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Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity
No full textWe prove that a hyperbolic map whose differential is regular enough has an SRB measure. The precise regularity condition is weaker than Hölder and was mentionned by various authors through the developement of expanding and uniformly hyperbolic dynamics
Mesures SRB pour les systèmes hyperboliques de faible régularité
No full textLet be a compact Riemannian manifold, and a hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures (see Definition \ref{Definition of physical measure} and Definition \ref{Definition of SRB measure}). Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on . If is it is a classical result that has a unique SRB measure which is also physical (for a survey article see \cite{Young2002SRBsurvey}). In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If is a modulus of continuity, we say that is if is and the modulus of continuity of is at most a multiple of i.e there is such that\begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M.\end{equation*}We say that a modulus is Dini summable if\begin{equation}\label{Dini condition} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt0 tel que\begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M.\end{equation*}Nous disons qu'un module \omega est Dini sommable si\begin{equation}\label{Condition de Dini} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt<+\infty.\end{equation}Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967 \cite{anosov1967geodesic,AnosovRemark}, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation \cite{WaltersSummabilityOscilation}. Ensuite, en 1994, Gora a nommé cette condition la condition de Schmitt, et a prouvé qu'il s'agit de la condition la plus faible qui garantit l'existence d'une mesure de probabilité invariante absolument continue (ACIP) pour une application dilatante par morceaux \cite{SchmittCondition}. Peu après, en 2000, Li et Zhang ont appelé cette condition la condition de Dini, et ont montré qu'elle est suffisante pour obtenir la convergence de l'opérateur de transfert \cite{ExistSRBExpandZhang}. Séparément, en 2001, Fan et Jiang ont prouvé les mêmes résultats (voir \cite{FanJiang}), de plus, ils ont donné une vitesse de convergence de l'opérateur de transfert défini par un potentiel qui a un module de continuité de Dini (\cite{FanJiang2001speed}) (Pour une introduction plus classique à l'opérateur de transfert, voir \cite{Polli1990Zeta, BaladiTransferOp}). Si TC^1, avec une dérivée dont le module satisfait la condition \eqref{Condition de Dini}, alors TC^1 qui n'admet pas d'ACIP \cite{GoraSchmittExample}. Ensuite, Quas a prouvé que, génériquement, les applications dilatantes de classe C^1 du cercle n'ont pas d'ACIP \cite{QuassNoAcip}. Il a donné aussi un exemple d'une application dilatante de classe C^1C^1$ d'une variété riemanniene compacte n'ont pas d'ACIP \cite{AvilaBochiNoAcip}. Une question naturelle est de savoir si la condition \eqref{Dini condition} est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse
Mesures physique pour les systèmes hyperboliques de faible régularité
No full textIn this thesis we will be interested in two classes of dynamical systems. The first one is expanding maps. The second one is hyperbolic diffeomorphisms. Let DOLMDOL be a compact Riemannian manifold, and DOLf:Mto MDOL a DOLC^1DOL hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures. Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on DOLMDOL. If DOLfDOL is DOLC^{1+alpha},DOL it is a classical result that DOLfDOL has a unique SRB measure which is also physical. In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL is a modulus of continuity, we say that DOLfDOL is DOLC^{1+omega}DOL if DOLfDOL is DOLC^1DOL and the modulus of continuity of DOLdfDOL is at most a multiple of DOLomegaDOL. We say that a modulus DOLomegaDOL is Dini summable if begin{equation}label{Dini condition} int_0^1frac{omega(t {t}~dt<+infty. end{equation}This condition was known since the work of Anosov in 1967, but he didn't give it a specific name. Later in 1975, Walters gave an equivalent formulation of this condition in the case of a symbolic space, which is a summability of variation. A natural question is whether the Dini condition is sufficient to have a SRB and physical invariant measures for hyperbolic