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Convex processes and resolution of variational inclusions
No full textL’objectif de cette thèse est d’utiliser le concept de processus convexe pour la résolution d’inclusions variationnelle où la partie multivoque est la somme de l’opposé d’un cône convexe fermé non vide et d’une multiapplication différentiable au sens de Nachi-Penot, à graphe fermé, à valeurs compactes et convexes.Vu la complexité du problème, nous avons d’abord consacré une bonne partie sur des rappels d’Analyse Variationnelle et Non Lisse et les principaux résultats.Notre contribution s’appuie fortement sur la notion de processus convexes normés ainsi qu’un théorème relatif à ceux sont perturbés par des opérateurs linéaires continus. Grace à ce résultat, lorsque les dérivées sont uniformément bornées, nous étendons certaines méthodes itératives classiques via un résultat estimant la distance de deux ensembles non vides par un processus convexe normé.Dans un premier temps, nous présentons respectivement des extensions de la méthode de Newton et la méthode de Newton non lisse lorsque la partie univoque est lisse et non lisse. Dans ces cas, nous avons montré que celles-ci convergent super-linéairement. D’autre part, nous avons adapté le résultat de convergence associé à la méthode de Newton non lisse au cas où la dérivée de la fonction univoque est hölderienne.Dans un deuxième temps, lorsque la partie univoque est la somme d’une fonction lisse et d’une fonction lipschitzienne, nous associons une méthode semi-locale de type Newton-sécante ainsi que la vitesse de convergence.Nous avons également établi que ces méthodes généralisent les travaux antérieurs associés aux cas ou la multiapplication se réduit à un cône fixe plus précisément à un convexe fermé non vide, ainsi que la préservation du taux de convergence des méthodes classiques.The aims of this thesis is to use the concept of convex process for the resolution of variationnal inclusions where the multivalued part is the sum of the opposite of a closed nonempty convex cone and a differentiable multiapplication in theNachi-Penot sense, with closed graph, compact and convex values.Given the complexity of the problem, we first devoted a good part of our work to reminders of Nonsmooth Variationnal Analysis and the main associated theorems.Our contribution relies on the notion of normalized convex processes and a theorem related to those perturbed by linear continous operators. Thanks to this result, when the derivatives are unifomly bounded, we extended some classical iterative methods via a result estimating the distance of two nonempty sets by a normalised convex process.In a first time, We present respectively extensions of Newton’s method and the nonsmooth Newton’s method when the single-valued part is smooth and nonsmooth. In the cases , we have shown that the they converge superlinearly. On the order hand, we have adapted the convergence result associated with the nonsmooth Newton method to the case where the derivative of single-valued function is Hölderian.In a second time, whe the single-valued part is the sum of a smooth function and a lipschitzian function, we associate a semilocal method of Newton-secant type as well as the speed of convergence.We have also etablished that these methods generalize the previous work associated with cases where the multiapplication is reduced to a fixed cone, more precisely to a nonempty closed cone, as well as the preservation of the convergence rate of classical methods
Methods for solving variational inclusions under stability assumptions
No full textDans cette thèse, nous nous intéressons à des inclusions de la forme 0∈ f( x) + F(x), où f est une application univoque et F est une application multivoque à graphe fermé. Ces dernières années, diverses méthodes de résolutions d'inclusions de ce type ont été développées par les chercheurs et, après un bref rappel sur quelques notions d'analyse (univoque et multivoque) nous en présentons quelques unes utilisant l'hypothèse de régularité métrique sur l'application multivoque. Dans la suite de notre travail, plutôt que d'utiliser cette hypothèse de régularité métrique, nous lui préférons des hypothèses directement liées à la solution qui sont la semistabilité et l'hemistabilité. Notons que la semistabilité d'une solution x̅ de l'inclusion 0∈G(x) est en fait équivalente à la sous-régularité métrique forte de l'application multivoque G en x̅ pour 0. Après avoir présenté des méthodes utilisant la semistabilité et l'hemistabilité, nous exposons les nouveaux résultats auxquels nous avons abouti qui consistent essentiellement en des améliorations des méthodes présentées. Ce que nous entendons par améliorations se décline en deux points principaux : soit nous obtenons un meilleur taux de convergence, soit nous utilisons des hypothèses plus faibles qui nous permettent d'obtenir des taux de convergence similaires.In this thesis, we focus on inclusions in the form of 0∈ f( x) + F(x), where f is a single-valued function and F is a set-valued map with closed graph. In the last few years, various methods to solve such inclusions have been developed; after having recalled some notions in analysis (single-valued and set-valued) we present some of them using metric regularity on the set-valued map. Then, instead of considering this metric regularity assumption, we prefer assumptions which are directly connected to the solution, that are semistability and hemistability. One can note that semistabily of a solution x̅ of the inclusion 0∈G(x) is actually equivalent strong metric subregularity on the set-valued map G at x̅ for 0. After having presented some methods using semistability and hemistability, we show the new results we obtained, most of them being improvement of the presented methods. What we mean by improvement is mainly a better convergence rate on the one hand, and weaker assumptions that lead to similar convergence rate, on the other
