REAL-d

Barsi, Árpád

Hungarian

Térinformatikai módszerek és technológiák a felszíni közúti közlekedésben

Garay, József

Az evolúciós mátrix-játékelmélet kiterjesztésének lehetőségeiről: Eredmények az evolúciós játékelmélet területéről

Szabados, Ágnes

Perturbációszámı́tás alapú módszerek
molekulák elektronszerkezetének
leı́rására
MTA doktori értekezés tézisei
SZABADOS ÁGNES, PHD
BUDAPEST
2020
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
.
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Bevezetés
A számı́tógépes kémia napjainkban a kı́sérleteket kiegészı́tő, bevett kutatási eszköz.
Kissé leegyszerűsı́tve azt mondhatjuk, hogy a korszerű kvantumkémia pontos és hasznos
módszereket ad olyan molekulákra, amelyek elektronszerkezete alapvetően zárthéjú.
Alapvetően nyı́lthéjú esetekben, az ez irányú komoly erőfeszı́tés és számos javaslat
ellenére sem létezik egyeduralkodó eljárás. Problémába ütközik ezért olyan, vegyész
szemszögből kulcsfontosságú rendszerek modellezése, mint az egyensúlyi szerkezetből
kimozdı́tott molekulák vagy a zárthéjú képpel nem jellemezhető átmenetifém komplexek.
A doktori értekezés az ilyen, kihı́vást jelentő rendszerek kezelésére alkalmas elméleti
módszerekkel foglalkozik.
Napjaink hullámfüggvény alapú eljárásainak széles köre a kétlépéses megközelı́tésen
nyugszik. Ebben a leı́rásban az elektronszerkezet lényegi aspektusait előbb, a maradék,
de nem elhanyagolható járulékot egy második lépésben kezeljük. Az értekezésben
összefoglalt munkák az utóbbi, második lépés megvalósı́tására vonatkoznak, az elméleti
eszköztárat tekintve perturbációszámı́tás (PT) alapú metodikáknak tekinthetők.
A téma átfogó megjelölése húsz éves időskálán folytatott, szerteágazó stúdiumokat
takar, melyek kiindulópontja legtöbbször egy-egy konkrét probléma felvetés. A
bemutatott munkák közül számos sorolható a multireferencia (MR) alapú PT területéhez,
aminek művelése az 1970-es évektől napjainkig folyamatos . Ennek oka elsősorban az,
hogy ideálisnak mondható MR PT eljárás szerkesztése rendkı́vül nehéznek bizonyul.
Szinte nincs olyan MR PT módszer, ahol ne lehetne javı́tani a méretkonzisztencia
és extenzivitás, az intruder mentesség, a számı́tási igény vagy a referencia függvényt
helyben hagyó unitér transzformációkra való invariancia terén kötött kompromisszumon.
Vizsgálataim sokszor egy kiszemelt tulajdonságra fókuszálnak és tagadhatatlan a
korábbiaknál jobbnak tekinthető eljárások szerkesztésének igénye. A dolgozatban
bemutatott több munka eredménye elsősorban mégis a módszerek korlátainak vizsgálata,
a problémák metodológiai hátterének felderı́tése, az ennek nyomán történő továbblépés
és teszt jellegű alkalmazás.
Az itt összegzett stúdiumok az ELTE, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti
Kémiai Laboratóriumában készültek, nagy részük csapatmunka eredménye. Néhány
egyéni publikáció mellett a legtöbbnek részese egy-egy tudományos diákkörös,
szaklaboros vagy doktorandusz hallgató illetve magyar és külföldi kooperációs
partner. Az alábbi, tömör összefoglaló egyes számban fogalmazott tézispontjaiban a
csapatmunkák esetében is a saját kontribúciót igyekszem megragadni.
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Tézisek
Multikonfigurációs perturbációszámı́tás
Bevezettünk egy eljárás családot, amely a multikonfigurációs perturbációszámı́tás
(MCPT) nevet kapta[1]. Az eljárás család tetszőleges szerkezetű hullámfüggvény PT
korrekcióját teszi lehetővé. Az MCPT jellemzője, hogy a gerjesztett nulladrendű
függvények kiindulópontját determinánsok adják. A referencia függvény és a gerjesztett
determinánsok átfedése analitikusan, numerikus procedúra nélkül kerül kezelésre.