maps. The answer is positive, and it is the main goal of this thesis. Now, assume that DOLfDOL is DOLC^{1+text{Dini}},DOL meaning that DOLfDOL is DOLC^1DOL and DOLdfDOL has a modulus of continuity that satisfies the Dini condition. The crucial point in the proof is the regularity of the unstable distribution. Anosov proved that if DOLfDOL is DOLC^{1+alpha}DOL then DOLE^uDOL is Hölder continuous. We will prove that if DOLfDOL is DOLC^{1+Dini}DOL then DOLE^uDOL has a modulus of continuity that satisfies Dini condition. The main theorem of this thesis isbegin{theorem}Let DOLf:Mto MDOL be a DOLC^{1+text{Dini}}DOL hyperbolic diffeomorphism, then the geometric potential DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL has a Dini modulus of continuity. In particular we havebegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admits an invariant SRB measure,item[ii.] the local holonomy maps are absolutely continuous,item[iii.] if DOLfDOL is transitive, then the SRB measure is ergodic and physical, and it is the unique equilibrium measure for the geometric potential.end{itemize}end{theorem}This thesis is organized as follows;In section 2 we give general notions about dynamical systems, some examples, and a brief introduction to ergodic theory.In section 3, we present some classical results about expanding maps. We start with the proof of existence of an ACIP for a DOLC^{1+text{Dini}}DOL expanding map due to Fan and Jiang Then we recall Quas' proof about non-existence. After that, using the geometric property of the transfer operator of a DOLC^{1+alpha}DOL expanding map, we prove decay of correlations. At the end of the section, we prove a simple and new result about expanding maps of the circle that preserves Lebesgue measure.In section 4, we recall some basic definitions of hyperbolic maps.In section 5, we give the proof of the regularity of the stable distribution when the hyperbolic map in question is DOLC^{1+text{Dini}}DOL. This implies that DOLfDOL has a very important property called distortion. This property will be used to prove the existence of a SRB measure and the absolute continuity of the holonomy, which implies using the Hopf argument that the SRB measure is physical.Section 6 is devoted to prove decay of correlation of a DOLC^{1+alpha}DOL Anosov diffeomorphism. A novel approach to the proof has been employed, utilizing the concept of optimal transport.In the appendix, we recall a covering theorem, needed to prove the absolute continuity of the stable holonomy. Next, we briefly introduce the concept of optimal transport.Dans cette thèse, nous nous intéresserons à deux classes de systèmes dynamiques. La première est celle des applications dilatantes. La seconde est celle des difféomorphismes hyperboliques.Soit "M" une variété riemannienne compacte, et DOLf:Mto MDOL un difféomorphisme hyperbolique declasse DOLC^1DOL. Une telle application possède de nombreuses mesures invariantes, mais il existedeux classes intéressantes appelées mesures physiques et mesures SRB. En gros,une mesure physique nous donne le comportement asymptotique de l'orbite d'un point typique parrapport à la mesure de Lebesgue sur DOLMDOL. Si DOLfDOL est DOLC^{1+alpha},DOL c'est un résultat classiqueque DOLfDOL a une mesure SRB unique qui est aussi physique. Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'existence de mesuresphysiques et SRB en régularité faible. Si DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL est un module decontinuité, on dit que DOLfDOL est DOLC^{1+omega}DOL si DOLfDOL est DOLC^1DOL et que le module de continuité de DOLdfDOL est au plus un multiple de DOLomegaDOL.Nous disons qu'un module DOLomegaDOL est Dini sommable sibegin{equation}label{Condition de Dini}int_0^1frac{omega(t)}{t}~dt<+infty.end{equation}Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation.Une question naturelle est de savoir si la condition de Dini est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse.begin{theorem}Si DOLf:Mto MDOL est un difféomorphisme hyperbolique DOLC^{1+text{Dini}}DOL, alors le potentiel géométrique DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL a un module de continuité de Dini. En particulier, nous avonsbegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admet une mesure SRB invariante,item[ii.] les holonomies locales stables sont absolument continues,item[iii.] si DOLfDOL est transitif, alors