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Exponential decay rates for a full von Karman thermoelastic system with nonlinear thermal coupling
No full textThe full von Karman system accounting for in plane acceleration and nonlinear thermal effects is considered. The results obtained in this paper: (i) wellposedness of regular and weak (finite energy) solutions, (ii) uniform decay rates of energy function, extend those obtained earlier in (A. Benabdallah and I.Lasiecka) assia-las for a more restrictive model which does not account for the nonlinear thermal coupling
Controllability of coupled parabolic equations : some hyperbolic phenomena in the control of parabolic equations
No full textNous étudions la contrôlabilité à zéro de systèmes paraboliques linéaires, en particulier les phénomènes qualifiés "d'hyperboliques" dans le contrôle des systèmes paraboliques, tels que des conditions sur la géométrie de la zone de contrôle ou sur le temps. Nous nous sommes intéressés, dans un premier temps, à une extension à la dimension N>1 d'espace d’un résultat dans Dolecki 1973, publié en 1973, qui donne une caractérisation de la contrôlabilité ponctuelle de l'équation de la chaleur mono-dimensionnelle. Nous prouvons la contrôlabilité interne de l’équation de la chaleur N-dimensionnelle sur des domaines de la forme (0,1) x Ω2, avec Ω2 un domaine borné et régulier de RN -1, N>1, lorsque le contrôle est exercé sur {x0} x ω2, avec x0 ∈ (0,1) et ω2 ⊆ Ω2. Notre résultat s’appuie sur la stratégie dite de Lebeau-Robbiano et exige une limite supérieure du coût du contrôle mono-dimensionnel sur (0,1). Dans une seconde partie nous avons étudié la contrôlabilité à zéro de deux équations paraboliques couplées par une matrice dont les coefficients dépendent de l’espace. Dans ce cas un phénomène étonnant apparaît : la condensation des fonctions propres. Les travaux précédents imposaient que la famille des fonctions propres de l’opérateur parabolique considéré forme une base de Riesz. Le système que nous avons étudié ne satisfait pas cette hypothèse. S’inspirant de la "méthode des moments par blocks", proposée par Benabdallah,Boyer et Morencey 2018, nous formulons l’expression d’un temps minimal de contrôle T0 dépendant de la condensation simultanée de fonctions propres et valeurs propresThis thesis focuses on the zero controllability of linear parabolic systems, in particular on new phenomena called "hyperbolic" in the control of parabolic systems, such as conditions on the geometry of the control zone or on time. We start with the study of an extension, to the N>1 space dimension, of a result in Dolecki 1973 published in 1973. Which gives a characterization of the pointwise controllability at time T of the one-dimensional heat equation. We obtain a necessary and sufficient condition that completely characterizes the distributed null-controllability of the N-dimensional heat-equation, on domains of the form (0,1) x Ω2, with Ω2 a smooth domain of RN-1, N>1, when the control is exerted on {x0} x ω2, with x0 ∈ (0.1) and ω2 ⊆ Ω2. Our result is based on the Lebeau-Robbiano strategy and requires an upper bound of the cost of the one dimensional pointwise null-control on (0.1). In a second part we studied the null-controllability of two parabolic equations coupled by a matrix whose coefficients depend on space. In this case a surprising phenomenon appears : the condensation of eigenfunctions.The previous work required that the family of eigenfunctions to the parabolic operator considered form a Riesz base. The system we studied does not satisfy this hypothesis. Inspired by the "block moment method", proposed in Benabdallah,Boyer et Morencey 2018, we formulate an expression of a minimum time of control T0 depending on the simultaneous condensation of eigen values and eigen function
Null controllability of a thermoelastic plate
No full textThermoelastic plate model with a control term in the thermal equation is considered. The main result in this paper is that with thermal control, locally distributed within the interior and square integrable in time and space, any finite
energy solution can be driven to zero at the control time T
Controllability of some parabolic systems
No full textDans cette thèse, on s’intéresse à la contrôlabilité d’équations paraboliques et à son coût. On étudie dans un premier temps, la contrôlabilité à zéro d’un système de deux équations paraboliques couplés en dimension 1 d’espace, pour lesquelles l’opérateur spacial est de type Sturm-Liouville, avec des conditions au bord de type Dirichlet et un contrôle distribué. Par la méthode des moments on montre l’existence d’un temps minimal de contrôlabilité à zéro sous des conditions géométrique sur le couplage des deux équations. Dans un autre travail, rédigé en collaboration avec González-Burgos, on s’intéresse aux familles biorthogonales aux exponentielles complexes (dont la partie réelle est dominante), sous une condition de gap faible. On montre des estimées inférieures et supérieures de ces familles. Celles ci, sont utilisées pour obtenir le coût du contrôle du système parabolique étudié dans la première partie. Enfin, dans la dernière partie, on utilise les résultats précédents. Ils nous permettent de montrer la contrôlabilité à zéro d’un système parabolique en dimension d’espace supérieure à 1. De plus, on montre la contrôlabilité locale à zéro d’un système parabolique non linéaire de type réaction-diffusion avec un contrôle distribuéIn this work we investigate the null controllability of parabolic equations and its cost. We start by studying the null controllability of the one dimensional 2 2 coupled parabolic equations, for which the associated spatial operator is of type Sturm-Liouville, with Dirichlet boundary conditions and internal control. Using the moments method we show the existence of a minimal control time connected to some geometrical conditions on the coupling terms. In an other work, with the collaboration of González-Burgos, we analyze the properties of biorthogonal families to complex exponentials (with dominant real part) under weak gap condition. We prove precise upper and lower bounds for these families. Then, we present an application of these estimates to study the control cost of the parabolic system of the first part. Finally, by using the control cost estimate, we study the null controllability properties of parabolic system, on cylindrical domain with boundary control and local null controllability properties of non linear reaction diffusion system with distributed contro
Inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques et applications aux problèmes inverses et à la contrôlabilité : contribution à la diffraction d'ondes acoustiques dans un demi-plan homogène.
