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Mahler's method in positive characteristic
No full textCette thèse se situe dans le domaine de la théorie des nombres. Elle traite de la transcendance et de l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes définies sur des corps de fonctions de caractéristique p>0. La problématique de cette thèse est l'établissement de l'équivalence entre l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes aux points algébriques et celle des fonctions elles-mêmes. L'une de nos motivations est l'observation fructueuse de L. Denis selon laquelle il est possible en caractéristique non nulle de déformer des nombres remarquables (périodes de modules de Drinfeld) comme valeurs de fonctions mahlériennes. Nous démontrons notamment que toute relation algébrique homogène entre valeurs, en un point algébrique non nul régulier, de solutions d'un système mahlérien engendrant une extension régulière, provient de la spécialisation d'une relation algébrique homogène entre les fonctions elles-mêmes. Il s'agit de l'analogue de travaux de P. Philippon et de B. Adamczewski et C. Faverjon et d'un raffinement d'un théorème fondamental de Ku. Nishioka, dans le cas où K est un corps de nombres. Ainsi, l'étude de l'indépendance algébrique des valeurs de fonctions mahlériennes se ramène à celle des fonctions elles-mêmes. Cependant, contrairement à la caractéristique nulle, une fonction mahlérienne algébrique n'est pas nécessairement rationnelle et la transcendance de fonctions mahlériennes dans ce contexte demeure encore mystérieuse. Néanmoins, nous établissons que cette dichotomie reste valide pour les fonctions d-mahlériennes, où p ne divise pas d. Par ailleurs, nous démontrons un théorème de type Kolchin qui fournit une condition suffisante à l'indépendance algébrique de fonctions mahlériennes d'ordre 1 inhomogène ainsi qu'une caractérisation de la transcendance de telles fonctions. Enfin, au-delà de ces résultats qualitatifs, nous nous intéressons aux mesures d’indépendance algébrique entre valeurs de fonctions mahlériennes en caractéristique non nulle et proposons une approche, inspirée de travaux récents de E. Zorin en caractéristique nulle, qui permettrait d’obtenir de tels résultats quantitatifsThis thesis is part of Number Theory. It deals with transcendence and algebraic independence of values of Mahler functions over function fields of characteristic p>0. The starting point of this thesis is to prove the equivalence between algebraic independence of values of Mahler functions at algebraic points and that of the functions themselves. One of our main motivations is the fruitful observation due to L. Denis that it is possible to reach special numbers (periods of Drinfeld modules) as values of Mahler functions in positive characteristic. We show that every homogeneous algebraic relation between values of solutions of Mahler systems, which generate regular extensions, at nonzero algebraic regular numbers, arises as specialization of an homogeneous algebraic relation between the functions themselves. This is the analogue of the work of P. Philippon and B. Adamczewski and C. Faverjon, and a refinement of a fundamental theorem from Ku. Nishioka, when K is a number field. Thus, the study of algebraic independence between values of Mahler functions turns into that between the functions themselves. But algebraic Mahler functions over function fields of positive characteristic are not necessarily rational, contrary to the number fields case. Transcendence of Mahler functions in this framework still remains mysterious. Nevertheless, we state that this dichotomy is still valid for d-Mahler functions, when p does not divide d. Moreover, we prove a Kolchin theorem that provides a sufficient condition for algebraic independence of inhomogeneous Mahler functions of order 1, along with a characterization of the transcendence of such functions. Finally, we are interested in algebraic independence measures of values of Mahler functions in positive characteristic. We suggest an approach, based on a recent work of E. Zorin in characteristic zero, which would give such qualitative results in our contex
Contribution to the Mahler method : linear equations and finite automata
No full textCette thèse se situe dans le domaine de la théorie des nombres. Nous étudions la transcendance et l'indépendance algébrique des valeurs de fonctions mahlériennes en des points algébriques. Ce sont des séries entières convergentes solutions d'équations de la forme p0(z)f(z)+p1(z)f(zq)+ … +pm(z)f(zq^m)=0 avec p0,…,pm des polynômes à coefficients algébriques et q>1 un entier. Pour étudier ces fonctions, on utilise une méthode appelée méthode de Mahler, laquelle s'inscrit dans la grande famille des méthodes de transcendance. En plus d'un intérêt théorique important quant aux techniques de transcendance, la méthode de Mahler a des applications liées à la complexité du développement des nombres réels. En effet, les fonctions mahlériennes dont les coefficients appartiennent à un ensemble fini sont précisément