la mesure SRB est ergodique et physique, et c'est l'unique mesure d'équilibre pour le potentiel géométrique.end{itemize}end{theorem}Cette thèse est organisée comme suit ;Dans la section 2, nous donnons des notions générales sur les systèmes dynamiques, quelques exemples et une brève introduction à la théorie ergodique.Dans la section 3, nous présentons quelques résultats classiques sur les applications dilatantes. Nous commençons par la preuve de l'existence d'un ACIP pour une application dilatante DOLC^{1+text{Dini}}DOL due à Fan et Jiang. Nous rappelons ensuite la preuve de Quas sur la non-existence. Ensuite, en utilisant la propriété géométrique de l'opérateur de transfert d'une application dilatante de classe DOLC^{1+alpha}DOL, nous prouvons la décroissance des corrélations. A la fin de la section, nous prouvons un résultat simple et nouveau sur les applications dilatantes du cercle qui préserve la mesure de Lebesgue.Dans la section 4, nous rappelons quelques définitions de base sur les applications hyperboliques.Dans la section 5, nous donnons la preuve de la régularité de la distribution stable lorsque l'application hyperbolique en question est DOLC^{1+text{Dini}}DOL. Ceci implique que DOLfDOL possède une propriété très importante appelée distorsion. Cette propriété sera utilisée pour prouver l'existence d'une mesure SRB et la continuité absolue des holonomies stable. Ceci implique en utilisant de l'argument de Hopf que la mesure SRB est physique.La section 6 est consacrée à la preuve de la déroissance des correlations d'un difféomorphisme d'Anosov de classe DOLC^{1+alpha}DOL. Une nouvelle approche de la preuve a été employée, utilisant le concept de transport optimal.Dans l'annexe, nous rappelons un théorème de couverture, nécessaire pour prouver la continuité absolue des holonomies stable. Ensuite, nous introduisons brièvement le concept de transport optimal
Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity
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an SRB measure. The precise regularity condition is weaker than H{\"o}lder and
was mentionned by various authors through the developement of expanding and
uniformly hyperbolic dynamics
Mesures physique pour les systèmes hyperboliques de faible régularité
No full textIn this thesis we will be interested in two classes of dynamical systems. The first one is expanding maps. The second one is hyperbolic diffeomorphisms. Let DOLMDOL be a compact Riemannian manifold, and DOLf:Mto MDOL a DOLC^1DOL hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures. Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on DOLMDOL. If DOLfDOL is DOLC^{1+alpha},DOL it is a classical result that DOLfDOL has a unique SRB measure which is also physical. In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL is a modulus of continuity, we say that DOLfDOL is DOLC^{1+omega}DOL if DOLfDOL is DOLC^1DOL and the modulus of continuity of DOLdfDOL is at most a multiple of DOLomegaDOL. We say that a modulus DOLomegaDOL is Dini summable if begin{equation}label{Dini condition} int_0^1frac{omega(t {t}~dt<+infty. end{equation}This condition was known since the work of Anosov in 1967, but he didn't give it a specific name. Later in 1975, Walters gave an equivalent formulation of this condition in the case of a symbolic space, which is a summability of variation. A natural question is whether the Dini condition is sufficient to have a SRB and physical invariant measures for hyperbolic maps. The answer is positive, and it is the main goal of this thesis. Now, assume that DOLfDOL is DOLC^{1+text{Dini}},DOL meaning that DOLfDOL is DOLC^1DOL and DOLdfDOL has a modulus of continuity that satisfies the Dini condition. The crucial point in the proof is the regularity of the unstable distribution. Anosov proved that if DOLfDOL is DOLC^{1+alpha}DOL then DOLE^uDOL is Hölder continuous. We will prove that if DOLfDOL is DOLC^{1+Dini}DOL then DOLE^uDOL has a modulus of continuity that satisfies Dini condition. The main theorem of this thesis isbegin{theorem}Let DOLf:Mto MDOL be a DOLC^{1+text{Dini}}DOL hyperbolic diffeomorphism, then the geometric potential DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL has a Dini modulus of continuity. In particular we havebegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admits an invariant SRB measure,item[ii.] the local holonomy maps are absolutely