Repositorio Institucional de CIMAT
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FUNCIONES ISOPARAMÉTRICAS Y ECUACIONES DE TIPO YAMABE
Get PDFSe prueba la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones en derivadas parciales no-lineales en variedades Riemannianas. Las ecuaciones que se consideran son similares a la ecuación de Yamabe. La ecuación de Yamabe aparece al estudiar la existencia de métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme [g] de una métrica Riemanniana g en una variedad M.
Resolver esta ecuación es de gran interés geométrico y de una gran complejidad técnica, debido a la aparición del exponente crítico de Sobolev, que hace el problema interesante también desde un punto de vista analítico.
Gracias a los trabajos de H. Yamabe, N. Trudinger, T. Aubin, R. Schoen, se sabe que la ecuación tiene al menos una solución para cualquier variedad Riemanniana cerrada, y muchos trabajos se han realizado estudiando el espacio de todas las soluciones de la ecuación. También es de interés geométrico y analítico encontrar soluciones nodales, es decir, soluciones que cambian de signo, de la ecuación de Yamabe.
Con esta motivación, estudiamos la ecuación de Yamabe sobre productos de esferas y ecuaciones de tipo Yamabe (con exponente subcrítico), sobre productos de esferas y sobre el espacio proyectivo complejo.
En el caso del producto de esferas, mostramos la existencia y multiplicidad de soluciones positivas y existencia de soluciones degeneradas, de la ecuación de tipo Yamabe, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno del grupo O(n+1), que dependen no trivialmente de ambos factores. Esto es particularmente importante, porque es un problema fundamental en la teoría de la ecuación de Yamabe, entender si en ciertas situaciones las soluciones a la ecuación en productos Riemannianos, sólo dependen de uno de los factores.
Obtenemos también resultados de multiplicidad de soluciones nodales de la Ecuación de Yamabe, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno del grupo O(n+1), que dependen no trivialmente de ambos factores.
En el caso del espacio proyectivo complejo, mostramos la existencia y multiplicidad de soluciones positivas y existencia de soluciones degeneradas, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno, del grupo U(n)
A MODEL OF USERS INTERACTION IN A SOCIAL NETWORK USING RANDOM GRAPHS
Get PDFTwitter is an online social network, specifically, it is a micro-blogging composed of short messages on any topic. In these messages the users can interact with other users. Thus, due to the interaction of users is significantly in different areas such as marketing and politics. We try to model this behavior using random graphs.
The objective of this work is to model the interaction of users in a social network through time. We are interested in describing things like: How many links are added at every step and how they appear at every step. If there are differences between the links from the current nodes and from the new nodes. Which is the distribution for in-degree and out-degree through time.
What is the value of the biggest in-degree and out-degree. Even more, how is the network at the end of the process. In other words, we want to know how the network grows.
We propose a model which is a variation to the Barabasi-Albert preferential model with the main differences that our consider 1) directed edges and 2) two types of preferential interactions are considered
ESTABLECIMIENTO DE ENTORNOS PARA LA INTEGRACIÓN DE EQUIPOS ALTAMENTE EFECTIVOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE GAMIFICACIÓN
Get PDFActualmente, el desarrollo de software es realizado por equipos de trabajo donde existen diversos factores que intervienen en su rendimiento. Un factor importante en el trabajo en equipo es lograr la integración correcta de las personas que lo conforman, porque está fuertemente vinculada con el nivel de cohesión y desempeño del equipo, por esta razón es fundamental que todo profesionista dentro del área de ingeniería de software cuente con la capacidad para trabajar en equipo.
Basado en lo anterior, la adecuada integración de un equipo de trabajo influye en el rendimiento del mismo, por lo que, se deben complementar sus habilidades, conocimientos y estilos interactivos de cada miembro, para obtener como resultado un equipo altamente efectivo. Esta situación resalta la importancia de enfocarse en el factor humano para ayudar a las organizaciones a reducir el riesgo de fallas debido a problemas de integración en el desarrollo de software.
Las actividades para integrar un equipo son importantes, porque permiten fortalecer las relaciones tanto personales como profesionales entre sus miembros. Al día de hoy, existe una gran variedad de actividades para realizar la integración de un equipo, con el objetivo de mejorar la comunicación, la coordinación y el trabajo en equipo, siendo de gran apoyo para mejorar su desempeño independientemente del área donde éste realiza sus actividades.