les séries génératrices des suites automatiques. Nous élargissons le champ d'application de la méthode en parachevant l'étude, déjà bien entamée, de la transcendance des fonctions q-mahlériennes d'une variable, et des relations linéaires entre leurs valeurs, en un point algébrique. Nous démontrons notamment une conjecture de Cobham de 1968, énonçant le fait qu'une fonction mahlérienne à coefficients rationnels ne prend, aux points rationnels, que des valeurs rationnelles ou transcendantes. Nous montrons que les relations algébriques entre les valeurs de fonctions q-mahlériennes en un point algébrique proviennent, par spécialisation, d'une relation fonctionnelle q-orbitale, c'est-à-dire d'une relation entre ces fonctions et leurs images sous l'action répétée du morphisme z → zq. Nous établissons également un algorithme permettant de déterminer si la valeur d'une fonction mahlérienne en un point algébrique donné est un nombre transcendant ou pas. Nous développons ensuite la théorie des systèmes mahlériens réguliers singuliers de plusieurs variables, une classe générique de systèmes mahlériens. Nous en déduisons un critère général d'indépendance algébrique pour les valeurs de fonctions mahlériennes associées à de tels systèmes. Ce critère pourrait être résumé de la façon suivante: des valeurs transcendantes de fonctions mahlériennes associées à des opérateurs ayant des rayons spectraux multiplicativement indépendants deux à deux, ou des points algébriques multiplicativement indépendants, sont toujours algébriquement indépendantesIn this thesis, we investigate topics belonging to number theory, and especially to transcendental number theory. We aim to study the transcendence and algebraic independence of the values, at algebraic points, of the so-called Mahler functions. The latter are convergent power series satisfying equations of the form p0(z)f(z)+p1(z)f(zq)+ … +pm(z)f(zq^m)=0 where p0,…,pm are polynomials with algebraic coefficients and q>1 is an integer. In order to study these power series, we develop what is known as Mahler's method, a method initiated by Mahler in the late 1920's. Besides its theoretical interest, Mahler's method has applications regarding the complexity of expansions of real numbers in integer or algebraic bases. Indeed, Mahler functions whose coefficients belong to a finite set are precisely the generating series of automatic sequences. We broaden the scope of Mahler's method, completing the already well-advanced study of the transcendence and linear relations between q-Mahler functions evaluated at a given algebraic point. In particular, we prove a conjecture due to Cobham in 1968, stating that a Mahler function with rational coefficients cannot take algebraic irrational values at rational points. We also show that the algebraic relations between the values of q-Mahler functions at algebraic points all come from specializations of q-orbital functional relations, that is relations between these functions and their images under the iterated action of the map z → zq. In addition, we establish an algorithm that allows us to determine whether or not an arbitrary Mahler function takes a transcendental value at a given algebraic point. In the second part of the thesis, we develop the theory of multivariate regular singular Mahler systems, a generic class of linear Mahler systems. We obtain a general criterion of algebraic independence for the values at algebraic points of Mahler functions associated with such systems. We could summarize this criterion in the following way: transcendental values of Mahler functions associated with operators having pairwise multiplicatively independent spectral radius, or with multiplicatively independent algebraic points, are always algebraically independen
Some contributions at the study of Laurent series with coefficients in a finite field
No full textCette thèse se situe à l'interface de trois grands domaines : la combinatoire des mots, la théorie des automates et la théorie des nombres. Plus précisément, nous montrons comment des outils provenant de la combinatoire des mots et de la théorie des automates interviennent dans l'étude de problèmes arithmétiques concernant les séries formelles à coefficients dans un corps fini.Le point de départ de cette thèse est un célèbre théorème de Christol qui caractérise les séries de Laurent algébriques sur le corps F_q(T), l'entier q désignant une puissance d'un nombre premier p, en termes d'automates finis et dont l'énoncé est : « Une série de Laurent à coefficients dans le corps fini F_q est algébrique si et seulement si la suite de ses coefficients est engendrée par un p-automate fini ». Ce résultat, qui révèle dans un certain sens la simplicité de ces séries de Laurent, a donné naissance à des travaux importants parmi lesquels de nombreuses applications et généralisations.L'objet principal de cette thèse est, dans un premier temps, d'exploiter la simplicité de séries de Laurent algébriques à coefficients dans un corps fini afin d'obtenir des résultats diophantiens, puis d'essayer d'étendre cette