EKE Repository of Publications

Kun, Zsuzsanna

A Theológiai Magyar Olvasó Társaságtól a Magyar 

 Egyházirodalmi Társulatig

Feróné Komolay, Anikó

41
FERÓNÉ KOMOLAY ANIKÓ
AZ ÓVODAPEDAGÓGUS-KÉPZÉS ÉVTIZEDEI  
SÁROSPATAKON
Ködöböcz József írja: „Szerénység jellemezte mindvégig (a tanítóképző) működését […], 
mely nemes hagyományokat ápolt, sok jó magot hintett és jó munkát végzett.” (Ködöböcz, 
1986, 286. pp.) Ezzel a gondolattal szeretnék tisztelegni a 160 éves sárospataki tanítóképzés 
előtt, abban a reményben, hogy a pataki nevelőképzés fényét a 46 évvel ezelőtt megindított 
óvónőképzés is növelni tudta. Erre a közel öt évtizedre a gyakorlati szakember szemével 
tekintek vissza, mint aki a szak felelőseként végig élte azt, s azért tevékenykedett, hogy 
a pataki óvodapedagógus- képzést is az ország elsői között emlegethessék.
Az 1970-es évek – Az útkeresés
Az 1970-es évekből nincsenek személyes élményeim, ezért Dr. Földy Ferenc előadásá-
ból merítek, amely az Óvónőképző Intézetek V. Tudományos Konferenciáján hangzott el 
Szarvason, 1984-ben. A sárospataki óvónőképzés megindítását a társadalmi igény tette 
szükségessé. Az 1970-es években egyre több óvoda épült, mivel rohamosan nőtt a 
gyermeklétszám. Ezzel együtt az óvónőhiány is jelentkezett, különösképpen itt, Borsod-
Abaúj-Zemplén megyében. A Művelődésügyi Minisztérium 35.237/1971. VI. sz. rende-
lete alapján a sárospataki Tanítóképző Intézetben 1971 szeptemberétől a tanítóképzés 
mellett óvónőképzés is folyik. Így beindult a képzés a Kecskeméti Óvónőképző Intézet 
kihelyezett tagozataként 25 fős nappali és 53 fős levelező tagozatos hallgatói létszámmal.
Sárospatakon az óvónőképzésnek sem előzményei, sem kialakult módszerei nem voltak. 
Szükség volt a segítségre, melyet a nagy múltú Óvónőképző Intézetek (Kecskemét, Szarvas, 
Sopron) legkiválóbb oktatói, – akikhez a kezdeti időben többször ellátogattak a Patakon 
óvónőképzéssel foglalkozó oktatók – szívesen meg is adtak.
A pataki óvónőképzés első évtizede az útkeresésnek, az alapozásnak, a szak felépítésének 
az időszaka volt. A kollegák egymást is tanították. Rendszeresek voltak az értékes tartalmú 
szakmai beszélgetések, egymás oktatói gyakorlatának megismerése, a képzés során szerzett 
élmények megosztása.
42
Feróné Komolay Anikó
Mindezek teremtették meg azt az értéket, amely alkalmassá tette a szakot az előtte 
álló feladatok magasabb szintű megoldására, illetve a főiskolai szinten történő 
óvodapedagógus- képzésre.
Az 1980-as évek – Az óvodapedagógus-képzés egyedi arculatának megteremtése
Az óvónőképzésben az 1986-89. évi képzési ciklus fordulatot jelentett. Ekkor vált 
főiskolai szintűvé, háromévessé a képzés. Teljesen új alapokra kellett helyezni a tantervi 
struktúrát, a gyakorlatot. Ezekben az években már a szak szervezeti háttere is formáló-
dott, megalakult a Gyakorlati Képzési Szakcsoport Feróné Komolay Anikó vezetésével. 
A gyakorlati képzés terén már megnyílt a lehetőség a pataki szellemiséget megőrző, 
egyéni arculatú, struktúrájú és tartalmú képzési koncepció kidolgozására.
A Gyakorlati Képzési Szakcsoportnak tagjai voltak a gyakorlati képzésben részt vevő 
oktatók, a gyakorlatvezető óvónők és a hallgatói csoportok képviselői, így a közös 
gondolkodás felelősségével elkészült képzési programok adták meg a keretét a gyakorlatnak, 
s biztosították az egységes szemléletmód és követelmény érvényesülését.
Közös munkálkodásunk eredményeként megszületett a szakmában „pataki modellként” 
emlegetett képzési rendszer, amelynek vezérelve a mester-tanítvány viszony érvényesítése 
volt. Arra törekedtünk, hogy hangsúlyt kapjon a mesterségtanulás módjának az elsajátít-
tatása, az intellektuális kíváncsiság iránti érzék kialakítása, a mélyreható kérdések megfo-
galmazásának a képessége, a gyermekismeret fontosságának a felismerése és gyakorlatának 
megtanítása. Ezen alapelvek mentén készült az elméleti képzés tanterve is, biztosítva 
a képzés harmóniáját, az elmélet és a gyakorlat egységét.
Az új gyakorlati képzési koncepció tehát a gyermekközpontú szemléletből történő 
kiindulásra helyezte a hangsúlyt, vagyis a gyermeki lelki struktúrára és annak optimális 
fejlesztésére alapozta az egész folyamatot.
Az 1980-as évek a nyitás, a kitekintés évei is voltak. Megismerkedtünk a Waldorf 
pedagógiával, a drámapedagógiával, a Gordon-módszerrel, amelyek elemei megjelentek 
az elméleti és gyakorlati képzésben egyaránt. Az 1980-as évek a felfutás évei is voltak. 
A szakközépiskolák bőven biztosították a jó alapokkal felvértezett hallgatói utánpótlást. 
Rekordlétszámokat döntögetett a levelező képzés is.
43
Az óvodapedagógus-képzés évtizedei Sárospatakon 
Az 1990-es évek – Az óvodapedagógus-képzés fénykora
Az 1990-es évek nagy lehetőséget és sok feladatot kínáltak az óvóképzés számára. 
A nagyobb intézményi önállóság birtokában a pataki szellemiséget továbbra is megőrző, 
egyedi sajátossággal bíró képzési koncepció kidolgozására készülhettünk fel. A folyamatos 
tantervi munkálatok, a sürgető társadalmi igényeknek való megfelelés, az óvodapeda-
gógus-képzés új formáinak, mint a +1 kiegészítő képzésnek a megjelenése, szükségessé 
tette a szervezeti stabilitás erősítését, s megalakult az Óvóképzési Szakcsoport Feróné 
Komolay Anikó szakcsoportvezető irányításával, amely most már az elméleti és gyakorlati 
képzés koordinálását, tervezését, szervezését látta el. Speciális helyzetünkből adódóan – 
lévén kis létszámú szak – arra törekedtünk, hogy sikerüljön megtalálni a leghatékonyabb 
képzési modellt, a korszerű tartalmakat és tanítási-tanulási stratégiákat. Hittünk abban, 
hogy a Németh László által (a dolgozók iskolájára tantervként) kidolgozott, a képességek 
fejlesztését előtérbe állító, személyiségre koncentráló képzési koncepció lehet a hatékonyság 
biztosítéka.
Az óvodapedagógus szak képesítési követelményei alapján megfogalmazhatóak 
voltak képzési céljaink. Ezek: olyan óvodapedagógusok képzése, akik jól megalapozott, 
általános és szakmai műveltségük, fejlett pedagógiai képességeik, ön- és emberisme-
retük, gyermekközpontú, érzelemgazdag beállítódásuk birtokában, – a családdal és 
a társadalmi környezettel együttműködve – alkalmasak az óvodás gyermek tudatos 
fejlesztésére, nevelésére, az egyetemes és nemzeti értékek, erkölcsi normák közvetítésére.
A képzési cél magában foglalja a gyakorlati képzés céljait is. Magas szintű, tovább 
építkező elméleti és gyakorlati tudás, a pedagógiai és pszichológiai ismeretek gyakor-
lati alkalmazása, érett, autonóm, kreatív személyiség kialakítása szerepelt ezek között. S a 
feladatok felsorolásakor a gazdag tapasztalati bázisra épülő személyiség- és képességfejlesz-
tés került középpontba, mely a gyermekre és önmagára figyelő attitűd és a hatékonysághoz 
szükséges biztonságos gyermekismeret kialakítása érdekében jelentős.
 Ez a program tehát személyiségközpontú és a képességek fejlesztésére orientált volt. 
A gyermekismeret és önismeret talaján a gyermekközpontú attitűd kialakítása érdekében, 
– melyet az empatikus megértés, a pozitív elfogadás, a kreativitás és kongruencia jellemez – 
kiemelten a kommunikációs, a kooperációs, a vezetési képesség, valamint a tolerancia 
fejlesztése kapott hangsúlyozott szerepet. 
44
Feróné Komolay Anikó
Gyakorlatorientált képzési rendszerben dolgoztunk. Egyrészt azért, mert az említett 
képességek kialakulásához szükséges tréningjellegű készségfejlesztés az egyéni és a csopor-
tos gyakorlatok során valósítható meg a legeredményesebben, másrészt az volt célunk, hogy 
az önmagát irányító, belső kontrollal rendelkező, reflektív óvodapedagógusi személyiség 
kialakulását segítsük és erősítsük.
Számos szakmai beszélgetés témája volt az is, hogyan tegyen eleget a gyakorlatvezető 
óvónő és tanár a professzionális nevelés kihívásának, milyen válaszokat adjunk a kompe-
tenciafejlesztés kérdéseire?
