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Possibilidades na conversão entre registros de geometria plana
Get PDFNesta pesquisa, que consiste de um estudo de caso, elaboramos uma sequência didática que prevê atividades que devem ser resolvidas de duas maneiras distintas. Uma das maneiras utiliza conceitos de Geometria Plana – como Teorema de Pitágoras e semelhanças – e a outra maneira utiliza conceitos de Geometria Analítica – como equações de reta e cálculos de área via determinantes. Para analisar os dados coletados, com a aplicação desta sequência, a Teoria de Registros de Representação Semiótica foi utilizada. Duval (2009), autor da teoria, trata sobre a importância dos registros em Ensino de Matemática, sobre a conversão de um registro em outro e sobre a necessidade de utilização de mais de um registro como um meio de entender o modo matemático de pensar. Como meio de dar um suporte a nossa pesquisa, em nossa revisão bibliográfica, procuramos produções recentes, nas quais foram utilizadas a mesma teoria sob o aspecto da conversão, e analisamos também se os livros didáticos de Matemática, do terceiro ano do Ensino Médio, contemplam atividades que incentivem a utilização de mais de um registro para resolução de atividades. Esta sequência foi aplicada em uma turma de alunos do terceiro ano, de uma escola de Ensino Médio Técnico integrado e sua estrutura foi inspirada na Investigação Matemática de Ponte (2006). Nesta pesquisa, os registros, majoritariamente utilizados pelos alunos, foram os de Geometria Plana – Figural – e de Geometria Analítica – Gráfico – e verificamos que os alunos conseguiram, quando solicitados, articular a utilização destes dois tipos de registro.In this case study we elaborate a didactic sequence that predicts activities that should be solved in two different ways. One of them uses the concepts of plane geometry – such as the Pythagorean theorem and similarities – and the other uses the concepts of analytic geometry – such as the equations of a line and area calculations. To analyze the data assembled with the application of this sequence we used The Theory of Registers of Semiotic Representation. Duval (2009), the author of this theory, addresses the importance of registers in Mathematics Teaching, the conversion of one register to another, and the need to use more than one register as a way to understand the mathematical way of thinking. To support our research, we looked in our bibliographical review for recent articles that made use of the same theory under the conversion aspect, and we also analyzed whether third year high school mathematics textbooks offer activities that encourage the use of more than one register in the solution of activities. This sequence was applied in a class of third-year students, from an integrated technical high school and its structure was inspired by Ponte’s Mathematical Investigation (2006). In this research, the registers most used by the students were those of plane geometry – figure – and of analytic geometry – graph – and we verified that the students, on request, achieved to articulate the use of these two types of registers
O estudo da área via composição e decomposição de figuras planas : uma possibilidade para inserção da argumentação na escola básica
Get PDFO presente trabalho relata uma experiência realizada no Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, no qual propomos uma sequência de atividades com foco na investigação matemática. O objetivo desta sequência é introduzir a argumentação nas aulas de Matemática. As atividades buscam instigar alunos do 8º ano do Ensino Fundamental a criar conjecturas e argumentações utilizando a composição e a decomposição de figuras geométricas planas para obtenção de uma fórmula para o cálculo de suas áreas. Para entender um pouco mais sobre a argumentação matemática e sua importância, nos baseamos no estudo sobre argumentação matemática, realizado por Boavida (2005), em sua tese de doutorado. Realizamos uma análise da nossa intervenção pedagógica, na qual percebemos que é possível desenvolver a habilidade argumentativa dos alunos e que a composição e a decomposição de figuras foi um fator relevante para o desenvolvimento das argumentações. Também notamos que, no decorrer das atividades, estabeleceu-se uma preocupação dos alunos com relação à escrita e à justificativa de suas afirmações.This work details an experience performed at Colégio de Aplicação, a school based on the Federal University of Rio Grande do Sul, in which we propose a set of activities that focus on Math investigation. These activities have the objective to introduce Math investigation in middle-school classes. Our study looks for instigating 8-year students to create conjectures and argumentations using the composition and the decomposition of geometric shapes to obtain the formula for calculating their areas. In order to understand more about Math argumentation and its importance, we based our work on the doctoral thesis of Boavida (2005). We also analyzed the results of these activities, and we conclude that they may help in the development of the argumentative skills of students. The composition and the decomposition of geometric shapes were a relevant factor for the argumentation development. We also note that during the activities, the students were concern about the justifications of their statements
Equações Diofantinas Lineares no Ensino Médio
