Annales de l’institut Fourier (AIF)

Lemmens, Bas

Roelands, Mark

Unique geodesics for Thompson’s metric

Bouafia, Philippe

De Pauw, Thierry

Goblet, Jordan

Existence of $p$ harmonic multiple valued maps into a separable Hilbert space

Xiao, Jian

Weak transcendental holomorphic Morse inequalities on compact Kähler manifolds

Jammes, Pierre

AN
N
A
L
E
S
D
E
L’INSTI
T
U
T
F
O
U
R
IE
R
ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Pierre JAMMES
Une inégalité de Cheeger pour le spectre de Steklov
Tome 65, no 3 (2015), p. 1381-1385.
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
65, 3 (2015) 1381-1385
UNE INÉGALITÉ DE CHEEGER POUR LE SPECTRE
DE STEKLOV
par Pierre JAMMES
Résumé. — On montre une inégalité de Cheeger pour la première valeur propre
de Steklov. Elle fait intervenir deux constantes isopérimétriques.
Abstract. — We prove a Cheeger inequality for the first positive Steklov
eigenvalue. It involves two isoperimetric constants.
Soit M une variété compacte à bord et γ ∈ C1,1(M), ρ ∈ C0(∂M) deux
fonctions densités strictement positives sur M et ∂M respectivement. Le
problème aux valeurs propres de Steklov consiste à résoudre l’équation,
d’inconnues σ ∈ R et f : M → R,
(1)
{
div(γ∇f) = 0 dans M
γ ∂f∂ν = σρf sur ∂M
où ν est un vecteur unitaire sortant normal au bord. On parle de problème
de Steklov homogène quand γ ≡ 1 et ρ ≡ 1, et le cas γ 6≡ 1 se rattache au
problème de Calderón. L’ensemble des réels σ solutions du problème forme
un spectre discret positif noté
(2) 0 = σ0(M, g, ρ, γ) < σ1(M, g, ρ, γ) 6 σ2(M, g, ρ, γ) . . .
C’est le spectre d’un opérateur Dirichlet-Neumann H1(∂M) → L2(∂M)
défini par Λρ,γu = γρ
∂Hγu
∂ν , où Hγu est le prolongement harmonique de u
pour la densité γ, c’est-à-dire que div(γ∇(Hγu)) = 0. Il est auto-adjoint
pour la norme de Hilbert ‖u‖2 =
∫
∂M
u2ρdvg (voir [2], [13] et [14]). Ce
spectre possède une caractérisation variationnelle ; on a en particulier pour
Mots-clés : inégalité de Cheeger, spectre de Steklov.
Classification math. : 35P15, 58J50.
1382 Pierre JAMMES
la première valeur propre :
(3) σ1(M, g, ρ, γ) = inf
f∈H1(M)∫
∂M
f2ρ dvg=0
∫
M
|df |2 γ dvg∫
∂M
f2 ρdvg
.
L’objet de cet article est de donner une minoration de σ1(M) en fonction
d’invariants isopérimétriques qui est analogue à l’inégalité de Cheeger pour
la première valeur propre du laplacien. Pour ce faire, on introduit les no-
tations suivantes : si D est un domaine de M , on note ∂ED = ∂D ∩ ∂M le
bord « extérieur » de D et ∂ID = ∂D\∂ED son bord intérieur. Les volumes
n et (n− 1)-dimensionnels seront calculés relativement aux densités γ et ρ
et notés | · |γ et | · |ρ. On pose alors
(4) h(M, g, γ) = inf
|D|γ6
|M|γ
2
|∂ID|γ
|D|γ
et h′(M, g, ρ, γ) = inf
|D|γ6
|M|γ
2
|∂ID|γ
|∂ED|ρ
.
Quand γ ≡ 1, la constante h est la constante de Cheeger classique ; la pre-
mière valeur propre non nulle du laplacien de Neumann sur M est minorée
par h2/4 ([5],[4]). Des analogues dans le cas γ 6≡ 1 ont été introduits dans
[3] et [6]. La constante h′ intervient spécifiquement dans le problème de
Steklov. Après avoir écrit la première version de cet article, j’ai appris que
J. Escobar définit une constante presque identique à h′ dans [8] dans le but
de minorer σ1. Mais l’inégalité qui suit, plus simple et plus explicite que
celle de [8], semble avoir échappé aux recherches menées jusqu’à présent :
Théorème 1. — Soit (M, g) une variété riemannienne compacte à bord
munie des densités ρ et γ sur ∂M et M . On a h′(M) > 0 et
σ1(M) >
h(M) · h′(M)
4 .
Remarque 2. — On peut en fait montrer deux inégalités différentes : si
on modifie légèrement les définitions de h et h′ en remplaçant la condition