continuous,item[iii.] if DOLfDOL is transitive, then the SRB measure is ergodic and physical, and it is the unique equilibrium measure for the geometric potential.end{itemize}end{theorem}This thesis is organized as follows;In section 2 we give general notions about dynamical systems, some examples, and a brief introduction to ergodic theory.In section 3, we present some classical results about expanding maps. We start with the proof of existence of an ACIP for a DOLC^{1+text{Dini}}DOL expanding map due to Fan and Jiang Then we recall Quas' proof about non-existence. After that, using the geometric property of the transfer operator of a DOLC^{1+alpha}DOL expanding map, we prove decay of correlations. At the end of the section, we prove a simple and new result about expanding maps of the circle that preserves Lebesgue measure.In section 4, we recall some basic definitions of hyperbolic maps.In section 5, we give the proof of the regularity of the stable distribution when the hyperbolic map in question is DOLC^{1+text{Dini}}DOL. This implies that DOLfDOL has a very important property called distortion. This property will be used to prove the existence of a SRB measure and the absolute continuity of the holonomy, which implies using the Hopf argument that the SRB measure is physical.Section 6 is devoted to prove decay of correlation of a DOLC^{1+alpha}DOL Anosov diffeomorphism. A novel approach to the proof has been employed, utilizing the concept of optimal transport.In the appendix, we recall a covering theorem, needed to prove the absolute continuity of the stable holonomy. Next, we briefly introduce the concept of optimal transport.Dans cette thèse, nous nous intéresserons à deux classes de systèmes dynamiques. La première est celle des applications dilatantes. La seconde est celle des difféomorphismes hyperboliques.Soit "M" une variété riemannienne compacte, et DOLf:Mto MDOL un difféomorphisme hyperbolique declasse DOLC^1DOL. Une telle application possède de nombreuses mesures invariantes, mais il existedeux classes intéressantes appelées mesures physiques et mesures SRB. En gros,une mesure physique nous donne le comportement asymptotique de l'orbite d'un point typique parrapport à la mesure de Lebesgue sur DOLMDOL. Si DOLfDOL est DOLC^{1+alpha},DOL c'est un résultat classiqueque DOLfDOL a une mesure SRB unique qui est aussi physique. Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'existence de mesuresphysiques et SRB en régularité faible. Si DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL est un module decontinuité, on dit que DOLfDOL est DOLC^{1+omega}DOL si DOLfDOL est DOLC^1DOL et que le module de continuité de DOLdfDOL est au plus un multiple de DOLomegaDOL.Nous disons qu'un module DOLomegaDOL est Dini sommable sibegin{equation}label{Condition de Dini}int_0^1frac{omega(t)}{t}~dt<+infty.end{equation}Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation.Une question naturelle est de savoir si la condition de Dini est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse.begin{theorem}Si DOLf:Mto MDOL est un difféomorphisme hyperbolique DOLC^{1+text{Dini}}DOL, alors le potentiel géométrique DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL a un module de continuité de Dini. En particulier, nous avonsbegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admet une mesure SRB invariante,item[ii.] les holonomies locales stables sont absolument continues,item[iii.] si DOLfDOL est transitif, alors la mesure SRB est ergodique et physique, et c'est l'unique mesure d'équilibre pour le potentiel géométrique.end{itemize}end{theorem}Cette thèse est organisée comme suit ;Dans la section 2, nous donnons des notions générales sur les systèmes dynamiques, quelques exemples et une brève introduction à la théorie ergodique.Dans la section 3, nous présentons quelques résultats classiques sur les applications dilatantes. Nous commençons par la preuve de l'existence d'un ACIP pour une application dilatante DOLC^{1+text{Dini}}DOL due à Fan et Jiang. Nous rappelons ensuite la preuve de Quas sur la non-existence. Ensuite, en utilisant la propriété géométrique de l'opérateur de transfert d'une application dilatante de classe DOLC^{1+alpha}DOL, nous prouvons la décroissance des corrélations. A la fin de la section, nous prouvons un résultat simple et nouveau sur les applications dilatantes du cercle qui préserve la mesure