Annales de l’institut Fourier (AIF)

Bridgeman, Martin

Canary, Richard D.

Renormalized volume and the volume of the convex core

Maculan, Marco

Maximality of hyperspecial compact subgroups avoiding Bruhat–Tits theory

Linowitz, Benjamin

McReynolds, D. B.

Miller, Nicholas

Locally Equivalent Correspondences

Chaudouard, Pierre-Henri

Laumon, Gérard

AN
N
A
L
E
S
D
E
L’INSTI
T
U
T
F
O
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R
ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Pierre-Henri CHAUDOUARD & Gérard LAUMON
Addendum à « Un théorème du support pour la fibration de Hitchin »
Tome 67, no 3 (2017), p. 1005-1008.
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
67, 3 (2017) 1005-1008
ADDENDUM À « UN THÉORÈME DU SUPPORT
POUR LA FIBRATION DE HITCHIN »
par Pierre-Henri CHAUDOUARD & Gérard LAUMON (*)
Résumé. — Cet addendum apporte deux précisions à « Un théorème du sup-
port pour la fibration de Hitchin » : il corrige légèrement la démonstration du
résultat principal et précise que celui-ci vaut encore en caractéristique positive
plus grande que le rang.
Abstract. — This addendum gives precisions to “A support theorem for the
Hitchin fibration”: first it slightly corrects the proof of the main result and second
it notices that the result is still true when the characteristic is positive and greater
than the rank.
Les notations et les références renvoient, sauf mention contraire, à [1].
1. Sur la démonstration du théorème 9.1
Mark Andrea de Cataldo, nous l’en remercions, nous a signalé quelques
faiblesses de rédaction dans la démonstration du résultat central (théo-
rème 9.1) : la distinction entre points géométriques et points de Zariski est
parfois obscure et l’égalité incorrecte de dimensions (ligne 12 p. 721) doit
être remplacée par l’inégalité (1.1) ci-dessous. Pour que les choses soient
claires, on reprend dans ce qui suit les arguments.
Soit Λn l’ensemble des couples (n,m) de suites n = (n1 > · · · > ns) et
m = (m1, . . . ,ms) d’entiers strictement positifs telles que
mi+1 > mi si ni+1 = ni, ∀i = 1, . . . , s− 1,
et
n = n1m1 + · · ·+ nsms.
Mots-clés : Fibration de Hitchin, faisceaux pervers, théorème de décomposition, coho-
mologie relative.
Classification math. : 14F20, 14D20, 14D24.
(*) Pierre-Henri Chaudouard a bénéficié du support de l’Institut Universitaire de France
et des projets Ferplay ANR-13-BS01-0012 et Vargen ANR-13-BS01-0001-01 de l’ANR.
1006 Pierre-Henri CHAUDOUARD & Gérard LAUMON
Pour chaque λ = (n,m) on a un morphisme fini
ιλ : An1 ×k · · · ×k Ans → An
défini par Pιλ(a1,...,as)(u) = P
m1
a1
(u) · · ·Pmsas (u) pour tous points géomé-
triques ai de Ani .
Pour chaque point géométrique a de An, il existe un unique λ = λ(a) ∈
Λn tel que a puisse s’écrire a = ιλ(a1, . . . , as) où les ai sont des points
géométriques des Aellni tels que Pai(u) 6= Paj (u), ∀i 6= j. Les Xni,ai sont les
composantes irréductibles de Xa et, pour chaque i, mi est la multiplicité
de Xni,ai dans le diviseur de Cartier Xa.
Pour tout λ ∈ Λn, on définit une partie localement fermée An,λ, incluse
dans l’image de ιλ dans An, par la condition λ(a) = λ. On obtient alors une
stratification, la strate ouverte étant An,((n),(1)) = Aelln et la strate fermée
étant la strate « nilpotente » An,((1),(n)).
Soit λ ∈ Λn et a un point de Zariski de An,λ ⊂ An. Ce dernier est l’image
par ιλ d’un point ã de An1 ×k · · · ×k Ans dont on note ai la projection sur
Aellni . On a donc (les barres signifiant les adhérences)