Get PDFNosso trabalho tem o intuito de analisar a exequibilidade do estudo de equações diofantinas lineares com alunos do ensino médio. Tendo em vista esse objetivo, realizamos uma oficina, composta de cinco encontros, no Colégio Tiradentes da Brigada Militar. As equações diofantinas lineares se encontram na fronteira entre a álgebra e aritmética. Sendo assim, fazemos algumas reflexões acerca da situação do ensino de álgebra e da aritmética nesse começo de século. Analisamos as relações do processo de ensinoaprendizagem entre ambas, de maneira a propor alterações no atual quadro da educação matemática escolar. Também descrevemos mais dois importantes aspectos da educação matemática que são o contrato didático e a engenharia didática, sendo este segundo o referencial de pesquisa que baseou a oficina desenvolvida.This work considers the idea of introducing Linear Diophantine Equations to high school students. With this in mind, we offered a five workshop at High School Tiradentes. Linear Diophantine Equations lie between arithmetic and algebra, therefore, we discuss the teaching of arithmetic and algebra in this century. We analize the relationship between its learning and teaching and propose some changes in the present High School mathteaching. We also describe two other important aspects in Math Education, Pedagogic Contract and Educational Engineering, where the second one is the theoretical reference of this work
Um estudo sobre invariantes espectrais
Get PDFUma crescente e importante dúvida na Teoria Espectral de Grafos é como saber quando dois grafos são determinados pelo espectro (DS), em particular, da matriz de adjacência, e se quase todos os grafos são DS. Este trabalho retrata o alguns resultados que temos até o momento dos grafos que são determinados pelo seu espectro, isto é, quando um espectro está associado a apenas um grafo, mostrando quais métodos foram utilizados e quais autores foram os responsáveis pelo estudo. Também abordaremos algumas afirmações acerca de grafos DS realizadas por alguns matemáticos que, ao longo dos anos, foram descobertas serem falsas. Apresentamos também um estudo sucinto sobre as invariantes espectrais de um grafo, que são utilizados em todas as presentes demonstrações de grafos que são determinados pelo espectro.A growing and important question on Spectral Graph Theory is how to know when two graphs are determined by the spectrum (DS) of a matrix, particularly, their adjacency matrix, and if mostly all graphs are DS. This work portraits what we have so far about the graphs that are determine by their spectrum, meaning when a spectrum is associated with only one graph, showing which methods were used and which authors were responsible for the study. We also approach a few affirmations about DS graphs made by some mathematicians that over the years were discovered to be false. We present a succinct study about a graph’s spectral invariable elements, which are used in every shown demonstration on graphs determined by the spectrum
Divisão euclidiana : um olhar para o resto
Get PDFEste trabalho estuda a possibilidade de se aprofundar o conceito de divisão Euclidiana, no Ensino Fundamental, de modo a evidenciar a relevância e o significado para o resto. Oferece algumas considerações sobre a divisão, além de uma análise de vários livros didáticos, dissertações de mestrado e tese de doutorado sobre o tema. Apresenta uma proposta didática baseada nos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e nos Cenários para Investigação, de Ole Skovsmose. Essa proposta foi implementada e validada em uma turma do 7º Ano de uma escola municipal de Garibaldi, RS. A análise dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos mostra que a sequência didática foi bem sucedida tanto nos avanços logrados pelos alunos na compreensão dos conteúdos, quanto no engajamento com a proposta, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e justificativas.In this work we study the possibility of enhancing the Euclidian division concept in high school level in order to evidence the relevance and meaning to the remainder. We offer some considerations about the division, beyond of an analysis of various text books, Masters degree dissertations and Ph.D theses related to this subject. We present a didactic proposal based on Raymond Duval’s Registers of Semiotic Representation and Ole Skovsmose’s Investigation Scenarios. This proposal was implemented and validated with a 7th year class of a municipal school in Garibaldi, RS. The analysis of the collected data and actual dialogs show that the didactic sequence was successful regarding the contents comprehension advancement obtained by the students as well as the participation with the proposal, the confection of hypotheses and the elaboration of conclusions and justifications
Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita por meio do uso do material algebra tiles
Get PDFA presente pesquisa investigacomo o uso do material manipulativo Algebra Tiles pode contribuir para o desenvolvimento, pelos alunos,do procedimento para resolução de equações do primeiro com uma incógnitana resolução de situações-problemas.Para realizar tal investigação foi criada uma sequência de atividades inspiradanas concepções sobre o ensino e aprendizagem de álgebra presentes em Lins e Gimenez (1997) e Usiskin (1995), buscando a transição entre a aritmética e a álgebra. A sequência de atividades foifundamentada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Duval, a qualtambém foi utilizada como fundamentação para a análise dos dados obtidos na implementação da sequência.Foirealizadauma investigação matemática em sala de aula, com uma turma de sexto ano do Ensino Fundamental. A partir da análisedos dados obtidos na pesquisa, observamos que o material manipulativoAlgebra Tilespodecontribuir para o desenvolvimentodo procedimento de resolução de