Musashino University Academic Institutional Repository

髙橋, 正樹

1013

Takahashi, Masaki

Retreat of Democracy and Durability of Authoritarian Regimes : Analytical Factors

林, 弘正

Hayashi, Hiromasa

Cases on the Obstetrics and Gynecology department's medical cares in Japan (2)

渡邊, 佐恵美

1021

Watanabe, Saemi

酒井, 美絵子

Sakai, Mieko

Management Process of The Chief Nurse Involved in The Reorganization of Ward Function Changes. : Change from General Ward to Integrated Comm unity Care Ward

武蔵野大学学術機関リポジトリ　Musashino University Academic Institutional Repositry
武蔵野大学経営研究所紀要第7号 : 目次
雑誌名 武蔵野大学経営研究所紀要
号 7
発行年 2023-03
URL http://id.nii.ac.jp/1419/00001914/
ISSN 2435-6131 
編集･発行：武蔵野大学経営研究所 
Musashino University Research Institute of Management 
Tokyo, Japan 
武蔵野大学経営研究所紀要 第 7 号 
Musashino University Management Journal 
Vol.7, March 2023 
 
 
租税訴訟における証明責任論再考Ⅲ  
―裁判例の動向分析その２― ……………………… 青栁 達朗 1 
   
税制による「持続可能な開発（SDGs）」への貢献（1）  
―日・EUグリーンアライアンスをうけて― ……… 髙橋 里枝 21 
   
非財務情報としての「イノベーション」と言及企業の 
財務パフォーマンス  
―理論背景の整理と記述統計― ……………………… 星野 雄介 
平尾 毅 
31 
   
中小企業の事業転換と地場産業の進化  
―新潟県燕市の金属加工中小企業を事例に― …… 姜 雪潔 57 
   
テクノロジーの進歩とお金の進化 ……………………… 渡部 訓 73 
   
【講演録】   
企業は誰と共にどのように歩むべきか  
―海野正先生 最終講義―  …………………………… 海野 正 97 
   
【講演録】   
公会計改革の現状と方向性  
―鵜川正樹先生 最終講義―  ………………………… 鵜川 正樹 115 
   
【講演録】   
租税法の実践  
―青栁達朗先生 最終講義―  ………………………… 青栁 達朗 131  
 


武蔵野大学経営研究所紀要第7号 : 目次

佐藤, 正隆

Japanese

中小企業A社における品質管理、時間管理および原価管理についての考察 : BSCの視点からみた成熟企業での従業員教育の必要性

勘米良, 祐太

1140

KAMMERA, Yuta

The relationship between the Course of Study and Grammatical Theory in Japanese as a Secondary School Subject

鄭, 雨薇

1003

ZHENG, Yuwei

高橋, 典嗣

TAKAHASHI, Noritsugu

An Investigation on Nature experience, Garbage Awareness and Environmental Awareness among 6th Grade Elementary School Students : Recommendations for Environmental Education in China in the Introduction Phase

