Annales de l’institut Fourier (AIF)

Bismut, Jean-Michel

Vasserot, E.

The asymptotics of the Ray-Singer analytic torsion of the symmetric powers of a positive vector bundle

Stefanov, Plamen

Stability of the inverse problem in potential scattering at fixed energy

Amoroso, Francesco

Sur le diamètre transfini entier d'un intervalle réel

Damon, James

The versality discriminant and local topological equivalence of mappings

Azhari, Abdelhak

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
ABDELHAK AZHARI
Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les
singularités des hypersurfaces algébriques
Annales de l’institut Fourier, tome 40, no 1 (1990), p. 103-116
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1990__40_1_103_0>
© Annales de l’institut Fourier, 1990, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »
(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-
nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-
tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-
fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Ann. Inst. Fourier, Grenoble
40, 1 (1990), 103-116
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY
ET LES SINGULARITES DES HYPERSURFACES ALGEBRIQUES
par Abdelhak AZHARI
1. Introduction.
Le travail de E. Bombieri [1] sur la transcendance des valeurs des
fonctions méromorphes, a ouvert la voie à l'étude des degrés d'hypersurfaces
algébriques à singularités données. En liaison avec cette question, M.
Waldschmidt a introduit un invariant algébrique a/t(5) défini comme suit :
DÉFINITION 1. — Soit S un ensemble fini non vide de C71 . Pour
tout entier positif t , on définit 0^(5) comme étant le plus petit des degrés
des hypersurfaces algébriques ayant en chaque point de S une singularité
d'ordre > t , c'est-à-dire :
Ut(S) = min{degP , P € C[zi,..., Zn\ , P ̂  0 , £TP((r) = 0
pour tout a ç. S et T ç. N71 , |r| < t} .
En utilisant la théorie des estimations L2 de Hôrmander et des
théorèmes d'existence pour l'opérateur 9, dus à E. Bombieri [1] et H. Skoda
[6], M. Waldschmidt [7] obtient l'estimation :
M ^(g) < ̂ (s)
v / tz + n - 1 - tî '
Mots-clés : Croisements normaux - Degré d'hypersurface - Estimations L2 - Holomorphe
- Plurisousharmonique - Singularités - Transversalité.
Classification A.M.S. : 32J25.
104 ABDELHAK AZHARI
Cette estimation est fine asymptotiquement quand ^1,^2 -+ +oo ,
mais non optimale pour des valeurs fixées de t\ . G.V. Chudnovsky [2]
conjecture l'inégalité :
/ . ^(S)+n-l ^ ̂ (5)
n ~ t î
qu'il prouve dans le cas n = 2 , en utilisant la théorie de l'intersection.
J.-P. Demailly [3] aboutit au même résultat (**) dans le cas n = 2
par des méthodes analytiques (utilisant des formules de Jensen en plusieurs
variables), et pour n > 2 dans le cas où S contient un polytope complet à
/ o;i(5)+n-l\
\ n )
sommets. Dans ce même article [3] est formulée la conjecture plus générale :
o^(g)+n-l ^^(S)
t\ 4- n — 1 ~ ^2
H. Esnault et E. Viehweg [5] prouvent par des méthodes de géométrie
projective complexe l'inégalité :
^+l<u^^n>2.
ti -h n — 1 t2
Dans cet article, nous nous proposons d'améliorer l'estimation (*), en
utilisant les estimations L2 et les théorèmes d'existence pour l'opérateur Q
sur un fibre vectoriel holomorphe semi-positif, dus à J.-P. Demailly [4].
