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La discretizzazione delle superfici continue
No full textLa riduzione di un sistema continuo in uno discreto prende il nome di tassellazione. Affrontando le problematiche geometriche, matematiche e storiche del tema, si definisce il filo conduttore che lega insieme i significati del termine, nei diversi settori scientifici in cui esso è applicato. A partire dall’osservazione di alcuni caratteri dell’architettura contemporanea, fortemente condizionata dagli strumenti con cui viene generata, l’indagine si sofferma sulle proprietà matematiche e geometriche del ricoprimento del piano euclideo. Per quanto l’arte della tassellazione abbia origini antichissime, da quando cioè l’uomo ha cominciato a rivestire con pietre di diverso colore e forma le proprie abitazioni, la nascita della scienza della tassellazione si data con il 1619, anno di pubblicazione dell’opera Harmonices Mundi di Johannes Keplero. L’analisi di un’opera significativa dell’artista olandese M.C. Escher, Circle Limit III, diviene l’occasione per studiare dal punto di vista storico i principi rivoluzionari delle geometrie non euclidee, ma anche per indagarne a fondo le caratteristiche geometriche e matematiche. Il percorso prosegue affrontando lo studio della discretizzazione della superficie sferica, nel grande tema che conduce dai poliedri alle strutture geodetiche. In questo particolare argomento si è voluto dare risalto all’aspetto di attualità che il tema antichissimo dei poliedri continua ad avere. Attualità, che si manifesta in alcuni poliedri scoperti nel 1993 che hanno la proprietà di tassellare lo spazio, e nei cosiddetti saddle-polyhedra studiati a partire dal 1960. L’ultima parte della ricerca è una ricognizione dei metodi di programmazione informatica, attraverso i quali vengono generate le superfici poliedriche chiamate mesh. La metodologia con cui si è condotto l’intero lavoro, è caratterizzata da due aspetti principali: il primo riguarda gli strumenti informatici oggi a disposizione del ricercatore, che offrono la possibilità di privilegiare la descrizione sintetica di un fenomeno rispetto a quella simbolica, in modo del tutto originale; il secondo, è relativo alle potenzialità della ricerca interdisciplinare, che si evidenzia nelle collaborazioni condotte con esperti di altri settori del sapere scientifico.The reduction of a continuous domain into a discrete one, is called tessellation. Dealing with the question from a geometrical, mathematical and historical point of view, is possible to define a path through the several meanings of this word, in the different scientific areas in which it is applied. Starting from the analysis of some of the features of the contemporary architecture, deeply influenced by the technologies it comes from (free-form represented by NURBS surfaces), our investigation focuses on the properties of euclidean plane tessellations which is called tiling. Although the art of tiling must have originated very early in the history of civilization, as soon as man began to build and to use the stones to cover the floors and the walls of his house, the science of tiling is more recent. With the term science of tiling we mean the study of its mathematical properties. Probably the first study of this kind appears in Kepler’s book Harmonices Mundi dated 1619. The research goes on with the study of the work Circle Limit III, made by the Dutch artist M.C.Escher, which represents the occasion to approach the revolutionary ideas of the hyperbolic geometry and its geometrical properties. A specific application of the hyperbolic geometry concepts is represented by the Minkowskian model of the Einstein’s space-time theory (the subject has been studied with the collaboration of the mathematician Luca Lussardi of the Mathematical Department of Politecnico di Torino).
We present the discretization of other non-euclidean geometry, the elliptic one, with the aim of introducing the important theme of polyhedron which leads to the structural grids of the geodesic domes. In this part of the work, we highlighted the facet of actuality that the subject is still having in spite of its long history. As an example, we studied the specific configuration of two irregular polyhedra (one pentagonal dodecahedron and one tetrakaidecahedra) discovered by Wearie e Phelan in 1993, which can be packed together to give the least possible amount of surface film between them (they are called Wearie-Phelan bubbles). We indicated some features of the so called saddle-polyhedra studied beginning from 1960. The last chapter of the work deals with an important application of tessellation in computer technology, with the polyhedral surface called mesh. We present a brief survey of mesh generation technology, in which we compared the fundamentals algorithms used by mesh generation software used nowadays in many different fields.
The methodology implemented for the whole work gives priority to the synthetic description of an event more than the symbolic one. This is possible thanks to the mathematical representation introduced with the NURBS software, which can be used as a scientific virtual laboratory: we can make an hypothesis and then verify its veracity. Another question which finds solution thanks to the mathematical representation introduced, is that one of the visualization of the subjects would be too elaborate for the traditional graphical description
Edward Kasner: il signore degli anelli. Il problema di Apollonio nello spazio: il caso delle circonferenze a diversa giacitura
No full textLo studio tratta di un caso particolare del problema di Apollonio che riguarda il caso di circonferenze a diversa giacitura, affrontato nel 1903 dal matematico americano Edward Kasner
Nuove applicazioni della geometria descrittiva: le PQ mesh nell’architettura contemporanea
Full text linkI modellatori informatici oggi a disposizione di tutti i progettisti, hanno portato ad un profondo cambiamento dell’intero processo del fare architettura. Tra i nuovi temi delle applicazioni di Geometria descrittiva, va sicuramente annoverato il passaggio della approssimazione delle superfici continue in superfici discrete. Ogni superficie continua può essere discretizzata in una superficie poliedrica composta da facce piane. L’attenzione dei progettisti si sta dirigendo verso le superfici piane quadrilatere (PQ mesh), che permettono la generazione di mesh parallele. Lo studio delle PQ mesh applicate all’architettura sembra essere una naturale evoluzione del grande tema dei poliedri, argomento ampiamente radicato nella storia della matematica e che trova nel computer una linfa vitale che alimenta, oggi più che mai, l’intera area della Geometria descrittiva
Il modello strutturato nello studio dei caratteri dell’architettura
No full textLa modellazione informatica è da tempo diventata strumento che si affianca a quelli tradizionali di tipo grafico, non solo nella progettazione ma anche nello studio dei caratteri di un'opera architettonica. Non si pone come alternativa alle tecniche analogiche, ma con le sue potenzialità, propone nuovi percorsi di indagine integrandosi con quelle grafiche. Lo studio dell'architettura di grandi autori del recente passato diviene un'ottima occasione per definire tali potenzialità
Generative Models for Relief Perspective Architectures
Full text linkThe present essay investigates the potential of generative representation applied to the study of relief perspective architectures realized in Italy between the sixteenth and seventeenth centuries. In arts, and architecture in particular, relief perspective is a three-dimensional structure able to create the illusion of great depths in small spaces. A method of investigation applied to the case study of the Avila Chapel in Santa Maria in Trastevere in Rome (Antonio Gherardi 1678) is proposed. The research methodology can be extended to other cases and is based on the use of a Relief Perspective Camera, which can create both a linear perspective and a relief perspective. Experimenting mechanically and automatically the perspective transformations from the affine space to the illusory space and vice versa has allowed us to see the case study in a different light
I poliedri regolari e semiregolari con un approfondimento sulle cupole geodetiche
No full textTra le applicazioni della geometria descrittiva va annoverato il tema dei poliedri che in questo studio viene indagato dal punto di vista geometrico, storico e per i contributi che si ritrovano nelle problematiche relative alla tassellazione delle superfici continue
Il contributo della rappresentazione matematica nello studio di lossodromie, eliche e spirali
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