172 research outputs found
Estimates in the Hardy-Sobolev space of the annulus and stability result
No full textsummary:The main purpose of this work is to establish some logarithmic estimates of optimal type in the Hardy-Sobolev space ; of an annular domain. These results are considered as a continuation of a previous study in the setting of the unit disk by L. Baratchart and M. Zerner, On the recovery of functions from pointwise boundary values in a Hardy-Sobolev class of the disk, J. Comput. Appl. Math. 46 (1993), 255–269 and by S. Chaabane and I. Feki, Optimal logarithmic estimates in Hardy-Sobolev spaces , C. R., Math., Acad. Sci. Paris 347 (2009), 1001–1006. As an application, we prove a logarithmic stability result for the inverse problem of identifying a Robin parameter on a part of the boundary of an annular domain starting from its behavior on the complementary boundary part
Silent sources on a surface for the Helmholtz equation and decomposition of L² vector fields
No full textInternational audienceWe study an inverse source problem with right hand side in divergence form for the Helmholtz equation, whose underlying model can be related to weak scattering from thin interfaces. This inverse problem is not uniquely solvable, as the forward operator has infinite-dimensional kernel. We present a decomposition of (not necessarily tangent) vector fields of L 2-class on a closed Lipschitz surface in R 3 , which allows one to discuss an ansatz for the solution and constraints that restore uniqueness. This work can be seen as a generalization of references [4, 6] dealing with the Laplace equation, but in the Helmholtz case new ties arise between the observations from each side of the surface. Our proof is based on properties of the Calderón projector on the boundary of Lipschitz domains, that we establish in a H-1 × L 2 setting.[4] L. Baratchart, C. Gerhards, and A. Kegeles. Decomposition of l 2-vector fields on lipschitz surfaces: characterization vianull-spaces of the scalar potential. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2021.[6] L. Baratchart, C. Villalobos Guillén, D. P. Hardin, M. C. Northington, and E. B. Saff. Inverse potential problems fordivergence of measures with total variation regularization. Foundations of Computational Mathematics, Nov 2019
Constrained optimization in classes of analytic functions with prescribed pointwise values
No full textWe consider an overdetermined problem for Laplace equation on a disk with partial boundary data where additional pointwise data inside the disk have to be taken into account. After reformulation, this ill-posed problem reduces to a bounded extremal problem of best norm-constrained approximation of partial L2 boundary data by traces of holomorphic functions which satisfy given pointwise interpolation conditions. The problem of best norm-constrained approximation of a given L2 function on a subset of the circle by the trace of a H2 function has been considered in [Baratchart & Leblond, 1998]. In the present work, we extend such a formulation to the case where the additional interpolation conditions are imposed. We also obtain some new results that can be applied to the original problem: we carry out stability analysis and propose a novel method of evaluation of the approximation and blow-up rates of the solution in terms of a Lagrange parameter leading to a highly-efficient computational algorithm for solving the problem.Nous considérons un problème inverse surdéterminé pour l'équation de Laplace dans un disque, avec des conditions de type Dirichlet-Neumann sur une partie de la frontière et des contraintes supplémentaires d'interpolation dans le disque. Après reformulation, ce problème est réduit à un problème de meilleure approximation quadratique sous contraintes, par les traces de fonctions holomorphes appartenant à l'espace de Hardy H2, comme dans [Baratchart & Leblond, 1998], et vérifiant des conditions d'interpolation dans le domaine. De plus, nous effectuons une analyse de la stabilité du problème face à des perturbations sur les données, et proposons une nouvelle méthode pour calculer certaines caractéristiques de la solution (erreur d'approximation, estimation de sa norme), en termes du paramètre de Lagrange intervenant dans l'algorithme
Constrained optimization in classes of analytic functions with prescribed pointwise values