Alapvető kiindulási pontként fogalmaztuk meg, hogy a 3-6 éves gyermek legjellemzőbb 
lélektani tulajdonsága a világ globálisan történő felfogása, ezért ennek megfelelően szüle-
tett meg a tervezésnek az új formája, a tevékenységre épülő komplex programtervezés. 
Megerősítettük és mindenek felettiként értelmeztük a játék szerepének elismerését, a játékos 
tanuláshoz való gyermeki jogot.
Hittük és reméltük, hogy a nevelő munka mind a gyermekek, mind a hallgatók köré-
ben akkor lesz optimális és eredményes, ha biztosítjuk a globális pedagógiai folyama-
tot: a szükségleteket, a tevékenykedési formákat, a szakszerű tanulási stratégiákat. Az 
indirekt pedagógiai folyamatban a belső azonosulás magas fokra emeli a hatékonyságot, 
így működésbe lépnek az operátori rendszerek is: a motivációk, jártasságok, készségek, 
képességek, amelyek új pszichikus struktúrát alakítanak ki, illetve a meglévőket tovább-
fejlesztik. A lelki struktúrák hármas egysége (fej-szív-kéz) transzfer kapcsolatban áll 
egymással, így gyakorlatilag minden egyes fejlesztésben lelki egység is van, vagyis a 
legelemibb kognitív rutin kialakításakor is struktúraváltozást idézünk elő, lelki szük-
ségletet elégítünk ki.
Fontosnak tartottuk a hallgatók szakmai önismeretének fejlesztését is. Ezért épült be 
a gyakorlati képzés féléves programterveibe az önismeretre alapozó, a reflektív gondolkodás 
technikáját alkalmazó önelemzés és önértékelés megtanulása és alkalmazása is.
Az új tanterv lehetővé tette a speciális képzések beindítását. A legnagyobb érdeklődés 
a bébiszitter- és a hoszteszképzés iránt mutatkozott, amelyek az óvodapedagógus szakos 
hallgatók számára a munkaerőpiacon jelentettek előnyöket, mivel a nyelvet beszélő 
és speciálisan is képzett fiatalok hazánkban és külföldön egyaránt keresettek voltak. 
Nagyon kedvelték még a hallgatók a videoszerkesztő és az erdei óvoda speciális képzéseket, 
mivel mindkettőnek megvolt a szükséges gyakorlati képzési háttere is.
45
Az óvodapedagógus-képzés évtizedei Sárospatakon 
Az 1990-es évek sikertörténete volt az egri kihelyezett levelező képzés beindítása 
1991-ben, az Esterházy Károly Főiskolával együttműködve. A Konzultációs Központban 
tíz éven keresztül folyó képzés színvonalát nem csak a hallgatói visszajelzések bizonyították, 
hanem az igazi elismerést az 1997-ben lezajlott akkreditációs vizsgálat, és a 2000-ben 
megtörtént közbülső eljárás adta, ugyanis az Országos Akkreditációs Bizottság mindkét 
alkalommal kiválóra minősítette a szakon folyó képzést, a gyakorlati képzést pedig 
országosan példaértékűre. Részlet az értékelésből: „A szak minősítése kiváló.
 – A szak oktatásáért felelős szakcsoport az elméleti alapozású szakmai és gyakorlati 
képzést az országos átlag feletti szinten végzi. A szakmai programok korszerűek, 
mindenben megfelelnek a képesítési követelményeknek.
 – A tárgyi feltételek kimagaslóan jók, a személyi feltételek kiválóak.
 – A levelező tagozaton folyó képzés kiváló. A személyi és tárgyi feltételek biztosíté-
kok a kiváló eredmény tartós fenntartására.”
Az óvóképzésben a hallgatók mindig kitűntek szorgalmukkal és kiváló tanulmányi ered-
ményeikkel, amelyeket fémjelez a Köztársasági ösztöndíjasok és a Kitüntetéses oklevelet 
szerzők száma. A tudományos tevékenységben is az 1990-es években voltak a legsikereseb-
bek az óvodapedagógus szakos hallgatók, hiszen az OTDK-ról mindig számos díjjal tértek 
haza, ezzel is öregbítve a pataki főiskola hírnevét. Az óvóképzés mindvégig őrizte és ápolta 
a pataki hagyományokat, a pataki szellemet. Bekapcsolódtunk az Oktatási Minisztérium 
Nemzeti Emlékezet programjába. 1996-ban az „1000 éves a magyar iskola” rendezvényhez 
kapcsolódóan a hallgatók összeállítottak egy interjúkötetet, amelyben a főiskola neves okta-
tói, nevelői szólalnak meg, akik közül többen azóta már eltávoztak. A sajtó alá rendezéshez 
és a kiadáshoz akkor nem találtak szponzort, a pótolhatatlan értékű dokumentum sajnos 
máig kiadatlan.
A 2000-es évek – Ismét útkeresés
Az ezredforduló ismét új kihívásokkal érkezett. Változás előtt állt a közoktatás, a 
felsőoktatás, törvénymódosítás készült. Új fogalmakkal kellett megismerkedni, mint 
a kreditrendszer, az élethosszig tartó tanulás, a tudásalapú társadalom, inter- és multi-
kulturalitás, kompetencia alapú képzés.
Hadd tegyek itt egy kis személyes kitérőt, mivel a második évezred első évei szakmai 
pályafutásom országos elismerését is meghozták. 2001-ben a Magyar Tudományos 
46
Feróné Komolay Anikó
Akadémia és az Oktatási Minisztérium „Mestertanár” kitüntetést és Fáy András-díjat 
adományozott. 2002-ben elnyertem a Soros Alapítvány igen rangos Solt Ottilia-díját. 
2003-ban pedig az Országos Tudományos Diákköri Tanács „Tudással Magyarországért” 
emlékplakettjét. 
Megtörtént az intézményi integráció, a Miskolci Egyetem hetedik kara lettünk. 
2002-ben megszűnt az Óvóképzési Szakcsoport és az egri Konzultációs Központban is 
az utolsó évfolyam fejezte be tanulmányait.
A kredit alapú oktatásra történő felkészülés már az évtized elején megindult, s próbáltuk 
megtalálni a szak szempontjából a legkedvezőbb struktúrát és tartalmakat. Így az első évek 
a tantervi munkálkodásról szóltak. Nem volt könnyű időszak, míg eljutottunk 2007-ig, és 
megszületett a szak korszerű és a törvényi előírások szerinti kompetencia alapon építkező 
tanterve.
Az új évezred új igényekkel is jelentkezett. A törvényi előírások alkalmazási feltétel-
ként szabták meg a főiskolai végzettséget. Újra megnőtt az érdeklődés a levelező képzés 
iránt, rövid ideig Salgótarjánban, Nyíregyházán és Kassán is működött Konzultációs 
Központ. Ugyanakkor az óvóképzésben is érzékelhető volt az az országos tendencia, 
amely a túlképzést mutatta. Nincsenek pontos követési mutatóink, de a tapasztalatok 
alapján kijelenthető, hogy sok volt az állás nélküli óvodapedagógus, bár az igazsághoz 
tartozik, hogy nagyon keresettek voltak a munkaerőpiacon más területekre. Ennek elle-
nére, – szerencsénkre – a jelentkezési arányok bíztatóak voltak, és ez a szak hosszú távú 
megmaradását jelezte. 
Az óvodapedagógus képzés a főiskola fő szakjává lépett elő. Persze ez sem jelentett garan-
ciát. Melyek lehettek (volna) azok a kitörési pontok, amelyek a stabilitást segíthetik?
 – az óvodapedagógusok számára ajánlott sokszintű továbbképzési formák,
 – a szorgalmi időben megszerezhető OKJ-képzések biztosítása,
 – az óvóképzéshez illeszthető felsőfokú szakképzések kínálatának bővítése 
(Csecsemő- és kisgyermeknevelő, Idősgondozó, Házvezetőnő stb.)
 – új szakok indítása, mint pl. a Csecsemő és gyermeknevelő gondozó főiskolai szak, 
melynek munkálatai az egri Esterházy Károly Főiskola gesztorságával elkezdődtek,
 – pályázatok révén beindítható képzések.
47
Az óvodapedagógus-képzés évtizedei Sárospatakon 
A 2010-es évek – Küzdelem a megmaradásért
A 2010-es évtized a közoktatási rendszer szerkezeti átalakítását hozta, és ezek 
az „újítások” még napjainkban is folynak, amelyeknek egyik érzékelhető jellemzője, 
hogy némileg szembe mennek az európai trendekkel. Ez a felsőoktatásra is hatással 
volt. Megindult egy tendenciózus létszámcsökkenés a tanító- és óvóképzésben, mely 
már-már vészhelyzetet idézett elő.
Az Eszterházy Károly Főiskola a régi sikeres együttműködésre építve 2013-ban 
segítő kezet nyújtott. 2016-tól az Eszterházy Károly Egyetem Sárospataki Comenius 
Campusaként működik a pataki pedagógusképző. Több képzési lehetőség felajánlásával, 
új szakok, képzési formák beindításával igyekeztek stabilizálni a pataki főiskolát. Azóta 
egy színes profilú intézmény képét nyújtja a főiskola, de a tanító- és óvóképzés dominan-
ciáját még nem tudta visszahozni. 
S az óvóképzés jövője? Ez még nyitott kérdés.
I/5. kép: A pataki tanítóképzés 160 esztendeje című ünnepi felolvasó ülés  
2017. november 10-én (Fotó: Sasi Gábor)
Irodalom
Ködöböcz J. (1986) Tanítóképzés Sárospatakon. Tankönyvkiadó. Bp. 