Optimal Stochastic Control with application to e-rumor spread
No full textAvec le phénomène grandissant des réseaux sociaux, une nouvelle forme de rumeur, l'e-rumeur, est née et progresse de façon significative. Un tel phénomène est important pour les communautés, organisations et états car sa propagation peut rapidement mettre en péril l'opinion publique, ainsi que les marchés économiques et financiers. Puisqu'elle peut être dangereuse pour nos sociétés, il est important de comprendre comment se diffuse l'e-rumeur afin de pouvoir la contrôler. Ce problème est un challenge pour de nombreux scientifiques car il devient de plus en plus important avec le développement de nouvelles technologies. Beaucoup d'études ont été faites dans le cas déterministe ces dernières années. Mais ce processus de diffusion multidimensionnel est principalement régi par des éléments socio-psychologiques et a aussi un caractère aléatoire. L'objectif de cette thèse est l'approche stochastique d'un tel phénomène, à savoir de modéliser son aspect aléatoire et de le contrôler par l'utilisation d'équations différentielles stochastiques et la théorie du contrôle optimal associée. En se basant sur ce qui a été fait pour des modèles épidémiologique, nous avons proposé des approches similaires pour l'e-rumeur.Dans un premier temps, nous avons présenté un nouveau modèle stochastique contenant un mouvement Brownien qui modélise l'aspect aléatoire de la propagation de l'e-rumeur. Nous avons ensuite étudié la dynamique de ce nouveau modèle. Les analyses de la persistance et de l'extinction de l'e-rumeur ont aussi été développées. Nous avons terminé l'étude de ce nouveau modèle par un jeu de données qui permet de comparer le modèle stochastique et le déterministe associé pour mettre en valeur l'intérêt de notre approche stochastique.Dans un second temps, nous avons ajouté au modèle précédent un processus de Poisson afin de modéliser la brusque augmentation du nombre de propageurs. Les mêmes analyses ont ensuite été faites pour ce deuxième modèle stochastique. Puis, nous avons complété le jeu de données précédent, en ajoutant les paramètres manquants, afin de comparer les deux modèles stochastiques avec le déterministe associé.En dernier lieu, nous avons utilisé la théorie du contrôle optimal stochastique afin decontrôler le nombre de propageurs pour minimiser la propagation de l'e-rumeur.With the growing phenomenon of social networks, a new form of rumor, the e-rumor, has been born and is progressing significantly. Such a phenomenon is important for communities, organizations and states because its spread can quickly jeopardize public opinion, as well as economic and financial markets. Since it can be dangerous for our societies, it is important to understand how the e-rumor spreads in order to be able to control it. This problem is a challenge for many scientists because it becomes more and more important with the development of new technologies. Much study has been done in the deterministic case in recent years. But this multidimensional diffusion process is mainly governed by socio-psychological elements and also has a random character. The objective of this thesis is the stochastic approach of such a phenomenon, namely to model its random aspect and to control it by the use of stochastic differential equations and the associated optimal control theory. Based on what has been done for epidemiological models, we have proposed similar approaches for the e-rumor.First, we presented a new stochastic model containing a Brownian motion which models the random aspect of e-rumor propagation. We then studied the dynamics of this new model. The analyzes of the persistence and extinction of the e-rumor were also developed. We have completed the study of this new model with a dataset that allows us to compare the stochastic model and the associated determinist to highlight the interest of our stochastic approach.Secondly, we added a Poisson process to the previous model in order to model the sudden increase in the number of propagators. The same analyzes were then made for this second stochastic model. Then, we completed the previous dataset, adding the missing parameters, in order to compare the two stochastic models with the associated determinist.Finally, we used the stochastic optimal control theory to control the number of propagators to minimize the propagation of the e-rumor
Optimal control and application of renewable énergies
No full textAujourd'hui, l'électricité est la forme d'énergie la plus aisée à exploiter dans le monde. Cependant, la produire à partir des sources fossiles comme le pétrole, le charbon, le gaz naturel,... est la principale cause du réchauffement climatique en émettant une quantité massive de gaz à effet de serre dans la nature. Il nous faut donc une alternative et vite! L'ensoleillement quasi-quotidien et le vent en quantité importante devraient favoriser davantage le développement des énergies renouvelables.Dans cette thèse, l'objectif principal consiste à appliquer la théorie du contrôle optimal aux énergies renouvelables afin de convaincre les décideurs de basculer vers celles-ci à travers des études mathématiques.Dans un premier temps, nous développons un cas déterministe basé sur ce qui a déjà été fait dans la transition des énergies fossiles vers les