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Some results on caps and codes related to orthogonal Grassmannians --- a preview
No full textIn this note we offer a short summary of some recent
results, to be contained in a
forthcoming paper \cite{CG}, on projective caps and linear
error correcting codes arising from the Grassmann embedding
of an orthogonal Grassmannian More precisely, we consider the codes arising from the projective system determined by
and determine some of their parameters.
We also investigate special sets of points of which are met
by any line of in at most points proving that their image under the Grassmann embedding is a projective cap
On the non-existence of certain hyperovals in dual André planes of order 2(2h)
Full text linkNo regular hyperoval of the Desarguesian affine plane AG(2; 2 2h), with h > 1, is inherited by a dual André plane of order 22h and dimension 2 over its kernel
Codici correttori: un’introduzione
No full text\lettrine{I}{l presente} testo \`e finalizzato
a fornire un'introduzione generale alla teoria algebrica
dei codici ed \`e destinato a studenti del
terzo anno di un corso Laurea di primo livello in Matematica, Fisica
o Ingegneria, oppure del primo/secondo anno di Laurea Specialistica.
Il materiale indicato con il simbolo \danger\
\`e pi\`u specificamente orientato a studenti
degli anni superiori.
Il piano dell'opera \`e il seguente.
\begin{enumerate}
\item Nei primi due capitoli si richiamano alcune nozioni di
teoria matematica della comunicazione; tale teoria fornisce
la giustificazione delle tecniche di correzione di errore
che sono l'oggetto del resto del testo.
\item Nel Capitolo \ref{chap:prelim} si introducono le
nozioni di
codice a blocchi
di correzione, codifica e decodifica di un
messaggio, nonch\'e di equivalenza fra codici.
\item I capitoli dal \ref{chap:Lineari} al \ref{chap:limitazioni}
costituiscono il cuore del lavoro:
in essi vengono studiate numerose famiglie di
codici lineari e si mostra il loro impiego e quali propriet\`a
debbano sempre essere soddisfatte.
\item Il Capitolo \ref{chap:Lineari} \`e finalizzato ad introdurre
i codici lineari, visti come spazi vettoriali, e a presentarne
le propriet\`a generali;
\item Oggetto dei capitoli \ref{chap:ciclici} e \ref{chap:alciclici}
sono un tipo particolare di codici lineari: i codici ciclici. Tali
codici si possono descrivere in modo estremamente conciso e
si rivelano particolarmente utili per correggere alcune
tipologie di errore, quali gli errori concentrati. Questa
classe di errore \`e studiata nel dettaglio nel
Capitolo \ref{chap:Burst}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:BCH} si definisce
la costruzione BCH e si studiano i codici da
essa derivati. Uno degli aspetti pi\`u importanti
di tale costruzione \`e che consente di fissare
\emph{a priori} il numero di errori che un
codice deve poter correggere.
\item I codici di Reed--Solomon, oggetto del Capitolo
\ref{chap:RS}, costituiscono forse la pi\`u importante
famiglia di codici lineari a blocchi: sono infatti
implementati in svariati dispositivi di comunicazione
digitale. Fra i motivi del loro successo vi \`e
l'esistenza di eccellenti algoritmi di correzione
specifici, ma anche la possibilit\`a di utilizzarli
per correggere errori di cui
si conosce la posizione
ma non l'entit\`a.
Metodologie per affrontare quest'ultimo problema sono
introdotte nel Capitolo \ref{chap:erasure}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:descodici} si presenta
come sia possibile costruire dei codici a partire da
strutture di tipo geometrico--combinatorico; tali
costruzioni sono utilizzate anche nel Capitolo
\ref{chap:golay} per costruire i codici sporadici
di Golay e mostrare che sono perfetti.
\item I codici di Reed--M\"uller sono una possibile
generalizzazione
dei codici di Reed--Solomon; nel Capitolo \ref{cha:geom} mostriamo
come costruirli e, nel caso binario, ne deriviamo alcune propriet\`a.
\item Non sempre \`e facile ottenere direttamente un codice che abbia i
parametri richiesti per un ben definito problema pratico. Tecniche per
determinare codici con il comportamento desiderato, a partire
da codici altrimenti noti, sono presentate nel Capitolo
\ref{cha:derivazione}.
\item Nel capitolo conclusivo di questa parte del libro, il
\ref{chap:limitazioni},
si presentano alcune limitazioni assolute al comportamento di un
codice e si dimostra che, quantomeno a livello teorico, \`e
sempre possibile costruire dei codici con il miglior
comportamento possibile.
\item I capitoli della terza parte del volume (dal \ref{chap:AGcodes}
al \ref{chap:conv})
sono destinati a fornire un'idea generale su alcune
classi di codici che sono correntemente oggetto di
intensa ricerca.
Tali capitoli non vogliono essere esaustivi ma semplicemente
stimolare il lettore interessato ad approfondire l'argomento.
Le classi considerate sono quella dei codici Algebrico--Geometrici
(Capitolo \ref{chap:AGcodes}), dei codici LDPC (Capitolo
\ref{chap:LDPC}) e quella dei codici convoluzionali
(Capitolo \ref{chap:conv}).