No full textWe consider an overdetermined problem for Laplace equation on a disk with partial boundary data where additional pointwise data inside the disk have to be taken into account. After reformulation, this ill-posed problem reduces to a bounded extremal problem of best norm-constrained approximation of partial L2 boundary data by traces of holomorphic functions which satisfy given pointwise interpolation conditions. The problem of best norm-constrained approximation of a given L2 function on a subset of the circle by the trace of a H2 function has been considered in [Baratchart & Leblond, 1998]. In the present work, we extend such a formulation to the case where the additional interpolation conditions are imposed. We also obtain some new results that can be applied to the original problem: we carry out stability analysis and propose a novel method of evaluation of the approximation and blow-up rates of the solution in terms of a Lagrange parameter leading to a highly-efficient computational algorithm for solving the problem.Nous considérons un problème inverse surdéterminé pour l'équation de Laplace dans un disque, avec des conditions de type Dirichlet-Neumann sur une partie de la frontière et des contraintes supplémentaires d'interpolation dans le disque. Après reformulation, ce problème est réduit à un problème de meilleure approximation quadratique sous contraintes, par les traces de fonctions holomorphes appartenant à l'espace de Hardy H2, comme dans [Baratchart & Leblond, 1998], et vérifiant des conditions d'interpolation dans le domaine. De plus, nous effectuons une analyse de la stabilité du problème face à des perturbations sur les données, et proposons une nouvelle méthode pour calculer certaines caractéristiques de la solution (erreur d'approximation, estimation de sa norme), en termes du paramètre de Lagrange intervenant dans l'algorithme
Minimax principle and lower bounds in H-rational approximation
No full textSpecial Issue Dedicated to the memory of Andrei Aleksandrovich Gonchar and Herbert Stahl.International audienceWe derive some lower bounds in rational approximation of given degree to functions in the Hardy space of the disk. We apply these to asymptotic errors rates in approximation to Blaschke products and to Cauchy integrals on geodesic arcs.We also explain how to compute such bounds, either using Adamjan-Arov-Krein theory or linearized errors, and we present a couple of numerical experiments on several types of functions. We dwell on the Adamjan-Arov-Krein theory and a maximin principle developed in the article "An L^p analog of AAK theory for p >= 2", by L. Baratchart and F. Seyfert, in the Journal of Functional Analysis, 191 (1), pp. 52-122, 2012
Methodologies and synthesis tools for functions filters loaded by complex impedances
No full textLe problème de l'adaptation d'impédance en ingénierie des hyper fréquences et en électronique en général consiste à minimiser la réflexion de la puissance qui doit être transmise, par un générateur, à une charge donnée dans une bande de fréquence. Les exigences d'adaptation et de filtrage dans les systèmes de communication classiques sont généralement satisfaites en utilisant un circuit d'adaptation suivi d'un filtre. Nous proposons ici de concevoir des filtres d'adaptation qui intègrent à la fois les exigences d'adaptation et de filtrage dans un seul appareil et augmentent ainsi l'efficacité globale et la compacité du système. Dans ce travail, le problème d'adaptation est formulé en introduisant un problème d'optimisation convexe dans le cadre établi par la théorie de d'adaptation de Fano et Youla. De ce contexte, au moyen de techniques modernes de programmation semi-définies non linéaires, un problème convexe, et donc avec une optimalité garantie, est obtenu. Enfin, pour démontrer les avantages fournis par la théorie développée au-delà de la synthèse de filtres avec des charges complexes variables en fréquence, nous examinons deux applications pratiques récurrentes dans la conception de ce type de dispositifs. Ces applications correspondent, d'une part, à l'adaptation d'un réseau d'antennes dans le but de maximiser l'efficacité du rayonnement, et, d'autre part, à la synthèse de multiplexeurs où chacun des filtres de canal est adapté au reste du dispositif, notamment les filtres correspondant aux autres canaux.The problem of impedance matching in electronics and particularly in RF engineering consists on minimising the reflection of the power that is to be transmitted, by a generator, to a given load within a frequency band. The matching and filtering requirements in classical communication systems are usually satisfied by using a matching circuit followed by a filter. We propose here to design matching filters that integrate both, matching and filtering requirements, in a single device and thereby increase the overall efficiency and compactness of the system. In this work, the matching problem is formulated by introducing convex optimisation on the framework established by the matching theory of Fano and Youla. As a result, by means of modern non-linear semi-definite programming techniques, a convex problem, and therefore with guaranteed optimality, is achieved. Finally, to demonstrate the advantages provided by the developed theory beyond the synthesis of filters with frequency varying loads, we consider two practical applications which are recurrent in the design of communication devices. These applications are, on the one hand, the matching of an array of antennas with the objective of maximizing the radiation efficiency, and on the other hand the synthesis of multiplexers where each of the channel filters is matched to the rest of the device, including the filters corresponding to the other channels