1. Analitikus és numerikus stúdiumok segı́tségével kimutattam az MCPT eredeti, ún.
projektált változatának (pMCPT) méretkonzisztencia sértését.
Megfogalmaztuk az MCPT módszercsalád több válfaját, melyek az átfedés
kezelésében és nulladrendű Hamilton-operátor spektrális alakjához szükséges, energia
jellegű mennyiségek konkrét meghatározásában térnek el[2].
2. Kidolgoztam az MCPT egy új, a korrekció másodrendjében méretkonzisztencia-
őrző formulációját, amely az unprojected MCPT (uMCPT) nevet kapta[3]. Az új
változat megfogalmazásához szükséges zárt képleteket levezettem.
3. Az MCPT formulációk pivot-függésének javı́tására bevezettem egy pivot-
átlagolt változatot, amely mind a pMCPT, mind az uMCPT gondolatkörben
alkalmazható[4].
4. Megfogalmaztam a Møller-Plesset (MP) partı́ciónak tekinthető korrekciós módszert
az MCPT keretei között[5]. Megjegyzendő, hogy ez az MP partı́ció, az MCPT
filozófiájától eltérően, a közelı́tés egyes pontjain kihasználja a geminál szorzat
referencia függvény speciális tulajdonságait.
5. Egy ortogonalizációs stúdium folyományaként bevezettem az MCPT
többdimenziós modell-tér irányába mutató kiterjesztését[6].
Az MCPT módszercsalád tagjainak teljesı́tőképességét numerikus alkalmazásokban,
pontosabb elméleti módszerekkel és rokon PT eljárásokkal összevetve mutattuk meg[7,
8].
2
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Molekuláris energiaszintek becslése alulról
A Löwdin által bevezetett bracketing függvény egy keresett energiaszint megfelelő felső
becslése ismeretében alsó becslést ad. A függvény e tulajdonsága lehetőséget teremt az
energia közelı́tés hibájának becslésére. Ennek jelentősége inkább elvi, mint gyakorlati,
mivel a bracketing függvény egzakt kiértékelése túlontúl költséges.
6. Megfogalmaztam egy variációs alapú közelı́tő eljárást, mely a bracketing
függvényen alapul. Levezettem egy becslést a referencia és az egzakt alapállapotú
hullámfüggvény átfedésére, mely a bracketing függvényt tartalmazza és az Eckart-
egyenlőtlenség analógjának tekinthető[9].
7. Javaslatot tettem a Löwdin-féle bracketing függvény perturbációs alapú, közelı́tő
számı́tására[10].
A kidolgozott PT eljárás segı́tségével tetszőleges szerkezetű referencia függvényhez
számı́tható olyan energia közelı́tés, melynek pontossága összemérhető a Rayleigh-
hányados pontosságával. A közelı́tés ugyan nem őrzi meg a szigorú alsó korlát
tulajdonságot, a tapasztalatok szerint mégis alsó becslést jelent, amennyiben a referencia
függvény kellően közel esik az egzakt megoldáshoz.
Spin komponens skálázás mint Feenberg-skálázás
A Hartree–Fock (HF) referencián alapuló MP elmélet javı́tására Grimme egy spin
komponens skálázásnak (SCS) nevezett eljárást javasolt. Az SCS-MP2 heurisztikus
módon, elméleti alátámasztás nélkül került bevezetésre.
8. Az irodalomban elsőként adtam elméleti megalapozást a Grimme által javasolt
SCS-MP2 eljárásra[11]. Az SCS értelmezéséhez a korábban, Feenberg által
bevezetett egyparaméteres skálázást kiterjesztettem két paraméter esetére. A
Feenberg-kondı́cióval meghatározott, rendszerfüggő skálaparaméterek az esetek
nagy részében jó egyezést mutatnak a Grimme által kapott, univerzális
paraméterekkel.
9. Megfogalmaztam az SCS általánosı́tásának lehetőségeit MR gondolatkörben, az
MCPT keretein belül[12].
Numerikus vizsgálataink eredménye arra mutat, hogy az SCS sikere nem
általános érvényű, MR kontextusban csak egyes esetekben eredményez javulást a
3
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
kiterjesztett Feenberg-kondı́cióval kapott, rendszerfüggő paraméterek alkalmazása.
Rendszerfüggetlen skálaparaméterek meghatározására tett kı́sérleteink nem jártak