時弘, 哲治

Tokihiro, Tetsuji

武蔵野大学学術機関リポジトリ　Musashino University Academic Institutional Repositry
Slow-to-start CA 交通流モデルの安定性
著者 時弘 哲治
雑誌名 武蔵野大学数理工学センター紀要
号 8
ページ 28-33
発行年 2023-03-01
URL http://id.nii.ac.jp/1419/00001938/
Slow-to-start CA 交通流モデルの安定性
Stability of slow-to-start CA traffic model
時 弘 哲 治1
Tetsuji Tokihiro
概要
Cellular Automaton （CA）を用いた交通流の数理モデルである Slow-to-Start CA
では，車の密度が 1
3
以下の場合には，任意の初期状態に対して必ず自由走行定常状態に収
束することを示す．
1 はじめに
交通流のセルオートマトン（CA）モデルとして最も基本的なものは，ルール 184ECAモデ
ル（ECA184）である [1, 2, 3]．このモデルでは，道路を車の大きさに応じて適当な幅に区切
りセルとみなす．各セルの状態は，車が存在するか存在しないかの２つの状態のみである．時
間発展規則は，前のセルに車が存在すればそのセルに留まり，それでなければ次のセルに移動
するという単純なものである．図 1に時間発展の例を示す．車が存在する状態を 1，しない状
図 1 ECA184 交通流モデルの時間発展の例．車は前のセルが空いていたら次の時刻で進
み，空いていなければ動かない．
態を 0で表すと，ECA184は 0,1列の時間発展として表現できる 1次元２値３近傍 CAであ
り，その時間発展の規則は
000
0
001
0
010
0
011
1
100
1
101
1
110
0
111
1 (1)
と表すことができる．
ECA184では，車の密度が 12 より小さい場合には自由走行相に，大きい場合には渋滞相に
収束する．ただ，実際に観測されている交通流では，自由走行相と渋滞相の間に中間的な準安
定相が存在することが知られており [4]，ECA184ではこの準安定相を再現することはできな
い．こうした中間相の存在する CAモデルとして，slow-to-start CA モデル（STSCA）があ
る [5]．STSCAでは，いったん停止した車はエンジンを切ってしまい，前が空いても動き始め
1 武蔵野大学数理工学センター員 / 武蔵野大学工学部数理工学科特任教授
28
t=o | |0|0| | |0|0|0| | |0| |0| |0|0|0| | | 
t=1 | |0| |0| |0|0| |0| | |0| |0|0|0| |0| | 
t=2 | | |0| |0|0| |0| |0| | |0|0|0| |0| |0| I 
t=3 | | | |0|0| |0| |0| |0| |0|0| |0| |0| |0| 
t=4 |0| | |0| |0| |0| |0| |0|0| |0| |0| |0| I 
Slow-to-start CA 交通流モデルの安定性 (時弘)
るのに時間がかかるとしたものである．つまり，前のセルが空いても，1時間ステップの間は
止まったままであるとする．セルの状態としては，車がいない状態（0），エンジンを切った車
がいる状態（1），エンジンのかかった車がいる状態（2）の 3状態があることになる．図 2に
図 1と同じ初期状態からの時間発展の例を示す．
図 2 STSCA交通流モデルの時間発展の例．車はエンジンを切った状態（黒い●，状態 1）
とエンジンのかかった状態（灰色の〇，状態 2）の 2通りがある．前のセルが空いていたら
灰色の○は次の時刻で進み，黒い●は次の時刻では動かず灰色の〇に変わる．前のセルが空
いていない場合，灰色の〇は黒い●に変化し，黒い●は変化せず，どちらも動かない．
以上の議論からわかるように，STSCAは 3値 3近傍の CAとみなすことが可能であり，次
の時間発展規則を満たす CAと同一視できる．
000
0
001
0
002
0
010
2
011
1
012
1
020
0
021
1
022
1
100
×0
101
0
102
0
110
2
111
1
112
1
120
0
121
×1
122
×1
200
2
201
2
202
2
210
2
211
1
212
1
220
0
221
×1
222
×1
(2)
ここで ×1 などは，時間発展の途中では現れず，初期配置でしかありえない状態からの時間
変化を表す．例えば，100 は前に 2つ空いたサイトがあるにもかかわらずエンジンを切った車
（●）が存在する状態だが，前 2つが空いているということは 1時間ステップ前にはこの車の
前は空いているので，STSCAの規則から，エンジンがかからない状態はあり得ない．同様に，
121 はエンジンのかかった車（灰色の〇）の前後にエンジンを切った車（●）が存在する状態
であるが，STSCAの規則から，この 1時間ステップ前には前後の車は既に存在しているため，
真ん中の車がエンジンをかけた状態になることはありえない．その他も同様である．
STSCAの基本図は数値的に求められており，車の密度が 13 以下では自由走行相に収束する
ことが観測されている [6]．筆者の調べた限りではこの事実を明確に証明した文献は見当たら
なかったので，本稿でその初等的な証明を与えることにする．
2 自由走行状態への収束とその証明
セルの総数を N，車の総数をM とし，周期的な境界条件を課した STSCAを考えよう．自
由走行状態とは，すべての車が次のステップで動く状態を指すものとする．このとき，次の定
理が成立する．
定理 1 M ≤ 13N であれば，任意の初期状態に対して，一定の時間の後に系は自由走行定常
状態になる．
– 29 –
t＝゚ 1 |0|0| 1 |0|●|01| |0| |0| |0I●|0| | | 