étude à des fonctions transcendantes arithmétiquement intéressantes. Nous nous concentrons tout d'abord sur une classe de séries de Laurent algébriques particulières qui généralisent la fameuse cubique de Baum et Sweet. Le résultat principal obtenu pour ces dernières est une description explicite de leur développement en fraction continue, généralisant ainsi certains travaux de Mills et Robbins. Rappelons que le développement en fraction continue permet généralement d'obtenir des informations très précises sur l'approximation rationnelle ; les meilleures approximations étant obtenues directement à partir de la suite des quotients partiels. Malheureusement, il est souvent très difficile d'obtenir le développement en fraction continue d'une série de Laurent algébrique, que celle-ci soit donné par une équation algébrique ou par son développement en série de Laurent. La deuxième étude que nous présentons dans cette thèse fournit une information diophantienne à priori moins précise que la description du développement en fraction continue, mais qui a le mérite de concerner toutes les séries de Laurent algébriques (à coefficients dans un corps fini). L'idée principale est d'utiliser l'automaticité de la suite des coefficients de ces séries de Laurent afin d'obtenir une borne générale pour leur exposant d'irrationalité. Malgré la généralité de ce résultat, la borne obtenue n'est pas toujours satisfaisante. Dans certains cas, elle peut s'avérer plus mauvaise que celle provenant de l'inégalité de Mahler. Cependant, dans de nombreuses situations, il est possible d'utiliser notre approche pour fournir, au mieux, la valeur exacte de l'exposant d'irrationalité, sinon des encadrements très précis de ce dernier.Dans un dernier travail nous nous plaçons dans un cadre plus général que celui des séries de Laurent algébriques, à savoir celui des séries de Laurent dont la suite des coefficients a une « basse complexité ». Nous montrons que cet ensemble englobe quelques fonctions remarquables, comme les séries algébriques et l'inverse de l'analogue du nombre \pi dans le module de Carlitz. Il possède, par ailleurs, des propriétés de stabilité intéressantes : entre autres, il s'agit d'un espace vectoriel sur le corps des fractions rationnelles à coefficients dans un corps fini (ce qui, d'un point de vue arithmétique, fournit un critère d'indépendance linéaire), il est de plus laissé invariant par diverses opérations classiques comme le produit de HadamardThis thesis looks at the interplay of three important domains: combinatorics on words, theory of finite-state automata and number theory. More precisely, we show how tools coming from combinatorics on words and theory of finite-state automata intervene in the study of arithmetical problems concerning the Laurent series with coefficients in a finite field.The starting point of this thesis is a famous theorem of Christol which characterizes algebraic Laurent series over the field F_q(T), q being a power of the prime number p, in terms of finite-state automata and whose statement is the following : “A Laurent series with coefficients in a finite field F_q is algebraic over F_q(T) if and only if the sequence of its coefficients is p-automatic”.This result, which reveals, somehow, the simplicity of these Laurent series, has given rise to important works including numerous applications and generalizations. The theory of finite-state automata and the combinatorics on words naturally occur in number theory and, sometimes, prove themselves to be indispensable in establishing certain important results in this domain.The main purpose of this thesis is, foremost, to exploit the simplicity of the algebraic Laurent series with coefficients in a finite field in order to obtain some Diophantine results, then to try to extend this study to some interesting transcendental functions. First, we focus on a particular set of algebraic Laurent series that generalize the famous cubic introduced by Baum and Sweet. The main result we obtain concerning these Laurent series gives the explicit description of its continued fraction expansion, generalizing therefore some articles of Mills and Robbins.Unfortunately, it is often very difficult to find the continued fraction representation of a Laurent series, whether it is given by an algebraic equation or by its Laurent series expansion. The second study that we present in this thesis provides a Diophantine information which, although a priori less complete than the continued fraction expansion, has the advantage to characterize any algebraic Laurent series. The main idea is to use some the automaticity of the sequence of coefficients of these Laurent series in order to obtain a general bound for their irrationality exponent. In the last part of this thesis we focus on a more general class of Laurent series, namely the one of Laurent series of “low” complexity. We prove that this set includes some interesting functions, as for example the algebraic series or the inverse of the analogue of the real number \pi. We also show that this set satisfy some nice closure properties : in particular, it is a vector space over the field over F_q(T)