sikerrel.
Az állapotspecifikus MR PT elméletre vonatkozó eredmények
A
”
perturb-then-diagonalize” tı́pusú megközelı́tések körébe tartozik a Mukherjee és
munkatársai által megfogalmazott állapotspecifikus MR PT (SS-MRPT), melynek
spinadaptált változatát összehasonlı́tó vizsgálatainkban magunk is alkalmaztuk[8]. Ennek
során tapasztaltuk a módszer intruder effektusra emlékeztető tulajdonságát. A jelenség
gyökere nem volt érthető, az irodalomban tett utalások a modell-tér kis koefficienseihez
kötötték a műtermék effektust.
10. Alkalmaztam az érzékenység analı́zis technikáját az SS-MRPT spinadaptált
változatára és kimutattam, hogy az intruder effektusra emlékeztető, a potenciális
energia görbe egyes pontjaiban ugrásszerűen felnövekvő hiba oka nem feltétlenül a
modell-tér kis koefficienseiben keresendő[13].
Az érzékenység analı́zis eredménye terelte a figyelmet az elmélet egy
megkérdőjelezhető pontjára, amely a spinadaptált modell-térbeli függvényekből
spinösszegzett gerjesztő operátorok segı́tségével előállı́tott, komplementer-térbeli
függvények redundanciájával kapcsolatos.
11. Kiegészı́tettem a spinadaptált SS-MRPT módszert a komplementer-térbeli
függvények redundáns altereiben végrehajtott kanonikus ortogonalizációs
lépéssel[14].
Levezettük és implementáltuk a kanonikus ortogonalizációhoz szükséges képleteket
és megmutattuk, hogy ezzel a technikával megszüntethető a módszer hibájának korábban
tapasztalt, ugrásszerű felnövekedése. Elvégeztük a korrigált elmélet érzékenység
analı́zisét is, ami megerősı́tette a pozitı́v tapasztalatot.
Szigorúan ortogonális geminál referencia állapotra vonatkozó
eredmények
A geminálokból (kételektron-függvényekből) épı́tkező referencia függvény előnye a
széles körben elterjedt komplett aktı́v tér (CAS) metodológiával szemben a csökkentett
4
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
költségigény, melynek alapja a konfigurációs kölcsönhatás (CI) tér determinánsaihoz
rendelhető koefficiensek konstrukció szinten történő faktorizációja.
12. Ún. szigorúan ortogonális geminál szorzat referencia függvény esetére adaptáltam
a linearizált coupled-cluster (LCC) elméletet[15].
A módszer numerikus vizsgálata során intruder-effektust tapasztaltunk többszörös kötés
nyújtásakor. A jelenség hátterében a disszociáló kötésekhez rendelt geminálok triplet
komponenseit sejtettük, melyek hiánya a disszociált határesetben helytelen fragmens
spint eredményez. Ebből kiindulva nemzetközi kooperációban vizsgáltuk a szigorúan
ortogonális geminál szorzat függvények fragmens spinjét[16].
13. Az LCC módszer hibájának kiküszöbölésére egy
”
single-but-multi” tı́pusú eljárást
javasoltam, mely az érintett geminálok triplet komponenseit a referencia szintjén
figyelembe veszi[17]. A módszer numerikus alkalmazása intruder mentességet
mutatott, ezzel igazolva a triplet geminálok kitüntetett szerepét többszörös kötés
nyújtása során.
A triplet geminálokkal nyert tapasztalat olyan geminál szorzat referencia felé terelte a
figyelmünket, amely nem feltételezi a geminálok szinglet csatolását.
14. Kiterjesztettem egy korábban javasolt, geminál-specifikus PT eljárást a spinkevert,
szigorúan ortogonális geminál szorzat referencia esetére[18].
A nem megszorı́tott HF (UHF) függvényből, mint kevert-spinű, szigorúan ortogonális
geminál konstrukcióból kiinduló alkalmazások eredményei biradikális rendszerek
szinglet-triplet felhasadását illetően kétarcúak. Biztató kép adódik, amennyiben az UHF
spin-szennyezése a referencia szintjén megjavul. A geminál koefficiensek relaxációját
követően fennmaradó spin-szennyezés ugyanakkor aláássa a perturbációs korrekció
