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Laplaciani frazionari d'ordine superiore: una panoramica
Full text linkWe summarize some of the most recent results regarding the theory of higher-order fractional Laplacians, i.e., the operators obtained by considering (non-integer) powers greater than 1 of the Laplace operator. These can also be viewed as the nonlocal counterparts of polylaplacians. In this context, nonlocality meets polyharmonicity and together they pose new challenges, producing at the same time surprising and complex structures. As our aim is to give a fairly general idea of the state of the art, we try to keep the presentation concise and reader friendly, by carefully avoiding technical complications and by pointing out the relevant references. Hopefully this contribution will serve as a useful introduction to this fascinating topic.Riepiloghiamo alcuni dei più recenti risultati che riguardano la teoria dei Laplaciani frazionari di ordine superiore, cioè gli operatori ottenuti considerando potenze (non intere) maggiori di 1 dell'operatore di Laplace. Questi possono anche essere interpretati come le controparti non locali dei polilaplaciani. In questo contesto la nonlocalità incontra la poliarmonicità e insieme pongono nuove sfide, producendo allo stesso tempo strutture sorprendenti e complesse. Poiché il nostro scopo è quello di dare un'idea piuttosto generale dello stato dell'arte, cerchiamo di mantenere la presentazione concisa e di facile lettura, evitando accuratamente complicazioni tecniche e indicando i riferimenti rilevanti. Speriamo che questo contributo possa essere un'utile introduzione a questo affascinante argomento
Formula di Taylor intrinseca e frazionaria
Full text linkWe consider a class of non-local ultraparabolic Kolmogorov operators and a suitable fractional Holder spaces that take into account the intrinsic sub-riemannian geometry induced by the operators. We prove an intrinsic fractional Taylor formula in such spaces with global bounds for the remainder given in terms of the norm naturally associated to the differential operator.Consideriamo una classe di operatori ultraparabolici non locali di tipo Kolmogorov e opportuni spazi frazionari Holderiani che tengano conto della geometria sub-riemanniana indotta dagli operatori. Dimostriamo una formula di Taylor frazionaria intrinseca in tali spazi con un resto che si esprime in termini della norma naturalmente associata agli operatori
Regolarità della frontiera libera nel problema di Stefan a una fase: un approccio recente
Full text linkIn this note, we discuss about the regularity of the free boundary for the solutions of the one-phase Stefan problem. We start by recalling the classical results achieved by I. Athanasopoulos, L. Caffarelli, and S. Salsa in the more general setting of the two-phase Stefan problem. Next, we focus on some recent achievements on the subject, obtained with Daniela De Silva and Ovidiu Savin starting from the techniques already known for one-phase problems governed by elliptic operators.In questa nota, discutiamo della regolarità della frontiera libera per le soluzioni del problema di Stefan a una fase. Incominciamo richiamando i risultati classici ottenuti da I. Athanasopoulos, L. Caffarelli, e S. Salsa nel setting più generale del problema di Stefan a due fasi, giungendo successivamente ad alcuni più recenti sull'argomento, trovati insieme a Daniela De Silva e Ovidiu Savin partendo dalle tecniche già note per problemi di frontiera libera a una fase governati da operatori ellittici
Problemi differenziali degeneri con derivate frazionarie
Full text linkWe describe an extension of previous results on degenerate abstract equations described by Favini and Yagi in their monograph cited in the references.This allows us to study degenerate differential equations with fractional derivative in time. Both direct and relative inverse problems are studied.
Finally, various applications to degenerate partial differential equations are described
Ottimizzazione di autovalori non lineari con vincolo di misura o di perimetro
Full text linkIn this paper we recall some recent results about variational eigenvalues of the p-Laplacian, we show new applications and point out some open problems. We focus on the continuity properties of the eigenvalues under the gamma_p-convergence of capacitary measures, which are needed to prove existence results for the minimization of nonlinear eigenvalues in the class of p-quasi open sets contained in a box under a measure constraint.