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Full text linkThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
Algebraicity modulo p and strong Frobenius structure
No full textCette thèse se situe à la interface entre la théorie de nombres et la théorie des équations différentielles. Elle est consacré à l'étude de l'algébricité modulo p des séries formelles à coefficients dans les corps des nombres rationnels. L'outil principal utilisé dans cette thèse à fin d'étudier cette problématique est la notion de structure de Frobenius forte associée à un opérateur différentiel. Dans un premier temps, nous montrons qu'une conjecture d'Adamczewski--Delaygue concernant le degré d'algébricité de réductions modulo p de G fonctions est vraie pour les séries séries hypergéométriques généralisées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à certaines applications combinatoires et arithmétiques de l'algébricité modulo p et dans la dernière partie, nous proposons une nouvelle définition de la notion de structure de Frobenius forte pour les opérateurs aux différences.This thesis is at the interface between the theory of numbers and the theory of differential equations. It is devoted to the study of the algebraicity modulo p of formal series with coefficients in the fields of rational numbers. The main tool used in this thesis to study this problem is the notion of strong Frobenius structure associated with a differential operator. First, we show that a Adamczewski - Delaygue's conjecture concerning the degree of algebraicity of reductions modulo p of G functions is true for generalized hypergeometric series. The second part of the thesis is devoted to certain combinatorial and arithmetic applications of the algebraicity modulo p . In the last part, we propose a new definition of the notion of strong Frobenius structure for difference operators
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No full textNous présentons dans ce doctorat de mathématiques le travail effectué pendant trois ans à l'Université Claude Bernard Lyon 1. Ce doctorat a été réalisé sous les directions de Boris Adamczewski et Luca Zamboni, tous deux chercheurs à l'UCBL. Le thème général abordé est la combinatoire des mots, sous la forme de deux contributions, l'une concernant la théorie de Ramsey développée dans la première partie, et l'autre la classe des mots sturmiens développée dans la seconde partie. La combinatoire des mots est un domaine à la croisée des mathématiques, et plus généralement des sciences. Avec l'essor de l'informatique théorique, ou encore des progrès de la génétique, l'étude des suites de symboles est devenu un sujet de recherche incontournable à l'importance grandissante. Les mots vus comme suites de symboles sont en effet intrinsèquement soumis à des lois mathématiques d'une profonde subtilité. L'exemple historique d'Axel Thue d'un mot infini sans facteurs carrés sur un alphabet à trois lettres a été un des points de départ de cette théorie, via une construction non-triviale d'un mot infini soumis à une condition pourtant très simple en apparence. Que ce soit dans la structure des décimales des nombre réels, dans les codes informatiques omniprésents dans le fonctionnement des ordinateurs, ou dans notre propre code génétique, la combinatoire des mots fournit un cadre commun pour une étude en profondeur de problématiques actuelles. Le présent doctorat s'inscrit naturellement dans ce processus scientifique. Directement inspiré par les travaux fondateurs d'Axel Thue, nous étudions dans la première partie les conditions d'existence d'objets combinatoires (en outre, des colorations) soumis à des contraintes d'apparence simples, et nous apportons une réponse optimale à une conjecture qui est restée ouverte pendant une décennie. Cette solution exploite les différences et liens entre les notions naturelles de préfixe et de suffixe en combinatoire des mots. Notre seconde partie, quant à elle, étudie une version infinie du système de numération d'Ostrowski, à l'aide des mots de basse complexité donnés par les mots infinis non-ultimement périodiques de plus petite fonction de complexité que sont les mots sturmiens. Construit d'une manière analogue aux nombres p-adiques, le formalisme introduit et développé concernant les intercepts formels en vue de donner une description combinatoire de la classe des mots sturmiens a pour conséquences plusieurs résultats concernant les factorisations de ces mots. Le calcul des compléments étudié à la fin de cette partie montre comment la comparaison des opérations de préfixe et de suffixe peut être utilisée pour obtenir des résultats non-triviaux concernant les factorisations des mots de basse complexitéWe present in this PhD. in Mathematics the work effectuated during three years at the Lyon 1 University Chaude Bernard Lyon 1. This PhD. has been realied under the supervisions of Boris Adamczewki and Luca Zamboni, both researchers in the Lyon 1 University. The general topic is