t=l □●||0| I●|●| |0| | |0| |OI●|.1 |0| 1 
t=2 Iに）1| 1〇|●|0|1|0| 1 |0|●|●|0| 1|0| 1 
t=3 | | |0| |．I●||0| 1に）1|●|●|●| 10|| |0| 
t=4 |0| | |OI●|0| | |0| | |0|.I●|0| | |0| | 1 
武蔵野大学数理工学センター紀要 No.8 (2023)
定理 1を証明するために，いくつかの定義と補題を用意する．STSCAのある時刻での状態
は，0, 1, 2 からなる要素数 N の有限数列で記述される．例えば，
2002120020202001111200000020000
のような数列である．周期的境界条件により，最後の数の「前」にあるのは最初の数である．
状態（012列）を記号 ϕで表す．
定義 1 状態 ϕを次の 4通りの領域に分割する：
Ak : k 個の”20”が並んだ（2020 · · · 20︸ ︷︷ ︸
k 個
）領域．
Bk : k 個の”1”が並んだ（11 · · · 1︸ ︷︷ ︸
k 個
）領域．
B′k : k− 1個の”1”が”2”の前に並んだ（21 · · · 1︸ ︷︷ ︸
k 個
）領域．(B′1 は 2の前に Ak が（20が）存
在する 1つの要素からなる領域．）
Ck : A, B, B
′ 領域を除いてできる”0”が k 個並んだ（00 · · · 0︸ ︷︷ ︸
k 個
）領域．
例 1 次の状態 ϕは（周期境界条件に注意して）
001112002020200002110220200200 → 00∥111∥20∥0∥202020∥000∥211∥0∥2∥2020∥0∥20∥0
のように分割され，ϕ = B3A1C1A3C3B′3C1B′1A2C1A1C3 である．
注意 1 自由走行状態は領域 Ak と Ck のみから構成される．
次の命題は有限サイト数の CA系に基本的な命題であり，STSCAが有限時間ステップ内に
周期軌道に収束することを保証する．自明な事実として明示されずに使われることが多いが，
ここでは念のために証明を述べておく．
命題 1 有限自由度の決定論的な力学系は，任意の初期状態に対して有限時間内に周期軌道に
収束する．ただし，時間的に不変な状態も 1周期軌道とみなす．
証明 系の時間ステップ t での状態を ϕ(t) とする．t ∈ Z≥0，初期状態を ϕ(0) としても
一般性を失わない．有限自由度であるので，系の取りうる状態の数も有限であり，その数
を K とする．すると，{ϕ(t)}Kt=0 の中には少なくとも 2 つ同じ状態が存在する．これを
ϕ(t1)，ϕ(t1 + T ) (T > 0) とすると，決定論的力学的であるので，任意の j ∈ Z≥0 に対して
ϕ(t1 + j) = ϕ(t1 + j + T )．よって，周期軌道に収束する． □
次の補題は，20が常に前方に 1だけ進むことから明らかである．
補題 1 ある時刻での状態が Ak, Ck のみから構成されていれば，その時刻以降は，各時間ス
テップでその状態が 1ずつ平行移動する自由走行状態になる．
– 30 –
Slow-to-start CA 交通流モデルの安定性 (時弘)
命題 1と補題 1により，収束した周期軌道のすべての点（状態）で，領域 Bk および B′k が存
在しないことを示せば，定理 1が示される．
補題 2 M < 13N であれば，任意の時刻において少なくともひとつは状態 Ck (k ≥ 2）が存
在する．M = 13N のとき，Ck (k ≥ 2) が存在しないなら，その状態は A1C1 が繰り返す状態
である．
証明 Ak に含まれるサイト数は 2k であり，k 台の車が含まれる．一方，Bk, B′k に含まれる
サイト数は k であり，k 台の車が含まれている．ゆえにM < 13N とすると， 領域 A, B の数
は高々M であり，せいぜい 2M サイトしか Aと B の領域が占めるサイトはなく，残りは領
域 C であり，領域 C の占めるサイト数は N − 2M > M である．仮に，領域 A, B の間に C1
を入れていってもそれでは全サイト数が N に満たないので，少なくともひとつは Ck (k ≥ 2)
が存在する．同様に考えて，M = 13N の場合には，すべて A1 でその間に C1 を入れる以外に
Ck(k ≥ 2) が存在しない状態はない． □
補題 3 領域 Ck は次の時間ステップで Ck のまま 1前にシフトするか Ck−1 になる．(k = 1
では消滅する．）また，新しく生じる C 領域は k = 1である C1 のみである．
証明 領域 C はその両隣の領域が，ACA, ACB, BCA, BCB の 4通りのケースがある．（以
下の議論は B を B′ としても変わらない．）ACA では C の領域の大きさは変化せず，ACB
では領域は 1減少する．BC は，...1∥0... → ...20... となり A を生じるので，BCB では次の
時刻に領域が減少，BCA では領域の大きさは変化しない．以上からすべての場合に領域は非
増加である．また，領域の大きさが一定の場合，領域 C は 1前に進んでいる．
領域 C が発生するのは，BA もしくは B′A の境界のみであり，...1∥20... → ...1∥0∥2... ま
たは ...2∥20... → ...1∥0∥2... のみであるので，C1 しか生じない． □
補題 4 領域 B（B′ を含む）の数は増加しない．
証明 領域の生成や消滅は，各領域の境界のみで生じる．B を含まない境界 AC や CAで B
が生じることはないので B の数は増加しない． □
定理 1の証明
命題 1より，系は有限時間ステップで周期軌道に落ち着く．この周期軌道に領域 B が存在
すると仮定する．このとき，周期性と補題 4により，その数は不変である．
いま領域 C のうち周期軌道内で最大の領域を持つものを Cm とする．補題 2より，m ≥ 2
– 31 –
武蔵野大学数理工学センター紀要 No.8 (2023)