Comme nous allons le voir, cette méthode permet d'apporter des
contributions substantielles en direction de la conjecture de Chudnovsky-
Demailly.
Je tiens à remercier Monsieur Jean-Pierre Demailly pour ses sugges-
tions et ses remarques qui ont contribué à améliorer la rédaction de ce
travail.
2. Enoncé des théorèmes principaux.
Dans ce travail, nous allons nous placer dans P71 plutôt que C71 car la
démonstration fera intervenir le choix d'un hyperplan à l'infini générique.
Nous utilisons les notations suivantes :
Notation. — Soit P un polynôme homogène de C[Çoî • • • 5 Cn] •
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 105
1) On désigne par P le polynôme non homogène associé à P, défini
par :
P^o,...,^)^^^.. ^) sur Rouvert Vo = {[C] e P" : Co + 0}.
On a donc P(^i,. . . ,^n) = P(l,^i,. . . ,Zn) .
2) Soit S une partie finie non vide de P71 et t un élément de N*. On
pose
^(5) =min{deg P , P e C[Co,... ,Cn] , P ^ O , ^P^) = 0
pour tout cr € 5 et r € N^1 , |r| < *} .
3) On désigne par Af l'ensemble des polynômes qui réalisent la
condition 2), c'est-à-dire
At = {P ç C[Co,..., Cn], P ̂  0, DrP(a) = 0 pour tout o- e 5 et re N^1,
|T| < ^ e t degP=^(5)}.
On note par ailleurs
ât = min{dimEp|P € Ai}
où Sp est l'ensemble des points singuliers non à croisements normaux
du diviseur de P, c'est-à-dire si P = P^P^2.. .P^ la décomposition
de P en polynômes irréductibles Pi, Sp est l'ensemble des points de
P'^O) en lesquels dP^,... ̂ dP^ ne sont pas linéairement indépendantes,
où Pu,. . . , P^ sont les facteurs qui s'annulent au point considéré.
THÉORÈME 1. — Soient S une partie unie non vide de P71, t\ et t^
des éléments de N*. Alors :
^(g)-hn-a^-l ^ ^(5')
t\ 4- n — 1 "~ i^
Remarque. — Comme a^ < n — 2, on a que (n — a^ — 1) > 1 et ainsi
le théorème 1 redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg [5], par une
méthode analytique sans doute plus élémentaire.
DÉFINITION 2. — Soit 5" une partie unie non vide de P71 et soit
(t^D) ç. N* x N* . On considère Fespace vectoriel de dimension finie :
Es(D, t) = {P € C[zo,..., Zn}; deg P < D et P s'annule à l'ordre > t sur S}.
Soit Vs(D, t) la variété des zéros communs des polynômes de Es(D, t) (celle-
ci contient la partie S). Pour tout entier a = 0,1,..., n — 1 , on définit un
invariant algébrique :
uj^S) = min{D e N* : dimc Vs(D,t) < a} .
106 ABDELHAK AZHARI
De cette définition, on déduit aisément les propriétés suivantes :
i) ^-\S)=u;t(S)^
ii) D »->• Vs(D,t) est décroissante;
iii) 1i->- Vs(D,t) est croissante;
iv) Vs(D,t) = S pour D > DQ = A)(-S',<) assez grand;
v) Vs(D^+D^+t2) C ^(^i,<i)Ul&(C2,<2);
vi)<^(5)<<(5)+<(5).
Démonstration. — i) Pour tout polynôme P non nul s'annulant à
l'ordre au moins t sur S , on a dimc Zp = n — 1 , ce qui permet d'affirmer
que :
^n-l(5)=a;t(5).
ii), iii) et v) sont évidentes, vi) se déduit de v).
iv) Tout ensemble fini S étant algébrique, on peut écrire S =
Z(Çi,...,Çp) où les polynômes Qj € C[Coî . . -»Cn] • Soit x ^ S . Les
polynômes Q\^..., Q^ s'annulant à l'ordre > t sur S et il existe un indice
i tel que Q\(x) / 0 . Si D ^ Z^o = "^ax (degÇ*) , il existe un polynôme
1<J'<P
P = AiQ\ homogène de degré D tel que P(x) + 0 , donc x ^ Vs(D, t) . Par
conséquent Vs(D,t) = S (de dimension zéro) si D > DQ .
THÉORÈME 2. — Soient S une partie unie non vide de P71 , t\^
deux éléments quelconques de N* et a appartenant à N . AJors ;
