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Problèmes aux limites dispersifs linéaires non homogènes, application au système d’Euler-Korteweg
No full textThe main aim of this thesis is to obtain well-posedness results for boundary value problems especially with non-homogeneous boundary conditions. The approach that we chose here is to adapt technics from the classical theory of hyperbolic boundary value problems (for which we give a brief survey in the first chapter, and a slight generalization). In chapter 3 we delimitate a class of linear dispersive equations, and we obtain well-posedness results for corresponding boundary value problems in chapter 4.The leading thread of this memoir is the Euler-Korteweg model. The boundary value problem for a linearized version is investigated in chapter 2, and the Kato-smoothing effect is proved (also for the linearized model) in chapter 3. Finally, the numerical analysis of the model is made in chapter 5. To begin with, we use the previous abstract results to show a simple way of deriving the so-called transparent boundary conditions for the equations outlined in chapter 3, and those conditions are then used to numerically solve the semi-linear Euler-Korteweg model. This allow us to observe the stability and instability of solitons, as well as a finite time blow up.Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini
Kreiss symmetrizer and boundary conditions for the Euler–Korteweg system in a half space
No full textAbstractThe Euler–Korteweg system is a third order, dispersive system of PDEs, obtained from the standard Euler equations for compressible fluids by adding the so-called Korteweg stress tensor – encoding capillarity effects. Various results of well-posedness have been obtained recently for the Cauchy problem associated with the Euler–Korteweg system in the whole space. As to mixed problems, with initial and boundary value data, they are still mostly open. Here the linearized Euler–Korteweg system is studied in a half space by the use of normal mode analysis, which yields a generalized Kreiss–Lopatinskiĭ condition that must be satisfied by the boundary conditions for the boundary value problem to be well-posed.Conversely, under the uniform Kreiss–Lopatinskiĭ condition, generalized Kreiss symmetrizers are constructed in one space dimension for an extended system originally introduced for the Cauchy problem, which displays crucial quasi-homogeneity properties. A priori estimates without loss of derivatives are thus derived, and finally the well-posedness of the mixed problem is obtained by combining the estimates for the pure boundary value problem and trace results for solutions of the pure Cauchy problem
On the time of existence of solutions of the Euler-Korteweg system
No full textUnder a natural stability condition on the pressure, it is known that for small irrotational initial data, the solutions of the Euler-Korteweg system are global in time. When the initial velocity has a small rotational part, we obtain a lower bound on the time of existence that depends only on the rotational part. In the zero vorticity limit we recover the previous global well-posedness result. Independently of this analysis, we also provide (in a special case) a simple example of solution that blows up in finite time.Sous une condition naturelle de stabilité portant sur la pression et en dimension d'espace au moins trois, il est connu que le système d'Euler-Korteweg admet des solutions globales à petites données. Lorsque la vitesse initiale a une composante "rotationnelle" petite mais non nulle, nous obtenons une borne inférieure sur le temps d'existence qui ne dépend que de cette composante. Dans la limite irrotationnelle, nous retrouvons le précédent résultat d'existence globale. Indépendamment de cette analyse, un exemple simple de solution qui explose en temps fini est inclus
On the time of existence of solutions of the Euler-Korteweg system
No full textUnder a natural stability condition on the pressure, it is known that for small irrotational initial data, the solutions of the Euler-Korteweg system are global in time. When the initial velocity has a small rotational part, we obtain a lower bound on the time of existence that depends only on the rotational part. In the zero vorticity limit we recover the previous global well-posedness result. Independently of this analysis, we also provide (in a special case) a simple example of solution that blows up in finite time.Sous une condition naturelle de stabilité portant sur la pression et en dimension d'espace au moins trois, il est connu que le système d'Euler-Korteweg admet des solutions globales à petites données. Lorsque la vitesse initiale a une composante "rotationnelle" petite mais non nulle, nous obtenons une borne inférieure sur le temps d'existence qui ne dépend que de cette composante. Dans la limite irrotationnelle, nous retrouvons le précédent résultat d'existence globale. Indépendamment de cette analyse, un exemple simple de solution qui explose en temps fini est inclus
On the non-homogeneous boundary value problem for Schrödinger equations
No full textInternational audienceIn this paper we study the initial boundary value problem for the Schrödinger equation with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. Special care is devoted to the space where the boundary data belong. When Ω is the complement of a non-trapping obstacle, well-posedness for boundary data of optimal regularity is obtained by transposition arguments. If Ω c is convex, a local smoothing property (similar to the one for the Cauchy problem) is proved, and used to obtain Strichartz estimates. As an application local well-posedness for a class of subcritical non-linear Schrödinger equations is derived
Quelques résultats autour de l'équation de Schrödinger
No full textCe manuscrit décrit quelques résultats d'analyse des équations aux dérivées partielles qui ont pour fil rouge l'équation de Schrödinger non linéaire. Les chapitres 1 et 2 sont dédiés à l'analyse du problème aux limites pour l'équation de Schrödinger avec condition au bord non nulle. Les chapitre 3 et 4 étudient la dynamique des solutions du système d'Euler-Korteweg, avec deux types de solutions : solutions asymptotiquement linéaires en temps grand ("dispersives") au chapitre 3, et solitons au chapitre 4