Az óvodapedagógus-képzés évtizedei Sárospatakon

Kusper, Judit

5ELŐSZÓ
Lectori salutem!
Üdvözöljük az Irodalomtudományi Tanszék újrainduló Actájának minden olva-
sóját! Hosszas tervezés előzte meg a gyermek- és ifjúsági irodalommal foglal-
kozó, az új sorozatot megnyitó számunk megjelenését, konferenciák és kere-
kasztal-beszélgetések, szemináriumok és kollokviumok során körvonalazódtak 
azon témák, melyekről itt a tanszék oktatói, hallgatói és volt hallgatói számot 
adnak. Nem véletlen a hosszas tervezés, mely – reményeink szerint – talán éret-
tebbé tette írásainkat, ugyanakkor érdemes volt reflektálni az utóbbi években 
szerencsés módon gyarapodó gyermek- és ifjúsági irodalmi szakirodalomra is.
Az átalakuló kanonikus mozgások, formálódó tantervek tükrében is látható, 
hogy talán soha nem volt aktuálisabb e téma megvitatása, mint napjainkban. 
Mit olvassanak a fiatalok, máshogy olvasnak-e, ki határozhatja meg, hogyan 
olvassanak, milyen pszichológiai háttere lehet a befogadásnak? Ilyen és ezek-
hez hasonló kérdésekre keressük a választ vagy válaszokat folyóiratunk jelen 
számában, megvizsgálva a választott korpusz kanonikus jellegét, s kifejezetten 
nagy hangsúlyt fektetve a tanítás, közvetítés mikéntjére. Az olvasóvá nevelés 
fontos kritériuma ugyanis, hogy a reménybeli olvasók egyáltalán találkozzanak 
a befogadásra alkalmas művekkel, közel kerüljenek hozzájuk, ezen alkotások 
pedig felkeltsék az érdeklődésüket, választ adjanak kérdéseikre. A gyermek- és 
ifjúsági irodalom jelentékeny kínálatából így elsősorban az általános és középis-
kolás korosztályt megszólító művekre és kánonokra fókuszáltunk, bízva abban, 
hogy munkánk segítséget jelenthet a tanár- és tanítóképzésben tanuló vagy a 
pedagógusi pályán lévő olvasóknak is a tananyag frissítésében és a kánonok 
átértelmezésében.
Az utóbbi másfél-két évtized szerencsés változásokat indított el a gyermek- 
és ifjúsági irodalomban. A didaktika terhét levetkőzve egyre több értékes és 
befogadókat találó mű jelent meg mind a nemzetközi, mind a magyar köny-
vpiacon. Elvitathatatlan J. K. Rowling Harry Potterének sikere és úttörő volta, s 
talán éppen egy, a fiktív-mesei és reális elemeket mesterien ötvöző mű sikere 
volt szükséges az újabb utak megnyitásához, újabb kánonok kiépüléséhez. A 
primér művek gazdagodását az epika után a líra is követte (hazánkban talán 
az új líraantológiák, a Friss tinta!1 és az Aranysityak2 nyitották meg a sort), majd 
felzárkózott a szekunder, az értelmező irodalom is. A Komáromi Gabriella által 
1 Csányi Dóra, Banyó Péter, KováCs Eszter, EdingEr Katalin szerk.: Friss tinta! Mai gyerekver-
sek. Budapest, Csimota Kiadó – Pagony Kiadó, 2005.
2 LaCKfi János szerk.: Aranysityak. Friss gyerekversek. Budapest, Móra Könyvkiadó, 2013.
6szerkesztett Gyermekirodalom3 című tanulmánykötetet követte Lovász Andrea 
Felnőtt gyermekirodalom4 című munkája, mely részben tankönyvként, részben 
lexikonként mutat utat választott korpuszában, de ide sorolható a Navigátor5 
és a Navigátor 2.6 című gyermekirodalmi lexikon is, melyek a 2000-2010, majd a 
2010 és 2015 között megjelent művek (és szerzőik) között segítenek eligazodni.
A gyermek- és ifjúsági irodalom értelmezőinek kínál segítséget a Mesebeszéd7 
és a „…kézifékes fordulást is tud”8 tanulmánykötet, mindkettő az utóbbi évek 
legkifinomultabb és legsokoldalúbb értelmezési és megközelítési lehetőségeit 
kínálva az olvasóknak. Úgy érezhetjük tehát, hogy – végre – nem vagyunk telje-
sen elveszve, létezik gyermekirodalom A Pál utcai fiúkon túl, nem csak az évti-
zedek óta jelen lévő kötelező olvasmányokat kínálhatjuk az ifjú olvasóknak, s 
egyáltalán: létezik gyermek- és ifjúsági irodalom. E sorhoz szeretne csatlakozni 
jelen kiadványunk is, bízva benne, hogy – a fenti művekhez hasonló módon – 
érdekes szempontokat és értékes elemzéseket kínálhat befogadóinak.
A szerkesztők
3 Komáromi Gabriella szerk.: Gyermekirodalom. Helikon Kiadó, 2001.
4 Lovász Andrea: Felnőtt gyermekirodalom. Szentendre, Cerkabella, 2015.
5 Lovász Andrea szerk. Navigátor. Gyermekirodalmi lexikon – Böngésző és olvasókönyv. 
Szentendre, Cerkabella, 2011.
6 Lovász Andrea szerk. Navigátor 2. Kortárs gyermekirodalmi lexikon, böngésző és olvasó-
könyv. Szentendre, Cerkabella, 2015.
7 Hansági Ágnes, HErmann Zoltán, mészáros Márton, szEKErEs Nikoletta szerk.: Mesebeszéd. 
A gyerek- és ifjúsági irodalom kézikönyve. Budapest, Fiatal Írók Szövetsége, 2017.
8 Hansági Ágnes, HErmann Zoltán, mészáros Márton, szEKErEs Nikoletta szerk.: „…kézifékes 
fordulást is tud”. Tanulmányok a legújabb magyar gyerekirodalomról. Balatonfüred, 
Balatonfüred Városért Közalapítvány, 2018.