^(S)+n-a-l ^<(g)
t\ + 7l — 1 — ^2
Tous ces résultats seront démontrés ici à l'aide d'un théorème d'exis-
tence de fonctions holomorphes que nous rappelons ci-dessous.
3. Théorème d'existence de Demailly.
Dans ce paragraphe, on énonce une version faible (cas des fibres
triviaux) d'un théorème d'existence de Demailly [4] sur les fibres vectoriels
holomorphes, qui contient un résultat dû à Hôrmander-Bombieri et Skoda
[6].
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 107
PROPOSITION 1. — Soient ip une fonction plurisousharmonique
dans C71 et Y = {z € C^ ; Gi(z) = G^(z) = • • . = G^) = 0} un ensemble
analytique de dimension complexe p (Gi est une fonction analytique pour
Ki<k)etsoitG=(G^...,Gk) .SoitU={zçCn : \G{z)\ < 1} un
ouvert de C71 et f une fonction holomorphe sur U telle que :
I ^(z^e-^dXÇz) < +00 .
Juf
Alors, pour tout e > 0 , il existe une fonction F holomorphe sur C71 qui
coïncide avec f sur Pensemble analytique Y et telle que :
L (X^.^ s Ctp,.)^IW\'e-^W
où C^e) = sup(l, ̂ -) + (p^l)2 .
Esquisse de la démonstration. — On cherche un prolongement F de
/ sous la forme
F=À(|G^)|2)/^
où G = (Gi, . . . , Gk) et À est une fonction réelle de classe C°° à support dans
l'intervalle ] - oo ; 1[ telle que : À = 1 au voisinage de 0 et u ç. (^(C71, C)
avec u = 0 sur l'ensemble Y = G'^O) .
L'holomorphie de F équivaut à la condition 9F = 0 , c'est-à-dire à
f 9u =_u (*)
l^=a(A(|G^)|2)/).
On résoud l'équation (*) à l'aide des estimations L2 de Hôrmander, en
utilisant le poids y?(z) -h 2(n — p)log \G(z)\ . Il en résulte une solution u
telle que ^(^pIG^z)!"2^"^ soit localement sommable sur C71 .
Comme toute solution u de l'équation (*) est de classe C°° , et
comme \G(z)\ < Cd(z,Y) au voisinage de tout point, cette condition de
sommabilité locale assure l'annulation de u sur Y .
Remarque. — Cette proposition contient le résultat de Hôrmander-
Bombieri-Skoda, c'est le cas où Y = {zi — z^ = • • • = Zn — z°^ = 0} = {zo}
et / = 1 :
COROLLAIRE 1. — Soit (p une fonction plurisousharmonique dans
un ouvert pseudo-convexe fî de C71 telle que e"^ soit sommable au
108 ABDELHAK AZHARI
voisinage de ZQ € fî . Alors, pour tout e > 0 , il existe une fonction
holomorphe F sur îî telle que F(zo} =1 et
|F(z)|2e-^)r I f^re"^^/.^^^x--
4. Démonstration du théorème 1.
Soit P un élément de A^ tel que dimc Sp = a^ = a. Par un
argument classique de dimension, il existe une sous-variété linéaire Y de
P71 de dimension complexe (n — a — 1) qui vérifie
y n Ep = 0.
De même, on peut prendre un hyperplan à l'infini Hoo générique tel
que ffoo H S = 0.
On choisit dans la carte affine P^ffoo ^ C71 , des coordonnées affines
z = (zi, ̂ 2 , . . . , z-n) telles que l'équation de la sous-variété Y H C^ s'écrive :
y n C71 = {^ e C71 ; ^i = ^2 = • • • = ^o+i = 0}.
Dans la suite, on applique la proposition 1 sur l'ouvert de C71
U^izç^ : \z\<p}
où z = (^i, ̂ 2 , . . . , ^o+i) et p e R4"* .
Soit la fonction plurisousharmonique (p définie dans C71 par :
^)=201og|P(Zi,...,Zn)|+^log(l+M2)
où 6 est un réel strictement supérieur à a = ——-——— et f3 ç. R"^" . On
12
construit tout d'abord une fonction / holomorphe dans l'ouvert Up et telle
que :
(+) / {f^e-^dXÇz) < +00
Ju,
où d\ est la mesure de Lebesgue sur C71 .
Dans ce but, on considère la fonction / holomorphe dans Up définie
