Estudios económicos (Argentina)

Limitaciones formales en las demostraciones de equivalencia con el núcleo de la economí

Tohmé, Fernando

LIMITACIONES FORMALES EN LAS DEMOSTRACIONES 
DEEQUIVALENCIACONELNUCLEODELAECONOMIA 
Fernando Tohmé 
.Sabido es que existen dos enfoques principales en el análisis de la asignación 
de recursos: 
• La decentralización via precios. 
• La cooperación. 
Cada uno de estos enfoques lleva a una definición del conjunto de asigna-
ciones deseables en una economía t:: 
• Equilibrio: una asignación t:Q(t:) y un sistema de precios p tal que cada 
agente recibe su canasta de consumo deseada al sistema de precios y las 
cantidades demandadas totales igualan a las ofertadas. 
• Núcleo: el conjunto de asignaciones CO'R(t:) que no pueden ser mejo-
radas por ninguna coalición de agentes. 
La relación entre ambas nociones viene dada por un corolario del Primer 
Teorema de la Economía del Bienestar: t:Q(t:) ~ COR{€) . 
Sin embargo, Edgeworth a fines del siglo XIX conjeturó que la relación 
entre ambas formas de asignar recursos es más fuerte aún: 
• Conjetura de Equivalencia con el Núcleo: SI n -+ oo , entonces 
CO'R.(€)-+ t:Q(€). 
Esta conjetura se mostró reacia a la demostración hasta 1960, aproximada-
mente. Desde entonces, dos tipos de prueba fueron presentadas para variantes 
de la misma. Las primeras se debieron al uso de métodos no-elementales, esto es, 
usando técnicas matem'aticas que utilizan herramientas que no son expresables 
en términos del algebra lineal y el cálculo tradicional. En cierta forma, el en-
trenamiento que se ganó en estas demostraciones permitió la búsqueda exitosa 
de pruebas "elementales". 
73 
ESTUDIOS ECONOM ICOS 
Una breve enumera<:ión de estos resultados es la siguiente: 
• Demostraciones no-elementales: 
(Aumann 1966): Supone que el conjunto de agentes es [0, 1], y 
utiliza argumentos de la teoría de la Medida. 
(Brown-Robinson 1974): Los agentes tienen dotaciones infinitesi-
males de recursos (que en el agregado dan montos positivos) . La 
herramienta utilizada es al Análisis No-estándar. 
• Demostraciones elementales: 
(Debreu.-Scarf 196:3): utilizan una sucesión de economías replic,adas. 
- (Anderson 1978): usa teoremas de aproximación. 
A pesar de que estos resultados están bien establecidos, todos ellos requieren 
de ciertas variantes del Axioma de Elección (AC) . Algunos autores encuentran 
que su uso es excesivo, a la luz del nuevo énfasis en la computabilidad y con-
structibilidad en matemática aplicada (Lewis 1990). 
Para entender esta critica, veamos primero una serie de definiciones formales 
que hacen más preciso al problema: 
• Economía: fn = {(X;,~;,w;)}f=l> 
• Asignación: x E X¡ x .. . x Xn. x es factible si 2:7=1 x; 
• el Núcleo de f es 
CO'R(10) = {x E X: no existeS~ {1, ... , n} y x E X tal que 
) x; = ) w; y además x; ~i x; para todo i E S}, 
iES iES 
Tenemos que: 
Lemma 1 Si x E CO'R( fn) existe un sistema de precios p* tal que: 
• 2:7=1 jp* · (x;- w;)l :::; 2M,,.. 
• 2:?=1 1 inf{p• · (x;- wi) : x; ~i x;}j :::; 2M,,.. 
Más aún, si tenemos una secuencia de economías { €n }n> 1 tal que: 
74 
LIMITACIO ES FORMALES E LAS DEMOSTRACIONES OE EQUIVALE , CIA CO EL NUCLEO DE LA ECO OMIA 
e M,n . 0. 
J1 
con unas pocas condiciones técnicas, incluyendo el Lema anterior, tenemos: 
Theorem 1 (Anderson) Existe una secue_ncia de precios {p~}n> l tal que pa-ra 
todo S"~ {1, .. . ,n}: · 
maxk=l, . .. ,!{l I:iES" x{- x{(p~)l} -+O. 
n 
Este resultado es precisamente el blanco de la crítica de Lewis, quien mues-
tra que la teor.ía de conjuntos de Zermelo-Frenkel(ZF) que constituye la fun-
damentación usual de la matemática no es suficiente para probar el teorema 
anterior. Formalmente: 