Some inverse problems with partial data
No full textLa thèse se compose de 3 parties. Dans la partie I, nous considérons des problèmes à lafrontière pour une EDP de Laplace dans un domaine simplement connexe de bordLispschitz continu. Depuis des données Dirichlet et Neumann suffisamment régulièresdisponibles sur une partie de la frontière, nous développons une méthode non-itérative derésolution de ce problème de Cauchy, régularisé par une contrainte en norm L2 portantsur la solution sur la partie complémentaire du bord. Notre approche par les fonctionsanalytiques de la variable complexe permet d'imposer des contraintes ponctuellessupplémentaires possédant un intêret pratique pour incorporer des mesures corrompues.La partie II concerne la structure spectrale d'un opérateur de Poisson tronqué intervenantdans diverses applications physiques. Nous établissons d'importantes propriétés dessolutions, des connexions avec d'autres problèmes, ainsi que, pour des valeursasymptotiques d'un paramètre, des formulations sous forme d'autres équations intégralesou EDO solubles. Dans la partie III, nous traitons un problème inverse particulier issud'expériences pratiques effectuées avec un microscope SQUID. Depuis des mesurespartielles de la composante verticale du champ magnétique, le but est de retrouvercertaines propriétés de l'aimantation d'un échantillon de roche. Nous présentons denouvelles méthodes utilisant les transformations de Kelvin et de Fourier pour l'estimationdu moment magnétique.The thesis consists of three parts. In Part I, we consider partially overdeterminedboundary-value problemS for Laplace PDE in a planar simply connected domain withLipschitz boundary. Assuming Dirichlet and Neumann data available on its part to be realvaluedfunctions of certain regularity, we develop a non-iterative method for solving thisill-posed Cauchy problem choosing as a regularizing parameter L2 bound of the solutionon complementary part of the boundary. The present complex-analytic approach alsonaturally allows imposing additional pointwise constraints on the solution which, onpractical side, can help incorporating outlying boundary measurements without changingthe boundary into a less regular one. Part II is concerned with spectral structure of atruncated Poisson operator arising in various physical applications. We deduce importantproperties of solutions, discuss connections with other problems and pursue differentreductions of the formulation for large and small values of asymptotic parameter yieldingsolutions by means of solving simpler integral equations and ODEs. In Part III, we dealwith a particular inverse problem arising in real physical experiments performed withSQUID microscope. The goal is to recover certain magnetization features of a sample frompartial measurements of one component of magnetic field above it. We develop newmethods based on Kelvin and Fourier transformations resulting in estimates of netmoment components
Inverse problems of source localization with applications to EEG and MEG
No full textDans cette thèse, nous étudions les problèmes d'approximation au sens des moindres carrés liés à des équations aux dérivées partielles elliptiques. Les problèmes inverses étudiés sont liés aux solutions des équations de Maxwell, soit sous l'approximation quasi-statique conduisant à une équation de Poisson, soit sous l'approximation harmonique en temps induisant une équation de Helmholtz. Ces problèmes concernent la localisation de sources en imagerie cérébrale, la localisation de charges à partir de mesures continues du champ électromagnétique qu'elles génèrent et la reconnaissance de formes à partir de mesures discrètes d'ondes électromagnétiques réfléchies.Dans un premier chapitre, ces problèmes au sens des moindres carrés sont liés aux solutions des équations de Poisson issues des équations de Maxwell sous l'approximation quasi-statique. Nous étudions dans ce cas les problèmes inverses de localisation de sources en imagerie cérébrale ou de localisation de charges à partir de mesures continues du champ électromagnétique qu'elles induisent. Pour ces problèmes, nous