5,318 research outputs found
On Differential Cohomology and Geometric Hodge-filtered K-theory
No full textOppgaven har to hovedmål.
Først presenterer vi en oppsumering av fagfeltet differensiell kohomologi, med hovedfokus på eksisterende tilnærminger og viktige resultater. Vi starter med differensialkarakterene til Cheeger og
Simons, som kan generaliseres til differensialfunksjonskomplekser etter Hopkins-Singer. Vi presenterer tilnærmingen til Bunke, Nikolaus og Völkl gjennom spektralknipper, og vi dekomponerer uendeligkategorien av differensielle kohomologiteorier gjennom
kjente metoder for stabile uendeligkategorier som utnytter spesifikke underkategoristrukturer.
Vi studerer aksiomene til glatte utvidelser og unikhetsteoremet for disse, som bevist av Bunke og
Schick, før vi undersøker hvordan disse respekterer homotopiinvarians og landwebereksakte formelle gruppelover. Videre betrakter vi eksplisitte beskrivelser av spesifikke differensielle
kohomologiteorier, slik som glatt delignekohomologi for ordinær differensiell kohomologi. Etter
vi studerer en geometrisk suspensjonskonstruksjon, forklarer vi kort hvordan arbeidet til Simons
og Sullivan på strukturerte bunter brukes til å definere differensiell K-theori.
Deretter studerer vi en analog til differensielle kohomologiteorier for komplekse mangfoldigheter,
nemlig hodgefiltrerte kohomologiteorier, hvor hovedfokuset etterhvert flyttes til å forstå (geometrisk) hodgefiltrert K-teori. Motivert av delignekohomologi og arbeidet til Hopkins og Quick, studerer vi aksiomene for hodgefiltrerte utvidelser som presentert av Haus og Quick. Vi studerer forskjeller mellom differensiell- og hodgefiltrert kohomologiteori,
og vi diskuterer en formodning om at hodgefiltrerte utvidelser respekterer landweberteorier på
samme måte som differensiell kohomologi, tross subtile forskjeller mellom de to. Fokuset rettes
mot hodgefiltrert K-teori, og etter en diskusjon av Karoubis ”multipliativ K-teori”, beviser vi
at multiplikativ K-teori er en geometrisk modell for hodgefiltrert K-teori, basert på aksiomene
til Haus og Quick.The thesis has two main goals.
First, we present an overview of differential cohomology, focusing on existing approaches to the topic and important results. This starts with the differential characters of Cheeger-Simons, which are generalized by the differential function complexes of Hopkins-Singer. The approach by Bunke-Nikolaus-Völkl using spectral sheaves is presented, and we decompose the infinity-category of differential cohomology theories by using known results on stable infinity-categories with certain subcategory structures.
We study the axioms for smooth extensions and a corresponding uniqueness theorem proven by Bunke-Schick before we investigate how differential cohomology theories respect homotopy invariance and Landweber exact formal group laws.
Furthermore, we investigate explicit descriptions of differential cohomology theories, such as smooth Deligne cohomology for ordinary differential cohomology.
After developing a geometric suspension construction, we briefly explain how the structured bundles of Simons-Sullivan define differential K-theory.
Secondly, we study an analog of differential cohomology for complex manifolds, namely Hodge-filtered cohomology theories, where we work towards understanding (geometric) Hodge-filtered K-theory.
We study Deligne cohomology and the work of Hopkins-Quick, and see how they fit into the axioms of Hodge-filtered extensions by Haus-Quick.
We investigate differences between differential- and Hodge-filtered cohomology, most notably by discussing a conjecture that Hodge-filtered extensions respect Landweber-theories similarly to differential cohomology, despite differences between the two.