equações do primeiro grau comumaincógnita, já que, a partir da representação de uma situação-problema com o material e asua manipulação,pode ser gerado o registro pictórico e,a partir deste último,o registro algébrico, havendo a construçãonatural de uma equação. Como produto da presente pesquisa(APÊNDICE C), construímos uma sequência de atividades revisada, com comentários e sugestões ao professor.ABSTRACT: This research investigates how the use of the Algebra Tiles manipulative material can contribute to the developmentof the procedure for solving the one-variable linear equations inproblem solvingby the students. To carry out thisinvestigation, a sequence of activities was created inspired by the concepts of teaching and learning algebra present in Lins and Gimenez (1997) and Usiskin (1995), seeking the transition between arithmetic and algebra. The sequence of activities was based on Duval's Theory of Semiotic Representation Registers, which was also used as a basis for analyzing the dataobtained in the implementation of the sequence. A mathematical investigation was carried out in the classroom ofa class of sixth yearElementary School. From the analysis of the data obtained in the research, we observed that Algebra Tiles can contributeto the development of the one-variable linear equationssolving procedure, since, from the representation of the problem with the material and its manipulation, the pictorial record can be generated,and,from the latter, the algebraic record, with the natural formation of an equation. As a product of this research (APÊNDICE C), we construct a revised sequence of activities, with comments and suggestions to the teacher
Previsão e verificação da coerência do resultado de uma operação
Get PDFEste trabalho objetiva uma reflexão sobre a previsão e a verificação da coerência do resultado de um cálculo, observando-se os efeitos e as propriedades aritméticas da operação. Para viabilizar tal raciocínio são expostos alguns efeitos das operações envolvendo números reais, considerando-se a natureza dos números operados, e algumas propriedades aritméticas das operações envolvendo números inteiros. Como atividade prática foi planejada uma oficina com alunos de 8ª série do ensino fundamental, visando a exposição desses tópicos para possibilitar o raciocínio de previsão e verificação da coerência do resultado. A oficina foi realizada dentro de um contexto de Engenharia Didática e as observações feitas antes, durante e depois da prática foram utilizadas para validar hipóteses envolvendo o assunto deste estudo.The goal of this work is to reflect about the prediction and the verification of the coherence of the result of a calculation, considering the consequences and the arithmetic properties of the operation. In order to achieve this goal we expose some consequences of the operations with real numbers, considering the nature of the involved numbers, and some arithmetic properties of the operations with whole numbers. As a practical activity we planned a workshop with eight graders, in order to expose these topics to allow the prediction and the verification of the coherence of the result. The workshop was offered within a Didatical Engineering context and the observations made before, during and after the practice was used to validate the hypotheses involved in this study
Campo aditivo no conjunto dos números inteiros : um estudo a partir da teoria dos campos conceituais
Get PDFO presente trabalho tem como tema central o ensino de Números Inteiros, no intuito de agregar, no âmbito do Ensino Fundamental, algumas Situações, Invariantes Operatórias e Representações Simbólicas inseridas no campo aditivo. Como objetivo principal desta pesquisa, a partir da construção matemática do conjunto dos Números Inteiros, da análise de livros didáticos, das produções bibliográficas referentes ao assunto e das teorias de aprendizagem escolhidas, tem-se uma reflexão sobre o ensino das propriedades e operações (adição e subtração) neste conjunto. Como resultado da investigação foi produzido uma sequência de aulas sobre números inteiros, incluindo uma breve revisão dos números naturais, na qual foi executada em uma turma regular de uma escola municipal de Porto Alegre (RS). A partir das contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, de Gérard Vergnaud, e da Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval, agregaram-se as Situações, as Invariantes e as Representações Simbólicas dentro do campo aditivo. Como resultado dessa prática em sala de aula, foi elaborado um produto técnico disponível no anexo A desta dissertação. Conclui-se, assim, que um planejamento multifacetado e agregador de diferentes representações auxilia de maneira significativa o desenvolvimento do ensino de Números Inteiros.The present dissertation has as a central theme the teaching of Integer Numbers, in order to aggregate, within the scope of Primary School, the various Situations, Operative Invariants and Symbolic Representations inserted in the additive field. As a main objective of this research, from a mathematical construction of the set of Integer Numbers, the analysis of didactic books, bibliographic productions referring to the subject and the chosen learning theories, there is a reflection about the teaching of properties and operations (addition and subtraction) in this set. After the bibliographic review, a research practice was implemented, in which a sequence of classes was planned and executed in a regular class of a municipal school in Porto Alegre (RS). From the contributions of Gérard Vergnaud's Theory of Conceptual Fields and the Raymond Duval’s Semiotic Representations Theory, the Situations, the Invariants, and Symbolic Representations within the additive field were assemble. As a result of this classroom research practice, a technical product was prepared, and it is available in Annex A of this dissertation. It is concluded, therefore, that a multifaceted and aggregating planning of different representations helps in a significant way the development of the teaching of Integer Numbers