de Lebesgue.Dans la section 4, nous rappelons quelques définitions de base sur les applications hyperboliques.Dans la section 5, nous donnons la preuve de la régularité de la distribution stable lorsque l'application hyperbolique en question est DOLC^{1+text{Dini}}DOL. Ceci implique que DOLfDOL possède une propriété très importante appelée distorsion. Cette propriété sera utilisée pour prouver l'existence d'une mesure SRB et la continuité absolue des holonomies stable. Ceci implique en utilisant de l'argument de Hopf que la mesure SRB est physique.La section 6 est consacrée à la preuve de la déroissance des correlations d'un difféomorphisme d'Anosov de classe DOLC^{1+alpha}DOL. Une nouvelle approche de la preuve a été employée, utilisant le concept de transport optimal.Dans l'annexe, nous rappelons un théorème de couverture, nécessaire pour prouver la continuité absolue des holonomies stable. Ensuite, nous introduisons brièvement le concept de transport optimal
Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity
No full textWe prove that a hyperbolic map whose differential is regular enough has an SRB measure. The precise regularity condition is weaker than Hölder and was mentionned by various authors through the developement of expanding and uniformly hyperbolic dynamics
Mesures SRB pour les systèmes hyperboliques de faible régularité
No full textLet be a compact Riemannian manifold, and a hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures (see Definition \ref{Definition of physical measure} and Definition \ref{Definition of SRB measure}). Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on . If is it is a classical result that has a unique SRB measure which is also physical (for a survey article see \cite{Young2002SRBsurvey}). In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If is a modulus of continuity, we say that is if is and the modulus of continuity of is at most a multiple of i.e there is such that\begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M.\end{equation*}We say that a modulus is Dini summable if\begin{equation}\label{Dini condition} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt0 tel que\begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M.\end{equation*}Nous disons qu'un module \omega est Dini sommable si\begin{equation}\label{Condition de Dini} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt<+\infty.\end{equation}Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967 \cite{anosov1967geodesic,AnosovRemark}, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation \cite{WaltersSummabilityOscilation}. Ensuite, en 1994, Gora a nommé cette condition la condition de Schmitt, et a prouvé qu'il s'agit de la condition la plus faible qui garantit l'existence d'une mesure de probabilité invariante absolument continue (ACIP) pour une application dilatante par morceaux \cite{SchmittCondition}. Peu après, en 2000, Li et Zhang ont appelé cette condition la condition de Dini, et ont montré qu'elle est suffisante pour obtenir la convergence de l'opérateur de transfert \cite{ExistSRBExpandZhang}. Séparément, en 2001, Fan et Jiang ont prouvé les mêmes résultats (voir \cite{FanJiang}), de plus, ils ont donné une vitesse de convergence de l'opérateur de transfert défini par un potentiel qui a un module de continuité de Dini (\cite{FanJiang2001speed}) (Pour une introduction plus classique à l'opérateur de transfert, voir \cite{Polli1990Zeta, BaladiTransferOp}). Si TC^1, avec une dérivée dont le module satisfait la condition \eqref{Condition de Dini}, alors TC^1 qui n'admet pas d'ACIP \cite{GoraSchmittExample}. Ensuite, Quas a prouvé que, génériquement, les applications dilatantes de classe C^1 du cercle n'ont pas d'ACIP \cite{QuassNoAcip}. Il a donné aussi un exemple d'une application dilatante de classe C^1C^1$ d'une variété riemanniene compacte n'ont pas d'ACIP \cite{AvilaBochiNoAcip}. Une question naturelle est de savoir si la condition \eqref{Dini condition} est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse
Physical measures for hyperbolic attractors in low regularity