Előszó

Kánonok és kultuszok a gyermek- és ifjúsági irodalomban

Szilak, Aladárné

Vírusok a tanulók matemat ika i gondolkodásában 
SZILÁK ALADÁRNÉ 
A b s t r a c t . La skr bleciono demonstracias uni típan eraron en la matematika pen-
sado de la lernantoj. Qfta eraro en la lecionosolvo, ke la lernantoj ne indikas ciü solvojn 
de la „duondivergaj" (divergaj) lecionoj. Per helpo de modelleciono sur gin demando 
sercas respondon, kun kiaj metodoj eblas antaűforigi, elimini la erarojn. 
A matematika tantárgypedagógia a logikus (matematikai) gondolkodás 
fogalmát és nevelését igen összetetten fogalmazza meg. A korszerű matema-
tikatanításban ezen gondolkodás elemei egyre hangsúlyozottabban jelennek 
meg. Erről tanúskodnak az utóbbi évek matematika tantervei és a NAT 
is. A Nemzeti alaptanterv külön tömbben (Gondolkodási módszerek) írja 
elő a matematikai gondolkodáshoz kapcsolódó tananyagot, az általános és 
speciális fejlesztési követelményeket. Több matematikus, tantárgypedagó-
gus, didaktikus (Pólya György, Rubinstein, Nagy Sándor, Kelemen László, 
Mosonyi Kálmán, Czeglédy István) foglalkozott és-foglalkozik ma is e fon-
tos területen előforduló gondolkodási hibákkal (vírusokkal). Igen sok oda-
figyelést feltételez a „megelőzés" és a „gyógyítás" is: Egyrészt meg kellene 
találnunk az „okokat", másrészt olyan módszereket kellene kidolgoznunk, 
amelyek gátolnák a hibák létrejöttét, kialakulását. Nincs könnyű dolgunk, 
hiszen a gondolkodási hibák „tárháza" szinte kimeríthetetlen. E cikkben 
csupán egyetlen gondolkodási hibával szeretnénk foglalkozni részletesebben. 
Többször tapasztaljuk a tanulók feladatmegoldásában azt az alapvető 
hiányosságot, hogy nem adják meg a feladat teljes (minden) megoldását. 
Megtalálnak egyet a lehetséges „eredmények" közül, és ezzel megelégedve 
befejezik a feladatot. Még a tehetséges tanulóknál is előfordul, hogy például 
matematikaversenyen azért veszítenek pontokat, mert nem hozzák a feladat 
minden eredményét. Az ilyen típusú hiba alapvető oka lehet a „féldivergens" 
(divergens) gondolkodás hiánya. 
Az olyan feladatokat, amelyeknek egynél több, de véges számú megol-
dása van „féldivergens" feladatoknak nevezzük. (Az olyan feladatok, ame-
lyeknek végtelen sok megoldása van divergensek.) Az üyen típusú felada-
tokhoz kapcsolódó sajátos gondolkodás a „féldivergens" (divergens) gon-
dolkodás, amely szoros összefüggésben van a tanulók kreativitásával'is. E 
gondolkodás lényege az, hogy a feladat megoldása során minden esetet, min-
den lehetőséget meg kell vizsgálni. Hogyan lehet ezt elérni, azaz hogyan le-
132 Szilák Aladárné 
het valamennyi megoldást megtalálni? Erre egységes szabály nincs: Például 
valamilyen rendezőelv, egy algoritmus, diszkusszió, analógia, általánosítás, 
másféle megoldási módszer stb. is segíthet. Arra sem találunk általában uta-
lást a feladatok szövegében, hogy több megoldás is van. (Természetesen ez 
nem hiba!) 
A következő feladatsor mindegyik feladata „féldivergens", melyek meg-
oldása során érdemes' odafigyelni a címbeli felszólításra. 
Keress meg minden megoldást! 
1. Van-e olyan tízes számrendszerbeli háromjegyű szám, amelynek kö-
zépső jegyét törölve, a belőle így nyert kétjegyű szám az eredetinek kilen-
cede? (6. o.) 
2. Egy háromszögről a következőket tudjuk: 
— Oldalai hosszúságának mérőszámai egymást követő prímszámok. 
— Kerületének mérőszáma 50-nél kisebb prímszám. 
Mekkorák a háromszög oldalai? (7. o.) 
3. Egy társaságban az angol, német, orosz nyelvek közül mindenki be-
szél legalább kettőt. Németül 24-en, angolul 26-an, oroszul 22-en tudnak: 
a) Hány tagja van a társaságnak? 
b) Hányan beszélnek németül és angolul; németül és oroszul; angolul és 
oroszul? (7—8. o.) 
4. Szerkessz deltoidot, ha adott átlóinak és egyik oldalának hossza! 
(7. o.) 
5. Összeadtunk néhány egymás után következő természetes számot, és 
eredményül 3000-et kaptunk. Mely számokat adtuk össze? (8. o.) 
6. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek szárai 5 cm-esek és 
a szárakhoz tartozó magasság 2,5 cm! Mekkorák a háromszög szögei? (8. o.) 
7. Egy négyzet alapú egyenes hasáb térfogatának és felszínének mérő-
száma egyenlő. Minden él hossza egész szám. Add meg a hasáb adatait! 
(7. o.) 
8. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott az átfogójának hossza, 
, továbbá tudjuk, hogy egyik szögének felezője úgy vágja ketté a háromszöget, 
hogy az egyik rész egyenlő szárú háromszög. (7—8. o.) 
Vírusok a tanulók matematikai gondolkodásában 133 
9. Egy térképvázlaton négy fa helyét jelölő pontok olyan rombuszt ha-
tároznak meg, amelynek egyik szöge 37, 5°, oldala pedig 6 cm. Szerkessz kör 
alakú utat, amely mindegyik fától egyenlő távolságra halad! (8. o.) 
10. Adott egy egyenes és tőle 2 cm-re egy pont. Hol vannak azok a pon-
tok, amelyek az egyenestől 4 cm-nél távolabb vannak, de a ponttól nincsenek 
messzebb 10 cm-nél? (6—7. o.) 
A teljesség igénye nélkül nézzünk meg néhányat a fenti feladatok kö-
zül olyan szempontból, hogy a „féldivergens" gondolkodáshoz kapcsolódó 
hiányosságokat (gondolkodási hibákat) hogyan lehetne a tanulókkal kikü-
szöböltetni. 
(a) Egy geometriai szerkesztési feladatnál a d iszkussz ióban szoktunk 
a megoldások számával (hány nem egybevágó, az adatoknak és a feltételek-
nek eleget tevő geometriai alakzat szerkeszthető) foglalkozni, mely általában 
az utolsó lépés. Ha már az összefüggések keresése és az elemzés közben is a 
szerkesztési alapelemeket (pl. pont, egyenes, kör) szintézisében (egészében) 
láttatjuk, és azok kölcsönös helyzetét is vizsgáljuk, akkor nagy valószínű-
séggel megtalálunk minden megoldást. 
A 4. feladatban deltoidot kell szerkeszteni, ha adott az átlóinak ( e , / ) 
és egyik oldalának (6) hossza. 
Vázlat: 
Elemzés, összefüggések keresése: 
— A deltoid BX(B2,DUD2) csúcsa az A-tól b távolságra van. (Azon tu-
lajdonságú pontok halmaza, amelyek A-tól b távolságra vannak egy A 
