Annales de l’institut Fourier (AIF)

Gosson, Maurice De

Maslov indices on the metaplectic group $Mp(n)$

Fabiano, A.

Pietramala, P.

Sur la convexité holomorphe. Théorie locale

Bourdaud, G.

Kateb, D.

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
G. BOURDAUD
D. KATEB
Calcul fonctionnel dans certains espaces de Besov
Annales de l’institut Fourier, tome 40, no 1 (1990), p. 153-162
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
40, 1 (1990), 153-162
CALCUL FONCTIONNEL
DANS CERTAINS ESPACES DE BESOV
par G. BOURDAUD et D. KATEB
Introduction.
En 1965, Igari [5] donnait une condition nécessaire et suffisante pour
qu'une fonction <f> de C dans C opère sur l'espace de Besov B^(R) avec
0 < s < 1/2 .
Nous étendons ici cette caractérisation aux espaces de Besov B9 qÇR71)
avec l < p < o o , l < , q < , o o e i 0 < s < 1/p. Plus précisément, nous
montrons que si (f> est une application de R dans R qui opère sur B8 g(R71)
avec 0 < s < 1/p, elle est nécessairement lipschitzienne.
Notations; définitions.
On désignera par B^qÇR71) ou plus simplement B^q l'espace de Besov
inhomogène, et J3^(R71) l'espace de Besov homogène (s ç. R , p,q €
[l,+oo]).
Pour la définition de ces espaces on pourra se référer à {7].
Dans cet exposé, nous ne considérerons que des espaces de fonctions
à valeurs réelles.
DÉFINITION. — Soit E un espace de fonctions et soit (/> une appli-
cation de R dans R. On dit que (j> opère sur E , si pour tout / appartenant
à E, l'application 0 o / appartient aussi à E.
Mots-clés : Espaces de Besov - Opérateurs non linéaires - Calcul fonctionnel - Fonctions
lipschitziennes.
Classification A.M.S. : 46E35.
154 G.BOURDAUD et D. KATEB
Enoncé du théorème principal et résultats préliminaires.
THÉORÈME 1. — Soient p, q, s des nombres réels tels que 1 < p < oo,
l < q < o o e t 0 < s < 1/p . Soit (j> une fonction définie sur R à
valeurs réelles, alors la fonction </> opère sur Pespace de Besov B^qÇR71)
si et seulement si elle est lipschitzienne telle que <^(0) = 0.
La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant :
LEMME. — Pour tout pavé Q de R71 et tout nombre positif a, on
peut trouver un nombre fini N de pavés Qi , i =,. . . , N disjoints deux à
N
deux, contenus dans Q et tels que : {{xE^B8 = a où E = M Qi et \E
i=l
désigne la fonction caractéristique de E .
Précisons tout d'abord que pour un réel 5 , 0 < s < 1/p et pour tout
pavé Q de R71, la fonction caractéristique de Q est dans l'espace de Besov
B^qÇR71). Rappelons pour cela le théorème suivant [7], p. 115 :
THÉORÈME 2. — Soient 0 < p < o o , 0 < q < o o e t s >
n(l/min(p, 1) — 1). Si M est un entier strictement plus grand que s alors
la (quasi)-norme de Fespace B8 ^(R^ est équivalente à :
n/iip+D/' i^i-^iiA^./iiwifti)1^,
,=i ^1
OÙ ^hjf = /(^l, . . . ,^-1,^ 4- Mj+l, . . .,^n) - f(x) .
A l'aide de ce théorème, il est facile de montrer que la fonction
caractéristique du pavé Q est dans l'espace de Besov B8 ̂ (R71).
n
PROPOSITION 1. — Soit Q = Jpa^Oî + ti] où pour i = 1,... ,n,
i=l
di € R et ti € R4" ; et soit s un réel compris strictement entre 0 et 1/p. Si
f désigne la fonction caractéristique du pavé Q alors on a
ii/ii^^n^E1^)
i=l i=l
où C est une constante dépendant de p^q et s .
Preuve. — La norme Besov étant invariante par translation, il suffit
de faire le calcul avec 0.1 = 0 pour tout i .
CALCUL FONCTIONNEL DANS LES ESPACES DE BESOV 155
Fixons j entre 1 et n, pour 0 < h < tj
