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A characterisation of classical unitals
No full textA short proof is given for the following theorem:
A unital in is classical if and only if it
is preserved by a cyclic linear collineation group of order
Algebraic geometry over a field of positive characteristic - Lecture notes of a course given by J.P.W.Hirschfeld
No full textSome results on caps and codes related to orthogonal Grassmannians — a preview
No full textIn this note we offer a short summary of some recent results, to be contained in
a forthcoming paper [4], on projective caps and linear error correcting codes arising from the Grassmann embedding εgr
k of an orthogonal Grassmannian ∆k . More
precisely, we consider the codes arising from the projective system determined by
εgr
k (∆k ) and determine some of their parameters. We also investigate special sets
of points of ∆k which are met by any line of ∆k in at most 2 points proving that
their image under the Grassmann embedding is a projective cap
Intersections of the Hermitian surface with irreducible quadrics in even characteristic
No full textWe determine the possible intersection sizes of a Hermitian surface H with an
irreducible quadric of PG(3, q2) sharing at least a tangent plane at a common non-singular point when q is even
Co-Minkowski spaces, their reflection structure and K-loops
No full textIn this work an infinite family of K-loops is constructed from
the reflection structure of co-Minkowski planes and their properties
are analysed
-Intersection sets in and two-character multisets in
No full textIn this article we construct new minimal intersection sets in
with respect to hyperplanes, of size and multiplicity , where
rt \in \ q^2r-3-q^(3r-4)/2, q^2r-3-q^r-2\rqPG(3,q^2)AG(r,q^2)$ satisfying the opposite of the algebraic conditions required in [1]
for quasi--Hermitian varieties
Hermitian varieties over finite fields
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Codici correttori: un’introduzione
No full text\lettrine{I}{l presente} testo \`e finalizzato
a fornire un'introduzione generale alla teoria algebrica
dei codici ed \`e destinato a studenti del
terzo anno di un corso Laurea di primo livello in Matematica, Fisica
o Ingegneria, oppure del primo/secondo anno di Laurea Specialistica.
Il materiale indicato con il simbolo \danger\
\`e pi\`u specificamente orientato a studenti
degli anni superiori.
Il piano dell'opera \`e il seguente.
\begin{enumerate}
\item Nei primi due capitoli si richiamano alcune nozioni di
teoria matematica della comunicazione; tale teoria fornisce
la giustificazione delle tecniche di correzione di errore
che sono l'oggetto del resto del testo.
\item Nel Capitolo \ref{chap:prelim} si introducono le
nozioni di
codice a blocchi
di correzione, codifica e decodifica di un
messaggio, nonch\'e di equivalenza fra codici.
\item I capitoli dal \ref{chap:Lineari} al \ref{chap:limitazioni}
costituiscono il cuore del lavoro:
in essi vengono studiate numerose famiglie di
codici lineari e si mostra il loro impiego e quali propriet\`a
debbano sempre essere soddisfatte.
\item Il Capitolo \ref{chap:Lineari} \`e finalizzato ad introdurre
i codici lineari, visti come spazi vettoriali, e a presentarne
le propriet\`a generali;
\item Oggetto dei capitoli \ref{chap:ciclici} e \ref{chap:alciclici}
sono un tipo particolare di codici lineari: i codici ciclici. Tali
codici si possono descrivere in modo estremamente conciso e
si rivelano particolarmente utili per correggere alcune
tipologie di errore, quali gli errori concentrati. Questa
classe di errore \`e studiata nel dettaglio nel
Capitolo \ref{chap:Burst}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:BCH} si definisce
la costruzione BCH e si studiano i codici da
essa derivati. Uno degli aspetti pi\`u importanti
di tale costruzione \`e che consente di fissare
\emph{a priori} il numero di errori che un
codice deve poter correggere.
\item I codici di Reed--Solomon, oggetto del Capitolo
\ref{chap:RS}, costituiscono forse la pi\`u importante
famiglia di codici lineari a blocchi: sono infatti
implementati in svariati dispositivi di comunicazione
digitale. Fra i motivi del loro successo vi \`e
l'esistenza di eccellenti algoritmi di correzione
specifici, ma anche la possibilit\`a di utilizzarli
per correggere errori di cui
si conosce la posizione
ma non l'entit\`a.
Metodologie per affrontare quest'ultimo problema sono
introdotte nel Capitolo \ref{chap:erasure}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:descodici} si presenta
come sia possibile costruire dei codici a partire da
strutture di tipo geometrico--combinatorico; tali
costruzioni sono utilizzate anche nel Capitolo
\ref{chap:golay} per costruire i codici sporadici
di Golay e mostrare che sono perfetti.
\item I codici di Reed--M\"uller sono una possibile
generalizzazione
dei codici di Reed--Solomon; nel Capitolo \ref{cha:geom} mostriamo
come costruirli e, nel caso binario, ne deriviamo alcune propriet\`a.
\item Non sempre \`e facile ottenere direttamente un codice che abbia i
parametri richiesti per un ben definito problema pratico. Tecniche per
determinare codici con il comportamento desiderato, a partire
da codici altrimenti noti, sono presentate nel Capitolo
\ref{cha:derivazione}.
\item Nel capitolo conclusivo di questa parte del libro, il
\ref{chap:limitazioni},
si presentano alcune limitazioni assolute al comportamento di un
codice e si dimostra che, quantomeno a livello teorico, \`e
sempre possibile costruire dei codici con il miglior
comportamento possibile.
\item I capitoli della terza parte del volume (dal \ref{chap:AGcodes}
al \ref{chap:conv})
sono destinati a fornire un'idea generale su alcune
classi di codici che sono correntemente oggetto di
intensa ricerca.
Tali capitoli non vogliono essere esaustivi ma semplicemente
stimolare il lettore interessato ad approfondire l'argomento.
Le classi considerate sono quella dei codici Algebrico--Geometrici
(Capitolo \ref{chap:AGcodes}), dei codici LDPC (Capitolo
\ref{chap:LDPC}) e quella dei codici convoluzionali
(Capitolo \ref{chap:conv}).
\item Concludono il testo due appendici:
una (Appendice \ref{app:algebra}) sui campi finiti, l'altra
sulle curve algebriche (Appendice \ref{app:curve}).
\end{enumerate}
I capitoli dal \ref{chap:Protocolli} al \ref{cha:derivazione}
sono corredati di esercizi svolti. Nello svolgimento degli
stessi si \`e cercato, ove opportuno, di mostrare come
i problemi possano essere impostati utilizzando il
sistema di \emph{computer algebra} GAP \cite{GAP4}.
Tale sistema \`e liberamente disponibile in rete (si veda
la bibliografia per l'indirizzo) ed
\`e finalizzato allo studio di strutture algebriche
finite.
\par
Un sentito ringraziamento va alla Professoressa Silvia Pellegrini,
che ha seguito la genesi e lo sviluppo di quest'opera con
preziosissimi consigli e incoraggiamenti
Intersections of the Hermitian surface with irreducible quadrics in even characteristic
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