Finally, the new contribution of this paper is to show that these continuity results can be employed to prove existence of minimizers for nonlinear eigenvalues among measurable sets contained in a box and under a perimeter constraint
Un altro sguardo al funzionale ortotropo nel piano
Full text linkWe address the C1 regularity of the Lipschitz minimizers to the orthotropic functional in the plane.Studiamo la regolarit`a di classe C1 dei minimi lipschitziani del funzionale ortotropo nel piano
(Non)local Γ-convergence
Full text linkWe present some long-range interaction models for phase coexistence which have recently appeared in the literature, recalling also their relation to classical interface and capillarity problems. In this note, the main focus will be on the Γ-convergence methods, emphasizing similarities and differences between the classical theory and the new trends of investigation. In doing so, we also obtain some new, more precise Γ-convergence results in terms of ``interior'' and ``exterior'' contributions. We also discuss the structural differences between Γ-limits and ``pointwise'' limits, especially concerning the ``boundary terms''.In questa nota presentiamo alcuni modelli di interazione a lungo raggio che descrivono problemi di coesistenza di fase eche sono apparsi di recente in letteratura, discutendo anche la loro relazione con questioni classiche riguardanti interfaccia e fenomeni di capillarità. Ci focalizziamo soprattutto su metodi di Γ-convergenza, sottolineando somiglianzee differenze tra la teoria classica e quella riguardante gli scenari nonlocali. Otteniamo anche alcuni risultati nuovi di Γ-convergenzain termini di contributi energetici ``interni'' ed ``esterni''. Discutiamo inoltre le differenze strutturali tra i Gamma-limiti e i limiti ``puntuali'' dell'energia, in particolare per quanto riguarda i ``termini di bordo''
Prefazione
Full text linkPreface to the BPMAS special volume dedicated to the workshop: Something about nonlinear problems, Bologna, June 13-14, 2019.Prefazione al volume speciale del BPMAS dedicato al workshop: Something about nonlinear problems, Bologna, June 13-14, 2019
Hilbert-Haar coordinates and Miranda's theorem in Lie groups
Full text linkWe study the interior regularity of solutions to a class of quasilinear equations of non-degenerate p-Laplacian type on Lie groups that admit a system of Hilbert-Haar coordinates. These are coordinates with respect to which every linear function has zero symmetrized second order horizontal derivatives. All Carnot groups of rank two are in this category, as well as the Engel group, the Goursat type groups, and those general Carnot groups of step three for which the non-zero commutators of order three are linearly independent.Studiamo la regolarità interna delle soluzioni di una classe di equazioni quasilineari non degeneri di tipo p-Laplaciano su gruppi di Lie che ammettono un sistema di coordinate di Hilbert-Haar. Si tratta di coordinate rispetto alle quali ogni funzione lineare ha derivate orizzontali simmetrizzate di ordine due nulle. Tutti i gruppi di Carnot di passo due appartengono a questa classe, come anche il gruppo Engel, i gruppi di tipo Goursat e tuti quei gruppi di Carnot di passo tre per i quali i commutatori di ordine tre, diversi da zero, sono linearmente indipendenti
Multiplicity of solutions for the Minkowski-curvature equation via shooting method
Full text linkIn this paper we prove the existence and the multiplicity of radial positive oscillatory solutions for a nonlinear problem governed by the mean curvature operator in the Lorentz-Minkowski space. The problem is set in an N-dimensional ball and is subject to Neumann boundary conditions. The main tool used is the shooting method for ODEs.In questo lavoro dimostriamo esistenza e molteplicità di soluzioni oscillanti, radiali e positive di un problema non-lineare governato dall'operatore di curvatura media nello spazio di Lorentz-Minkowski. Il problema è ambientato in una palla N-dimensionale ed è soggetto a condizioni di Neumann al bordo. Il principale strumento usato è il metodo di shooting per le EDO