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Homotopy Theory
No full textThe workshop "Homotopy Theory" was organized by Jesper Grodal
(Copenhagen), Michael Hill (Los Angeles), and Birgit Richter (Hamburg). It
covered a wide variety of topics in homotopy theory, from foundational questions
to particular computational techniques, and it explored connections to related
fields
Das Handelshaus Frege in Leipzig und seine Beziehungen zu Frankreich um 1800
No full textRichter Birgit. Das Handelshaus Frege in Leipzig und seine Beziehungen zu Frankreich um 1800. In: Cahiers d'Études Germaniques, numéro 28, 1995. Transferts culturels et régions. L'exemple de la Saxe. Region und interkultureller Transfer am Beispiel Sachsen. pp. 109-114
Ein Newes und sehr Nützliches gerechnetes Rechenbuch : Darinnen allerley unterschiedliche vorfallende Nothwendige Zinß, Wechßel, Taxa, Marckauff, Anlog, und AbtheilRaittungem zubefinden ; Allen Amptleuten/ Vorwaltern/ Rennthmeistern ... und allen der Arithmetic liebhabern ... zugebrauchen / Gestellet und verfertiget/ durch Casparum Richter: Bürger, und Deütschen Schulhaltter, zu Breßlaw
No full textDer öffentliche Auftrag der Justiz: Die Wahrnehmung professioneller Autonomie durch Richter*innen und Staatsanwält*innen
No full textJustizjurist*innen sind ein paradigmatischer Fall einer Profession mit "öffentlichem Auftrag". Bislang sind Ausgestaltung und Veränderungen professioneller Autonomie in der Justiz jedoch kaum Gegenstand professionssoziologischer Forschung. Vor diesem Hintergrund fragt der Beitrag danach, wie Richter*innen und Staatsanwält*innen professionelle Autonomie wahrnehmen, und wie diese Wahrnehmung ihr berufliches Handeln prägt. Der Beitrag geht diesen Fragen nach auf Grundlage der Diskussion des Forschungstandes und einer multimethodischen Untersuchung von Arbeitsbedingungen, Berufswahl und professionellem Selbstverständnis von Staatsanwält*innen und Richter*innen in der niedersächsischen ordentlichen Gerichtsbarkeit, und zieht Schlussfolgerungen für die professionssoziologische Forschung zur Justiz
Das Segal-Modell als Ringvervollständigung und ein Tensorprodukt permutativer Kategorien
No full textDiese Arbeit ordnet sich in den Kontext algebraischer K-Theorie ein. Zentral in vielen
Konstruktionen algebraischer K-Theorie ist der Begriff der Gruppenvervollständigung.
Im Zuge der Verallgemeinerung von K-Theorie von Ringen auf ”ringähnliche” Objekte
wie Ringspektren und bimonoidale Kategorien stellte sich die Frage nach einer multiplikativen Gruppenvervollständigung. Damit ist eine Vervollständigung bezüglich einer monoidalen Struktur gemeint, die eine existierende zweite monoidale Struktur respektiert.
Diese Frage ist offen, seit Thomason 1980 auf Fehler in vermeintlichen Lösungen hinwies. Nils Baas, Bjørn Dundas, Birgit Richter und John Rognes präsentieren in ihrem Artikel ”Ring completion of rig categories” (wird demnächst erscheinen) eine umfassende Lösung für dieses Problem. Neben allgemeingültigen theoretischen Betrachtungen konstruieren sie eine konkrete multiplikative Gruppenvervollständigung. Allerdings existiert ihr Modell nur für Gruppoide mit treuer Translation. In der vorliegenden Arbeit nutzen wir eine Idee von Graeme Segal aus dem Jahre 1974 um eine multiplikative Gruppenvervollständigung zu
konstruieren, die diese Anforderungen nicht stellt, sondern auf beliebige strikte bimonoidale Kategorien anwendbar ist.
Des Weiteren konstruieren wir ein Tensorprodukt von permutativen Kategorien. Dies war motiviert durch das Streben nach einer Spurabbildung, welche die Arbeit mit K-Theorie erleichtern könnte. Über ein Tensorprodukt permutativer Kategorien existieren verschiedenste Mutmaßungen in der Literatur. Viele sind der Auffassung, dass es ein solches Tensorprodukt nicht gibt, zumindest nicht mit guten multiplikativen Eigenschaften. Wir geben eine konkrete Konstruktion und legen dar, wo Probleme entstehen und wo mögliche Auswege ansetzen könnten
E_n-Kohomologie als Funktorkohomologie und Zusatzstrukturen
No full textThis thesis studies E_n-homology and E_n-cohomology. These are invariants associated to algebraic analogues of n-fold loop spaces: Iterated loop spaces can be described via topological operads, from which one can construct corresponding operads in differential graded modules. Algebras over such an algebraic operad are called E_n-algebras. More concretely, an E_n-algebra is a differential graded module equipped with a product which is associative up to a coherent system of higher homotopies for associativity, but commutative only up to homotopies of a certain level, depending on n. In particular, every commutative algebra over a commutative unital ring is an E_n-algebra.