par :
N/(^)=^lp^ l^ l^2 '••-^)l?]j=i
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 109
Pour démontrer la convergence de l'intégrale (+) sur un certain voisinage
cylindrique Up de Y , il suffit de vérifier que pour tout point z° de Y dans
P71 , il existe un voisinage V de z° tel que l'intégrale (+) converge sur
vnt/i. y
H.00
En effet Y est compacte, donc elle sera recouverte par un nombre fini
de tels voisinages, et pour p assez petit Up est contenu dans la réunion de
ces voisinages.
Pour cela, on distingue deux cas, suivant que le point z° appartient
à Y n C71 ou que z° appartient à l'hyperplan à l'infini Hoo .
1. Convergence de l'intégrale de \f\2e~(fi au voisinage d'un point z°
de Y HC71.
Le problème se pose uniquement si z° € Zp = {[Ç\ ç. P71 :
-P(Co, • • . , Cn) = 0}. Puisque z° € Y et Y H Ep = 0, le polynôme P est
à croisements normaux en z° :si {Pij}i<j<k sont les facteurs irréductibles
du polynôme P qui s'annulent au point z° et P^ (z°) ̂  0 pour k < j < N,
alors {dP^(z°),... ,dP^(z°)} est un système libre.
Par un changement de coordonnées, il existe un voisinage V dans
110 ABDELHAK AZHARI
lequel les {Pij}i<j<k ^ni les fonctions coordonnées z ç C711-^ ̂ , et on a :
1= 1 ^(z^e-^dXÇz)
JvnUp
= f II 1^(1^1,... ̂ n)!2 '̂-^^! + M2)-^)
Jvnu,^i
= / II I^I^O+M2)^!!!^^^---^)!2'^^)
Jvnu, i<^ ^
<c 1 II \Z3?rîjd\(z)<+QQ
Jvnu, i<^
avec ^ = [9k j] — 6k j > —1 et où la constante C est une borne pour les
inverses P^~1 sur Y, j > k.
2. Convergence de Fintégrale de \f\ie~(p au voisinage d^un point z°
de Y H ffoo .
Diaprés le théorème de Bertini, on peut choisir la sous-variété linéaire
Y et Phyperplan à l'infini Hoo en sorte que Y H Hoo soit transverse à toutes
les intersections Zp, H ... H Zp, (et bien sûr, Y H Ep = 0).
Si (CoîCi • • •Cn) désigne les coordonnées homogènes sur P71 choisies
comme au début, les coordonnées du point z° € Y H Hoo vérifient :
Coo=Clo=C20=•••=Ca^l=0.
Donc z° est dans l'un des ouverts Wi = {[C] ç P71 : Ci ^ 0} pour î > a+1 .
On suppose par la suite, par exemple, que ̂  ̂  0 .
Montrons qu'il existe un voisinage îî de z° tel que
/ ^(z^e-^dXÇz) < -hoo .
JUlHSÎ
Sur l'ouvert IVn 3 z° , on utilise le changement de variables suivant :
^=^
Cn ^n
1
w^^  Kj<n
S TI
WQ = —
^71
On a d'une part
d'où
dwQ A dwi A • • • A dwi A • • • A dwn-i = ± n+î i A • • • A d2?n ,
-̂ n
dA(^) == [^[^^^^(w) = Iwol-2^1^^) ,
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 111
et d'autre part, pout tout indice 1 < j < N :
Pj(l,^l,...,^)=P^l,...,^)
= 4'Pj(^o,Wi,... ,Wn-i, 1) où 6j = degPj
=Wo'^Py(wo,Wi, . . . ,Wn-i , l ) .
En notant w = (wi, . . . , Wa+i) , il vient :
J= 1 \f^e-^d\{z)
JUinn
r N
= ^ ni^^^-'-^l^^+M2)"^^)
J{\z\<i}nsî ̂
= 1 ^ Iwol-2^^- ^l^(w0^1.•••^n-l,l)12?7J
*/{|w|<|wo|}nîî ^
^-y-Y^^
r N
= / ^ ^lp^w0^1-••^n-l.l)12^ko|2/3-2E^l^^-2(n+l)
AlwKIwoDnîî^
(|wo|2 + • • • + |wn-i|2 + l^dXÇw) .
Soient (Ptj)i<j<fc les facteurs irréductibles s'annulant en z°.
Comme par construction Y n ffoo est transverse à H Zp, , le
l<J<fc
système {dwo ,dwi,.. . ,dwo+i ,dP^} est libre au point z° : On peut choi-
sir Py(wo,. . . ,Wyi_i, 1) comme nouvelle coordonnée Wa+j+i pour j > 1 au
voisinage 0 du point z°, ce qui donne :
J = / Iwol2^-2^^-^1) n K+l+al2^
AH<|wo|}nn 1^11
1] |P,(wo, . . . ,Wn-l , l ) |2^(|wo|2+•••+|Wn-l |2+l)-^À(w)
^^o
< ̂  / <M<,.o.) [^[^^^-^^^(^^^(W) .