\\^hjf\\î = { f_ dx, f^^ dx, ... dx, • . . dxn
ftj ( \ Q / P
+ / dxj I dx\ ' • • dîi ' • • dxn \
Jt,-h J°<^ ï
-^•a'.)'":
W
et pour h > tj
^f\\î={/^ ^X.f^^dx^-dx^-dXn
t^ f \ Q / P
+ / dx. / da;i • • • dx. ' - • dxn \Jo Jyo<^«i J f-w"-1=1
Si h est négatif c'est analogue. On obtient ainsi le résultat annoncé avec
C = ̂ /^(^(l/^l/p) -s)+ 1/sq)1^ .
Avant de faire la démonstration du théorème 1, rappelons la propo-
sition suivante, dont la preuve est classique dans le cadre des algèbres de
Banach [6], p. 237 :
PROPOSITION 2. — Soit E un sous-espace de L^JR71) vérifiant tes
Aypotièses suivantes ;
(ÏîJ E est muni d'une structure d'espace de Banach telle que l'injection
canonique de E dans L^çÇR71) soit continue.
(H^) E est invariant isométriquement par translation : si f appartient
à E la fonction fi , définie par ft{x) = f{x -1), appartient aussi à E .
(Hs) E est un sous ^(R^-moduJe de I^JR71) ; si / appartient à E et
si 0 appartient à T^R71) alors 0 • / appartient aussi à E .
Soit F une fonction qui opère sur E et telle que F(0) = 0 . Alors pour
tout compact K de R71 , il existe des nombres positifs 6 et M tels que pour
toute fonction f de E à support dans K de norme inférieure à 6, on ait
||Fo/||<M.
156 G. BOURDAUD et D. KATEB
Preuve. — Remarquons d'abord que pour tout (f> dans P(R71) l'ap-
plication qui à tout / de E associe le produit (f)f est continue de E dans
E . Cela découle en effet du théorème du graphe fermé. On désigne alors
par M((/>) la norme de cette application.
Montrons que, sauf pour un nombre fini de points x de R71, il existe
un voisinage îî de x et des nombres positifs e et M tels que, pour tout /
de E , portée par îî, vérifiant ||/|| < e, on ait ||F o /|| < M .
Supposons qu'il existe une infinité a:i,a;2,... de points de R71 qui
contredisent la propriété. Donnons-nous une suite d'ouverts Vj deux à deux
disjoints tels que Xj soit dans Vj, des ouverts Wj tels que :
x j e Wj c Wj c Vj
et pour chaque j une fonction (f>j de P(R71) portée par Vj et égale à 1 sur
w,.
Alors, par hypothèse sur xj , il existe fj dans E , portée par Wj telle
que||/,||<l/2^et||Fo/,H>jM(^).
Posons f = V^ fj , alors / appartient à E et pour presque tout x de
j>i
R71 on a f(x) = Y^/j(^) • On en déduit que pour presque tout x , on a
j>i
</>j(x)F(f(x)) = F(fj(x)) et donc que, dans E, </)j(F o f) = F o fj; mais
alors ||F o /|| > ||F o /j||/M(<^) > j; ceci pour tout entier j ce qui est
contradictoire.
Ceci dit, l'invariance de E par translation nous montre aussitôt que
tous les points de R71 ont la propriété ci-dessus;
Recouvrons maintenant K avec un nombre fini d'ouverts bornés
QI , . . . , fîm tels qu'il existe e\,..., Cm ; Afi , . . . , Mm positifs tels que
||F o y|| < Mj dès que / est portée par fîj et de norme majorée par ej .
On considère un autre recouvrement de K par des ouverts U\,..., Um
vérifiant Uj C fîj; une partition C°° de l'unité ((^j) subordonnée au
recouvrement Uj et des fonctions ^Sfj de classe C°° portées par fîj et égales
à 1 sur Uj . On pose e ==inf (ej/MÇïj)) . Si / est portée par K et de
m
norme inférieure à£ ,onaF 'o /= V^ ̂  (F o (f^Bj)) ; or /^r^ est portée par
j=i
fî^ et sa norme est majorée par ej on a donc
'm w
11^ ° /il ̂  E 11^ ° (W)ii ̂  E W^M? = ̂  •j=i .;=i
CALCUL FONCTIONNEL DANS LES ESPACES DE BESOV 157
Démonstration du théorème 1 et du lemme.
Soient x et x ' deux nombres réels non nuls. D'après le lemme, il