Using the operadic description, one can construct suitable homological invariants for E_n-algebras, called E_n-homology and -cohomology.
For n=1 and n=\infty this gives rise to familiar invariants: E_1-homology and -cohomology coincide with Hochschild homology and cohomology, while for n=\infty one retrieves Gamma-homology and -cohomology. Note that in characteristic zero Gamma-homology and -cohomology equal Andrè-Quillen-homology and -cohomology.
Although Hochschild homology and Andrè-Quillen-homology are classical invariants and have been extensively studied, very little is known in the intermediate cases.
In this thesis we extend results known for special cases of E_n-homology and -cohomology to a broader context.
We use these extensions to examine E_n-cohomology for additional structures.
Benoit Fresse proved that E_n-homology with trivial coefficients can be computed via a generalized iterated bar construction.
By unpublished work of Fresse, if one assumes that the E_n-algebra in question is strictly commutative, this is also possible for cohomology and for coefficients in a symmetric bimodule.
We give the details of a proof of this result based on a sketch of a proof by Benoit Fresse.
Hochschild homology and cohomology can be interpreted as functor homology and cohomology. Muriel Livernet and Birgit Richter proved that this is always possible for E_n-homology of commutative algebras with trivial coefficients. We extend the category defined by Livernet and Richter in their work to a category which also incorporates the action of a commutative algebra A on a symmetric A-bimodule M. We then show that E_n-homology as well as E_n-cohomology of A with coefficients in M can be calculated as functor homology and cohomology.
Hence E_n-cohomology of such objects is representable in a derived sense. In this case the Yoneda pairing yields a natural action of the E_n-cohomology of the representing object on E_n-cohomology.
We prove that E_n-cohomology of the representing object is trivial, therefore no operations arise this way.
Livernet and Richter showed in that E_n-homology of commutative algebras with trivial coefficients coincides with higher order Hochschild cohomology. We extend this result to cohomology and to coefficients in a symmetric bimodule.
It is well known that for a suitable choice of a chain complex calculating E_n-cohomology of an algebra with coefficients in the algebra itself, this chain complex is an E_{n+1}-algebra. For n=1 this is the classical Deligne conjecture. For n>1, the constructions of the E_{n+1}-action given so far have not been very explicit. We show that in characteristic two the chain complex defined via the n-fold bar construction admits at least a part of an E _{n+1}-structure, namely a homotopy for the cup product, and give an explicit formula for this homotopy
Multiplikative Strukturen und Involutionen auf algebraischer K-Theorie
No full textIn this thesis I investigate the interaction of multiplicative and involutive structures on algebraic K-theory of E infinity-ring spectra. Algebraic K-theory is associated classically to discrete rings by a definition of Quillen with preceding approaches by Grothendieck, Bass and Milnor. Quillen identified algebraic K-theory as the homotopy groups of a space naturally associated to a ring, unifying the first three definitions, and
providing a definition of the n-th K-theory group for all natural numbers n. One approach to computations is the generalisation of K-theory to more ringlike objects, yielding more induced structures on K-theory, for instance multiplicative structures as described in [EM, GGN, BGT2, May2] and involutions as defined in [R].
Driven by the main example, algebraic K-theory of the connective complex K-theory spectrum ku, and building on the computations of Christian Ausoni in [A-Kku, A-THH], I focus on the induced multiplicative structure on K(ku) in chapters 1 to 3. Building on the delooping of permutative bicategories as developed by Angelica Osorno in [Os], I exhibit a tensor product on a bicategory of matrices M(R) associated to a bipermutative category R in chapter 2. By modifying the delooping of Osorno in chapter 3 I find an induced E infinity-ring spectrum structure on K(ku) by identifying this spectrum as the Eilenberg-MacLane-
spectrum associated to the bicategory of matrices over finite-dimensional complex vector spaces. The involution as defined by Richter easily generalises to this setting, so I can exhibit the interaction of the involution with the multiplication easily.
Since the calculations by Ausoni in [A-Kku, A-THH] rely on trace methods, i.e., are obtained by careful comparison of K(ku) to topological Hochschild homology THH(ku) along the trace map, I can use the compatibility of the trace map with the multiplicative structures defined on both as a universal property by the results of Blumberg, Gepner, Tabuada in [BGT1, BGT2]. This in particular implies that the trace map is
compatible with the involution defined on K-theory as in [R] and on topological Hochschild homology analogous to [Lo], giving the main result of chapter 5.