En este contexto, esta investigación presenta una herramienta que permite identificar los roles de un equipo de desarrollo de software, mediante en la construcción de una máquina virtual de Rube Goldberg y con el apoyo de técnicas de gamificación; para esto se han utilizado las actividades descritas en la metodología de TSPi, y de esta forma se presente un camino atractivo para integrar equipos de desarrollo de software
Ergodicidad del proceso de difusión de COx-Ingersoll-Ross con saltos
Get PDFEl objetivo general del presente trabajo es estudiar propiedades ergódicas
de la difusión de Cox-Ingersoll-Ross con saltos (JCIR), que es una extensión
del conocido proceso de Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Sus saltos son descritos
por un subordinador. Se elaboró un documento autocontenido que estudia la
teoría de los procesos de Lévy y su estructura de saltos, así como los
procesos de ramificación continua. Ambas familias de procesos están relacionadas
con los procesos CIR y JCIR. Además se estudia la estabilidad de procesos de
Markov; tema que es indispensable para la problemática en estudio. Como
resultado fundamental, se prueban condiciones suficientes sobre la medida
de Lévy asociada a los saltos del proceso JCIR que determinan si este último
es ergódico o exponencialmente ergódico. Además, se prueba una caracterización
de la existencia de los momentos truncados de la difusión JCIR, íntimamente
relacionada con la medida de Lévy del subordinador asociado. A su vez se mejoró
la metodología de algunos trabajos previos, en el sentido de que presentamos
demostraciones alternativas
SOBRE EL ESPECTRO DE MATRICES LAPLACIANAS
Get PDFEl estudio del espectro asintótico de diversos tipos de matrices aleatorias ha sido un tema de interés en las últimas décadas. Entre muchos otros aspectos, se han considerado estudios sobre la distribución empírica espectral y el comportamiento asintótico del mayor eigenvalor para una diversidad de matrices aleatorias.
En el caso de matrices laplacianas de gráficas aleatorias Ding y Jiang (2010) obtuvieron que la distribución empírica espectral converge débilmente a la convolución libre de una distribución semicírcular con una distribución normal, además de abordar el estudio asintótico del mayor eigenvalor de una matriz laplaciana aleatoria.
Por otra parte, en un artículo publicado recientemente Bandeira (2018) estudia problemas de optimización convexa en los que usa la técnica de relajación para obtener problemas de programación semidefinida, en donde el comportamiento del mayor eigenvalor de una matriz laplaciana determina la unicidad de la solución del problema de optimización. Además,
Bandeira (2018) considera la estimación del mayor eigenvalor mediante el máximo elemento de la diagonal del laplaciano.
El objetivo principal de esta tesis es mostrar cómo los resultados Ding y Jiang (2010) pueden ser usados para dar un marco general a varios de los resultados y aplicaciones de Bandeira (2018). Considerar este enfoque permite dar demostraciones diferentes, así como obtener extensiones de algunos resultados. También este enfoque nos permitió plantear una conjetura sobre la aproximación a la densidad de la convolución libre de la distribución semicírcular y una distribución normal como una mezcla de las densidades de éstas. Finalmente presentamos un resultado que obtuvimos sobre la distribución asintótica del mayor eigenvalor de matrices laplacianas que provienen de matrices simétricas con entradas normales estándar, lo cual es distribución Gumbel
Topological, geometric and combinatorial properties of random polyominoes
Get PDFWe study two models of random shapes in this thesis: the Eden Cell Growth Model (EGM) and uniform and percolation distributed polyominoes (also known as lattice-based animals). These models have long been of interest in mathematical physics, probability, and statistical mechanics. Both structures have interesting topological, combinatorial, and geometrical properties. However, until now, tools from stochastic topology and topological data analysis have not been used to study these properties. By introducing these methods and techniques, we established and proved new results that increase the understanding of topological, geometric, and combinatoric properties of these random models.
