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Spectrum of non Hermitian random Markov matrices with heavy tailed weights
No full textThis thesis concerns the convergence of the empirical spectral distribution of random matrices, that is the probability measure concentrated on the spectrum f_1(M); :::; _n(M)g of a complex n_n matrix M. Namely we de_ne the empirical spectral distribution _M as
_M := 1/n Xn i=1 __i(M): We will consider matrices M whose entries will be random variables, as a consequence _M will be a random probability measure. The study of the spectrum of random matrices goes back to the 050 when the Hungarian physicist Eugene Wigner, proved that the empirical spectral distribution (ESD) of a sequence of Hermitian random matrices, whose entries are independent random variables with unitary variance, up to rescaling weakly converges to the probability measure _sc(dx) = 1 2_ p 4 x2 1jxj<2dx: The law _sc is the so called Wigner semi-circular law.
In the same years Wigner conjectured that the limit spectral distribution of a sequence of non Hermitian matrices with unitary variance independent random entries, un to rescaling, is the uniform law on the unitary disc of the complex plane. The proof of the conjecture has a long history, it indeed has been proved by Tao and Vu in 2009, after more than 40 years of partial results. We just mention very few of them, for a more detailed sequence of the results we refer to [9, Section 2]. The _rst piece of proof for the circular law theorem is by Metha in [12], who in 1967,
using the work of Ginibre [11], proved the result for the expected empirical distribution for complex Gaussian entries. In 1997 Bai, in [2], is the _rst to obtain results in the universal case, using the work of Vyacheslav Girko, but assuming stronger hypothesis on the law of the entries, such as bounded density and _nite sixth moment. Finally in 2009, Tao and Vu proved the original conjecture, in [14]. The proof is based on the Girko Hermitization method, a trick to pull back the non-Hermitian problem to Hermitian matrices. We give more details in chapter 1, but the core of the method is to work with the spectrum of the singular values of the non- Hermitian matrix and to take advantage of their logarithmic bond with the spectrum of the eigenvalues of M. In 2008 Ben Arous and Guionnet, proved a heavy tailed counterpart of the Wigner theorem, see also Zakharevich [15]. They indeed proved an existence result for the limiting spectral distribution of a sequence of Hermitian matrices whose entries are independent with common law in the domain of attraction of the _-stable law, with _ 2 (0; 2). As in the _nite second moment scenario, the limiting spectral measure does not depend on the law of the entries of the matrix, but only on the parameter _. Remarkable work in this regime is also by Belinschi, Dembo and Guionnet [3]. These
works established rigorously a number of prediction made by physicists Bouchaudand and Fizeau [10] In 2010 Bordenave, Caputo, and Chafa _ [5], with a new and independent approach based on the objective method introduced by Aldous and Steele in [1], give an alternative proof of the convergence in the heavy tailed setting. They prove that the heavy tailed matrix, suitably rescaled, locally converges to an in_nite poissonian weighted tree called PWIT. The heavy tails regime is in many ways more di_cult than the bounded variance regime. Indeed we do not have an explicit expression for the limiting distribution. Nevertheless the approach of [5], is powerful enough to give some properties of the limiting spectral measure, by means of recursive analysis on the limiting tree. In 2012 the same authors in [6], prove an analogous of the Circular law, for non- Hermitian matrices with i.i.d. heavy tailed entries, using the same approach from [5] combined with the Hermitization techniques by Tao and Vu. Very little is known if the entries of the matrix are not independent. An interesting problem with non-independent entries is obtained by considering Markov matrices, i.e. matrices with non-negative entries and row sum equal to 1. In this case is natural to associate the random matrix with the corresponding weighted random graph, and to interpret the elements of the matrix as the transition probabilities of the random walk on the graph. Suppose Ui;j is a collection of i.i.d. random variables, and de_ne the Markov matrix Xn = (Xi;j)n i;j=1, Xi;j = Ui;j _i _i = Xn j=1 Ui;j : By construction, the spectrum of Xn is a subset of fz 2 C : jzj _ 1g. The convergence
of ESD of P has been investigated in recent works by Bordenave, Caputo, and Chafa _.