としてよい．補題 3により，周期軌道内では Cm の大きさは変化せず，各時間ステップで 1前
に進む．他方，領域 B は前に進むことはない（AB の境界で 1を生じて後ろに展開してゆくこ
とはある．）今，周期軌道に入った後のある時刻において，最大の領域を持つ Cm のうち，そ
の前に領域 B が存在するものを一つを選ぶ．（その間に領域 Aが存在しても Aは B に吸収さ
れるので以下の議論に影響はない．）Cm は進行し，やがて領域 B に衝突する．このとき，領
域 B が消滅しない限り Cm はその大きさを 1減じる．補題 3より，領域 C が非増加であるた
め，これは軌道が周期軌道であることと矛盾する．よって，領域 B が存在するとした仮定は
正しくなく，領域 B は周期軌道内には存在しない．Aと C のみからなる状態は自由走行状態
である．以上により，定理 1が証明された． □
3 最後に
本稿では，STSCA では密度が 1/3 以下では必ず自由走行定常状態に収束することを示し
た． 13 から 12 まででは，初期状態に依存して完全に自由に走行する状態と中間的な状態–自由
に走行する車と止まった車が存在する状態–が現れることは容易に示される．その意味で， 13
は臨界点になっている．しかし，実際に観測されたデータでは，このような臨界点は 15 あたり
にあることが示されている [7, 8]．これを再現するには，何らかのモデルの改良が必要である．
一つの方法はルール 184CA で行ったファジー化であり [9]，線形安定性を議論すると密度 15
近辺で渋滞相が不安定になることが証明される [10]．ファジー化による STSCAについてはま
だ不明な点も多く今後の研究の進展が望まれる．また，確率的な拡張も興味深い将来の課題で
ある．
参考文献
[1] K. Nagel and M. Schreckenberg, A cellular automaton model for freeway traffic,
Journal de Physique I, EDP Sciences, 2 (12), 2221-2229 (1992).
[2] S. Wolfram: Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific, Sin-
gapore (1986).
[3] M. Fukui and Y. Ishibashi, Traffic Flow in 1D Cellular Automaton Model including
Cars Moving with High Speed. J. Phys. Socc Jpn., 65, 1868-1870 (1996).
[4] Lubashevsky, I., Mahnke, R., Wagner, P., Kalenkov, S.: Long-lived states in syn-
chronized traffic flow: Empirical prompt and dynamical trap model, Phys. Rev. E
66, 016117-1 (2002)
[5] M. Takayasu and H. Takayasu, 1/f noize in a traffic model. fractals, 1(4), 860 – 866
(1993).
[6] A. Schadschneider, D. Chowdhury and K. Nishinari, Stochastic Transport in Com-
– 32 –
Slow-to-start CA 交通流モデルの安定性 (時弘)
plex Systems - From Molecules to Vehicles, Elsevier Science (2011).
[7] F. L. Hall, B. L. Allen, and M. A. Gunter, Empirical analysis of freeway flowdensity
relationships, Transportation Research Part A: General, 20(3):197–210 (1986).
[8] B. S. Kerner, Introduction to Modern Traffic Flow Theory and Control : The Long
Road to Three-Phase Traffic Theory. Springer (2009).
[9] K. Higashi, J. Satsuma and T. Tokihiro, Rule 184 fuzzy cellular automaton as a
mathematical model for traffic flow, Japan J. Indust. Appl. Math. 38, 579–609
(2021).
[10] K. Higashi, J. Satsuma and T. Tokihiro, Fuzzy cellular automaton with slow-to-start
property, preprint.
(原稿提出: 2022年 10月 22日; 修正稿提出: 2023年 1月 21日)
– 33 –


Stability of slow-to-start CA traffic model

コ, ウリ

Ko, Woo Li

Case Study on Marketing Strategy Direction in the Electric Vehicle Era : Focusing on the Case of Hyundai Motors Case of Re-entry into the Japanese Market

風袋, 宏幸

FUTAI, Hiroyuki

Classroom Redesign Challenge

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