Proposition 1 (Lewi.s) Existe un modelo de ZF, M , en el cu.al, en las condi-
ciones del Teorema de Anderson, cada secuencia {r:n}n>l es tal que para cada 
n , COR(r:,.) es Vl o incluye a lo más una única as·ignaci6n. 
El argumento es que si ICOR.(E,..)I > 1, debería existir una función 
de elección g : w -+ UnCOR.(fn), tal que g(n) E COR.(t:n)· Dado que 
esto sólo es posible suponiendo el Axioma de Elección, AC, y este axioma es 
independiente de ZF, e.."Xiste un modelo de ZF en el cual g no puede ser definido. 
Como dij imos más arriba.. un problema con AC es que no es constructivo. 
Pero en realidad, para alcanzar el resultado de Anderson, sólo es necesario 
una forma débil del mismo, que es computable, llamado Axiom de Elección 
Numerable (por sus siglas en ingés: CC) que permite elegir un elemento de 
cada conjunto en una clase nurnerablemente infinita. Por lo tanto, secuencias 
no triviales que satisfagan constroctivamente el Teorema de Anderson pueden 
ser definidas en ZF + CC. 
Una fuente más interesante de posibles problemas, no detectado por Lewis, 
es el uso del Teorema de Minkowski o del Hiperplano Separador en la de-
mostración de Anderson. Este resultado asegura que dos conjuntos convexos 
pueden ser siempre separados por un hiperplano. Este resultado se suele de-
mostrar apelando al A.xioma de Elección, pero en realidad una generalización 
de CC, el axioma de elecciones dependientes, DC es suficiente, de modo que en 
ZF + DC los resultados de Anderson surgen naturalmente. 
Una alternativa para alcanzar los resultados de equivalencia entre el núcleo 
y la asignación de equilibrio cuando el número de agentes tiende a infinito se 
obtiene considerando juegos de mercado. Una economía 
75 
ESTUDIOS ECONOMICOS 
puede transformarse en el siguiente juego de mercado: 
r = {I,A(I),J.L) 
1 
donde 1 = {1 , ... , n} es el conjunto de agentes, A(I) ~ 21 la clase of coaliciones 
de agentes y J.L : A(I) ----> !R es la función de pagos. Para cada coalición S ~ 1, 
J.L(S) = ma.x,s LiES u;(x¡'), donde x5 = LiES x~ tal que LíES x~ = LiES w, . 
Esto es, el pago a la coalición S es la mejor suma de utilidades que los miembros 
de la coalición pueden alcanzar redistribuyendo sus dotaciones iniciales. 
El núcleo de un juego de mercado r es 
COR.(f) = {(¡1¡, ... , fin) :para todo S E A(I),) P,; ~ J.L(S)} 
iES 
En ZF + AC tenemos que: 
Theorem 2 (Shapley-Shubik) Cada. juego de mercado tiene un núcleo no vacío. 
Por otro lado tenemos que: 
Proposition 2 (Lewís) Existe un modelo M de ZF en el que hay una clase in .. 
finita de juegos de mercado {r n}n<w; todos los cuales verifican que COR.(f n) = 
0. 
Esquema de demostraci6n: Consideremos un modelo de ZF, M tal que una 
medida Y pue.de definirse de modo que T(S) es 1 ó O, para cada S s;; w. Má.~ 
aún, Y(S) = O para cada conjunto finito S. Entonces, para cada In podemos 
definir un juego (In, A(In), J.Ln), donde J.Ln es una restricción Y sobre 21n (i.e. 
con J.L(ln) = I). Entonces el núcleo de cada uno de estos juegos es vacío. O 
A su vez, la existencia de esta medida bi-valuada T sobre el algebra de Boole 
2w que se anula sobre todos los oonjuntos finitos implica en ZF que existe un 
subconjunto no medible de los números naturales. 
La introducción del Axioma de Determinación AD, que indiea <¡llll cada 
juego bi-personal con infinita.<; movidas (sobre los números reales) tiene una 
estrategia ganadora, nos ayuda a encontrar el marco correcto para una prueba 
de la equivalencia con el núcleo, con un premio extra: 
Proposition 3 En ZF+AD+DC, dada. una secuencia de economías { tn}nEw• 
en la cual cada una es €n = {(X;, u;, w;} }f=v se verifica que : 
• L:~=l Wi = w para todo n (i. e. las dotaciones iniciales son las mismas 
para cada economía en la secuencia). 