When the variables fUi;jg have _nite variance _2 2 (0;+1) and unitary mean, _p
n
_ Xn behaves as the ESD of pUn
n_2 where Un = (Ui;j) is the non normalized matrix. Namely
it converges to the circular law when Un is non-Hermitian, see [7], and to the Wigner
semi-circular law when Un is Hermitian, see [4].
This analysis can be extended to other models with non-independent entries such as
random Markov generators and zero sum matrices, see the work of Bordenave, Caputo, and Chafa _ [8] and Tao [13]. In [5], Bordenave, Caputo, and Chafa _, study the markovian case when Un is a symmetric heavy tailed random matrix. Of remarkable interest is the case _ 2 (0; 1). In this regime the ESD of the matrix Xn, without any scaling factor, converges to a non trivial measure concentrated on the unitary disc of the complex plane. In this work we study the non-Hermitian version of this heavy tailed matrix, that is the case where Un has i.i.d. heavy tailed entries, with _ 2 (0; 1). Our main result concerns the convergence of the ESD of the associated Markov matrix Xn, to a non trivial measure supported in the unitary disc of the complex plane, depending only on the parameter _. In contrast with the Hermitian case, this limiting distribution should have a remarkable concentration on a disc with radius r < 1
Tautologia, gesto, atmosfera. Il rapporto tra musica e linguaggio nella riflessione di Ludwig Wittgenstein
No full textOggetto del presente lavoro è la riflessione di Wittgenstein sulla musica, intesa come pietra di paragone essenziale per affrontare quesiti filosofici riguardanti la natura e il funzionamento del linguaggio. Nelle diverse fasi dell’itinerario del filosofo, infatti, la musica figura come explicans dell’explicandum linguistico. Il confronto tra le due forme espressive viene condotto a partire da tre figure (tautologia, gesto, atmosfera), corrispondenti alle tre fasi in cui i più recenti studi suddividono il percorso wittgensteiniano.
Nella prima parte del presente lavoro viene vagliata l’analogia tra tema musicale e tautologia, presentata da Wittgenstein nei Quaderni 1914-1916. Come una forma melodica, il caso limite del simbolismo (la proposizione sempre vera) non dice nulla intorno agli stati di cose nel mondo ma mostra la relazione tra linguaggio e mondo. Indicando qualcosa capace di essere mostrato ma non detto, la tautologia introduce il tema dell’Ineffabile e la relativa controversia riguardante il senso complessivo del Tractatus (cap.1). Un confronto tra Wittgenstein e Schopenhauer mette in luce la topologia di quella visione sub specie aeternitatis richiamata da entrambi i filosofi per indicare il punto di vista sul mondo inteso come totalità compiuta in se stessa. Questo punto è essenziale per comprendere l’esperienza paradossale del Mistico, rintracciata dall’autore della Conferenza sull’etica nella meraviglia per l’esistenza del mondo, insensata come la meraviglia per una tautologia (cap. 2). Il cap. 3, genuinamente estetologico, propone un confronto tra l’idea wittgensteiniana della frase musicale come forma tautologica e i percorsi teorici tentati da S. K. Langer e V. Jankélévitch, fautori rispettivamente di una teoria isomorfica dell’espressività musicale e di un’estetica dell’ineffabile.
Nella seconda parte viene trattato il problema della comprensione linguistica, affrontato da Wittgenstein a più riprese a partire dal primo periodo di insegnamento a Cambridge negli anni Trenta. Vengono dunque paragonate diverse formulazioni del confronto tra comprensione linguistica e comprensione musicale, mettendo a fuoco la polarità tra autoreferenzialità dell’espressione e produzione di processi isomorfici; il dilemma trova soluzione nella figura del gesto, crocevia di significatività non parafrasabile e appartenenza culturale (cap.4). La logica del confronto, presupposta dai paragoni tra musica e linguaggio proposti da Wittgenstein, viene poi esplicitata nel cap. 5, in cui è evidenziato l’anti-platonismo insito nello strumento delle somiglianze di famiglia. Segue un confronto tra l’idea wittgensteiniana di espressione musicale e le teorie che, in ambito anglo-americano, hanno affrontato lo stesso tema richiamandosi alle riflessioni del filosofo austriaco. Si mettono così in luce analogie e differenze tra l’estetica musicale analitica e la concezione wittgensteiniana di estetica, intesa come filosofia non speciale e come risalimento riflessivo all’interno del linguaggio verso le condizioni di possibilità del linguaggio stesso (cap.6).