•/ |w,|<M , t>o+l
\WQ\<e
D'après le théorème de Fubini, on aura J < -hoo dès que
/ Iwol^-^-^^-^+^lwol^^1)^^) < +00
^|wo|<£
112 ABDELHAK AZHARI
et pour cela, il suffit que 2/3 - 2(n - a) - 2^;^ 6^ > -2 et /? > 0,
c'est-à-dire :
N
/3>('E^([ek,]-0k,)+(n-a-l)) .
j=i +
où X+ désigne sup(X^O).
D'après la proposition 1, il existe une fonction F holomorphe dans
C71 telle que :
F\YHC- = f où Y H C71 = {z ç. C71 : z^ = z^ = • • • = Za+i = 0}
et de plus :
f iFf^Pe"^)
^/c.^m^."^^^-
c'est-à-dire :
(++) L = / IF^TOI^l + |^)-^(l + IS-I2)-»-!-^^) < +00 .
JC"
Soit Ç € C71 et A(^,r) un polydisque de centre C et de rayon r > 0 .
La fonction Ç i-̂  |F(C)|2 étant sous-harmonique, alors on a :
l̂ '̂ viK^))/^^)^)
<^^ su? (^^••^^(i+kmi+i^i2)^1^)
n! ' 2;€A(Ç,r) v /
d'où
1^(01 <C7ir-71 sup (|P(l^l,...,^)|0(l+M)^(l+|z|)û+l+£),
^€A(C,r) v /
où C^ est une constante indépendante de < et de r. On choisit \Ç - a\ = r
avec 0 < r < 1 (a étant un élément arbitraire de 5). Alors, pour Ç assez
voisin de (T, on obtient la majoration :
TOI^I^al^^lC-^
d'où |F(C)| < CaK - (T^-71. Ceci permet d'affirmer que F admet un zéro
d'ordre > t^ en chaque point de S, car Ot^ - n > t^ - 1.
Maintenant pour |C| = A, r = fi/2, l'inégalité précédente sur |F(C)|
entraîne que
sup |F(C)| <C4R0'degp^--n^a^£
W=R
Donc, F est un élément de C[z^,..., Zn} vérifiant :
degF < O^t^S) + ^ - 7 i + a + l + Ê : .
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 113
Choisissons 6 = a+e. Puisque o^ (5) < deg F, on obtient à la limite quand
e tend vers 0 et quand /? tend vers sa valeur limite inférieure :
1 N \
^ (S) + min ^ 6j(akj - [akj]), n - a ~ 1 < a^ (S)
v=1 7
(^1+71-1) ,
ou a = ——,———. On peut supposer sans perte de généralité (remarque
ci-dessous) que :
N
^6,(ak,-[ak,})>n-l,
j=i
ce qui donne :
^(S)+n-a^l ^uJtAS)
ti + n - 1 ~~ t^
Remarque. — Si A = ̂ ^ 6j(akj - [akj]) < n - 1, on a :
^i(^)+n-l ^^(S)
*i -h n - 1 "~ ta
c'est-à-dire que la conjecture de Chudnovsky-Demailly est vérifiée dans ce
cas.
En effet, soit P un élément de A^, P = P^P^2... P^ sa décompo-
sition en facteurs irréductibles et 6j = degPy.
On considère le polynôme
Ç=n^1 oùa^1^"1^
j=l iï
alors on a :
N N
degÇ = ̂ 6j[akj} -=a^6jkj - A = a^(S) - A
^=1 J=l
et Ç s'annule en chaque point a de S à l'ordre F tel que
N
r=^[aA;,].ord,(P,)
j'=i
^ N
= ̂ akj.oTd^P,) - ̂ (ak, - [aÂ;,]).ord,(P,)
J=l 3=1
> atï - A
> ^i -h n - 1 - A
114 ABDELHAK AZHARI
d'où:
T>ti+p,
où p est le plus petit entier supérieur ou égal à (ra - 1 - A). Toute dérivée
R d'ordre p de Q est un polynôme qui s'annule au moins à l'ordre <i en
chaque point de S et
d'où
degfi < t-l±ni-^(S) - (n - 1),
Î2
^(S)+(n-l)<tî-H^-^(S),
t2
ce qu'il fallait démontrer.
5. Démonstration du théorème 2.
Soit {Pj}i<j<m une base de Es(D^t^).. Soit x ^ Vs{D^t^) un point
fixé. On choisit un hyperplan Hoo ne passant pas par x . Il existe une sous-
variété linéaire Yx de P71 passant par x et de dimension (n - a - 1) telle
que :
Yx n Vs(D^) = y^ n Q Zp, = 0 .
j=i
Après un changement de coordonnées affines z = (2;i , . . . ,Zn) ,
l'équation de la sous-variété Y^ H C71 devient :
Y^ncn={zçcn : ^ = ^ = • • • = ^ + 1 = 0 } .
On considère la fonction plurisousharmonique définie par :
/ m >
^(z)=0\og ^|P,(1,^,...,^)|2
v=1 >
où 0 est un réel > ——-——— . On applique le théorème d'existence
t2
(Proposition 1), sur l'ouvert de C71 :