Problèmes aux limites dispersifs linéaires non homogènes, application au système d’Euler-Korteweg
No full textThe main aim of this thesis is to obtain well-posedness results for boundary value problems especially with non-homogeneous boundary conditions. The approach that we chose here is to adapt technics from the classical theory of hyperbolic boundary value problems (for which we give a brief survey in the first chapter, and a slight generalization). In chapter 3 we delimitate a class of linear dispersive equations, and we obtain well-posedness results for corresponding boundary value problems in chapter 4.The leading thread of this memoir is the Euler-Korteweg model. The boundary value problem for a linearized version is investigated in chapter 2, and the Kato-smoothing effect is proved (also for the linearized model) in chapter 3. Finally, the numerical analysis of the model is made in chapter 5. To begin with, we use the previous abstract results to show a simple way of deriving the so-called transparent boundary conditions for the equations outlined in chapter 3, and those conditions are then used to numerically solve the semi-linear Euler-Korteweg model. This allow us to observe the stability and instability of solitons, as well as a finite time blow up.Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini
Small energy traveling waves for the Euler-Korteweg system
No full textInternational audienceWe investigate the existence and properties of traveling waves for the Euler-Korteweg system with general capillarity and pressure. Our main result is the existence in dimension two of waves with arbitrarily small energy. They are obtained as minimizers of a modified energy with fixed momentum. The proof builds upon various ideas developed for the Gross-Pitaevskii equation (and more generally nonlinear Schrödinger equations with non zero limit at infinity). Even in the Schrödinger case, the fact that we work with the hydrodynamical variables and a general pressure law both brings new difficulties and some simplifications. Independently, in dimension one we prove that the criterion for the linear instability of traveling waves from [6] actually implies nonlinear instability.On étudie les ondes progressives des équations d'Euler-Korteweg pour des lois de capillarité et pression générales. Le principal résultat est l'existence en dimension 2 d'ondes d'énergie arbitrairement petite. Elles sont obtenues comme minimiseurs d'une énergie modifiée a moment fixé. La preuve suit plusieurs idées développées pour les équations de Schrödinger non linéaires avec limite non nulle à l'infini. Même dans ces cas, le fait de travailler en variables hydrodynamiques apporte de nouvelles difficultés, mais aussi quelques simplifications. Indépendamment, on montre en dimension un que le critère d'instabilité linéaire des ondes progressives de [6] implique en fait l'instabilité non linéaire
Problèmes aux limites dispersifs linéaires non homogènes, application au système d’Euler-Korteweg
No full textThe main aim of this thesis is to obtain well-posedness results for boundary value problems especially with non-homogeneous boundary conditions. The approach that we chose here is to adapt technics from the classical theory of hyperbolic boundary value problems (for which we give a brief survey in the first chapter, and a slight generalization). In chapter 3 we delimitate a class of linear dispersive equations, and we obtain well-posedness results for corresponding boundary value problems in chapter 4.The leading thread of this memoir is the Euler-Korteweg model. The boundary value problem for a linearized version is investigated in chapter 2, and the Kato-smoothing effect is proved (also for the linearized model) in chapter 3. Finally, the numerical analysis of the model is made in chapter 5. To begin with, we use the previous abstract results to show a simple way of deriving the so-called transparent boundary conditions for the equations outlined in chapter 3, and those conditions are then used to numerically solve the semi-linear Euler-Korteweg model. This allow us to observe the stability and instability of solitons, as well as a finite time blow up.Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini
Schémas dispersifs pour l'équation de Korteweg de Vries critique
No full textInternational audienceIn this paper we study semi-discrete finite difference schemes for the critical Korteweg de Vries equation (cKdV, which is gKdV for k = 4). We prove that the solutions of the discretized equation (using a two grid algorithm) satisfy dispersive estimates uniformly with respect to the discretization parameter. This implies convergence in a weak sense of the discrete solutions to the solution of the Cauchy problem even for rough initial data. We also prove a scattering result for the discrete equation, and show that the discrete scattering function converges to the continuous one. Finally rates of convergence are obtained for the approximation of a semi-linear equation with initial data in H s , s > 0, yet a similar result remains open for the quasi-linear ckdV equation. Our analysis relies essentially on the discrete Fourier transform and standard harmonic analysis on the real line.On étudie dans ce papier des schémas aux différences finies semi discret pour l'équation de Korteweg de Vries critique (cKdV, qui correspond à gKdV pour k=4). Avec On prouve que les solutions de l'équation discrétisée par une méthode à deux grilles satisfont des estimations dispersives uniformes en le paramètre de discrétisation. Ces estimées impliquent une convergence faible vers la solution du problème de Cauchy même pour des données très peu régulières. On prouve également une propriété de scattering pour les solutions approchées ainsi que la convergence de la fonction de scattering discrétisée vers celle du problème continu. Enfin, des taux de convergence dans H^s, s>0, sont prouvés pour un problème simplifié (semi-linéaire). Un tel résultat reste ouvert pour cKdV. Notre analyse repose essentiellement sur la transformée de Fourier discrète et des propriétés classiques d'analyse harmonique réelle
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