étudions principalement les fonctions "objectif" associées et leur solvabilité numérique. En effet, ces fonctions n'étant pas convexes, nous étudions l'unicité des leurs points critiques et donc de leurs minima locaux afin d'assurer la convergence des méthodes de descente vers la solution désirée. Nous étudions différents problèmes : l'estimation du courant à partir de mesures du potentiel électrique ou de l'induction magnétique et l'estimation de charge électrique à partir de mesures du champ électrique ; l'étude est faite pour deux ensembles de mesures différents : une sphère et un plan infini. Des illustrations numériques sont fournies pour tous ces problèmes.Dans un deuxième chapitre, nous étudions un problème de reconstruction de forme et d'estimation de propriétés électriques à partir de mesures discrètes d'ondes électromagnétiques réfléchies sur un objet. Pour ce problème, les champs sont des solutions de l'équation d'Helmholtz provenant des équations de Maxwell dans l'approximation harmonique en temps. La question de la reconstruction en elle-même peut être traitée par des techniques d'apprentissage automatique. Les paramètres choisis sont les pôles de la fonction qui exprime le champ électrique en fonction de la fréquence. Dans cette thèse, nous étudions des méthodes d'approximation rationnelle du champ afin de décrire comment ces pôles peuvent être estimés. Nous introduisons et étudions deux généralisations de l'approximation de Padé au sens des moindres carrés : l'approximation de Padé au sens des moindres carrés en 0 et l'approximation de Padé multipoints au sens des moindres carrés. Pour la première approximation, nous généralisons le théorème de Nuttall-Pommerenke, tandis que nous montrons un résultat plus faible pour la seconde et discutons une conjecture plus forte.In this thesis, we study least-squares approximation problems linked to elliptic partial differential equations. The studied inverse problems are linked to solutions of Maxwell equations under either the quasi-static approximation leading to a Poisson equation or under the time-harmonic approximation leading to a Helmholtz equation. These problems arise from source localization in brain imaging, charge localization from continuous measurements of the electromagnetic field they induce and shape recognition from discrete measurements of scattered electromagnetic wave.In a first chapter, these least-squares problems are linked to solutions of Poisson equations coming from Maxwell equations under the quasi-static approximation. We study in this case inverse problems of source localization in brain imaging or charge localization from continuous measurements of the electromagnetic field they induce. For these problems, we mainly study the associated least-squares criteria and their numerical solvability. Indeed, as the criteria are not convex, we study the uniqueness of critical points of the criteria hence of the local minima in order to ensure the convergence of descent methods to the desired solution. We study different problems: current recovery from measures of the electric potential or magnetic induction and charge recovery from measures of the electric field; the study is done for two different sets of measurements: a sphere and an infinite plane. Numerical illustrations are provided for all of these problems.In a second chapter, we study a problem of shape reconstruction and electric properties recovery from discrete measurements of scattered electromagnetic waves on an object. In this case, the fields are solution of Helmholtz equation coming from Maxwell equations under the time-harmonic approximation. The reconstruction issue by itself can be achieved based on machine learning techniques. The chosen parameters are the poles of the function which express the field with respect to the frequency. In this thesis we study rational approximation methods of the field in order to describe how these poles can be recovered. We introduce and study two least-squares generalizations of Padé approximation: the least-squares Padé approximation at 0 and the least-square multipoint Padé approximation. For the first approximation we generalize the Nuttall-Pommerenke theorem while we showed a weaker result for the second one and only discuss a stronger conjecture
Rational approximation and inverse problems
No full textGiven a function analytic in the plane except for finitely many branch points in the unit disk, we consider its best rational approximant of given degree in L² of the unit circle. We analyze the behavior of the poles of the approximant when its degree becomes large and discuss how it can be used to approach certain inverse source problems for the Laplacian
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