Finally in chapter 6 I investigate the involution on mod (p, v1) homotopy
groups of K(ku) as calculated in [A-Kku]. Specifically there is a subalgebra of V(1)K(ku), which can be understood purely in terms of the trace map K(ku) → THH(ku), and there are special classes as well as the “higher Bott element” b. For all of these I describe the effect induced by complex conjugation on ku, and thus the induced involution on algebraic K-theory on V (1)K(ku).In dieser Dissertation untersuche ich Multiplikationen und Involutionen auf algebraischer K-Theorie von E unendlich-Ringspektren. Klassisch ist algebraische K-Theorie eine Invariante diskreter Ringe definiert von Quillen. Quillens Definition vereinheitlicht Definitionen von Grothendieck, Bass und Milnor. Er definiert algebraische K-Theorie als Homotopiegruppen eines natürlich zu einem Ring R assoziierten Raumes BGL(R)^+. Diese Definition vereinheitlicht zugleich die vorher genannten Definitionen und gibt eine Definition für alle natürlichen Zahlen. Ein Zugang zu Berechnungen ist die Verallgemeinerung von K-Theorie auf ringartige Objekte, was insbesondere Aufschluss gibt über induzierte Strukturen auf K-Theorie wie etwa Multiplikationen [EM, GGN, BGT2, May2] und Involutionen [R].
In den Kapiteln 1 bis 3 untersuche ich die multiplikative Struktur von K(ku), die durch die Identifikation entlang [BDRR1] als Delooping einer Bikategorie von Matrizen M(R) induziert wird. Genauer definiere ich in Kapitel 2 ein Tensorprodukt, das eine Multiplikation auf M(R) induziert, die sich mit der additiven Struktur, die Angelica Osorno [Os] definiert, verträgt. In Kapitel 3 beschreibe ich eine Variante ihres Deloopings [Os], die durch das Tensorprodukt die Struktur eines E unendlich Ringspektrums erhält. Die von Birgit Richter in [R] beschriebene
Involution lässt sich auf M(R) erweitern, und wir erhalten, dass die Involution diese Multiplikation opponiert.
Die Berechnungen der mod (p, v1) Homotopiegruppen von Christian Ausoni in [A-Kku, A-THH] basieren grundlegend auf Spurmethoden, also einem sorgsamen Vergleich algebraischer K-Theorie mit topologischer Hochschildhomologie. Die vergleichende Abbildung ist die Spur K(ku) → THH(ku), die ich mithilfe der
Resultate von Blumberg, Gepner und Tabuada aus [BGT1, BGT2] als die universelle multiplikative natürliche Transformation K ⇒ THH in Kapitel 5 definieren kann. Aus dieser Universalität folgt das Hauptresultat von Kapitel 5, dass sich die Spurabbildung auch mit der
induzierten Involution auf K-Theorie wie in [R] beschrieben und der auf topologischer Hochschildhomologie zu der in [Lo] analogen Involution verträgt. In Kapitel 6 untersuche ich die Involution auf mod (p, v1) Homotopiegruppen von K(ku), wie sie aus der Berechnung von [A-Kku] hervorgehen. Es gibt eine Unteralgebra in V(1)K(ku), die sich vollständig über die Spur in V(1)THH(ku)
verstehen lässt, sowie spezielle Elemente und das “höhere Bott-Element” b in diesem Modul. Für diese Klassen beschreibe ich die Involution auf V(1)K(ku)
Framing Women: Changing Frames of Representation from the Enlightenment to Postmodernism / ed. by Sandra Carroll, Birgit Pretzsch, Peter Wagner
No full textDer öffentliche Auftrag der Justiz: Die Wahrnehmung professioneller Autonomie durch Richter*innen und Staatsanwält*innen
No full textJustizjurist*innen sind ein paradigmatischer Fall einer Profession mit „öffentlichem Auftrag“. Bislang sind Ausgestaltung und Veränderungen professioneller Autonomie in der Justiz jedoch kaum Gegenstand professionssoziologischer Forschung. Vor diesem Hintergrund fragt der Beitrag danach, wie Richter*innen und Staatsanwält*innen professionelle Autonomie wahrnehmen, und wie diese Wahrnehmung ihr berufliches Handeln prägt. Der Beitrag geht diesen Fragen nach auf Grundlage der Diskussion des Forschungstandes und einer multimethodischen Untersuchung von Arbeitsbedingungen, Berufswahl und professionellem Selbstverständnis von Staatsanwält*innen und Richter*innen in der niedersächsischen ordentlichen Gerichtsbarkeit, und zieht Schlussfolgerungen für die professionssoziologische Forschung zur Justiz
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