énergies renouvelables dans lequel nous formulons deux cas d'étude. Le premier traite un problème de contrôle optimal faisant état de la transition de l'énergie pétrolière vers l'énergie solaire. Le second concerne un problème de contrôle optimal faisant état de la transition de l'énergie pétrolière vers les énergies solaire et éolienne.Dans un second temps, nous développons une partie stochastique dans laquelle nous traitons un problème de contrôle stochastique dont le but est de prendre en compte l'aspect aléatoire de la production de l'énergie solaire puisqu’on ne peut pas garantir un ensoleillement quotidien suffisant.Today, electricity is the easiest form of energy to exploit in the world. However, producing it from fossil sources such as oil, coal, natural gas,…, is the main cause of global warming by emitting a massive amount of greenhouse gases into nature. We need an alternative and fast! The almost daily sunshine and the important quantity of wind should favor the development of renewable energies.In this thesis, the main objective is to apply the optimal control theory to renewable energies in order to convince decision makers to switch to them through mathematical studies. First, we develop a deterministic case based on what has already been done in the transition from fossil fuels to renewable energies in which we formulate two case studies. The first one deals with an optimal control probleminvolving the transition from oil to solar energy. The second deals with an optimal control problem involving the transition from oil to solar and wind energies.Then, we develop a stochastic part in which we treat a stochastic control problem whose objective is to take into account the random aspect of the production of solar energy since we cannot guarantee sufficient daily sunshine
Applications of the Optimal Control theory to problems of diabetes and the spread of rumor on social networks
No full textL'objectif de cette thèse est principalement d'appliquer la théorie du contrôle optimal à des problématiques que soulèvent la maladie du diabète et celle de la propagation de la rumeur sur les réseaux sociaux.Pour la première application, à savoir la maladie du diabète, nous développons deux études. Dans une première étude, à un modèle qui examine les diabétiques avec et sans complications, nous associons un problème de contrôle optimal. Nous montrons qu'il n'existe pas de comportement cyclique entre le groupe des diabétiques avec complications et celui des diabétiques sans complications, et que le point d'équilibre associé au problème existe et est un point selle. Dans une seconde étude, nous modifions un modèle de glucose-insuline à temps différé par l'ajout d'actions extérieures avec retard. Puis, pour minimiser la glycémie d'un diabétique, nous les contrôlons séparément puis simultanément, afin d'en donner une caractérisation à l'aide du principe du maximum de Pontryagin.Pour la deuxième application, la problématique de la propagation de la rumeur sur les réseaux sociaux, nous proposons aussi deux approches. Premièrement, nous mettons en place des stratégies optimales, par l'ajout d'actions extérieures sur un modèle d'e-rumeur de type SIR que nous contrôlons séparément puis simultanément, pour minimiser la propagation d'une fausse information. Et, dans une deuxième approche, nous construisons un nouveau modèle d'e-rumeur pour lequel nous étudions les points d'équilibres admissibles en mettant en évidence leurs conditions de stabilité, ainsi que les critères de persistance du modèle.The aim of this thesis is mainly to apply optimal control theory to problems raised by diabetes disease and the spread of rumors on social networks.For the first application, namely diabetes disease, we develop two studies. In a first one, from a model that examines diabetics with and without complications, we associate an optimal control problem. We show that there is no cyclical behavior between the group of diabetics with complications and the one without complications, and that the associated equilibrium point exists and is a saddle point. In a second study, we modify a model of delayed glucose-insulin by adding external actions with delay. Then, in order to minimize the glycemia of a diabetic, we control them separately and simultaneously in order to give a characterization of the optimal actions with the Pontryagin maximum principle.For the second application, the issue of spreading rumors on social networks, we also give two approaches. First, we introduce some optimal strategies, by adding external actions on a e-rumor model of SIR type that we control separately and simultaneously to minimize the spread of fake news. Then, in a second approach, we build a new e-rumor model for which we study the admissible equilibrium points by highlighting their stability conditions, as well as the criteria of persistence of the model
Some mathematical models for wastewater treatment