|D|γ 6 |M |γ/2 par |∂ED|ρ 6 |∂M |ρ/2, la démonstration reste valide mais
les constantes isopérimétriques ne sont plus les mèmes. En particulier, la
constante h′ est remplacée par la constante définie par Escobar.
Remarque 3. — Si on multiplie la métrique par λ2 (λ > 0), alors σ1 et
h sont divisés par λ et h′ est invariant. Pour des raisons d’homogénéité,
on ne peut donc pas avoir une minoration de σ1 de la forme c · hα · h′β où
c > 0, α 6= 1 et β ∈ R sont des constantes universelles. Le cas α = 1 et
β < 1 est exclu par l’exemple qui suit.
Exemple 4. — Soit (M, g) une variété close. Le spectre de Steklov
(homogène) de Mn = M × [0, 1n ] a été calculé dans [7] (lemme 6.1) et
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
UNE INÉGALITÉ DE CHEEGER POUR LE SPECTRE DE STEKLOV 1383
σ1(Mn) ∼ 1n quand n→∞. On peut encadrer h(Mn) uniformément : étant
donné un domaine D de Mn, on considère 2n copies de Mn qu’on recolle le
long de leurs bords pour obtenir une variété M × S1 dont la métrique est
indépendante de n, et on construit un domaine D′ ⊂ M × S1 en recollant
les domaines D par réflexion le long du bord. On obtient alors |D′| = 2n|D|
et |∂D′| = 2n|∂ID| donc |∂ID|/|D| = |∂D′|/|D′| > h(M ×S1) et h(Mn) >
h(M × S1). En considérant un domaine de la forme D = U × [0, 1n ] avec
U ⊂M , on voit que h(Mn) est majoré par une constante.
On peut aussi estimer h′ : l’exemple d’un domaine U × [0, 1n ] montre que
h′(Mn) 6 cn pour une constante c > 0. Réciproquement, pour un domaine
D fixé, |∂DE | est indépendant de n et le volume de ∂DI sur Mn vérifie
|∂DI |n > |∂DI |1/n. Par conséquent, h′(Mn) > h′(M1)/n.
On voit que sur cet exemple, l’exposant de h′ dans l’inégalité est optimal.
Exemple 5. — On considère encore la variété M × [0, L] où M est une
variété close, mais on suppose que L→ +∞. Dans ce cas, on a σ1 = 1/L.
Parmi les domaines D de volume fixé suffisamment grand, l’aire de ∂ID est
minimisée par les hypersurfaces ∂ID = M × {x}, par conséquent h = 2/L
et h′ = 1. Dans cet exemple, c’est h qui tend vers 0 quand σ1 → 0 et pas
h′.
Exemple 6. — Dans [10] (section 2), A. Girouard et I. Polterovich
construisent une famille de domaines du plan (formés de deux disques reliés
par une anse fine) pour lesquels σ1, h et h′ tendent vers zéro. Contraire-
ment à la remarque et aux exemples qui précèdent, le volume reste borné
inférieurement et supérieurement.
Exemple 7. — Les « haltères de Cheeger généralisées » construites
par P. Guérini dans [11] fournissent des exemples à mi-chemin entre les
exemples 4 et 6 ; on va ici étudier le cas de la dimension 3. étant donné un
ε > 0, dans R3 muni d’un repère (Oxyz) on considère le cercle unité S1
et le disque unité D2 du plan (Oxy), et on définit les domaines V1 = {p ∈
R3, d(p, S1) < 14} et V2 = D
2×]−ε, ε[. La variété définie par Mε = V1∪V2
est homéomorphe à une boule et sa constante isopérimétrique h′ tend vers 0
quand ε→ 0 (considérer un domaine D ⊂Mε de la forme U×]− ε, ε[ avec
U ⊂ (Oxy) contenu dans le disque de centre O et rayon 3/4). On a aussi
σ1(Mε) → 0 : il suffit de fixer une fonction test (Oxy) → R d’intégrale
nulle et à support dans le disque de centre O et rayon 3/4 et de la rele-
ver à R3. Dans la formule (3), le numérateur sera proportionnel à ε tandis
que le numérateur reste constant. En construisant de la mème manière
un espace test de dimension arbitrairement grande, on montre qu’en fait
TOME 65 (2015), FASCICULE 3
1384 Pierre JAMMES
toutes les valeurs propres tendent vers 0. Ce phénomène d’« effondrement
du spectre » avait déjà été observé par A. Girouard et I. Polterovich sur