\item Concludono il testo due appendici:
una (Appendice \ref{app:algebra}) sui campi finiti, l'altra
sulle curve algebriche (Appendice \ref{app:curve}).
\end{enumerate}
I capitoli dal \ref{chap:Protocolli} al \ref{cha:derivazione}
sono corredati di esercizi svolti. Nello svolgimento degli
stessi si \`e cercato, ove opportuno, di mostrare come
i problemi possano essere impostati utilizzando il
sistema di \emph{computer algebra} GAP \cite{GAP4}.
Tale sistema \`e liberamente disponibile in rete (si veda
la bibliografia per l'indirizzo) ed
\`e finalizzato allo studio di strutture algebriche
finite.
\par
Un sentito ringraziamento va alla Professoressa Silvia Pellegrini,
che ha seguito la genesi e lo sviluppo di quest'opera con
preziosissimi consigli e incoraggiamenti
Down-linking(Kv,Γ)-designs to P3-designs
No full textLet Γ' be a subgraph of a graph Γ. We define a down-link from a(KvΓ)-design B to a(Kn,Γ')-design.B' as a map f: B → B' mapping any block of B into one of its subgraphs. This is a new concept,closely related with both the notion of metamorphosis and that of embedding. In the present paper we study down-links in general and prove that any(Kv,Γ)-design might be down-linked to a(K n,Γ')-design,provided that n is admissible and large enough. We also show that if Γ' = P3,it is always possible to find a down-link to a design of order at most v + 3. This bound is then improved for several classes of graphs Γ,by providing explicit constructions
The generating rank of a polar Grassmannian
No full textIn this paper we compute the generating rank of k-polar Grassmannians defined over commutative division rings. Among the new results, we compute the generating rank of k-Grassmannians arising from Hermitian forms of Witt index n defined over vector spaces of dimension N > 2n. We also study generating sets for the 2-Grassmannians arising from quadratic forms of Witt index n defined over V(N, Fq) for q = 4, 8, 9 and 2n ≤ N ≤ 2n + 2. We prove that for N > 6 and anisotropic defect (polar corank) d ≠ 2 they can be generated over the prime subfield, thus determining their generating rank
Geometries arising from trilinear forms on low-dimensional vector spaces
Full text linkLet Gk(V) be the k-Grassmannian of a vector space V with dimV=n. Given a hyperplane H of Gk(V), we define in [I. Cardinali, L. Giuzzi, A. Pasini, A geometric approach to alternating k-linear forms, J. Algebraic Combin. doi: 10.1007/s10801-016-0730-6] a point-line subgeometry of PG(V) called the geometry of poles of H. In the present paper, exploiting the classification of alternating trilinear forms in low dimension, we characterize the possible geometries of poles arising for k=3 and n≤7 and propose some new constructions. We also extend a result of [J.Draisma, R. Shaw, Singular lines of trilinear forms, Linear Algebra Appl. doi: 10.1016/j.laa.2010.03.040] regarding the existence of line spreads of PG(5,K) arising from hyperplanes of G3(V)
On mutually μ-intersecting quasi-Hermitian varieties with some applications
No full textLet W be a non-empty set of points of a finite Desarguesian projective space PG(n, q). A collection of varieties of PG(n, q) is mutually mu-intersecting (relatively to X97) if its elements meet all W in the same number of points and pairwise intersect in W in exactly mu points. Here, we construct a new family of mutually mu-intersecting algebraic varieties by using certain quasi-Hermitian varieties of PG(n, q(2)), where q is any prime power. With the help of these quasi-Hermitian varieties we provide a new construction of 5-dimensional MDS codes over F-q as well as an infinite family of simple orthogonal arrays OA(q(2n-1), q(2n-2), q, 2) of index mu = q(2n-3)
Nearly all subspaces of a classical polar space arise from its universal embedding
Full text linkLet Γ be an embeddable non-degenerate polar space of finite rank n≥2. Assuming that Γ admits the universal embedding (which is true for all embeddable polar spaces except grids of order at least 5 and certain generalized quadrangles defined over quaternion division rings), let ε:Γ→PG(V) be the universal embedding of Γ. Let S be a subspace of Γ and suppose that S, regarded as a polar space, has non-degenerate rank at least 2. We shall prove that S is the ε-preimage of a projective subspace of PG(V)
Unitals in with a large 2-point stabiliser
No full textLet \cU be a unital embedded in the Desarguesian projective plane
\PG(2,q^2). Write for the subgroup of \PGL(3,q^2) which preserves
\cU. We show that \cU is classical if and only if \cU has two
distinct points for which the stabiliser has order
On the generation of some Lie-type geometries
Full text linkLet Xn(K) be a building of Coxeter type Xn=An or Xn=Dn defined over a given division ring K (a field when Xn=Dn). For a non-connected set J of nodes of the diagram Xn, let Γ(K)=GrJ(Xn(K)) be the J-grassmannian of Xn(K). We prove that Γ(K) cannot be generated over any proper sub-division ring K0 of K. As a consequence, the generating rank of Γ(K) is infinite when K is not finitely generated. In particular, if K is the algebraic closure of a finite field of prime order then the generating rank of Gr1,n(An(K)) is infinite, although its embedding rank is either (n+1)2−1 or (n+1)2
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