After a discussion on multiplicative K-theory in the sense of Karoub, we prove that multiplicative K-theory is a geometric model of Hodge-filtered K-theory in the sense of Haus-Quick
Fibrasjoner av Kategorier
No full textDet finnes en {\em kanonisk} modellstruktur på \Cat som bruker ekvivalenser av kategorier, og vi forsøker å forstå fibrasjonene involvert. Første kapittel gir en detaljert utledning av at yonedaimbeddingen \y : \C \to \Set_\C er en {\em fri kokomplettering} av kategorien \C. Ut av dette springer et paradigme av ``nerve og realisering''-adjunksjoner, som generaliserer en rekke klassiske konstruksjoner. I kapittel 2 motiveres først {\em diskrete fibrasjoner} via topologiske overdekningsrom, og disse fibrasjonene klassifiseres som funktorer \C \to \Set. Dette er intimt knyttet til den frie kokompletteringen og ulike linjer trekkes. Deretter går vi detaljert gjennom konstruksjonen av nevnt kanoniske modellstruktur. Til slutt gis en versjon av Quillen sitt {\em ``small object argument''} for {\em presenterbare} kategorier
Differentiable Structures on Spheres and the Kervaire Invariant
No full textWe follow Kervaire Milnor in defining and studying the group G of smooth structures on the sphere S^n. Surgery theory is developed and applied to study the subgroup bP^(n+1) of G. The Pontryagin construction induces a monomorphism p:G/bP^(n+1)->π_n(S)/Im(J), into the cokernel of the stable J-homomorphism. Using surgery theory and the Kervaire invariant the index of p is seen to be 1 unless n=4k+2 and there exist a closed manifold of Kervaire invariant one of dimension n. We also consider Kervaires construction of a piecewise linear manifold admitting no smooth structure
Abstract Homotopy Theory of Smooth Manifolds
No full textI denne oppgaven presenterer vi konstruksjonen av en homotopi teori for glatte mangfoldigheter på en måte som ligner Morel og Voevodskys konstruksjon av -homotopi teorien for skjemaer. Dette er basert på arbeidet til Dugger, Isaksen, Jardine, Morel, Quillen, Voevodsky og mange andre.In this thesis we present the construction of a homotopy theory for smooth manifolds in a way which mimics Morel and Voevodsky's construction of the -homotopy theory for schemes. This is based on the works of Dugger, Isaksen, Jardine, Morel, Quillen, Voevodsky and many other
A detailed account of Behrens proof of Bott periodicity
No full textWe give a detailed account of Behrens' proof of real and complex Bott
periodicity theorem which is based on the ideas by McDuff. We include
thorough computations and some intuition behind constructions and con-
cepts. The proof is done by repeated constructions of certain quasifibra-
tions with contractible total spaces in order to determine the iterated loop
spaces of U and O.Vi gir en detaljert redegjørelse av Behrens' bevis for reell og kompleks
Bott periodisitetsteorem som er basert på ideene til McDuff. Vi inklud-
erer fullstendige bergegninger og litt intuisjon bak konstruksjoner og kon-
septer. Beviset utføres gjennom repeterende konstruksjoner av visse kvasi-
fibreringer med kontraktible totale rom for å bestemme de iterative
løkkerommene til U og O
On formal DG-algebras
No full textEn differensialgradert algebra (DG-algebra) kan ofte sees på som en samling av høyt detaljert topologisk informasjon. To slike tilfeller er algebraen av kokjeder, og kohomologiringen til et topologisk rom. Den sistnevnte er ofte lett å regne ut, men den førstnevnte innholder generelt mye mer informasjon om rommet vi er interessert i. I denne avhandlingen utforsker vi forholdet mellom disse to algebraene - mer presist noen situasjoner hvor disse to innholder den samme homotopiske informasjonen. Slike algebraer kalles formelle DG-algebraer.
For å forstå hvilken type homotopisk informasjon en DG-algebra kan inneholde, konstruerer vi hindringer for formalitet gjennom høyere ordens kohomologioperasjoner - kalt Massey produkter. Vi generaliserer så DG-algebraer til A∞-algebraer, og ser på noen måter å bruke denne generaliserte teorien som et felles rammeverk for både DG-algebraer og Massey produkter. Dette rammeverket tillater oss å vise at en viss klasse av topologiske rom - nemlig de med Lusternik-Schnirelmann kategori 1 - har formelle kokjede algebraer
Simplicial Sheaves and Classification Problems
No full textDenne avhandlingen forsøker å utforske og å videreføre ideene fra [FH13]. For å oppnå dette, tar vi først for oss noen av forkunnskapene som trengs, inkludert tensorer, bunter, koblinger, og Chern-Weil-homomorfien. Etter det, så følger vi utredningen fra artikkelen, og introduserer språket brukt for å beskrive preknipper, simplisielle mengder, og simplisielle knipper, for så å finne et klassifiseringsrom for alle glatte hovedbunter med kobling i kategorien av simplisielle preknipper og, ved bruk av abstrakt homotopiteori, viser at de konjugat-invariante polynomene på Lie-algebraen induserer alle de naturlige differensialformene en kan konstruere fra en kobling. Til slutt viker vi fra artikkelen for å utforske hva som skjer når hovedbuntene er holomorfe, og finner et klassifiseringsrom for alle holomorfe hovedbunter med holomorf kobling
Differentiable Structures on Spheres and the Kervaire Invariant
No full textWe follow Kervaire Milnor in defining and studying the group G of smooth structures on the sphere S^n. Surgery theory is developed and applied to study the subgroup bP^(n+1) of G. The Pontryagin construction induces a monomorphism p:G/bP^(n+1)->π_n(S)/Im(J), into the cokernel of the stable J-homomorphism. Using surgery theory and the Kervaire invariant the index of p is seen to be 1 unless n=4k+2 and there exist a closed manifold of Kervaire invariant one of dimension n. We also consider Kervaires construction of a piecewise linear manifold admitting no smooth structure
- …