{ã} ⊂ {a1} ×k · · · ×k {as}
et donc
(1.1) da = dã 6 da1 + · · ·+ das .
On peut trouver des points géométriques a1, . . . , as localisés en a1, . . . , as
de sorte que a = ιλ(a1, . . . , as) soit un point géométrique localisé en a.
Écrivons λ = (n,m) ∈ Λn et posons n′ = n1 + · · ·+ ns. On définit le point
géométrique a′ de Agrssn′ par Pa′(u) = Pa1(u) · · ·Pas(u). Ainsi Xa′ n’est
autre que la courbe réduite (Xa)red.
On a un homomorphisme de restriction de Xa à Xa′
Jn,a → Jn′,a′
qui est surjectif, et dont le noyau est affine et est une extension successive
de copies du groupe additif. De plus on a un homomorphisme
Jn′,a′ → Jn1,a1 ×k · · · ×k Jns,as
qui est lui aussi surjectif à noyau affine. Par définition de daba et des dabai ,
on déduit de ce qui précède l’égalité
(1.2) daba (Jn) = daba1 (Jn1) + · · ·+ d
ab
as (Jns).
Supposons, de plus, a ∈ Socle(Rf stn,∗Q`). Alors on a, d’une part,
dfn − dAn + da > daba (Jn)
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
UN THÉORÈME DU SUPPORT 1007
d’après le théorème 7.2 (voir le paragraphe 4.12 de [3] pour l’hypothèse sur
la polarisation), et, d’autre part, pour chaque i,
dabai (Jni) > dfni − dAni + dai
d’après le théorème 7.3 appliqué à ai ∈ Aellni . Combinant ces deux dernières
inégalités avec l’égalité (1.2), on obtient
dfn − dAn + da >
s∑
i=1
(dfni − dAni + dai)
En tenant compte de l’égalité
dfn − dAn = n(2g − 2− d) + 1
et de l’inégalité (1.1), il vient
1− s > (n− n1 − · · · − ns)(d− 2g + 2)
qui n’est possible que si s = 1 et n1 = n, c’est-à-dire An,λ = Aelln puisque
l’on a supposé d > 2g − 2.
2. Sur la restriction sur la caractéristique
Un ingrédient crucial dans la démonstration du théorème 9.1 est une
inégalité de type Severi (théorème 7.3). Longtemps celle-ci ne fut connue
qu’en caractéristique nulle. Or récemment, Melo, Rapagnetta et Viviani ont
donné une démonstration de cette inégalité valable en toute caractéristique
(cf. [2, théorème 3.3]). Il s’ensuit que le théorème principal (théorème 9.1)
vaut pour un corps de caractéristique > n. Notons alors le corollaire suivant
du théorème 9.1 et de la formule des traces de Grothendieck–Lefschetz.
Corollaire 2.1. — Soit X une courbe géométriquement connexe, pro-
jective et lisse sur un corps fini de caractéristique > n. Le nombre de classes
d’isomorphie de fibrés de Hitchin sur X, stables de rang n et de degré e
premier au rang ne dépend pas de e.
BIBLIOGRAPHIE
[1] P.-H. Chaudouard & G. Laumon, « Un théorème du support pour la fibration de
Hitchin », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 66 (2016), no 2, p. 711-727.
[2] M. Melo, A. Rapagnetta & F. Viviani, « Fourier–Mukai and autoduality for com-
pactified Jacobians. I », https://arxiv.org/abs/1207.7233, 2012.
[3] B. C. Ngô, « Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie », Publ. Math. Inst.
Hautes Études Sci. (2010), no 111, p. 1-169.
TOME 67 (2017), FASCICULE 3
1008 Pierre-Henri CHAUDOUARD & Gérard LAUMON
Manuscrit reçu le 6 juin 2016,
accepté le 1er mars 2017.
Pierre-Henri CHAUDOUARD
Université Paris-Diderot (Paris 7) et Institut
Universitaire de France
Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive
Gauche
UMR 7586
Bâtiment Sophie Germain, Case 7012
75205 PARIS Cedex 13 (France)
Pierre-Henri.Chaudouard@imj-prg.fr
Gérard LAUMON
CNRS et Université Paris-Sud
UMR 8628
Mathématique, Bâtiment 425
91405 Orsay Cedex (France)
gerard.laumon@math.u-psud.fr
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