First, we study the maximum number of holes (the rank of the first homology group) that a polyomino with a given number of tiles can have. We prove a tight bound for the asymptotic behavior and give an exact formula for an infinite sequence of natural numbers for this maximum number of holes. Our second set of contributions of this thesis are about the rate of growth of the expectation of the number of holes in a polyomino with uniform and percolation distributions. We prove the existence of linear bounds for the expected number of holes of a polyomino with respect to both the uniform and percolation distributions. Furthermore, we exhibit particular constants for the upper and lower bounds in the uniform distribution case. Finally, we characterize how the rank of the first homology group, of the stochastic process defined by the EGM, changes in time. This allowed us to design and implement a new algorithm that computes the persistence homology associated to this stochastic process at each time and that keeps track of geometric features of the homology of the process as the area and location of the holes. We present and analyze the results of the computational experiments obtained with this algorithm. We also state conjectures based on these experiments about the asymptotic behavior of the number of holes, the locations of these holes, their associated area, and other geometric and topological properties of this stochastic process
Control Policies and Vector Behavioral Effects in Modeling Vector-Host Interactions: Novel Applications for Cutaneous Leishmaniasis in Peru
Get PDFAn appreciation of the the dynamics of cutaneous leishmaniasis, a vector-borne microparasite disease in Peru is the focus of this doctoral dissertation.Specifically, this research is concentrated on vectors behavior, its modeling, its mathematical analysis and control measures suggested for public health. This work is based on using and deploying mathematical methods, computational techniques, and epidemiological approaches to gain insight into control policies and vector-host interactive behaviors. Control policies in public health are not used properly in poor communities of developing countries for controlling the spread of neglected vector-borne diseases. These vector-borne diseases include leishmaniasis, dengue, chagas, malaria and others. A basic model for the transmission dynamics between vectors and hosts, with extrinsic incubation period in vectors, is designed first. This vector-host model proves evidence that a backward bifurcation can occur under certain conditions. The traditional control measures for vector-borne diseases, as well as any other illnesses, suggests reducing the basic reproduction number R_0 below the value one. This strategy is not sufficient when a backward bifurcation occurs. Modeling cutaneous leishmaniasis with Peru as a specific example is relevant because this neglected disease is causing thousands of cases annually. Parameters for the cutaneous leishmaniasis model in Peru are collected from the empirical studies of Peruvian entomologists. These parameters are collected from the information provided by the Ministry of Health of Peru (MINSA) and collected from the information provided by the Statistics National Institute of Peru (INEI). The uncertainty of the parameters suggests that we cannot guarantee the avoidance of a backward bifurcation range. It is important to be attentive to the appearance of phenomena that could make eradication more difficult. Local and global sensitivity analyses agree that R_0is most sensitive to the number of bites by a female sandfly and its natural mortality rate. The former dependency suggests verypractical control policies.
Moreover, the first model is extended to a second model that includes intrinsic incubation in hosts and vector feeding preferences for carrier hosts. Analysis of the model reveals the following novel results. Vector feeding preference for carrier hosts plays an important role for the existence of the endemic equilibria and the existence of the backward bifurc
MATHEMATICAL MODELING OF POROUS SILICON FORMATION PROCESS
Get PDFEl silicio poroso es un material nanoestructurado con aplicaciones en Medicina, Química, Óptica, Biología, Electrónica y Fotónica, entre otros. Desde su descubrimiento en 1956 por Uhlir hasta nuestros días, se han estudiado y analizado varias aplicaciones y propiedades. Los científicos experimentales han demostrado que las aplicaciones y propiedades están determinadas por su estructura porosa.
El silicio poroso se obtiene mediante una anodización electroquímica de una oblea de silicio que tiene como electrolito una solución que contiene ácido fluorhídrico. Este proceso involucra diversos fenómenos químicos y físicos como: difusión, migración, reacción química, generación y recombinación de huecos e iluminación entre otros, y se lleva a cabo bajo la variación de factores experimentales como: densidad de corriente, tiempo de anodización, concentración de impurezas, temperatura, etc. La anodización de silicio es un proceso muy complejo y su comprensión permite reproducir o predecir propiedades y aplicaciones de silicio poroso.
Para estudiar cómo cambia la estructura porosa, se han desarrollado modelos empíricos que analizan diferentes muestras de silicio modificando solo uno de los factores experimentales. La principal desventaja de estos modelos es que requieren una gran cantidad de muestras y, por lo tanto, un costo considerable para su análisis. Sin embargo, el análisis experimental es fundamental para el estudio y la validación de modelos matemáticos y computacionales.