No full textDans cette thèse, nous nous intéresserons à deux classes de systèmes dynamiques. La première est celle des applications dilatantes. La seconde est celle des difféomorphismes hyperboliques.Soit "M" une variété riemannienne compacte, et DOLf:Mto MDOL un difféomorphisme hyperbolique declasse DOLC^1DOL. Une telle application possède de nombreuses mesures invariantes, mais il existedeux classes intéressantes appelées mesures physiques et mesures SRB. En gros,une mesure physique nous donne le comportement asymptotique de l'orbite d'un point typique parrapport à la mesure de Lebesgue sur DOLMDOL. Si DOLfDOL est DOLC^{1+alpha},DOL c'est un résultat classiqueque DOLfDOL a une mesure SRB unique qui est aussi physique. Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'existence de mesuresphysiques et SRB en régularité faible. Si DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL est un module decontinuité, on dit que DOLfDOL est DOLC^{1+omega}DOL si DOLfDOL est DOLC^1DOL et que le module de continuité de DOLdfDOL est au plus un multiple de DOLomegaDOL.Nous disons qu'un module DOLomegaDOL est Dini sommable sibegin{equation}label{Condition de Dini}int_0^1frac{omega(t)}{t}~dt<+infty.end{equation}Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation.Une question naturelle est de savoir si la condition de Dini est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse.begin{theorem}Si DOLf:Mto MDOL est un difféomorphisme hyperbolique DOLC^{1+text{Dini}}DOL, alors le potentiel géométrique DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL a un module de continuité de Dini. En particulier, nous avonsbegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admet une mesure SRB invariante,item[ii.] les holonomies locales stables sont absolument continues,item[iii.] si DOLfDOL est transitif, alors la mesure SRB est ergodique et physique, et c'est l'unique mesure d'équilibre pour le potentiel géométrique.end{itemize}end{theorem}Cette thèse est organisée comme suit ;Dans la section 2, nous donnons des notions générales sur les systèmes dynamiques, quelques exemples et une brève introduction à la théorie ergodique.Dans la section 3, nous présentons quelques résultats classiques sur les applications dilatantes. Nous commençons par la preuve de l'existence d'un ACIP pour une application dilatante DOLC^{1+text{Dini}}DOL due à Fan et Jiang. Nous rappelons ensuite la preuve de Quas sur la non-existence. Ensuite, en utilisant la propriété géométrique de l'opérateur de transfert d'une application dilatante de classe DOLC^{1+alpha}DOL, nous prouvons la décroissance des corrélations. A la fin de la section, nous prouvons un résultat simple et nouveau sur les applications dilatantes du cercle qui préserve la mesure de Lebesgue.Dans la section 4, nous rappelons quelques définitions de base sur les applications hyperboliques.Dans la section 5, nous donnons la preuve de la régularité de la distribution stable lorsque l'application hyperbolique en question est DOLC^{1+text{Dini}}DOL. Ceci implique que DOLfDOL possède une propriété très importante appelée distorsion. Cette propriété sera utilisée pour prouver l'existence d'une mesure SRB et la continuité absolue des holonomies stable. Ceci implique en utilisant de l'argument de Hopf que la mesure SRB est physique.La section 6 est consacrée à la preuve de la déroissance des correlations d'un difféomorphisme d'Anosov de classe DOLC^{1+alpha}DOL. Une nouvelle approche de la preuve a été employée, utilisant le concept de transport optimal.Dans l'annexe, nous rappelons un théorème de couverture, nécessaire pour prouver la continuité absolue des holonomies stable. Ensuite, nous introduisons brièvement le concept de transport optimal.In this thesis we will be interested in two classes of dynamical systems. The first one is expanding maps. The second one is hyperbolic diffeomorphisms. Let DOLMDOL be a compact Riemannian manifold, and DOLf:Mto MDOL a DOLC^1DOL hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures. Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on DOLMDOL. If DOLfDOL is DOLC^{1+alpha},DOL it is a classical result that DOLfDOL has a unique SRB measure which is also physical. In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If DOLomega:mathbb{R}_+tomathbb{R}_+DOL is a modulus of continuity, we say that DOLfDOL is DOLC^{1+omega}DOL if DOLfDOL is DOLC^1DOL and the modulus of continuity of DOLdfDOL is at most a multiple of DOLomegaDOL. We say that a modulus DOLomegaDOL is Dini summable if begin{equation}label{Dini condition} int_0^1frac{omega(t {t}~dt<+infty. end{equation}This condition was known since the work of Anosov in 1967, but he didn't give it a specific