Estudios económicos (Argentina)

Nota sobre envidia, equilibrio y optimalida

Chisari, Omar

NOTA SOBRE ENVIDIA, EQUILIBRIO Y OPTIMALID!AD * 
En la presentacilón d~ Malinvaud de los Efectos Externos en el Con· 
sumo, (l ) , dado un modelo con dos individuos, dos bienes, un factor es· 
caso y coeficientes de producción unitarios, se afirma que reducciones en 
el consumo del bien de lujo -envidiado- aumentan los niveles de utili· 
dad de ambos indt;_viduos a partir del equilíb1io considerado. Esto no pa· 
rece obvio pues se desconoce la forma en que varían las utilidades y des· 
utilidades marginales. 
Demostramos aquí - aún para coeficientes de producción distintos de 
la unidad- la suficiencia de las características del equilibrio para deter· 
minar el efecto aludido sobre la situación de ambos agentes . Damos otra 
condición suficiente, que no, supone necesariamente el equilibrio; genera· 
l izamos los resultados a un número mayor de consumidores y deducimos 
propiedades del óptimo de Pareto, definido como aquella situación en la 
que no es posible mejorar el nivel de utilidad' de un agente sin reducir 
el de algún otro . 
l . Consideremos una economía con dos consumidores (j = l, 2) y dos 
bienes (h = l, 2) tal que un estado posible d be cumplir la condición: 
r 1 X1 + r z xz = w, 
donde, xh = ~ x.ih; 
j 
xih, consumo del agente j del bien h; 
w , cantidad disponible del único factor escaso; 
rh , cantidad del bien escaso necesaria para producir una unidad 
de h. 
• Deseamos a gradecer el estimulo y los valiosos comentarios del Pro-
fesor Dr. Julio H. G. Olivera, sin los cuales esta nota no se hubiera r:edac-
tado . Los posibes errores subsistentes son de nuestr.a total responsabili-
dad. 
( 1) Malinvaud, E., Lecciones de teoría microeconóniica, trad. A. Ortf 
Laho2l, Barcelona, Ed. Ariel, 1974, págs. 252 y 253. 
NOTAS Y COMENTARlOS 
Por lo tanto, la tasa marginal de sustitución técnica resultará: 
----d.x2 r1 
-----. 
El súbíndice 2 identifica al bien de lujo. Su consumo genera efectos 
externos entre los consumidores; formalmente, si las funciones de utilidgd 
de los individuos tienen las características de regularidad habituales, pode-
mos expresarlas: 
S1 = S1 (Xn, X12, X22), 
S2 = S2 (x2b X22, X12), 
ambas con derivadas negativgs respecto del último argumento. Designando 
los opuestos de estas derivadas como Ql y ~ se veri'ficará entonces: 
(l) Ql > o, º2 > o. 
El óptimo de Pareto queda definido por: 
S12 Q2 s 22 Ql r2 
--; 
Sn r1 
mientras que el equilibrio, cuando cada 
consumo del bien de lujo del otro, es: 
consumidor toma como dado el 
· (2) s12 s 22 
--, 
Sn r1 P1 
correspondie:1do la última igualdad al equilibrio en la producción. 
Se supone que: x12 > O, x22 > O, y que además, la variación e-:1 el 
consumo del bien de lujo es suficientemente pequeña. 
Según Malinvaud, "en un equilibrio tal, el consumo del bien de lu-
jo es demasiado elevado: se mejoraría el nivel de uti:lidad de los dos in-
dividuos si redujesen simultáneamente y de manera adecuada su consumo 
del bien 2 en beneficio del bien l" . La primera parte de esta observación 
se comprueba notando que: 
(3) S12 Q¡ I2 S22 Ql I2 
---< y--- <--, 
Su s21 rl s21 Su Il 
en virtud de (l) y (2). Además, las condiciones (l) son suficientes para 
el aumento simultáneo de lás utilidades, como se expresa en la segunda 
parte del pasaje transcripto. Para verlo definamos: 
dxu = exdx1, dx21 = (l -ex) dx1, 
dx12 = ~dx2, dx22 = (l -~) dx2, 
donde O ~ ex, ~ ~ 1 y además d'X1 > O. 
167 
ESTUDIOS ECONOMICOS 
Diferenciando las funciones de utilidad en el equilibrio: 
r r¡ 1 
dS1 = lll Su + - ( (1 - ~) Q¡ - ~ S12) dx1 , 
~ J 
dS, = [o -a) S, + :: ( ~ Q,- (! -~) S,)] dx,. 
Haciendo ll = ~ se cumplen por (2): 
r¡ 
dS1 = - (1 - ~ ) Q1 dx1 > O, 
r2 
r¡ 
dSz = --
Obsérvese que éstas son independientes de la forma en que estén va-
riando las utitlidades y desutilidades marginales (oodo -r1dx1/I'2 < O). 
2. Es interesante notar que, para que exista una distribución ~ 
de la caída del consumo del bien de lujo, que mejore por lo menos el 
nivel de utilidad de un individuo (sin empeorar el del otro), hasta que 