középpontú b sugarú kör.) 
— Az / átló egyenese a deltoid B\ és D\ (B2 és D2) csúcsaira Üleszkedő 
párhuzamos egyenesek (ei,e2) középpárhuzamosa. 
134 Szilák Aladárné 
A fentiek alapján a szerkesztés lépései: 
(1) Az f{AC) szimmetriaátló felvétele. 
(2) A középpontú b sugarú kör (k) szerkezetese. 
(3) e\ és e2 szerkesztése. 
(4) k n e1 = Bi; k n e2 = Dx; k n - B2; k fi e2 = D2. 
(5) i?i és Dx összekötése A-val és C-vel (AB\CD\ konvex deltoid). 
(6) B2 és D2 összekötése A-val és C-vel ( A B 2 C D 2 nem konvex deltoid; 
Tipikus hibaként fordul elő a tanulók részéről, hogy a (2) és (3) lé-
pést felcserélve (melyet természetesen meg lehet tenni) a körvonalnak csak 
egy részét (ívét) rajzolják meg, így a körnek az egyenesekkel egy-egy közös 
pontja lesz. A tanulók figyelme általában a konvex alakzatokra irányul, és 
így a nem konvex deltoid hiányozni fog a megoldásból. 
Arra sem mindig gondolnak, hogy az e is lehet szimmetriaátló, és az 
előbbi szerkesztési lépéseket követve másik két deltoid is szerkeszthető. 
(Megjegyezzük, hogy itt most nem térünk ki az egybevágó megoldásokra és 
a speciális deltoidokra sem.) 
Összegezve: a feladatnak 4 megoldása van (4 nem egybevágó deltoid 
szerkeszthető), és a szerkeszthetőség feltételei: ha / a szimmetriaátló, akkor 
I < 6-nek kell teljesülni, ha pedig e a szimmetriaátló, altkor j < b kellj 
hogy igaz legyen. 
Természetesen a szerkesztés elvégezhető más összefüggések alkalmazá-
sával is. 
Hasonló gondolatmenet követhető a 6., 8., 9. feladatok megoldásakor. 
(b) Több olyan feladat van, amelyet „ránézésből" is meg lehet oldani. 
Ilyen például az 5. feladat. A 999, 1000, 1001 számokat adtuk össze 
(lehet a tanulók válasza). Ez viszont nem elég! Ahhoz, hogy a feladat minden 
megoldását megtaláljuk á l t a l ános í t anunk kell a problémát: 
m + (m + 1) + (m + 2) + • • • + (m + k) = 3000. 
A számtani sorozat összegének kiszámítására vonatkozó képletet alkal-
mazva a fenti összefüggést így írhatjuk: 
m + (m + k) 
-
 V
 -—-(k + 1) = 3000. 
Átalakítással az alábbi egyenlőséget kapjuk: 
( 2 m + k)(k + 1 ) = 6 0 0 0 . 
A kéttényezős szorzat egyik tényezője páros, a másik páratlan, és 2m+ 
+k > k + 1. 
Vírusok a tanulók matematikai gondolkodásában 1 3 5 
A 6000 prímtényezős felbontásából (6000 = 24 • 3 • 53) a kapott feltéte-
leket figyelembe véve a megoldások egy táblázatba felírhatok. 
2m + k k + 1 m k Az összeadott számok 
1. 2000 3 999 2 99, 1000, 1001 
2. 1200 5 598 4 598, 599,.. .,602 
3. 400 15 193 14 193, 194 , . . . , 207 
4. 375 16 180 15 180, 181, . . . ,195 
5. 240 25 108 24 108, 109, . . . , 132 
6. 125 48 39 47 39, 4 0 , . . . , 86 
7. 80 75 3 74 3, 4 , . . . , 7 7 
Ha az 1., 3. és 7. feladatok megoldása során a fentihez hasonlóan álta-
lánosítunk, akkor biztosan megtalálunk minden megoldást. 
(c) Az a lgor i tmizá lás is segíthet az összes megoldás megtalálásában, 
és a „féldivergens" gondolkodásmód kialakításában. 
A 2. feladatot néhány évvel ezelőtt egy televíziós vetélkedőn részt vevő 
három tanuló közül egyik sem oldotta jól meg. Megtalálták ugyan a feladat 
feltételeinek megfelelő három számhármast, de külön-külön mindegyikük 
egyet-egyet. Célszerű lett volna a következő algoritmus lépései szerint eljár-
niuk: 
(1) írjuk fel az 50-nél kisebb prímszámokat! 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. 
(2) K — 2 + 3 + 5 = 10 nem prímszám. 
(3) K = 3 + 5 + 7 = 15 nem prímszám. 
(4) # = 5 + 7 + 11 = 23 prímszám; 
5 + 7 > 11; 7 + 11 > 5; 5 + 11 > 7; 
az 5, 7, 11 számok lehetnek háromszög oldalainak mérőszámai. 
(5) K = 7 + 11 + 13 = 31 prímszám; 
7 + 11 > 13; 11 + 13 > 7; 7 + 13 > 11; 
7, 11, 13 lehetnek a háromszög oldalainak mérőszámai. 
(6) K = 11 + 13 + 17 = 41 prímszám; 
11 + 13 > 17; 11 + 17 > 13; 13 + 17 > 11; 
11, 13, 17 lehetnek a háromszög oldalainak mérőszámai. 
(7) K = 13 + 17 + 19 = 49 nem prímszám. 
(8) K = 17 + 19 + 23 = 59; 
59 > 50, minden megoldást megtaláltunk. 
136 Szilák Aladárné 
A 3. és a 7. feladat egy-egy része megoldható algoritmus alkalmazásával 
is, mely az általánosításhoz képest más megoldási módszer. 
(d) Korábban már szóltunk arról, hogy a több eredményre történő uta-
lást általában a feladatok szövege nem tartalmazza. 
Az 1. feladat „van-e olyan" kérdése például mintha egyetlen eredmény 
felé irányítaná a gondolkodásunkat. Hívjuk fel a tanulók figyelmét az így 
megfogalmazott feladatoknál arra, hogy ha találnak egy megoldást, akkor is 
keressenek további — a feltételeknek megfelelő — számokat, mert az összes 
szám jelenti a feladat teljes megoldását. 
A 10. feladathoz hasonló példáknál gyakori hiba, hogy a megoldást csak 
a sík pontjaira adják meg, és nem gondolnak a térbeli megoldásokra. Ilyen 
feladatok esetében az ana lóg ia (sík-tér) segíti a „féldivergens" gondolko-
dást. 
Összefoglalva: A tanulók gondolkodásának hibáit szinte lehetetlen diffe-
renciálni, mert amilyen összetett a logikus, matematikai gondolkodás, olyan 
összetettek a hibák is. A „féldivergens" (divergens) gondolkodást és más 
gondolkodási módszereket, műveleteket — mint láttuk — nem lehet egymás-
tól elválasztani. Hangsúlyozottabban odafigyelhetünk bizonyos „vírusokra", 
és ha sikerül némi eredményeket elérni (például a fenti feladatok minden 
megoldását megtalálják a tehetségesebb tanulóink), akkor elégedettek lehe-
tünk. 
I r o d a l o m 
[1] D R . CZEGLÉDY I S T V Á N — D R . OROSZ G Y U L Á N É — D R . SZALON-
TAI TIBOR—SZILÁK ALADÁRNÉ: Matematika tantárgypedagógia I., 
Calibra Kiadó, Budapest, 1994. 
[2] ÚJVÁRI I.: Matematikai gondolkodást fejlesztő feladatsorok, Pest Me-
gyei Pedagógiai Intézet, Budapest, 1990. 
[3] Matematika 7—8. (Feladatgyűjtemény), Szerkesztette: Hajdú Sándor, 
Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. 
SZILÁK ALADÁRNÉ 
ESZTERHÁZY KÁROLY T E A C H E R S ' TRAINING COLLEGE 
DEPARTMENT OF MATHEMATICS 
LEÁNYKA U. 4 . 
3 3 0 1 E G E R , P F . 4 3 . 
HUNGARY 