No full textDans la première partie, on démontre des inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques. Au chapitre 1, on démontre des inégalités de stabilité pour un système parabolique 2 x 2 en utilisant des inégalités de Carleman avec une seule observation. Il s'agit d'un problème inverse pour l'identification des coefficients et les conditions initiales du système. Le chapitre2 est consacré aux inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques dont les coefficients de diffusion sont de classe C1 par morceaux ou à variations bornées. A la fin, on donne quelques applications à la contrôlabilité à zéro. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un problème de diffraction d'ondes acoustiques dans un demi-plan homogène. Il s'agit d'un problème aux limites associé à l'équation de Helmholtz dans le demi-plan supérieur avec une donnée de Neumann non homogène au bord. On apporte des éléments de réponse sur la question d'unicité et d'existence des solutions pour certaines classes de la donnée au bord.In the first part, we prove Carleman estimates for parabolic systems. In chapter1, we prove stability inequalities for 2 x 2 parabolic system using Carleman estimates with one observation. It is concerns to the identification of the coefficients and initial conditions of the system. The chapter2 is devoted to th Carleman estimates of parabolic systems for which the diffusion coefficients are assumed to be ofclass piecewise C1 or with bounded variations. In the end, we give some applications to the null controllability. The second part is devoted to the study of the scattering problem of acoustics waves in a homogeneous half-plane. It is about a boundary value problem associated to the Helmholtz equation in theupper half-plane with a nonhomogeneous Neumann boundary data. We provide some answers to the question of uniqueness and existence of solutions for some classes of the boundary data
Controllability of coupled linear parabolic systems
No full textDans cette thèse on s'intéresse à la contrôlabilité de deux classes de systèmes paraboliques linéaires.On caractérise dans un premier temps la contrôlabilité à zéro de systèmes à coefficients constants en dimension 1 lorsque les contrôles agissent sur différentes parties du domaine ou de sa frontière.On regarde ensuite avec le théorème de Fattorini la contrôlabilité frontière approchée de ces systèmes en dimension quelconque.On obtient notamment que les systèmes de 2 équations sont toujours contrôlables dans un rectangle si la zone de contrôle contient 2 directions.Dans un autre travail sur les systèmes à coefficients constants, on obtient une estimation du coût du contrôle frontière à zéro en dimension 1.On utilise ce résultat pour montrer que la contrôlabilité frontière à zéro dans des domaines cylindrique est réduite à la contrôlabilité frontière à zéro en dimension 1.On étudie ensuite la contrôlabilité approchée de systèmes en cascade avec un couplage d'ordre 1.On prouve que la contrôlabilité interne avec un couplage constant à toujours lieu, quel que soit la dimension et la zone de contrôle.On établit d'autre part une caractérisation de la contrôlabilité frontière en dimension 1 avec un couplage variable.Enfin, dans une dernière partie on s'intéresse à la contrôlabilité interne approchée de systèmes en cascade à coefficients variables en dimension 1.On montre qu'on est ramené à établir une caractérisation de la propriété de continuation unique pour une équation elliptique non-homogène.A l'aide de la caractérisation alors obtenue on montre en particulier comment la géométrie de la zone de contrôle peut influencer la contrôlabilité des systèmes.This thesis focuses on the controllability of two classes of linear parabolic systems.We start with a caracterization of the null-controllability of systems with constant coefficients in dimension 1 where the controls are acting on different parts of the domain or its boundary.With the help of the theorem of Fattorini we then look at the boundary approximate controllability of these systems in any dimension.We show that a system of 2 equations is always approximately controllable on a rectangle if we assume that the control domain contains 2 directions.In another work on the systems with constant coefficients, we obtain an estimate of the boundary null-control cost in dimension 1.We then use this result to show that the boundary null-controllability in cylindrical domains is reduced to the boundary null-controllability in dimension 1.We then study the approximate controllability of cascade systems with a first order coupling term.We prove the distributed controllability when the coupling is constant, whatever the dimension and control domain are.On the other hand, we establish a caracterisation of the boundary controllability in dimension 1 for space-dependent couplings.Last, we investigate the distributed approximate controllability of cascade systems with space-dependent coefficients in dimension 1.Using the theorem of Fattorini and the structure of the systems under study we are lead to characterize the unique continuation property for a non-homogeneous elliptic equation.With the help of the caracterization then obtained we show in particular how the geometry of the control domain can affect the controllability properties of systems
Modelling of tumoral heterogeneity for chemotherapy optimisation : optimal control, theoretical and numerical analysis.