en el punto considerado: 
• Q¡ Qz ~ s12 s22· 
En efecto, si es así, puede tomarse un ~ tal que = 
sl2 1- ~ Qz 
~ ~ --, 
de donde: 
o < ~ ~ ~ --- < 1, 
Szz+Qz Q¡+S12 
con lo que se cump1irán al mismo t~po: 
dsl r¡ r 1 
= ll Sn + -- IQ,- ~ (Q¡ + sl2)1 ~IZ Su ;;::: Q, Y' 
dx1 r2 l J 
r¡ r 1 
= (1-ll) S21 + -I_,S •• + HS .. + Q2) 1 ~ Cl- ll) S21 ~ O. 
r2 l · J 
168 
NOTAS Y COMENTARIOS 
Adviértase que una condición necesaria para la propoS!CIO:t es que 
~t ] O, l [, es decir, ninguno de los i:tdiVI·.d~os deja de participar en dx2• 
Además, ambas desigualdades no pueden ser simultáneamente débiles, pues 
aé [ O, l ] . 
Un coro'ario de la proposición que acabamos de verificar es que en 
el óptimo de Pareto se c:.1mple: 
Q, Q~ < s12 S22 
Si no fuera así, existiría una distribuc';Jn de la caída del consumo del 
bien 2 que permitiría aum~ntar la u tilidad de por lo menos u:w de los 
individuos sin a' terar la del otro. 
3 . G eneralizarnc.s ahora el modelo a! caso en el que la economía cuen-
ta con n consumidores. Def;nirnos: 
Siih, derivada de h función de utilidad del individuo j con respecto 
a su consumo del bien h . 
-Qiih, derivada d'e la función de utilidad del agente con respecto 
al consumo del b. en h por el individuo i. 
~j = 
dxil 
dx, 
dxi2 
eh = l , 2) 
ei, j = l, . . . , n ) 
Obtenernos las siguientes proposiciones: 
l) Condición suficiente para que las distribuci,ones e ex¡, ... ex n) y 
e ~ t, .• - ~n) originen mejoras en los niveles d'e utilidad, a partir 
del equilibrio, es que para todo j se dé exi = ~ i. 
En efecto, si a i = ~ i en ton ces 
(l.l) 
:E ~i Qii2 
~ ~j - C(j, 
ej = 1, . .. , n) 
169 
pues 
ESTUDIOS ECONOMICOS 
Qi¡z ~ O. 
Como en el equilibrio: 
rz 
Sii2 = -- Siil> 
r1 
y la variación de la utilidad es: 
dSi = rl ~i Siil + (~ ~¡ Qi¡z- ~i Sii2 ) ~ l .dxt, 
¡ ~ i rz J 
(j 1, ... , n) 
puede escribirse: 
dSi r ~ Qii2 l rl 
l~j + i ~ 
l 
~. --- ~i 1 -- dx¡, 
Sii2 J rz 
(j = 1, ... , n) 
positiva o nula por (l. 1) ya que Sii2 > O, y positiva para algún j si 
3 i ~ j tal que Qi¡2 > O. 
2) Si se cumple la condición: 
Sii2 
~ máx ~ --r ~ n - l 
i Qii2 
existe una distl1fbución en la reducción d'el consumo del bien de lujo tal 
que aumentan simu!táneamente los niveles de utilidad de todos los consu-
midores. 
Efectivamente, en tal caso pueden tomarse para todo i: 
l Sii2 
~¡ ~ -- máx ~--r, 
tales que dichas 
r2 dSi 
r1 Siiz 
n-1 Qi¡z 
('¡ sumen l. Se advierte enseguid'a que, entonces: 
r rz S\1 ~ ~ Qi¡z ~ ~ 
l-- ex --+ ¡ ~ i i --- 1 + ¡ ~ i ; r1 Siiz Sii2 
serán positivas pues: 
1 Sii2 Qi¡z 
-- máx ~--r -- ~ 
l 
. n - l i Qi ¡z Si i2 n -1 
170 
NOTAS Y COMENTARIOS 
Un corolario es que en el Óptimo de Pareto: 
Sii2 
~ máx ~ -- ~ > n - l 
Qji:? 
Si así no fuera se aplicaría la proposición precedente contradiciendo b de-
finición del ópr.'mo. 
Adviértase que en e: caso de dos agentes: 
S112 S222 
-- + ~ l. 
Ql2:! Q2 l2 
Como ambos términos son positivos y por lo tanto menores que uno, 
S112 S2zz ~ Q1 22 Q2Iz Q212, 
qu·e es la condición enunciada en la Sección 2. 
En resumen, en su presentación de los Efectos Externos en el Con· 
sumo, d3do un modelo con dos individuos, dos bienes, un factor escaso 
y coef1'cientes de producción unitarios, Malinvaud afirma que reducciones 
en el consumo del bien de lujo -envidiado-- aumentan los niveles de 
u tilidad de ambos individuos a partir del equilibrio considerado. Esto no 
parece obvio pues se desconoce la forma en que varían las utilidades y des-
utilidades margina~es. 
Se demuestra en esta nota -aún para coeficientes de producción dis-
tintos de la unidad- la suficiencia de hs características del equilibrio pa-
ra determinar el efecto aludido sobre la situación de ambos agentes. Se 
enunci-a otra condición suficiente, que no supone necesariamente el equi-
librio; pero cuyo cumplimiento depende d'el número de agen~es de la 
econorpí-a; los resultados .se generalizan a un número mayor de consumi-
dores y se deducen propiedades del óptimo de Pareto. 
Cristina, Marcela y Chisari, Ornar 
Universidad de Buenos Aires 
171 


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