Hungarian

Vírusok a tanulók matematikai gondolkodásában.

Zay, Béla

- 21 -
ZAY BÉLA 
NEMLINEÁRIS REKURZIÓVAL DEFINIÁLT SOROZATOKRÓL 
ABSTRACT: COn sequences defined by nonlinear recursionJ> In 
the paper we investigate a nonlinear recursive sequence 
P 
defined by G = J A. '0 _ +D Cn>p), where p is fixed 
n
 L = 1 
positive integer, A. ' s are #iuen, real numbers and D I n 
is a sequence o/ real numbers. Ve show thai G^ satisfies 
a linear recursion of order /treat er than p if D is a 
n 
constant , or D^ is the sequence of the values of a 
polynomial, or D^ is a Ii near recursive sequence. The 
characteristic polynomial and some other properties of 
the sequence G are also determined. 
Legyen p egy rögzített pozitív egész szám, és legyenek 
A 1,A 2,.«.,A rögzített valós számok. Definiáljuk a valós 
számok egy G = -íG >- sorozatát a 
^ ^ r> = 1 
Cl) G = A *G +A * G + ... +A *G +D (n>p) 
n l n - 1 2 n - 2 p n - p r > 
rekurzióval, ahol a G„,G ,...,G kezdő eleme adott. nem 1 2 p 
mind zérus valós számok, és p = iD \ a valós számok 
1 n
 r> •= 1 
valamely sorozata. 
Hasonló, nemlineáris sorozatokkal már többen foglalkoztak. 
P.R. J. Asveld tll, [21 olyan C D - e t kielégítő rekurzív 
sorozatokkal foglalkozott, melyben p=2, A 1=A 2=1 és D egy 
- 2 2 -
polinom helyettesitési értékeinek sorozata. Cl)—ben 
bizonyította, hogy a sorozat tagjaira 
G = q *F +q * F -hCn), 
n 1 n 2 r» - 1 
ahol Fl az i-edik Fibonacci szám, q t, q 2 rögzített valós 
számok, hCx) pedig egy rögzített polinom. 
M. Bicknell-Johnson és G.E. Bergum [31 Asveld által 
vizsgált sorozathoz hasonló sorozattal foglalkoztak, de náluk 
D egy konstans sorozat. 
A következőkben a fentieknek egy közös általánosítását 
vizsgáljuk, és egyben javítjuk az előbb emiitett 
eredményeket. Mogniu ta t juk. hogy az Cl)— br»n definiált sorozat 
lineáris rekurzív sorozat, ha D egy konstans, polinom, vagy 
egy lineáris rekurzív sorozat. 
A továbbiakban szükségünk lesz a lineáris rekurzív 
sorozatokkal kapcsolatban néhány fogalomra. Legyen R = 
= -ÍR V egy k-adrendü lineáris rekurzív sorozat, melyet az 
^ n = i 
Ai ' A 2 konstansok, R t,R 2,...,R k kezdő elemek és az 
R = A • R + A * R + . . . +A. *R .+D Cn>k) 
n 1 n-i 2 n-2 k n - k n 
lineáris rekurzió definiál. Az R sorozat karakterisztikus 
polinomjának nevezzük az 
f RCx) = x k - A t • x k " I - A 2 - x k " 2 - ... -A k 
polinomot. Legyenek f R(x) különböző zérushelyei 
x ,x ,...,xt, melyek multiplicitásai k t,k 2,...,k t. Ismert, 
hogy ekkor az R tagjai 
(2) R n = P 4 Cn) • x^ + p 2Cn) • ... +p tCn) • x[ 
alakban is felirhatók minden nÄl esetén, ahol P^Cx) egy 
k.-l -ed fokú polinom CLásd Pl. M.D'Ocagne 141). 
A következő tételeket fogjuk bizonyítani: 
- 2 3 -
1. TÉTEL. Legyen G az Cl)—ben megadott, sorozat, és legyen 
Y egy p—ed rendű lineáris rekurzív sorozat, melyet szintén 
az A . A . . . . , A konstansok, és az Y =G, , Y =G . ... ,Y =G 1 2 * p * 1 1 * 2 2 * * p p 
kezdőelemek és az 
Y = A *Y + A * Y + . . . +A »Y (n>p) 
r» 1 n-1 2 n-2 p n-p 
lineáris rekurzió definiál. Jelöljük y ,y —vei az Y 
sorozat elemeit, ha Y =Y = . . . -Y =0 és Y =1. 
' 1 2 p-1 p 
Ekkor 
n 
C 3) G = Y + 5 y * D 
n n n + p- i t 
i =p * 1 minden n>p esetén. 
2. TÉTEL. Ha D egy r-ed rendű lineáris rekurzív sorozat, 
akkor a G elemei előál 1 i tha tók az í G C x ) = f y C x : >*í D C x> 
karakterisztikus polinommal meghatározott p+r —ed rendű 
lineáris rekurzióval, a G., ..., G kezdőelemekből. 
* 1 ' p + r 
A 2. Tétel bizonyításából adódik a következő eredmény: 
KÖVETKEZMÉNY: Ha valamely p+r -ed rendű G lineáris rekurzív 
sorozat karakterisztikus polinomja f^Cx) = = f1C'x)*f2Cx) 
alakú, ahol az f CxJ egy p-ed fokú, í 2 < x ) P^dig i—ed fokú 
valós együtthatós főpolinom, akkor G elemeire teljesül a 
P 
G = 5 A. *G + D , ha n>p+r 
n *» i n -1 r> 
1=1 
rekurzió is, ahol az A^ együtthatókat <1 ^ i ^ p) az 
P 
f tCx) = x p - 2 A 'x p - t egyenlőségből állapíthatjuk meg, a 
D pedig egy f Cx) = f (x) karakterisztikus polinommal 
rendelkező r—ed rendű lineáris rekurzív sorozat, melynek 
D D kezdőértékeit a p + 1 * p-'-r 
- 2 4 -
P 
D = G - 5 A. *G . , ha p+1 5 n 5 p+r 
r> n L n - v ' r ^ 
képlet szerint számíthatjuk. 
Ha 
r -1 
D = 2 a. -nl , 
n t 
i =o 
akkor C2) miatt D egy r-ed rendű lineáris rekurzív sorozat 
f DCx) = Cx-l)r, karakterisztikus polinommal, igy az (l)~ben 
definiált G sorozat, a 2. Tétel szerint p+r -ed rendű 
lineáris rekurzív sorozat, ahol 
igy a G., . . . , G kezdőértékek ismeretében egy p+r 1 p r 
ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásával a G 
explicit alakja meghatározható. Erre a [21 -ben láthatunk egy 
"standard" eljárást a p=2 , A ^
 j =G?-1 speciális esetben. 
A leirtak alapján könnyen átgondolható, hogy ez a módszer az 
általános esetben Is követhető. 
Megjegyezzük, hogy speciálisan az 
feltételek mellett M. Bicknel1-Johnson és G.E. Bergum 
foglalkozott a G sorozattal (31 -ban. A továbbiakban az r=l, 
azaz D =a ha n>p feltétel melletti G sorozattal 
n
 ° 
foglalkozunk, esetleg utalva arra, hogy speciálisan a C4> 
feltétel mellett hogyan adódik a t31-beli eredmények 
némelyike. 
Ismert, és a lineáris rekurzív sorozat explicit alakja 
segítségével könnyen igazolható állítás az, hogy ha a G 
lineáris rekurzív sorozat f QCx> karakterisztikus 
polinomjának x4 egyszeres gyöke, és |xt | > Ix^ | 1=2,...,t 
ahol t az f^Cx) különböző gyökeinek a száma, akkor 
C4) r=l, p—2, A t=A 2=l 
o 
- 25 -
G 
l i m • 1 = x . Innen a (4) feltétel mellett adódik a 131 
n —+ co n 
G
 + j I + yfc 
-beli eredmenyr l i m —^ = ^ • 
n —• co n 
Szintén a C31 -ban szerepel a (4) feltételt kielégítő G 