No full textL’eau est une ressource naturelle indispensable à la vie. Au cours des 40 dernières années cette ressource a subi diverses dégradation et pollution dûes à l’accroissement de la population mondiale et au développement d’une grande quantité d’industries de production dont l’eau est l’élément essentiel. Après utilisation les eaux usées doivent être traitées avant de les injecter dans la nature. L’un des problèmes majeurs lié au traitement des eaux usées est le coût.L’objectif de la présente thèse est de proposer des modèles mathématiques permettant de prédire et d’optimiser le coût du traitement des eaux usées en utilisant divers moyens de traitement (bactéries, oxygène, algues) sous la fluctuation des ressources et des conditions de culture. Plus particulièrement, on a développé des modèles mathématiques déterministes basés sur des systèmes dynamiques et appliqué la théorie du contrôle optimal afin de réduire les coûts de traitement.Dans un premier temps on a proposé deux modèles de traitement des eaux usées en utilisant d’une part un seul type de bactéries, les aérobies thermophiles et d’autre part deux types de bactéries aérobies, les thermophiles et les mésophiles. Pour chacun de ces modèles on a traité un problème de contrôle optimal. Dans un second temps, dans le but de réduire les coûts liés à l’injection d’oxygène, nous avons proposé un autre modèle de traitement des eaux usées en utilisant les algues. Ce modèle est une extension d’un modèle issu de la littérature.Dans notre extension on a tenu compte de l’interaction symbiotique qui existe entre les algues et les bactéries. On a étudié d’une part la dynamique du modèle étendu et d’autre part on a traité un problème de contrôle optimal qui consiste à minimiser la concentration de polluants, à réduire le flux d’entrée de nutriments et de polluants tout en minimisant les coûts qui y sont liés.Water is a natural resource essential for life. Over the last 40 years, this resource has suffered various forms of degradation and pollution due to the increase of the world population and the development of many production industries, for which water is the essential element. After use, wastewater must be treated before being injected in the nature. One of the major problems associated with wastewater treatment is the cost. The aim of this thesis is to propose mathematical models to predict and optimize the cost of wastewater treatment using various treatment type (bacteria, oxygen, algae) under fluctuating resource and cultivation conditions. More specifically, we developed deterministic mathematical models based on dynamic systems and applied optimal control theory to reduce treatment costs. Firstly, two wastewater treatment models have been proposed, using a single type of bacteria, thermophilic aerobics, on the one hand, and two types of aerobic bacteria, thermophilic and mesophilic, on the other hand. For each model, an optimal control problem has been addressed. Secondly, to reduce the cost of oxygen injection, we proposed another wastewater treatment model using algae. Our extension takes into account the symbiotic interaction between algae and bacteria. The dynamics of the extended model have been studied and an optimal control problem has been addressed. This consists in minimizing the concentration of pollutants, reducing the inflow of nutrients and pollutants, and minimizing the associated costs
Some results on subanalytic variational inclusions
No full textInternational audienceIn this chapter, the aim is the solving of variational inclusions fo the form 0_in f(x)+F(x), where f is a subanalytic and locally Lipschitz function, F is a set-valued map with closed graph. The methods are developped using the metric regularity of (f+F) or the Aubin property of (f+F)^{-1}, and often lead to a superlinear convergence
On a secant-like method for solving generalized equations
Get PDFsummary:In the paper by Hilout and Piétrus (2006) a semilocal convergence analysis was given for the secant-like method to solve generalized equations using Hölder-type conditions introduced by the first author (for nonlinear equations). Here, we show that this convergence analysis can be refined under weaker hypothesis, and less computational cost. Moreover finer error estimates on the distances involved and a larger radius of convergence are obtained
Dynamical models described by differential inclusions in epidemiology : the cases of dengue and HIV
No full textDans cette thèse, nous présentons deux modèles mathèmatiques qui simulent la dynamique d'une épidémie de dengue à Cuba. Le premier modèle est décrit par un système d'équations différentielles ordinaires dans le but d'estimer certains paramètres essentiels dans l'évolution de l'èpidérnie. Le deuxième modèle utilise une inclusion différentielle afin de simuler la dynamique sous incertitudes. Nous passons aussi en revue une famille de modèles d'équations différentielles pour l'épidémie de VIH/SIDA à Cuba et nous reformulons l'un de ces modèles en une inclusion différentielle. En outre, pour analyser le comportement de ces deux épidémies et l'effet de l'intervention nous développons un algorithme pratique pour le calcul des ensembles atteignables des inclusions différentielles, qui fournit un cadre mathématique nous permettant de faire des prédictions appropriées de toutes les variables d'état des modèlesLn this work we present two mathematical models that simulate the dynamics of an epidemic outbreak of dengue disease in Cuba. The i first model is described by a system of ordinary differential equations with the purpose of estimaling some essential parameters in the evolution of the epidemie. The second model uses a differential inclusion in order to simulate the dynamic under uncertainties. Also, we review a family of ordinary differential equations models of HIV/AIDS epidemic in Cuba and one of these models is reformulated as a differential inclusion. In addition, to analyze the behavior of these two epidemies and the effect of intervention, we develop a practical algorithm for the computation of the reachable sets of the differential inclusions, providing a mathematical framework allowing us to make suitable predictions of aII state variables of the models at a future time
An iterative method for a perturbed subanalytic variational inclusion
No full textInternational audienc