existe des pavés Ci,.. . , QN, disjoints, contenus dans le cube Q = [0, l]71,
vérifiant : |a?|||̂ ||̂ ^ = 6 / 4 où E est la réunion des N pavés Q, (6 étant
la constante associée à Q suivant la proposition 2). De la même façon, pour
Ci, il existe des pavés Pi,...,?^ disjoints, contenus dans Ci vérifiant :
MII^HB^ = 6 / 2 où F est la réunion des K pavés Pi . Comme F est
inclus dans E on a l'identité :
(t>(x\E + X'\p) - (t>(x\E) = XF^X + X ' ) - (f>(x))
d'où
H(XXE + X'Xp) - (t>{x'XE)\\B^ = \<t>{x + X1) - (1>(X)\\\XF\\B^
< IÎ ^+^F)||B^+||̂ )̂HB .̂
Puisque le support de X\E est inclus dans Q et que sa norme Besov vaut
<î/4, donc majorée par 6, on a, d'après la proposition 2,
ll<to^)l|B^<M;
delamêmefaçonSuppCr^-ha;^) c Ç et Ito+^XrIlB^ < 6 / 2 +6/2
entraînent \\(f)(x\E -^X'\F)\\B^ < M . Finalement on obtieni
\(j>{x + x ' ) - (j>(x)\ < 2M/\\^F\\B^ = 4M\x'\/6 .
Si x ' = 0 c'est trivial; si x ' ^ 0 et x = 0, on considère alors |a;'|||̂ ||̂  =
^/2 ce qui donne W^B^ = {W^E^ < M soit |^(:/)f <
2M\x'\/6 . Ce qui termine la démonstration du théorème.
La démonstration du lemme se fait en deux étapes. Dans la première,
nous montrerons que la borne supérieure de l'ensemble constitué des normes
Besov des fonctions caractéristiques de E , où E décrit les réunions finies
de pavés disjoints contenus dans Ç, est infinie. Ce qui entraînera, pour
tout nombre positif a, l'existence d'une réunion finie E de pavés disjoints
contenus dans Ç, pour laquelle on ait : ||^£;HB- > a .
Dans la seconde étape, nous montrerons la continuité de la fonction
I(r) = ||Xi?n]-oo,r]»||B^ .
Comme pour r négatif, grand en valeur absolue, En] - oo,r]71 = 0,
on a ^Um^J(r) = 0; d'autre part pour r positif suffisamment grand
I(r) = llxdia^ et donc ^Hm I(r) > a d'après la première étape.
158 G. BOURDAUD et D.KATEB
Le théorème des valeurs intermédiaires nous assure alors l'existence
d'un nombre réel r pour lequel J(r) = a . En posant E' = En] - oo,r]71 ,
on aura \\\E' lia5 = a; ce qui prouvera le lemme.
Démonstration de la première étape.
n
Soit Q un pavé de R71 : Q = Jj[a^, a, +1"i^i "r i^j .
1=1
Si nous supposons que la borne supérieure de l'ensemble constitué
des normes Besov des fonctions caractéristiques de réunions finies de pavés
disjoints inclus dans Q est finie, il existe alors une constante positive M
vérifiant : H^HB^ ^ < M pour toute réunion finie E de pavés disjoints
contenus dans Q .
Cette majoration reste encore valable pour toute fonction simple /
portée par Ç, positive, majorée par 1. En effet : soit / une telle fonction; il
existe donc une suite croissante de nombres (c^); 0 < c^ < 1; 1 < i < N ;
N
et des pavés Qi ; 1 < i < N disjoints deux à deux tels que / = V^ QzXç. ;
1=1
N
en posant Ek = |j Qi et ftk = a.k - o.k-\ ; 1 < k < N ' , on peut alors écrire
z=fc
N N
f = ̂ to. où ̂ A < 1 [1], P. 39.
i=l i=l
Si / est maintenant une fonction de Bp^(R71) , portée par Q , positive
et majorée par 1, on a à nouveau le même type de majoration. En effet, /
étant dans L^R71), il existe une suite de fonctions simples (fk), à support
dans Q , telles que 0 < fk < f et (fk) converge presque-partout vers / .
D'après ce qui précède on a ||A||B^ < M ce qui entraîne que
\\fk\\p < M . En appliquant le théorème de la convergence dominée on
a alors (fk) converge vers / dans L^R71) et ||/||p = lim \\fk\\p < M .
D'autre part pour h fixé dans R71, l'opérateur de différence finie :
A^ : £P(R71) -. LP(R71) défini par A^(/)(a;) = f(x + h) - f(x) est linéaire