teljesı́tőképességét.
5
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
A doktori értekezés alapjául szolgáló publikációk
1. Rolik, Z., Szabados, Á. & Surján, P. R.
On the perturbation of multiconfiguration wave functions.
J. Chem. Phys. 119. köt., 1922. old. (2003).
2. Surján, P. R., Rolik, Z., Szabados, Á. & Kőhalmi, D.
Partitioning in multiconfiguration perturbation theory.
Ann. Phys. (Leipzig) 13. köt., 223–231. old. (2004).
3. Szabados, Á., Rolik, Z., Tóth, G. & Surján, P. R.
Multiconfiguration perturbation theory: size-consistency at second order.
J. Chem. Phys. 122. köt., 114104. old. (2005).
4. Szabados, Á. & Surján, P. R. Fermi-vacuum invariance in multiconfiguration
perturbation theory, Advances in the Theory of Atomic and Molecular Systems:
Conceptual and Computational Advances in Quantum Chemistry
Progress in Theoretical Chemistry and Physics
(szerk. Piecuch, P., Maruani, J., Delgado-Barrio, G. & Wilson, S.) 257–269. old.
(Springer, Dordrecht, 2009).
5. Kobayashi, M., Szabados, Á., Nakai, H. & Surján, P. R.
Generalized Møller-Plesset Partitioning in Multiconfiguration Perturbation Theory.
J. Chem. Theory Comput. 6. köt., 2024–2033. old. (2010).
6. Tóth, Zs., Nagy, P. R., Jeszenszki, P. & Szabados, Á.
Novel orthogonalization and biorthogonalization algorithms.
Theor. Chem. Acc. 134. köt., 1–6. old. (2015).
7. Chaudhuri, R. K., Freed, K. F., Hose, G., Piecuch, P., Kowalski, K., Wloch, M.,
Chattopadhyay, S., Mukherjee, D., Rolik, Z., Szabados, Á., Tóth, G. & Surján, P. R.
Comparison of low-order multireference many-body perturbation theories.
J. Chem. Phys. 122. köt., 134105. old. (2005).
8. Hoffmann, M. R., Datta, D., Das, S., Mukherjee, D., Szabados, Á., Rolik, Z. &
Surján, P. R. Comparative study of multireference perturbative theories for ground
and excited states. J. Chem. Phys. 131. köt., 204104. old. (2009).
9. Szabados, Á. & Tóth, Zs. Löwdin’s bracketing function revisited.
J. Math. Chem. 52. köt., 2210–2221. old. (2014).
6
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
10. Tóth, Zs. & Szabados, Á.
Energy error bars in direct configuration interaction iteration sequence.
J. Chem. Phys. 143. köt., 84112. old. (2015).
11. Szabados, Á. Theoretical interpretation of Grimme’s spin-component-scaled
second order Moller-Plesset theory. J. Chem. Phys. 125. köt., 214105. old. (2006).
12. Szabados, Á. & Nagy, P.
Spin component scaling in multiconfiguration perturbation theory.
J. Phys. Chem. A 115. köt., 523. old. (2011).
13. Szabados, Á.
Sensitivity analysis of state-specific multireference perturbation theory.
J. Chem. Phys. 134. köt., 174113. old. (2011).
14. Jeszenszki, P., Surján, P. R. & Szabados, Á. Spin-adaptation and redundancy in
state-specific multireference perturbation theory.
J. Chem. Phys. 138. köt., 124110. old. (2013).
15. Zoboki, T., Szabados, Á. & Surján, P. R.
Linearized Coupled Cluster Corrections to Antisymmetrized Product of Strongly
Orthogonal Geminals: Role of Dispersive Interactions.
J. Chem. Theory Comput. 9. köt., 2602–2608. old. (2013).
16. Jeszenszki, P., Rassolov, V., Surján, P. R. & Szabados, Á.
Local spin from strongly orthogonal geminal wavefunctions.
Mol. Phys. 113. köt., 249–251. old. (2015).
17. Surján, P. R., Jeszenszki, P. & Szabados, Á.
Role of triplet states in geminal-based perturbation theory.
Mol. Phys. 113. köt., 2960–2963. old. (2015).
18. Földvári, D., Tóth, Zs., Surján, P. R. & Szabados, Á.
Geminal perturbation theory based on the unrestricted Hartree-Fock wavefunction.
J. Chem. Phys. 150. köt., 34103. old. (2019).
7
dc_1775_20
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)