combinatorics on words, in the form of two contributions, one of them on the limits of Ramsey theory in this context developped in the first part, and the second on the links between the Ostrowski numeration system and factorisations of sturmian words. Combinatorics on words is a domain at the intersections of mathematics, and more generally of sciences. With the emergence of theoretical computer science, or of progresses in genetics, the study of sequences of symbols has become a unavoidable research subject of growing importance. Words seen as a sequence of symboles are indeed bound to deep and subtle mathematical laws. The historical example discovered by Axel Thue of an infinite square-free word over a 3-letter alphabet have been the start of this theory, with a non-trivial construction of a specific word submitted to a seemingly very simple condition. Whether it is within the structure of decimals of real numbers, in the code lines everywhere in computers or inside our own genetic information, combinatorics on words gives a comon theoretical set of tools for a deep study of a number of present scientific issues. The present PhD. lands naturally within this scientific process. Directly inspired by the fundamental work of Axel Thue, we study in the first part the condition for the existence of combinatorial objects, colorations, submitted to a monochromatic constraint, and provide an optimal answer to a conjecture that have remained open for 10 years. This solution exploits the differences and links between the notions of prefixes and suffixes in combinatorics on words. In a second part, we study a infinite version of the Ostrowski numeration system, with the use of the low complexity class of words formed by the sturmian words. Built in a similar way as the p-adic number, the introduced and developped formalism on formal intercepts with the purpose of describing combinatorially the class of sturmian words has several consequences with regards to their factorisations. The calculus of complement, presented at the end shows how comparison of the prefix and suffix operations can be used to derived non-trivial results on factorisation of low complecity word
Variations on the Author
Full text link“Variations on the Author” discusses two of Eduardo Coutinho’s recent films (Um Dia na Vida, from 2010, and Últimas Conversas, posthumously released in 2015) and their contribution to the general question of documentary authorship. The director’s filmography is characterized by a consistent yet self-effacing form of authorial self-inscription: Coutinho often features as an interviewer that rather than express opinions propels discourses; an interviewer that is good at listening. This mode of self-inscription characterizes him as an author who is not expressive but who is nonetheless markedly present on the screen. In Um Dia na Vida, however, Coutinho is completely absent form the image, while Últimas Conversas, on the contrary, includes a confessional prologue that moves the director from the margins to the center of his films. This article examines the ways in which these works stand out in the filmography of a director who offers new insights into the notion of cinematic authorship
Appropriate Similarity Measures for Author Cocitation Analysis
Full text linkWe provide a number of new insights into the methodological discussion about author cocitation analysis. We first argue that the use of the Pearson correlation for measuring the similarity between authors’ cocitation profiles is not very satisfactory. We then discuss what kind of similarity measures may be used as an alternative to the Pearson correlation. We consider three similarity measures in particular. One is the well-known cosine. The other two similarity measures have not been used before in the bibliometric literature. Finally, we show by means of an example that our findings have a high practical relevance.information science;Pearson correlation;cosine;similarity measure;author cocitation analysis
Dispelling the Myths Behind First-author Citation Counts
Full text linkWe conducted a full-scale evaluative citation analysis study of scholars in the XML research field to explore just how different from each other author rankings resulting from different citation counting methods actually are, and to demonstrate the capability of emerging data and tools on the Web in supporting more realistic citation counting methods. Our results contest some common arguments for the continued
use of first-author citation counts in the evaluation of scholars, such as high correlations between author rankings by first-author citation counts and other citation
counting methods, and high costs of using more realistic citation counting methods that are not well-supported by the ISI databases. It is argued that increasingly available digital full text research papers make it possible for citation analysis studies to go beyond what the ISI databases have directly supported and to employ more
sophisticated methods
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