l’exemple précédent.
Démonstration du théorème. — On fixe une métrique g et des densités
ρ et γ. Pour montrer que h′ > 0 il suffit de traiter le cas homogène, le cas
général s’y ramène car les densités sont continues, donc encadrées par des
constantes strictement positives. On se donne un ε ∈]0, 1] dont la valeur
précise sera fixée plus tard. Si |∂ED| 6 (1− ε)|∂M |, où D est un domaine
intervenant dans la définition de h′, J. Escobar montre dans [9] que le
rapport |∂ID|/|∂ED| est minoré par une constante K(ε) > 0 (il ne traite
que le cas ε = 12 mais sa démonstration se généralise immédiatement). Si
|∂ED| > (1−ε)|∂M | on utilise le fait que le volume deM\D est minoré par
|M |/2 pour tout D, et donc qu’il existe une constante C(g) > 0 telle que
|∂(M\D)| > C. On a alors |∂ID| = |∂(M\D)|− |∂M\∂ED| > C+ |∂ED|−
|∂M | > C− ε|∂M |. En choisissant ε suffisamment petit par rapport à C et
|∂M |, on a donc |∂ID| > ε|∂M | > ε|∂ED| ce qui permet de conclure.
On montre maintenant la minoration de σ1. Afin d’alléger les notations
on n’explicitera pas les références aux densités, celles-ci étant générale-
ment évidentes. Soit f une fonction propre sur M de la première valeur
propre σ1(M). On choisit son signe de sorte que M+ = f−1([0,+∞[) vé-
rifie |M+| 6 |M |/2 (ou |∂EM+| 6 |∂M |/2 si on suit la remarque 2). La
fonction f restreinte à M+ est alors la première fonction propre du pro-
blème de Steklov sur M+ avec condition de Dirichlet sur ∂IM+, pour la
valeur propre σ1. Rappelons que problème de Steklov avec condition de Di-
richlet sur une partie du bord de la variété est bien défini, que son spectre
est strictement positif et qu’on a aussi la relation σ1 =
∫
M+
|df |2/
∫
∂M+
f2
(cf. [1]). Par conséquent on peut écrire, en utilisant l’inégalité de Cauchy-
Schwarz :
(5)
σ1 =
∫
M+
|df |2∫
∂M+
f2
=
(∫
M+
f2
) (∫
M+
|df |2
)(∫
M+
f2
) (∫
∂M+
f2
) > (∫M+ f |df |)2(∫
M+
f2
) (∫
∂M+
f2
)
>
1
4
(∫
M+
|d(f2)|
)2(∫
M+
f2
) (∫
∂M+
f2
) = 14
∫
M+
|d(f2)|∫
M+
f2
·
∫
M+
|d(f2)|∫
∂M+
f2
.
En posant Dt = f−1([
√
t,+∞[), la formule de la co-aire ([12], ch. 5) donne
les trois relations∫
M+
|d(f2)| =
∫
t>0
|∂IDt|dt,
∫
M+
f2 =
∫
t>0
|Dt|dt
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
UNE INÉGALITÉ DE CHEEGER POUR LE SPECTRE DE STEKLOV 1385
et ∫
∂M+
f2 =
∫
t>0
|∂EDt|dt.
Comme |Dt| 6 |M+| 6 |M |/2 (ou |∂EDt| 6 |∂EM+| 6 |∂M |/2) pour
tout t > 0, on en déduit que
∫
M+
|d(f2)| > h
∫
M+
f2 et
∫
M+
|d(f2)| >
h′
∫
∂M+
f2, et donc que σ1 > 14hh
′. 
BIBLIOGRAPHIE
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in Inverse problems in partial differential equations (Arcata, CA, 1989), SIAM, 1990,
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[14] G. Uhlmann, « Electrical impedance tomography and Calderón’s problem », Inverse
Problems 25 (2009), no 12, p. 123011, 39.
Manuscrit reçu le 19 janvier 2014,
accepté le 30 septembre 2014.
Pierre JAMMES
Univ. Nice Sophia Antipolis
CNRS, LJAD, UMR 7351
06100 Nice (France)
pjammes@unice.fr
TOME 65 (2015), FASCICULE 3


Une inégalité de Cheeger pour le spectre de Steklov

Ito, Atsushi

Tiba, Yusaku

Curves in quadric and cubic surfaces whose complements are Kobayashi hyperbolically imbedded

Baird, Paul

Eastwood, Michael

On Functions with a Conjugate

Servi, Tamara

Multivariable Newton-Puiseux Theorem for Generalised Quasianalytic Classes

Ollivier, Rachel

Sécherre, Vincent

Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini

Dehornoy, Pierre

On the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot

Oyono-Oyono, Hervé

Yu, Guoliang

On quantitative operator $K$-theory

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