Perturbációszámítás alapú módszerek molekulák elektronszerkezetének leírására

Csősz, Éva

Kvantitatív proteomikai módszerek fejlesztése és alkalmazása komplex biológiai kérdések tanulmányozására és potenciális biomarkerek azonosítására

Palágyi, Kálmán

Palágyi Kálmán „Topology Preservation and Thinning” című MTA doktori disszertációjának bírálata 
A disszertáció két, illetve háromdimenziós szabályos rácson definiált diszkrét modellek vázának előállításával 
foglalkozik. Kétdimenziós rácsok tipikusan pixeleket, a háromdimenziósok voxeleket tartalmaznak. A 
vázgenerálás fontos szerepet kap számos képfeldolgozási, gépi látás, illetve orvosi képalkotási folyamatban, 
ezért a téma nem csupán elméleti jelentőségű, hanem sokféle gyakorlati alkalmazása van. A Jelöltről közismert, 
hogy a témát több évtized óta kutatja és e tárgyhoz tartozó eredményeit világszerte elismerik, hivatkozzák és 
használják.  
 A bevezetés az euklideszi sík és tér reguláris csempézésével kapható rácsokat mutatja be. Az irodalomnak 
megfelelően definiálja a szomszédossági kategóriákat és a dolgozatban használt alapvető diszkrét topológiai 
fogalmakat. Megjegyzem, hogy gyakorlatban valóban ennek van igazán jelentősége, de az elméletileg 
izgalmasabb topológiai viszonyok és geometriák is előkerülhetnének. Például érdekes volna tórusz, Möbiusz 
szalag, vagy akár projektív sík topológiájú képek vizsgálata, vagy annak felvetése, hogy nem euklideszi 
esetekben mi tartható meg és mi vethető el. Például hiperbolikus geometriában a rácsok szerkezete sokkal 
változatosabb lehet, mint euklideszi geometriában. Hasonlóképpen a topológia megőrzés kritériumai magától 
értetődők, de felmerül a kérdés, hogy ez milyen kapcsolatban van a nem diszkrét topológia Betti számainak 
vagy Euler karakterisztikájának a megőrzésével. Az első fejezet részletesen áttekinti, hogy mások mit értek el 
ezen a területen, hogy egyértelmű legyen a Jelölt eredményeinek az újdonság értéke. Az áttekintés nagyon 
részletes és kimerítő, amelyet a 370 tételt felsorakoztató, több mint 20 oldalas hivatkozott irodalomjegyzék is 
alátámaszt. 
Az új eredmények bemutatása a második fejezettel kezdődik, amely a topológia megőrzéssel kapcsolatos 
tételeket foglalja össze.  A Jelölt konfiguráció-alapú és pont-alapú feltételeket ad topológia megőrző 
módosításokra párhuzamos ponttörlést feltételezve. Itt a pont-alapú módszereknek van nagyobb jelentősége, 
ugyanis ezek alapján konstruálhatók egyszerűsítő algoritmusok, amelyek megőrzik a topológiát. A kimondott 
tételek egy része a Jelölt korábbi eredményei. A tételek bizonyítását a disszertáció nem tartalmazza, holott jó 
lett volna egy olyan keretet látni – már ha létezik ilyen – amellyel ezek a tételek egyszerűen bizonyíthatók. 
Ebből a fejezetből az ekvivalens párhuzamos és szekvenciális operátorok felvetését és tárgyalását emelném ki. 
Ez a fejezet azt vizsgálja, hogy két redukció mikor eredményez nem csupán topológiailag megegyező, hanem 
teljesen ugyanolyan eredményt. Az eredmények tetszőleges típusú és dimenziójú képen érvényesnek látszanak, 
de a példák kizárólag a legegyszerűbb négyzetrácsos esetet szemléltetik. A különféle elégséges feltételek 
közötti kapcsolatokat a 2.4.5. fejezet mutatja be, ami felveti azt a kérdést, hogy van-e mód az egyszerűsítések 
rendszerének újragondolására és egy egyszerűbb keretbe helyezésére. Másrészt, mondható-e a szükséges 
feltételekről több mint hogy a pontnak egyszerűnek kell lennie? 
A harmadik fejezet a vékonyító módszereket taglalja, elsősorban azokat, amelyek a Jelölt eredeti ötletéből 
nőttek ki, miszerint a topológiai egyszerűsítés elégséges feltételrendszerei automatikusan elvezetnek nem-
triviális egyszerűsítő módszerekhez.  Az algoritmusnak a topológiai kényszereken kívül a geometriai 
feltételeket, mint a görbe és felület végpont megőrzés, és a hatékonyságot is figyelembe kell venni, tehát a 
biztosan nem törölhető pontokat nem szabad minden iterációban újravizsgálni. A disszertáció először egy 