Sobre as regras de sinais dos números inteiros negativos
Get PDFEste trabalho tem como objetivos aprofundar o estudo das regras de sinais dos números inteiros, tendo em vista o ensino deste conteúdo; levantar e analisar possíveis dificuldades dos alunos; e melhorar nossa prática em sala de aula. Estudamos a história e a construção formal dos números inteiros, bem como alguns aspectos epistemológicos e de ensino. Realizamos também uma prática de ensino-aprendizagem com alunos de um 7º ano de uma escola pública de Porto Alegre, baseada na ideia de os números inteiros serem uma extensão dos números naturais, e que, portanto, as propriedades básicas de comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade dos números naturais, são preservadas nos números inteiros. Percebemos que algumas das dificuldades dos alunos são as mesmas dificuldades que os matemáticos do passado tiveram, enquanto esses números ainda não haviam sido legitimados, e que a prática de ensino adotada é bastante interessante, podendo também ser aplicada nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio.This work has the objectives of deepening the study of the rules signals integer numbers, in view of the teaching of this content; of search and analyze students possible difficulties; and of improving our practice in the classroom. We studied the history and the formal construction of the integer numbers, as well as some epistemological and teaching aspects. Was also made a practice of teaching-learning with 7th grade students of a public school in Porto Alegre, based on the idea of the integer numbers being an extension of natural numbers, and that, therefore, the basic properties of commutativity, associativity, neutral element and distributivity of natural numbers should be preserved in integer numbers. We realized that some of the students difficulties are the same that mathematicians of the past had, while those numbers had not yet been legitimized, and that the adopted practice of teaching is quite interesting, having application in the final years of elementary school and in high school
Um olhar para a introdução à escrita simbólica no ensino à luz da história da matemática
Get PDFA presente pesquisa possui a seguinte pergunta norteadora: atividades inspiradas na história da matemática, no que diz respeito ao processo de construção da simbologia matemática, podem favorecer o aprendizado da escrita simbólica da matemática escolar na perspectiva de Duval? A partir de um estudo teórico acerca do desenvolvimento da simbologia algébrica, com referencial em Estrada et al. (2000), Garbi (1997), Baumgart (1992), Brandemberg (2009), Domingues (2000), Van der Waerden (1985) e Roque (2012), juntamente com reflexões acerca da utilização da história da matemática em sala de aula, embasadas por Miguel e Miorim (2011), Miguel (1993 e 2009) e Mendes (2006), desenvolvemos uma proposta de atividades que foi aplicada em uma turma de nono ano do ensino fundamental. A análise dos resultados foi feita a partir da teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2003, 2012 e 2013). A partir do estudo realizado, observamos que a elaboração de uma simbologia própria por parte dos alunos, discussão e socialização dos resultados, indicou favorecer o processo de conversão da escrita em língua materna para a escrita simbólica. A análise de exemplos da evolução da escrita simbólica ao longo da história oportunizou aos alunos a sensibilização acerca da padronização dos símbolos matemáticos e sua leitura e interpretação. A partir da pesquisa realizada, percebemos que o conhecimento de história da matemática pode auxiliar o professor em sua prática docente, enriquecendo o conhecimento e auxiliando no planejamento das aulas.This work has the following guiding question: activities inspired by the history of mathematics, with regard to the process of constructing mathematical symbology, can favor the learning of the symbolic writing of school mathematics from Duval's perspective? From a theoretical study about the development of algebraic symbology, with reference in Estrada et al. (2000), Garbi (1997), Baumgart (1992), Brandemberg (2009), Domingues (2000), Van der Waerden (1985) and Roque (2012), along with reflections on the use of the history of mathematics in the classroom, based on Miguel and Miorim (2011), Miguel (1993 and 2009) and Mendes (2006), we propose some activities that were applied in a ninth grade class. The analysis of the results was based on Duval's theory of registers of semiotic representation (2003, 2012 and 2013). From the study carried out, we observed that the students' elaboration of their own symbology, discussion and socialization of their results, favored the process of converting writing in the mother language to symbolic writing. The analysis of examples of the evolution of symbolic writing throughout history has provided students with awareness of the standardization of mathematical symbols and their reading and interpretation. From this research, we realized that the knowledge of the history of mathematics can help the teacher in his teaching practice, complementing the knowledge and assisting in the planning of classes
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