• Para cada par de economías, €n y €n+1 y para cada í :$ n, las dotaciones 
iniciales wf y wf+1 verifican que w¡+t :$ wf . 
• T(COR.(tn)) -+nO en cualquier noción de medida T adecuada para espa-
cios· Euclídeos. 
76 
LIM ITACIO . ES FORMALES E LAS DEMOSTRACIO ES DE EQUIVA LENC IA CO EL UCLEO DE LA ECONOMIA 
Entonces, a cada tn le wrresponde un juego de mercado r n 1 ron un núcleo no 
vacío, tal que la secuencia de juegos de mercado {f n)n<w, wnverge a un juego 
límite f* = (w,A(w),¡.¿) en el cual C01l(f•) es un singleton {(P.;)iEw} y e.tiste 
una asignación x• que verifica para cada i u;(xi) = jl;. Esta asignación es de 
equilibrio para una ewnomía competitiva t:•, que es el límite de { fn }nEw. 
Este resllltado muestra que en ZF+AD+DC cada economía con un número 
infinito de agentes es en realidad equi~lente a una economía finita. Contra el 
resultado clásico de Kirman y Sondermann, encontramos en el .area de Social 
Choice un resultado similar: 
Proposition 4 En ZF + AD +OC, sea una sociedad S = (S, X, {~;};E s), 
donde S es el wnjunto de agentes, X el de opciones y ~i es un orden reflexivo, 
antisimétriw, transitivo y wmpleto de X. Supongamos que S es numerable. 
Entonces, sea ~s una preferencia social que verifica las condiciones del Teorema 
de Arrow. Entonces existe un i E S (el dictador) tal que ~(=~s-
Esto muestra que el problema de equivalencia con el núcleo es elemen-
talmente resoluble apeLando al axioma de determinación, que permite que la 
distinción finito-infinito en los modelos económicos desaparezca. Es decir, los 
modelos económicos arrojan los mismos resultados sin importar 'el tamao de la 
economía. Más aún , todos estos resultados son computables, lo que significa 
que la mayor parte de las críticas al "realismo" de la teoría económica basadas 
en lo excesivas de las habilidades cognitivas supuestas de los agentes, dejan de 
tener sentido en este marco. 
Referencias 
• Anderson, R. : "An Elementary Core Equivalence Theorem", Economet-
rica 46:1483-1487, 1978. 
• Anderson, R.: "Core Theory with Strongly Convex Preferences", Econo-
metrica 49: 1457-1458, 1981. 
• Arrow, K. : Social Choice and Individual Values, Wiley and Sons, New 
York, 1951. 
• Arrow, K. - .Hahn, F. : General Competitive Analysis, Holden-Day, San 
Francisco, 1971. 
• Aumann, R.: "Existence of Competitive Equilibria in Markets with a 
Continuum of Traders", Ewnometrica 34: 1-17, 1966. 
• Brown, D. - Robinson, A.: "Nonstandard Exchange fJconomies" , Ewno-
metrica 43: 41-55, 1975. 
• Debreu, G.- Scarf, H.: "A Limit Theorem on the Core of an Economy" , 
Jnternatíonal Economic Review 4: 236--246, 1962. 
• Hildenbrandt, W .: Core and Equilibria of a Large Economy, Princeton 
77 
ESTUD IOS ECONOM ICOS 
University Presa, Princeton NJ, 1974. 
• Jech, T.: Set Theory, Springer-Verlag, Berlín, 2003. 
• Just , W. - Weese, M.: Discovering Modern Set Theory Vol. 1, American 
Mathematical Society, Providence RI, 1996. 
• Kirman, A. - Sonderrnann, D.: "Arrow's Theorem, Many Agents and 
Invisible Dictators", Journal of Economic Theory 5: 267-277, 1972. 
• Lewis, A.: "On Effectively Computable Realizations of Choice Functions" , 
Mathematical Social Sciences 10: 43-80, 1985. 
• Lewis, A.: "On the Independence of Core-Equívalence Results from 
Zermelo-Fraenkel Set Theory", Mathematical Social Sciences 19: 55-95, 
1990. 
• Mírowskí, P. : Machine Dreo.ms: Economics Becoms a Cyborg Science, 
Cambridge University Press, Cambridge MA, 2002. 
• Mycielski, J .: "Games with Perfect Information", in Aumann, R. - Hart, 
S. (eds.) Handbook of Game Theory Vol. I, North-Holland, Amsterdam, 
1992. 
• Shapley, L. - Shubik, M.: "On Market Games", Journal of Economic 
Theory 1: 9-25, 1969. 
78 