^={^€C 7 1 : \z\<p}
où î = (zi,. . . , -?o+i) et où p est un nombre réel positif assez petit, à la
fonction holomorphe / = 1 sur Up . Montrons que :
J= 1 \f(z)\2e-^d\(z)<+oo.
lu,
SUR LA CONJECTURE DE CHUDNOVSKY-DEMAILLY 115
En effet :
( \ ~
0
J=^e-^)dA(.)=^ El^1^!--^)!2) dX(z).
Or les polynômes homogènes de degré D^ : Pi, Ps ... Pm^z02 ... z^ n'ont
pas de zéros communs dans P71, d'après le choix de Y^ . Comme la fonction
continue :
m
(Co,Cl,...,Cn) ^Elp^O,•••,Cn)|2+|Cl|2D2+•••+|Co+l|2D2
.?=!
atteint un minimum C > 0 sur la sphère 5 = {C € C"+1 : |C( = 1} , on en
déduit $(C) > GICI2^ sur C"+1 par homogénéité, d'où :
m
S|p,•(l,^,...,^)|2^c'(l+H2)^-(|^|2^+...+|^,(2^)
j=i
^ (7i(l + \z\2)^ sur Li, .
pour p assez petit, où z = (2:0+1, • . . , Zn) -Par suite
J = f e-^d\(z) < Ci f (1 + kl2)-9152^) < +00 ,
"Up JUp
en effet
6Dï > t2 • l+n~ =ti+n-l>n-a-l.
t2
D'après la proposition 2, il existe une fonction F^ holomorphe dans C71 et
telle que :
F.^^«^^^W<^.
Par les mêmes arguments que ceux de la démonstration du théorème 2, on
peut affirmer que Fx est un polynôme,
degF^ < a ̂ (5) - (n - a - 1) ,
et que Fx s'annule à un ordre > <i sur S .
Soit Pc le polynôme homogène associé à F^ . Alors ̂ (1, x) = Fc(x) =
1 . Si Di désigne la partie entière de a ^(S) - (n - a - 1) , alors
degFc <, Pi , donc il existe un polynôme (% € ^5(^1,^1) multiple de
Pc tel que Gc(l,a?) ^ 0 , par suite x ^ l&(Di,<i) . Comme ce résultat est
vrai pour tout point x (É Vs(D^t^} on en déduit que :
Wi;<i)c^(A^2),
116 ABDELHAK AZHARI
d'où dimc Vs(D^,t-t) < a . Par conséquent, on a :
<(5) < D, < ̂ ±^Z1^(S) - (n - a - 1) ,
c'est-à-dire
< (g )+n-q - l^^ (g )
t\ + n — 1 "~ ^2
BIBLIOGRAPHIE
[1] E. BoMBlERi, Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math., 10 (1970),
267-287 et 11, 163-166.
[2] G.-V. CHUDNOVSKY, Singular points on complex hypersurfaces and multi-dimen-
sional Schwarz lemma, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19, 1978.
[3] J.-P. DEMAILLY, Formules de Jensen en plusieurs variables et applications
arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 75-102.
[4] J.-P. DEMAILLY, Estimations L2 pour l'opérateur 9 d'un fibre vectoriel holomorphe
semi-positif au-dessus d'une variété kàhlérienne complète, Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 4e série, 15 (1982), 457-511.
[5] H. ESNAULT, E. VIEHWEG, Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant
en certains points, Math. Ann., 263 (1983), 75-86.
[6] H. SKODA, Estimations L2 pour l'opérateur 9 et applications arithmétiques,
Séminaire P. LeIong-H. Skoda (Analyse) 1975/76, Lecture Notes in Math.,
Springer, 578 (1977), 314-323.
[7] M. WALDSCHMIDT, Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque,
S.M.F., 69-70 (1979).
Manuscrit reçu le 30 octobre 1989.
Abdelhak AZHARI,
Rue 141, n°55
Aïn Chok
Casablanca 02 (Maroc).


Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques

Zelditch, Steven

On the generic spectrum of a riemannian cover

Taylor, B. A.

Meise, R.

Vogt, Dietmar

Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients that admit a continuous linear right inverse

Olivier, Michel

Corps sextiques primitifs

Saint Raymond, Jean

Fonctions séparément analytiques

Lecacheux, Odile

Unités d’une famille de corps liés à la courbe $X_1(25)$

Not a member yet