generikus implementációt mutat be, amely bármely vékonyító algoritmust befogathatja és a hatékonyság 
szempontjait is érvényesíti. Különösen 3D-ben a topológia megőrzés utólagos ellenőrzése egyáltalán nem 
kézenfekvő, ezért nagy jelentősége van az ilyen megközelítésnek, amelyek ezt a feltételt automatikusan 
teljesítik. A lookup táblás megoldás generikus és elegáns, kérdésem, hogy más típusú rácsoknál nem vezet-e ez 
túlságosan nagy memóriaigényhez. A keretet felhasználva a Jelölt számos egyedi algoritmust mutat be. A valódi 
teljesítményről röviden esik szó. Hogyan lehetne rangsorolni ezeket a módszereket futási idő szempontjából, 
valamint hogyan teljesítenének valódi masszívan párhuzamos környezetben (pl. GPU)? Külön fejezet szól a 
maximális vékonyító algoritmusokról, amelyek a topológia megőrzéshez szükséges nem-egyszerű pontokon 
kívül csak görbe végpontokat tartalmazhatnak. Véleményem szerint ennek nagyobb gyakorlati jelentősége van, 
mint a felületre vékonyításnak, illetve érdekelne, hogy a Jelölt a felületre vékonyítást milyen alkalmazásokban 
javasolja. A maximális vékonyító algoritmusokból is több megoldást találunk. A fejezet számos algoritmusáról 
elmondható, hogy azok konstrukciójából következőleg bizonyítottan helyesnek tekinthetők. 
A negyedik fejezet a Jelölt módszereinek a tüdő légjáratok elemzését célzó alkalmazását mutatja be. Egyetértek 
azzal a kijelentéssel, hogy ezek a módszerek jól alkalmazhatók számos orvosi képfeldolgozási feladatban, mi 
például a 3D kolonoszkópiában hasznosítottuk a Jelölt módszerét. A negyedik fejezet a korábbi fejezetek 
erősen matematikai tárgyalásmódjával szakít és inkább mérnöki megközelítést alkalmaz, minek következtében 
a fejezet sokkal olvasmányosabb. Az első lépés a mérési eredmények hibáinak a kiküszöbölése klasszikus 
morfológiai módszerek alkalmazásával, hiszen a topológia megőrzésnek a továbbiakban csak akkor van 
értelme, ha a kiindulási modell topológiai érvényes.  A belépési pont interaktív azonosítása után egy maximális 
egyszerűsítő eljárás állítja elő a középvonalat, majd a zajból és diszkretizációból következő nem-valós 
középvonalakat kell eltüntetni egy heurisztikus eljárással, és a megmaradt diszkrét vonalat simítani. Végül, a 
topológiai egyszerűsítéssel rokonítható elágazás detektálást hajtja végre az algoritmus, amely a tüdő gráfjának 
csúcsait határozza meg. Kérdésem, a topológián túl a geometriai tulajdonságok mennyire lényegesek a 
felhasználás szempontjából, és lehetne-e ettől a ponttól folytonos görbereprezentációkat alkalmazni, pl. spline-
t? A további műveletek geometriai számításokkal, trifurkációk kezelésével és gráf csúcs párosítással 
foglalkoznak. Ez utóbbiban mennyire támaszkodhatunk a gráfelmélet óriási algoritmusgyűjteményére? 
Az 5. fejezet összefoglalja az eredményeket és kimondja a téziseket, amelyek a három érdemi fejezet kiemelt 
állításai.  
A disszertáció gondosan elkészített, figyelmes átolvasással is csak egyetlen nyelvileg vitatható mondattal 
találkoztam. A matematikai fejezetek rendkívül precízek, a számos definíció és fogalom követése komoly 
koncentrációt igényel. A tézisek által kijelölt tételek és algoritmusok a Jelölt eredményei, amelyek 
meghatározóak a topológia megőrző vékonyítás területén. A téziseket elfogadom, az MTA doktori cím 
odaítélését támogatom. 
 
Budapest, 2021. március 11. 
 
                                                                        Szirmay-Kalos László  
    MTA doktora                
 


Topology preservation and thinning / Topológia-megőrzés és vékonyítás

Káldi, Krisztina

A cirkadián ritmus sejt- és szervezetszintű vizsgálata

Urbán, Edit

Klinikailag fontos humán patogén anaerob baktériumok diagnosztikája és antibiotikum rezisztencia vizsgálata

Kajtár, László

Irodaépületek hő- és levegőminőségi komfortjának elemzése

Rákosi, Csilla

Foundational quandaries in Cognitive Linguistics: Uncertainty, inconsistency, and the evaluation of theories.

Gyimóthy, Szabolcs

Speciális kontinuummodellek az alkalmazott elektrodinamikában

Not a member yet