Spanish

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Gutierrez, Ricardo R.

Slaughter, S. y Leslie, L. Academic capitalism. Politics, policices and entrepreneurial university

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Porto, A. Microeconomía y federalismo fiscal

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Guevara, Arturo José

RESEÑAS BIBLIOGRAFICAS 
BOUZAS, R. y FANELLI, J. M., Mercosur: integración y crecimiénto, Buenos 
Aires, Ed. O.S.D.E, 2001, 316 páginas. 
Sin duda su actualidad ha llevado a los autores a sistematizar los 
conocimientos que son necesarios poseer, para poder abordar el tema Mercosur a 
luz de sus antecedentes, tanto políticos como legales y económicos. La obra cumple 
sobradamente el objetivo ya que .. "está dirigido básicamente, a profesionales a 
cargo de decisiones gerenciales en el ámbito de la empresa, de la política y de 
organizaciones no gubernamentales" (pág. 12). Los antecedentes de los autores en 
la materia hacen que la obra sirva además del objetivo ya mencionado, como texto 
y también, dada la abundante bibliografía referenciada, de consulta para aquellos 
que quieran profundizar acerca de los distintos aspectos que están implícitos en los 
tópicos de este caso particular de integración regional. 
Ya en la introducción general (pág. 16) queda claro la delimitación de los 
campos de análisis, que, por otra parte, son los forman parte del título de la obra: el 
Merco sur como parte de la estrategia de integración en la economía global y como 
medio para acelerar el crecimiento económico. 
En el primer capítulo que los autores denominan unidad 1) se efectúa un 
pantallazo acerca de los fundamentos del comercio internacional teniendo como 
finalidad demostrar las ventajas del mismo a la luz de los fundamentos de la teoría 
del comercio internacional que por supuesto tiene que ver con la dotación de factores 
y la productividad. 
79 
ESTUDIOS ECONOMICOS 
El segundo capítulo comienza a introducir al lector en el análisis teórico 
específico de la integración regional, haciendo hincapié en las barreras al comercio, los 
distintos tipos de acuerdos, ventajas, desvíos y creación de comercio no perdiendo el 
objetivo inicial cual es el de las ventajas de la integración regional para el crecimiento . 
. El tercer capítulo constituye la descripción histórica de los procesos de 
integración, comenzando con la Unión Europea y continuando con el Tratado de 
Libre Comercio de América del Norte marcando las diferencias esenciales que 
dieron origen a la constitución de uno y otro grupo. 
El cuarto capítulo marca la segunda parte de la obra. A partir del bagaje 
mostrado en los tres primeros, se comienzan a tratar los temas que hacen al meollo 
del trabajo, analizándose en esta parte los intentos de integración que sirvieron de 
base a la creación del Mercosur como así también las historias de recelos entre 
Argentina y Brasil que atrasaron esos intentos. 
Por fin, en el capítulo quinto se analiza la etapa fundac ional del Mercado 
Común del Sur con la temática propia de la misma: la liberalización del comercio, 
la negociación y adopción del arancel externo común y el establecimiento de la 
Unión Aduanera. También se muestran en esta parte cuáles son algunos de los 
inconvenientes que debe superar el grupo regional para poder avanzar. Por ejemplo 
el tema del azúcar y los acuerdos sobre producción automovilística. 
En el sexto capítulo ya se vislumbra el Mercosur, funcionando con las 
agendas abiertas en los distintos frentes: incorporación de sectores especiales; 
implementación de políticas comerciales comunes y un punto clave para un futuro 
exitoso: el denominado la "profundización del Mercosur", tema este que incluye 
entre otros, la liberalización del comercio de servicios, la armonización de los 
regímenes de compras gubernamentales, el tratamiento de las inversiones, la 
protección del medio ambiente, los asuntos laborales, la cultura y la educación. 
El séptimo capítulo considera al grupo regional frente al mtmdo, en primer 
lugar con sus vecinos: Chile y Bolivia (sus miembros asociados), la comunidad 
Andina luego México y el ALCA y finalmente la Unión Europea. 
Finalmente (cap. 8) se analiza lo que ha sucedido y está sucediendo con la 
primera experiencia exitosa de América del Sur en materia de integración regional , 
brindando un análisis con prudente optimismo acerca de la utilidad y posibilidades 
futuras de este paradigmático grupo sudamericano. 
Arturo José Guevara 
80 


Bouzas, R. y Fanelli, J. M. Mercosur: integración y crecimiento

La ciencia económica argentina en el siglo X

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