sorozatra a G = G •F +G • F +a *(F -1) képlet, ahol n 1 n - 2 2 n-i O n ' 
= • u ^ r - i ^ n • 
F = — 
n / 
V 5 
azaz a Fibonacci sorozat n-edik eleme. A következő tétel 
ennek egy általánosítása. 
3. TÉTEL. Definiáljunk egy G sorozatot a G ,G ,...,G 1 2 p 
kezdőelemekkel, A_,A^,...,A . a konstansokkal és a 
' 1' 2' p o 
P 
G = 5 A. 'G . +a (n>p) 
n i n - i O 
1
 - i = 1 
rekurzióval. Legyenek továbbá <Y . > (1=1,2,...,p) p—ed 
' n-l 
rendű lineáris rekurzív sorozatok, melyeket az A t,A 2,...,A 
konstansokkal és 
Y . 
n, I. 
0 lia n*i és 1 5 n 5 p 
1 ha n=i és 1 5 n í p 
feltételt kielégítő kezdő elemekkel definiálunk. 
Ekkor, ha 
n-i 
sn-i - 2 yt . 
ahol y az 1. Tételben definiált sorozat, akkor 
P 
G = 5 G. • Y +a • S 
n t n . O n-t 
i = 1 
teljesül minden n>p esetén. 
Rátérünk a tételek bizonyítására. 
- 26 -
AZ 1. TÉTEL BIZONYÍTÁSA: A tétel feltétele?! és a sorozatok 
definíciói alapján 
P P 
G , = 5 A, *G . .+D
 A. = 5 A • Y .+D _ = p + i i p + i- i p + t i p + l- i p + i 
i .= l 1=1 
P*1 
- Y +v • D = Y + 5 y , * D. 
p + i Jp p + i p + i ^ 'p + i+p-t i 
i =p + i 
Tegyük fel a továbbiakban, hogy minden j-re Cp<j<n> teljesül 
a C3). Ezt és a sorozatok definícióit felhasználva Ckülönösen 
figyelve az y sorozat kezdőértékeire) a p+15 n<2p esetben 
n - p - 1 
G = I A„ *G . n ^ l n — t A. * G +D = l n-t n 
l rn-p 
n-p-1 
= 2 V 
t=i 
Y + 5 y . • D, 
n-t 'n-t i * I A, «Y ,+D i t n-t n 
t = n - p 
p n-p-1 n-t 
= 5 A *Y + 5 5 A • y . • D. +D 
^ t n-t l 7n-t +p-i i n 
1=1 l = 1 v =p• 1 
n-i n-p-1 
= Y + 2 5 A * y ,
 A . *D. +D = 
n t 'n-t+p-v i n 
l =p +1 1=1 
n - 1 p 
= Y + 5 2 A, 'y ,
 A -D. +D = 
n l'n-t+p-i v n 
i =p 1 t = 1 
= Y + 5 v *D. +y * D = Y + 5 y • 'D. 
n n •»• p -1 t 1 p n n ' n + p -1 i 
L =p + 1 i = p + i 
adódik. 
- 2 7 -
Ha n 2: 2p, akkor hasonló átalakításokat végezhetünk: 
P P 
G = I A, *G ,+D = $ Af • 
n t n-t n L 
1=1 t=1 
n - l 
n-t 7 n-t + p-L i 
i =p + 1 
+D = 
p n-t 
=
 Y +
 I 5 A ,*y ' *D. +D = 
n t n - l + p - t L n 
1=1 i =p + 1 
n -1 p 
= Y + 2 5 A,'y
 ( 1 .'D.+D = 
n *• l ' n - t + p - i v n 
i =p + 1 t=l 
= Y + 2 y . * D. 
i = p + l 
mivel y p =l- Ezzel a teljesindukció gondolatmenete szerint az 
állítás bebizonyítottuk. 
k 
A 2. TÉTEL BIZONYÍTÁSA: Legyen f ^ x ) = [] (x-x.) 1 , ahol 
t -1 
x 1 >...,x l zérustól különböző komplex számok, k ,...fkt pedig 
olyan pozitív egészek, amelyek összege r. Hint ahogy láttuk, 
ekkor D^ egy explicit alakja 
t 
(5) D = J p.(n)'xn , 
n L i ' 
i = í 
ahol p^Cn) k^-1 ed fokú komplex együtthatós polinom. 
Legyen z egy tetszőleges számsorozat, s definiáljuk a 
következő differencia operátorokat: 
F (z ) = z —x. z 
Xj n n+1 j n 
Fk (z ) = F ír k "1 (z ) 1 
x . n x . I y . n 
J J V J ) 
ahol k>l pozitív egész és F Cz ) = F (z > 
x . n x . n 
J J 
Alkalmazzuk ezeket az C5> -beli összegre, majd annak i. 
tagjára: 
- 2 8 -
F CD ) = F 
y , n x . ) ) 
5 p.(n)'xn  
Li = I 
= 5 p.Cn+15-x^ 1 -
— x 
t t 
i 5 pt <n> *x" - 2 F fp.OO-x" ) 
i =í i =1 J 
illetve 
F fp. Cn)*xrl • p. (n+l> 'xP^-x • p. Cn>*xP = 
t J I J l «• 
*x?*l=> q. Cn>•xT*1 
v i 
x. 
p. (n+1)- -r1- P Cn) 
x. v 
adódik, ahol q^Cn) fokszáma k.-l, ha i*j; h a i==J 
és k.*l; ha pedig k ^ l , azaz p^Cn) konstans és i=j, akkor 
k i q.Cn)=0. Ez azt jelenti, hogy ha D -re alkalmazzuk F * -et, 
V n x j 
majd a kapott kifejezésre F -őt, ... s végül a t-1 -edik 
2 
k. 
lépésben kapott kifejezésre a F operatort, akkor zérust 
kapunk, azaz 
i k. 
n r x 
i =i 
(D ) = 0. 
n 
Ugyanakkor C D - b ő l D n « G n - 2 Ai. *G,,-i h a n >P> tehát 
i = 1 
(65 
1 k 
n «v G - 5 A. 'G 
n *» i n - t 
i =1 
0 , 
ami azt jelenti, hogy a G elemei kielégítik ezt a p+r -ed 
rendű rekurziót. 
x. i 
G - 5 A. 'G 
n t n-i 
i =1 
=G - 5 A. 'Q
 A -x. *G -»-x. * 5 A * G 1 ^ v n * 1 j J v n-i 
i =1 i 
p-l 
=
 0 +
 2 fx. A. -A. . +X. n + 1 L * ) ) n l * * J J P n - p 
- 2 9 -
ahol az együtthatók rendre megegyeznek az 
P 
cx-x.y i x
p
- 5 A. x 
1=1 
P-«- Cx-x )i yCx) 
polinom együtthatóival. Innen és a (6)—ból már következik, 
hogy a (6)—beli rekurziónak megfelelő karakterisztikus 
függvény 
1
 r 
ra C x : > = n [ x _ xjJ j = f D(x)-f Ycx). 
j =i 
A 3. TÉTEL BIZONYÍTÁSA: Először belátjuk, hogy az 
A t , A 2 , . . . , A p k o n s t a n s o k k a l , ^ « V Y 2 = Q 2 Y P = G P 
kezdőértékekkel meghatározott Y sorozat minden elemére 
teljesül az 
C7) Y = J G. *Y 
n i n, v 
i. =1 
egyenlőség. 
Ha 1 5 n ^ p akkor 
Y = J fl, 'Y . = G * Y = G . 
n K n,i n n, n n 
I =1 
Tegyük fel, hogy minden j—x*e, ahol 1 5 j < n és p<n 
teljesül (7). Ezt és az Y előállítását felhasználva 
P P P 
Y = 5 A. • Y . = 5 A. 5 G. • Y . . = 
n j n - j j v n-j , i 
j =1 j =1 1=1 
P P P 
= 5 G. 5 A. Y . = 5 G. • Y . 
i. jn-j.i t , i. 
1=1 j = 1 i. = 1 
adódik, s így a teljesindukció gondolatmenete alapján 
igazoltuk, hogy (7) minden n pozitiv egészre teljesül. 
- 30 -
C7)-et és a létei feltételeit felhasználva, az 1. Tételből 
n p n 
G = Y + 5 y . 'D = 2 G *Y •a • 2 y . = 
i =p*l i. =1 i =p + i 
P 
= 2 G. * Y . +a * S . . i n,i O n-i 
i = i 
Ezzel az állítást bebizonyítottuk. 
IRODALOM 
tll Peter K.J. Äsveld, Ä Family of Fibonacci-Like sequences. 
Fibonacci Quart. 23, No. 1 C1987), 81-83. 
[21 Peter R.J. Asveld, Another Family of Fibonacci-Like 
sequences, Fibonacci Quart. 23, No. 4 <1987}, 361-3(54. 
C31 Marjorie Bicknel1-Johnson and Gerald E. Bergum, 
The generalized Fibonacci Numbers, Applications of 
Fibonacci numbers Ced. by A.N. Philipou et al), 
Kluwer Acad. Publ., <1988}, 193-203. 
C4] M.D' Ocagne, Mémoire sur les suites récurrentes 
Journal de l'ecole polytechnique, 64 C1884), 151-224. 