Los modelos matemáticos y computacionales se han utilizado para reproducir fenómenos específicos analizados en los modelos empíricos, dichos modelos se basan principalmente en
el modelo Diffusion Limited Aggregation (DLA) propuesto por Witten y Sanders. Por ejemplo, Smith y Collins formularon un modelo para describir el mecanismo y la morfología de la formación de silicio poroso
ESTUDIO DE LA AFPP EN ESPACIOS DE BANACH PARTICULARMENTE EN ALGUNOS RENORMAMIENTOSDE C0 Y L1
Get PDFEn la primera parte de este trabajo indagamos sobre una relacion entre
la propiedad de punto jo y la propiedad de punto jo aproximada en un
espacio de Banach X.
Denicion 1. Sea X un espacio de Banach. Decimos que un subconjunto
K X tiene la propiedad de punto jo (fpp) si para toda T : K ! K no
expansiva ( i.e. kTx Tyk kx yk), existe x 2 K tal que T(x) = x.
Decimos que X tiene la propiedad de punto jo, si cada subconjunto convexo,
cerrado y acotado tiene la fpp.
Denicion 2. Sea K X, convexo y cerrado. Decimos que K tiene la
propiedad de punto jo aproximada (AFPP) si para toda T : K ! K no
expansiva
inf fkTx xk : x 2 Kg = 0
Preguntamos si existe una conexion entre la manera en que cambian las
respectivas colecciones de conjuntos con la fpp y con la AFPP en un espacio
de Banach, al considerar normas equivalentes en el espacio.
Trabajando en el espacio de sucesiones convergentes a 0, obtenemos que es
posible renormar este espacio, jando la coleccion de conjuntos con la fpp,
pero modicando la clase de conjuntos con la AFPP. Esto nos da un respues-
ta negativa a la cuestion inicial.
2. Al centrar nuestra atencion en el hecho de que en c0 es posible modicar
la clase de conjuntos con la AFPP mediante algunos renormamientos equiva-
lentes (hecho que no es posible en espacios re
exivos) estudiamos la cuestion
de si esto mismo sucede en cualquier espacio no re
exivo. Para ello, de forma
natural, denimos un concepto de estabilidad para la AFPP segun el cual,
consideramos que la coleccion de conjuntos con la AFPP en un espacio de
Banach es estable, cuando es invariante bajo normas equivalentes y proba-
mos que tal enfoque nos conduce a una nueva caracterizacion de re
exividad,
al establecer que un espacio de Banach es re
exivo si y solo si la coleccion
de conjuntos convexos, cerrados y con la AFPP es estable en este sentido.
Adicionalmente establecemos que si un espacio no es re
exivo siempre es po-
sible modicar la coleccion de conjuntos con la AFPP mediante una norma
equivalente arbitrariamente cercana a la norma original.
3. Un resultado por P.K Lin en 2010 establece que es posible renormar `1
para que este espacio tenga la propiedad de punto jo para funciones no
expansivas. En la tesis calculamos un predual para el espacio de Lin y pro-
bamos que este espacio no tiene la propiedad de punto jo, dando un nuevo
2
ejemplo de un espacio de Banach sin la fpp tal que su dual s tiene la fpp
Discrete Volume Method A VARIATIONAL APPROACH FOR BRITTLE FRACTURE
Get PDFLa tesis presenta una propuesta para simular la mecánica y dinámica del fenómeno de fractura frágil. Se plantea una formulación variacional que consiste en minimizar la diferencia entre la energía potencial y la energía cinética del sistema, obteniendo así un par de ecuaciones diferenciales parciales, cuya solución corresponden al campo de desplazamientos y al campo de daño respectivamente. Estas ecuaciones están acopladas en el sentido de que el campo de daño se usa en la primer ecuación y el de desplazamientos en la segunda.
En este trabajo se propone un método numérico basado en volúmenes de control para resolver las ecuaciones diferenciales, además el modelo se extiende para soportar la separación de los volúmenes de control, tratándolos posteriormente como elementos discretos, esto permite calcular con precisión el campo de esfuerzos y la aparición de fracturas internas que pueden propagarse a través del dominio y crear múltiples bifurcaciones.
Para integrar las ecuaciones dentro de los volúmenes de control se introducen splines polinomiales, el autor los refiere como splines homeostaticos, ya que sus derivadas son nulas en los vértices y el cambio de la función entre dos volúmenes contiguos es suave. Además, se propone una función de forma con componentes trigonométricas para el análisis dinámico, permitiendo pasos de tiempo más grandes que con enfoques tradicionales.
Finalmente se realizan diez experimentos numéricos para mostrar la eficacia del método y contrastar los resultados con aquéllos publicados por otros autores