Nella terza parte viene approfondita ulteriormente la questione della comprensione linguistica a partire dal concetto di atmosfera. Nella tarda produzione wittgensteiniana, un posto di rilievo spetta infatti al tentativo di depsicologizzazione del linguaggio psicologico; all’interno di questo progetto, trova spazio una critica del concetto di atmosfera volta a valutarne le effettive capacità euristiche. Wittgenstein si confronta dunque con quel particolare fenomeno per cui le nostre parole assumono un volto e ci diventano familiari, assorbendo per così dire il loro stesso significato. L’atmosfera, rifiutata come impalpabile origine mentale dei significati linguistici, trova un nuovo posto nell’esperienza post-linguistica, ovvero nel campo percettivo dischiuso (e non presupposto) dal linguaggio (cap.7). Strettamente legata a questa declinazione musicale del concetto di atmosfera è la tematica del tono inteso come tonalità emotiva: al legame tra Stimme, Stimmung e Übereinstimmung è dedicata una complessiva rilettura dei paragrafi di Della Certezza, in cui – grazie anche a un confronto con il Kant della Critica della Facoltà di Giudizio – si giunge a un’estrema applicazione del paradigma musicale, questa volta adottato per illuminare la nozione di senso comune. L’itinerario proposto permette infine di valutare la dimensione propriamente estetica della soluzione data da Wittgenstein al problema del senso, vero motore di tutta la sua ricerca (cap.8)
Abuso del diritto e scopo illecito
No full textL’indagine muove da un’analisi metagiurisprudenziale e metateorica, che ci consegna la definizione dell’abuso del diritto come deviazione finalistica della condotta rispetto allo scopo tipico della prerogativa; facendo così coincidere gli interessi perseguibili con i soli interessi tipici. Di qui il divieto di perseguire interessi ulteriori e diversi (stipulativamente: atipici). Ciò postula la configurazione di una generale implicita, che per ogni scopo tipico qualifichi come vietato ogni altro scopo.
L’analisi di alcuni dei luoghi di emersione normativa dell’interesse (art. 1343, 1344, 1345, 1353, 1355, 1174, 1322, 2373 c.c.) suggerisce la diversa conclusione che gli scopi atipici sono in sé neutri, e attendono di essere qualificati.
La liceità, intesa come non contrarietà a norma imperativa, ordine pubblico e buon costume, e la meritevolezza valgono come requisiti di validità della fonte attributiva del diritto e come criterio di delimitazione della sfera applicativa della fonte legale o della “fonte muta” (i.e. valida fonte autonoma che non rechi limiti alle modalità di esercizio del diritto).
Quando lo scopo dell’atto sia lecito e la condotta integri la fattispecie attributiva del diritto, l’atto produce i suoi effetti ed esclude l’antigiuridicità del comportamento; esso, nondimeno, può rilevare per altra fattispecie, che lo qualifichi ricollegandovi altri effetti (es. contrarietà a buona fede)
La disciplina del contratto del commercio elettronico tra integrazione europea e armonizzazione delle tutele: verso un codice europeo dei contratti transfrontalieri
No full textLa presente indagine intende affrontare l’analisi della disciplina del contratto del commercio elettronico nel contesto normativo europeo, alla luce dei risultati conseguiti in termini di tutela del consumatore.
L’analisi, tuttavia, non può prescindere né dai caratteri del tutto peculiari che assume la realtà virtuale, né dalla sua vocazione non solo transnazionale, ma addirittura globale.
Ne consegue che l’esame della disciplina dei contratti del commercio elettronico è tale da implicare corrispondentemente, per un verso, il riscontro delle più intime relazioni (e, dunque, delle tensioni) delle dinamiche tipiche del mercato (anche nella loro reciproca interazione), e, per altro verso, il necessario ampliamento del campo di indagine allo scenario internazionale, nel quale l’area (regionale) dell’Unione europea si inserisce.