name. Later in 1975, Walters gave an equivalent formulation of this condition in the case of a symbolic space, which is a summability of variation. A natural question is whether the Dini condition is sufficient to have a SRB and physical invariant measures for hyperbolic maps. The answer is positive, and it is the main goal of this thesis. Now, assume that DOLfDOL is DOLC^{1+text{Dini}},DOL meaning that DOLfDOL is DOLC^1DOL and DOLdfDOL has a modulus of continuity that satisfies the Dini condition. The crucial point in the proof is the regularity of the unstable distribution. Anosov proved that if DOLfDOL is DOLC^{1+alpha}DOL then DOLE^uDOL is Hölder continuous. We will prove that if DOLfDOL is DOLC^{1+Dini}DOL then DOLE^uDOL has a modulus of continuity that satisfies Dini condition. The main theorem of this thesis isbegin{theorem}Let DOLf:Mto MDOL be a DOLC^{1+text{Dini}}DOL hyperbolic diffeomorphism, then the geometric potential DOLphi^{(u)}=-log df_{|E^u}DOL has a Dini modulus of continuity. In particular we havebegin{itemize}item[i.] DOLfDOL admits an invariant SRB measure,item[ii.] the local holonomy maps are absolutely continuous,item[iii.] if DOLfDOL is transitive, then the SRB measure is ergodic and physical, and it is the unique equilibrium measure for the geometric potential.end{itemize}end{theorem}This thesis is organized as follows;In section 2 we give general notions about dynamical systems, some examples, and a brief introduction to ergodic theory.In section 3, we present some classical results about expanding maps. We start with the proof of existence of an ACIP for a DOLC^{1+text{Dini}}DOL expanding map due to Fan and Jiang Then we recall Quas' proof about non-existence. After that, using the geometric property of the transfer operator of a DOLC^{1+alpha}DOL expanding map, we prove decay of correlations. At the end of the section, we prove a simple and new result about expanding maps of the circle that preserves Lebesgue measure.In section 4, we recall some basic definitions of hyperbolic maps.In section 5, we give the proof of the regularity of the stable distribution when the hyperbolic map in question is DOLC^{1+text{Dini}}DOL. This implies that DOLfDOL has a very important property called distortion. This property will be used to prove the existence of a SRB measure and the absolute continuity of the holonomy, which implies using the Hopf argument that the SRB measure is physical.Section 6 is devoted to prove decay of correlation of a DOLC^{1+alpha}DOL Anosov diffeomorphism. A novel approach to the proof has been employed, utilizing the concept of optimal transport.In the appendix, we recall a covering theorem, needed to prove the absolute continuity of the stable holonomy. Next, we briefly introduce the concept of optimal transport
Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity
No full textWe prove that a hyperbolic map whose differential is regular enough has an SRB measure. The precise regularity condition is weaker than Hölder and was mentionned by various authors through the developement of expanding and uniformly hyperbolic dynamics
Mixing speed and stability of SRB measures through optimal transportation
No full textIt is well-known that the SRB measure of a Anosov diffeomorphism has exponential decay of correlations with respect to Hölder-continuous observables. We propose a new approach to this phenomenon, based on optimal transport. More precisely, we define a space of measures having absolutely continuous disintegrations with respect to some foliation close to the unstable foliation of the map, endowed with a variant of the Wasserstein metric where mass is only allowed to be transported along the diffeomorphism's stable foliation. We show that this metric is indeed finite on that space, and use that the construction makes the diffeomorphism act as a contraction to deduce two corollaries. First, the SRB measure has exponential decay of correlation with respect to pairs of observable that are only asked to be Hölder-continuous \emph{in the stable, respectively unstable direction}, but can be discontinuous overall. Then, we prove quantitative statistical stability: the map sending a Anosov diffeomorphism to its SRB measure is locally Hölder-continuous (using the metric for diffeomorphisms and the usual Wasserstein metric for measures)
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