Nem lineáris rekurzióval definiált sorozatokról.

Keller, Magdolna

Kompetencia kérdőív pedagógusok számára.

Orbán, Sándor

Studies on African Calymperaceae V. Syrrhopodon species collected by S. Lisowski in tropical Africa

Fekete Gábor (szerk): A cönológiai szukesszió kérdései [Könyvismertetés]

Minya, Károly

48
Minya Károly
Bulvárstílus, bulvárszó
A bulvársajtóban előforduló sajátos kifejezéseket, amelyek egyúttal e műfaj jel-
legzetes stílusát hozzák létre, két szempontból lehet megközelíteni. Egyrészt az idő 
szempontjából. Ez alapján megkülönböztetünk archaizmusokat és neologizmusokat. 
Míg a neologizmusok a jelenben ragadhatók meg, a legfrissebb, legújabb kifeje-
zések, addig az archaizmusok a régiséget képviselik. Nevezhetjük őket a szókincs 
két szélső rétegének. Neologizmusnak nevezünk valamilyen új nyelvi jelenséget, új 
szót, szóalakot, ragozási formát és jelentést. A neologizmusok a sajtóban elsősorban 
a figyelemfelkeltést szolgálják, az úgynevezett blikkfang eszközei. Archaizmusokat 
a bulvársajtó természetesen nem alkalmaz. 
A bulvársajtóban található szavak másrészt megközelíthetők a szókészlet társa-
dalmi rétegződését tekintve. Az előforduló jellegzetes kifejezései elsősorban az if-
júsági nyelv szókincsébe tartoznak, stiláris megközelítés alapján pedig a bizalmas, 
familiáris, szleng minősítést kaphatják. A szleng egyik legfrissebb szakirodalmának 
tekinthető Parapatics Andrea Szlengszótára. Ebben a szerző a következőképpen jel-
lemzi ezt a szócsoportot: „Különösen gyakran formálódik újra és újra a szleng. En-
nek oka, hogy használatát egyszerre jellemzi az egyéniség kifejezésének vágya és a 
nyelvi divattá válás, a másoktól való elkülönülési szándék és a csoporton belüli ösz-
szetartozás kifejezése. […] A nyelvi divattá válás ellentétes a szleng alapvető fogal-
mával, ezért rövid idő alatt újabb és újabb elemek jönnek létre, tovább bővítve ezzel 
a szlengszókincset. […] A szlenges kifejezésmódnak ma már csak a nyelvhasználati 
helyénvalóság szabhat korlátokat, vagyis tudnunk kell, mikor, milyen kommunikáci-
ós közegben választhatjuk a szlenget. A szlenghasználat megfelelő közege az infor-
mális, bizalmas társalgás” (Parapatics 2008: 7–8). Ez utóbbi feltétlen kiegészítendő 
azzal, hogy a szleng használata erősen jellemző a bulvársajtóra, ami köztudottan 
írott, és nem tekinthető informális kommunikációnak.
A vizsgálódásaim kezdetén abból a feltételezésből indultam ki, hogy bőségesen 
találok a fent említett rétegnyelvi szavakra példákat a bulvárnapilapokban, pl. Blikk, 
Napi Ász, Bors stb., azonban meglepődéssel tapasztaltam, hogy ezekben alig fordul-
nak elő szlengnek minősíthető kifejezések, így nyelvileg igen korrektnek nevezhe-
tők. Ezután találtam rá a fiataloknak szóló havilapokra. Ezek közül a Bravo magazin 
2008. október 9–21-ei számát vettem górcső alá, s vizsgáltam meg bennük a bizal-
mas stílushatású szavakat a szóalkotási-szókincsbővülési módok szempontjából. Az 
49
alábbiakban példamondatokban s némi grammatikai magyarázattal mutatom be a 
jellemző kifejezéseket.
 Sajátos újszerű kifejezés a szleng zúz. Balázs Géza a szó létrejöttéről a kö-
vetkezőket írja: A zúz tárgyas ige alapjelentései: 1. nagy erővel apróra tör valamit, 
2. zúzódást, sebet okoz valakinek. Az „Újra együtt zúz a Mobi Dick és az Akela” 
mondatban a zúz ige már tárgyatlan. A régi zúzos szót tartalmazza a szótár, azt jelenti, 
hogy zúzmarás, ami a zúz, zúzmara főnévből származik. A zúzos jelentése azonban 
napjainkban egészen más: kiváló, remek, nagyon jó. Eredetét tekintve talán a húzós 
folytatása. Valamilyen játékos, ikerítéses továbbképzés történt a király-sirály mintá-
jához hasonlóan: húzós-zúzos. Ugyanakkor zúzós formában is előfordul. A zúz újabb 
jelentése: ’zenélni’, ’nyomulni’ (Balázs 2008: 39.). Íme a példák a Bravo újságból:
Johnny „rocker” Depp zúz és lemezcéget alapít. Az egykori kalóz durván rácsú-
szott a zenére. persze nem most, már jó pár éve tart ez a szerelem.
Hihetetlen, ami a világ egyik legtehetségesebb dobosával történt. Súlyos sérülé-
sei miatt még nem lehet tudni, zúzhat-e egyáltalán úgy, mint régen.
A rácsúszik ige jelentésbővüléssel fejezi azt ki, hogy ’megszeret valamit, rá-
szokott valamire’. A már idézett szlengszótárból a következőket hozhatjuk ennek 
szinonimájaként: rábukik, rácuppan, rákattan, 
Igen gyakori a szórövidülés -i kicsinyítő-becéző képzővel ellátva:
Nemrég egy fotósnak sikerült lencsevégre kapnia egy igazi smacit az utcán.
Úgy látszik, a Jonas bratyók világéletükben cowboyok szerettek volna lenni. Most 
valaki vagy adjon alájuk egy lovat, vagy szóljon nekik, hogy gázok ezek a csizmik.
Húsz olyan progit találsz benne, amelyeket egyetlen közös felületről indíthatsz el.
Földet fogott a többmázsás eli. Birkó testvéri szeretetből. Elefánttestvérek egy-
másra találásának lehettek szemtanúi a Nyíregyházi Állatpark látogatói.
Oké, a pophercegnő tényleg összekapta magát, de azért az öltözködésén még van 
mit csiszolni. Főleg a mintás, szakadt rövidnaci súlyos!
A smaci, a csizmi, a rövidnaci még érthető is az olvasó számára, azonban a progi 
(program) és az eli (elefánt) „rekonstruálása” a szövegkörnyezetben is nehézséget 
okozhat.
A legutolsó példamondat súlyos szava átvezet egy újabb szókincsbővülési mód-
hoz, a jelentésbővüléshez. Viszonylag egyértelmű a jelentés is: nagyon „ciki”, „égő”, 
azaz rossz ízlésre utal a rövidnaci. Az alábbi példákban azonban a jelentésbővülés 
meglehetősen tág jelentéstartományokat ölel fel, úgy is fogalmazhatunk, hogy némi-
leg homályos; nem mindig helyettesíthető egyetlen melléknévvel, illetve főnévvel a 
durva, brutális, cucc, nyom, lövés.
Nagyon durva, de ezek a srácok elkezdtek hívogatni, amikor befutottam. 
A zenecsatornán csak a brutálisan félbevágott változat fut…
Ez a korong nem hoz brutális stílusváltást, de a rajongók tutira kajálni fogják.
50
Azt akarom, hogy most mindenki vegye elő a mobilját vagy a kameráját. Exkluzív 
cuccot fogok nyomni. 
Lövése nem volt arról a húszéves Katie-nek, hogy egyszer ő lesz Tom Cruise 
felesége.
Az alábbi szóképzés meglehetősen ritka, mondhatjuk alkalmi neologizmus, hi-
szen egy adott filmsorozathoz kötődik. 
Az álmok bettyesülnek. A sorozat sztárjai megmutatják, milyen az igazi 
bettyesülés.
Ugyanakkor a képzés nem is teljesen transzparens, azaz átlátható, mivel bettyes 
alak nem létezik, amihez kapcsolódik az igeképző és az igei személyrag, legfeljebb 
a bettys.
Jellemző és gyakori kifejezés a diáknyelv szókincsében a parázni, ami a parano-
ia szó rövidülése és továbbképzése.
Biztosan lesznek, akik megijednek, amikor azt mondjuk, hogy ez egy politikai 
tartalommal bíró album, de nem kell parázni.
Napjaink egyik leggyakoribb szóalkotási módja a szóösszetétel (alárendelő, rit-
kábban mellérendelő), a bulvársajtóban is bőséggel találunk rá példát mind a ma-
gyar, mind az idegen eredetű kifejezések köréből. Az első négy példában az összeté-
teli utótag, a mogul, a guru, a király és a császár jellegzetes ebben a stílusrétegben. 
Valakinek az „óriás voltát”, elismertségét hivatott jelezni. A fogyiguru összetételben 
még egy szóalkotási mód érhető tetten, az előtag rövidülése és -i kicsinyítő-becéző 
képzővel való ellátása. (Lásd fentebb.)
A leggazdagabb médiaszemélyiség cím immár hosszú évek óta Friderikusz Sán-
doré. A hajdani rádióriporter, aki vonattal járt az interjúkra, médiamogullá nőtte ki 
magát.
Jennifer Lopez szülés után drasztikus diétába kezdett, ezenkívül hipnózisra jár 
egy fogyiguruhoz.
Pákó didikirályból cumikirály lett.
Eljátszom nektek az új albumom első dalát – mondta a mikrofonba a rapper-
császár.
Ezenkívül egyéb összetételekkel is találkozhatunk.
A fülmonitort magamnak vettem, és rettentően büszke vagyok rá.
Katy és Mika a partypár.
Egyszerre hozták ki a lemezeiket, és mivel amúgy sem kedvelték egymást túlzot-
tan, üzengetni kezdtek, mert hát ugye a rapbizniszben ki kell derülnie, ki a jobb.
Emo vagy punk? Öltöztesd fel a két csajszit, cserélgesd a felsőket, a kiegészítőket, 
csinálj belőlük imópánkot :)
Ez utóbbi, szóösszetétellel létrejött (emós + punk) neologizmus esetében a humor 
játssza a főszerepet, amit az újságíró a fonetikus átírással és a mosolykóddal erősített 
meg. 
51
Nagyon jellemző napjaink szlenghasználatára a be- igekötős igék megszaporodá-
sa. Kis túlzással mondhatjuk, hogy naponta keletkezik, főként a spontán, bizalmas 
beszélt nyelvben. A Szlengszótár 90 ilyen igét tartalmaz, például: beájul ’megle-
pődik’, bealáz, beburkol, bebüntet ’megeszik’, becsomiz ’becsomagol’, bedurran 
’megizzad’, beéget ’kellemetlen helyzetbe hoz’, befigyel ’kilátszik’, befordul ’elszo-
morodik’, beküáz ’erős gólt ló asztali fociban’, benéz ’téved’, besír ’megsértődik’, 
betol ’megeszik’ stb. Az egyik leggyakoribb ilyen típusú ige a bevállal, amelynek 
már képzett alakja is létezik: bevállalós, jelentése: ’belevaló’, ’bátor’.
Igazi bevállalós klippel támadnak a punk-rock arcok. 
Az eredeti, vágatlan, bevállalósabb verziót csak a neten nézhetitek meg.
Beköltözés előtt: hárman a bevállalós csajok közül.
Biztosan jókat röhög, amikor előjön a kicsi Chris, és beszólogat neki. 
Összegzésképpen a bulvársajtó stílusáról a szókincset alapul véve a következőket 
mondhatjuk el:
A sajátos bulvárstílust megteremtő szavak leggyakrabban szóösszetétellel és szó-
képzéssel jönnek létre, ugyanakkor előfordulnak idegen szavak és szórövidítések is. 
Az itt alkalmazott neologizmusok csak a szövegkörnyezetben érthetők.
A bulvárstílus a neologizmus-szleng-divatszó hármasában ragadható meg legin-
kább, s jellemzőiket is ezekhez a kategóriákhoz köthetjük.
Mivel egyik legfontosabb jellemzőjük a változás, így a neologizmusok alapvető-
en a szókincsének a meghatározó elemei. 
A szleng, bizalmas, familiáris szavak használatával hasonlít az élőszóhoz, így e 
stílus az írott beszéltnyelviséghez közelít, igaz, nem olyan mértékben, mint az sms 
vagy a cset nyelvhasználata.
Felhasznált irodalom
Balázs Géza 2008. Zúzzunk egyet! Magyar Nemzet. október 18.
Parapatics Andrea 2008. Szlengszótár. Tinta Könyvkiadó, Budapest.


Bulvárstílus, bulvárszó

Eszterházy Károly College

Not a member yet

A Theológiai Magyar Olvasó Társaságtól a Magyar Egyházirodalmi Társulatig