No full textPour éviter l'apparition de cellules cancéreuses résistantes à une chimiothérapie, beaucoup de protocoles imposent de fortes doses de médicament : la dose maximale tolérée par le patient (MTD). Dans une série d'expériences in vitro menées par M.Carré au laboratoire du CRO2 à la Timone, Marseille, la présence de cellules résistantes dès le début du traitement fait échouer ce protocole, alors que l'utilisation de plus faibles doses permet de contrôler la taille de la tumeur. Afin d'expliquer et d'optimiser ce phénomène, G.Chapuisat a développé un modèle EDO reproduisant les résultats de ces expériences. L'analyse du plan de phase de ce système, et l'utilisation de la théorie du contrôle optimal, permettent alors de déterminer des protocoles de traitements efficaces pour réduire la tumeur à une taille minimale. Afin de prendre en compte l'organisation spatiale des cellules, nous avons ensuite étudié un modèle EDP de compétition-diffusion de deux espèces dans un milieu favorable. Enfin, en collaboration avec H.Zidani, nous développons des méthodes d'optimisation numérique pour contrôler la taille de la tumeur au cours du temps.To prevent the emergence of drug resistance during cancer chemotherapy, most medical protocols use the maximal tolerated dose (MTD) of drug possible. In a series of in vitro experiments, M.Carré showed that such protocols fail if resistant cells are present in the initial tumour. However, smaller doses of treatment maintain a small, stable tumour sensitive to the drug. To model and optimize such results, G.Chapuisat designed an ODE mathematical model of this experiment. We first study it in the framework of optimal control theory, to design protocols minimizing the tumour size and resistant charge. Then, we study a PDE model of competition-diffusion of two species, to understand the influence of motility on resistance emergence. Finally, we developped with H.Zidani other technics of treatment optimization, using dynamic programming
New results on biorthogonal families in cylindrical domains and controllability consequences
No full textIn this article we consider moment problems equivalent to null controllability of some linear parabolic partial differential equations in space dimension higher than one. For these moment problems, we prove existence of an associated biorthogonal family and estimate its norm. The considered setting requires the space domain to be a cylinder and the evolution operator to be tensorized. Roughly speaking, we assume that the so-called Lebeau-Robbiano spectral inequality holds but only for the eigenvectors of the transverse operator. In the one dimensional tangent variable we assume the solvability of block moment problem as introduced in [Benabdallah, Boyer and Morancey - \textit{Ann. H. Lebesgue.} 3 (2020)]. We apply this abstract construction of biorthogonal families to the characterization of the minimal time for simultaneous null controllability of two heat-like equations in a cylindrical domain. To the best of our knowledge, this result is unattainable with other known techniques
New results on biorthogonal families in cylindrical domains and controllability consequences
No full textIn this article we consider moment problems equivalent to null controllability of some linear parabolic partial differential equations in space dimension higher than one. For these moment problems, we prove existence of an associated biorthogonal family and estimate its norm. The considered setting requires the space domain to be a cylinder and the evolution operator to be tensorized. Roughly speaking, we assume that the so-called Lebeau-Robbiano spectral inequality holds but only for the eigenvectors of the transverse operator. In the one dimensional tangent variable we assume the solvability of block moment problem as introduced in [Benabdallah, Boyer and Morancey - \textit{Ann. H. Lebesgue.} 3 (2020)]. We apply this abstract construction of biorthogonal families to the characterization of the minimal time for simultaneous null controllability of two heat-like equations in a cylindrical domain. To the best of our knowledge, this result is unattainable with other known techniques
Estimation du taux de décroissance pour la solution de problèmes de stabilisation, application à la stabilisation de l'équation des ondes
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