Deve, inoltre, aggiungersi che la ricerca è condotta su di un duplice piano. Per un verso, essa, per quanto detto, non può prescindere da una, sia pur rapida, panoramica internazionale relativa alla regolamentazione del commercio elettronico e dei risultati ivi raggiunti in termini di protezione del contraente debole, onde permettere di rimarcare quelli conseguiti nel (più circoscritto) «spazio» dell’Unione europea.
Per altro verso, attesi i particolari caratteri del fenomeno virtuale, e le difficoltà relative ad una sua regolamentazione, la stessa ricerca assume un carattere diacronico, onde evidenziare, tanto nel contesto internazionale, quanto, ed in special modo, in quello europeo, dapprima l’evoluzione della disciplina in ambito contrattuale, per poi verificare se e quanta parte di quest’ultima possa applicarsi ai contratti del commercio elettronico, dando conto, ovviamente, degli interventi normativi a questi ultimi espressamente indirizzati.
In conseguenza di tutto ciò, la prima parte del presente lavoro è dedicata al contempo (i) ad un rapido excursus della evoluzione dei rapporti tra le tre potenze che dominano il mercato (ossia, oltre all’economia e al diritto, anche la tecnica, della quale Internet rappresenta il portato più avanzato); (ii) alla esposizione delle fonti internazionali (rectius, sovranazionali e transnazionali) che si candidano alla disciplina dei contratti del commercio elettronico; (iii) ed infine, al livello di tutela assicurato ai consumatori. Soprattutto tale ultimo aspetto consente, nella seconda parte del lavoro, di evidenziare, per differenza, i risultati raggiunti dal diritto (sovranazionale) dell’Unione europea. Peraltro, in considerazione, da un canto, della rilevanza che, nell’evoluzione dell’impalcatura europea, ha avuto il mercato unico, e, d’altro canto, di quella che assume, come volano di crescita di quest’ultimo, il commercio elettronico, può ravvisarsi la sussistenza di un rapporto biunivoco tra (i) il percorso relativo all’integrazione normativa comunitaria, che tende alla realizzazione di un quadro uniforme di regole e (ii) queste ultime, per come idonee a disciplinare i contratti transfrontalieri (anche) virtuali. La disamina delle fonti che concorrono a disciplinare il fenomeno permette di giungere ad una particolare conclusione, e cioè che le istituzioni comunitarie sembrano muovere passi concreti verso la creazione non di un codice europeo dei contratti, né tantomeno di un codice europeo dei consumatori, come rispettivamente auspicato da diverse parti della dottrina, ma, al contrario, di un codice europeo dei contratti del commercio transfrontaliero.
E’ per tale ragione, dunque, che l’ultima parte del lavoro è dedicata alla esposizione della specifica disciplina europea, destinata ad applicarsi ai contratti telematici transfrontalieri, ciò rappresentando altresì l’occasione di una verifica, in concreto, della configurabilità di un simile codice europeo, quantomeno, con riferimento agli accordi telematici
Some issues in Somali orthography
No full textIn this article, the authors discuss several difficulties which arose after the adoption of the Latin script for Somali orthography during the process of standardization of the written language.Qorayaashu waxay maqaalkaan ku falanqaynaayaan dhibaatooyinka ka dhashay kaddib markii af Soomaaliga loo adeegsaday alifba'da Latin-ka iyo inta lagu jiray habsocodka midaynta afka qoraal ahaan loo adeegsado.Nell'articolo, gli autori discutono circa le difficoltà sorte in seguito all'adozione dei caratteri latini per l'ortografia somala e durante il processo di standardizzazione della lingua scritta.Cabdirashid M. Ismaaciil, Cabdalla C. Mansuur, Saynab A. Sharci (eds.
Xisaabta dugsiyada hoose. Buugga 4
No full textBuug xisaab oo loogu talaggalay ardayda fasalka afaraad ee dugsiyada hoose.Manuale di matematica destinato agli alunni della quarta classe della scuola elementare.Mathematics textbook meant for fourth class students of primary schools.Dokumentigan waxaa dadka u soo bandhigay "The Digital Somali Library", jaamacadda "Indiana University".Documento messo a disposizione dalla Digital Somali Library, Indiana University.Document provided by the Indiana University's Digital Somali Library.Link: http://www.indiana.edu/~libsalc/african/Digital_Somali_Library/history.htm
