conjectures based on the Hodge theory of Soergel bimodules. In this thesis we study several aspects of connection between Hodge theory and representation theory, following several directions
The Erweiterungssatz for the Intersection Cohomology of Schubert Varieties
No full textL'argomento di questa tesi è la Teoria Geometrica delle Rappresentazioni, nata nel 1980 con la dimostrazione dellla congettura di Kazhdan-Lusztig.
Nel primo capitolo sono introdotte le varietà considerate nel seguito: la varietà della bandiere, le varietà di Schubert e le loro
risoluzioni, le varietà di Bott-Samelson.
Nel capitolo 2 si discute l'algebra di Hecke di un gruppo di Coxeter e in particolare la sua base di Kazhdan-Lusztig.
Il capitolo 3 fornisce l'interpretazione geometrica dei polinomi di Kazhdan-Lusztig, costruendo una corrispondenza (o meglio una categorificazione) tra l'algebra di Hecke
e un'algebra costruita a partire dai complessi di coomologia d'intersezione delle varietà di Schibert. In particolare da questa interpretazione discendera la dimostrazione della positività dei polinomi di Kazhdan-Lusztig per i gruppi di Weyl.
Nel quarto capitolo si vede come questa corrispondenza
può essere definita anche in termini di una particolare classe
di bimoduli, detti bimoduli di Soergel.
Questo risultato è una delle conseguenze dell' ``Erweiterungssatz''. Nella seconda parte del capitolo è presente una dimostrazione di questo Teorema che si avvale di un teorema di localizzazione dovuto a V. Ginzburg.
Le appendici contengono alcune parti tecniche, che, se introdotte nel corpo principale della tesi, ne avrebbero appesantito la lettura ed
oscurato la linea argomentativa. In particolare:
l'appendice A contiene un riepilogo della categoria derivata dei complessi di fasci a coomologia costruibile, e dei principali funtori naturalmente definiti su questa.
Nell'appendice B sono introdotti, in modo abbastanza esteso, i fasci perversi e la coomologia d'intersezione.
L'appendice C contiene una breve introduzione alla teoria dei moduli misti di Hodge, sviluppata da Saito nei primi anni '90.
Questa teoria, assai complessa, individua un analogo per varietà complesse della teoria dei fasci -adici e del
conseguente formalismo dei pesi. Dalla teoria di Saito dipendono in modo cruciale
alcuni risultati esposti nei capitoli 3 e 4
Charges via the Affine Grassmannian
No full textWe give a new construction of Lascoux-Schützenberger\u27s charge statistic in type A which is motivated by the geometric Satake equivalence We obtain a new formula for the charge statistic in terms of modified crystal operators and an independent proof of this formula not relying on tableaux combinatorics.This version includes an expanded treatment of the first two chapters. The results on type A have been relocated to arXiv:2412.1056