continu car ||A/i/||p <: 2\\f\\p . On a donc la convergence de la suite (A/i/^)
vers A/J dans Z7(R71) et de plus ||A/J||p = lim ||A/Jfc|lp •
R
Alors pour tout h non nul la suite (HA/Jfcllp/l/il5) converge dans R
vers HA/i/llp/l/il5 . Comme de plus la norme Besov homogène des fonctions
fk est majorée par M , on a en appliquant le lemme de Fatou dans
(R^d/i/l/in , 11/11^ < M et finalement \\f\\B^ < 2M .
CALCUL FONCTIONNEL DANS LES ESPACES DE BESOV 159
Si on considère cette fois une fonction / de 5^ (R71), à valeurs
complexes, portée par Q et majorée en module par 1 on a ||/HB- < 8M .
Il suffit pour le voir d'écrire : / = (/i+ - /f) + i(ff -fi): chacune
des fonctions /.+ et /,", i = 1,2, est positive, portée par Q et majorée par
1; elles restent bien sûr dans l'espace de Besov. En effet, on remarque que
d'une part Re/ = ( / -+ - 7)/2 et Im/ = (/ - J)/2i , et que d'autre part,
comme 0 < 5 < 1, si / est dans l'espace de Besov, /+ et /" y sont aussi.
Donc, pour chacune de ces fonctions on a l'estimation \\fi\\B» < 2M , ce
qui donne bien \\f\\B9 < 8M .
Ceci étant, nous allons maintenant construire une suite de fonctions
fk , à valeurs complexes, appartenant à l'espace de Besov, portées par Q ,
majorées en module par 1 et dont la suite des normes n'est pas bornée. Ceci
contredira la conclusion ci-dessus et mettra donc en défaut l'hypothèse faite
au départ.
Pour k e N71, et x e R71, on pose fk(x) = ̂ (x) exp(ik'x) . Pour tout
k dans N^, fk appartient à B^ÇR71) puisque \q appartient à cet espace
(proposition 1) et que e^ en est un multiplicateur (e1^ ayant toutes ses
dérivées bornées, est dans B^^»^) qui pour m > max(s,n/p - s) est
constitué de multiplicateurs de B^ÇR^ [7], p. 140).
D'autre part, pour fc = (Ai, . . . ,fcn) dans N71 tel que fci > 7r/2ti, et
pour g < oo, on a
/•7r/2fci ir
IIAII^>^ /r^llA^ll^
^/2ki rti—h ç i „
^ h-^U dxJ \exp(ik,h)-l\'>dx,...dxn)9'l>dh
JO Vo J0^^* / h
rTr/2ki „
> / h-^((<i -^•••^|exp(tfci/i)-in^-
Jo h
^ r/2k\-s<'((t,———)t,...tn)q/p(2klh)tldh (en utilisant le
JO ZK! 7T tl
fait que le^-llj > x si x est compris entre -Tr/2 et Tr/2)
-̂ , /•7T/2fcl J-l
WQ^-y^j^ ^)f
>C'(Q,P,q)(t,-ykï(y-^
^c^p^y^^-ykî.
160 G. BOURDAUD et D. KATEB
Ceci contredit le fait que \\fk\\B9 < 8M . Si q = +00, on a
11^11^ = ESUP{lhl~SIIA^W ; h € R}
j=i
> sup^/il-^ ( \eihkl - l^dx)^ ; fa € Ril' ' \y o<^i«i-/» ' ' ) î fl-h
0 < X j < t j ; j^l
> Csup^-^fci^Tr) ; 0 < fa < —} > C^—)1-5 > C'fcf .
£iK\ 2ik\
D
Démonstration de la seconde étape.
Pour tout réel r posons Er = En] - oo,?^ et Xr = XEr\ 1 s'écrit
alors
I(r)=\\Xr\\B^=\\Xr\\B^+\\Xr\\p.
L'application Ji , définie par Ji(r) = \\Xr\\p , est continue sur R; en effet,
si (rjb) est une suite de nombres réels convergeant vers un réel r , on a
Xrk ^ LP{Wl) et Xrk < XE car E^ C E ' , de plus la suite (^J converge
presque partout verser; d'après le théorème de Lebesgue, la convergence
a lieu dans £P(R71) et lim ||̂  ||p = ||̂ ||p .
As
Pour montrer la continuité de l'application Ja définie par I^(r) =
||^r|lB- » ilsuffit en fait d'établir celle de l'application JE de R dans
B^(R71) définie par J^(r) = Xr .
De plus, en remarquant que, si E est une réunion finie de pavés
disjoints Qi , contenus dans Q on a Xr = Sxç.n]-oo,r]» , il suffit alors
de voir la continuité de JE où E est un pavé de R71 .
n
Soit donc E un pavé de R71, E = Jj[a,,&,]; si a est un réel inférieur
1=1
au minimum des a^, E est alors inclus dans le cube [a,+oo[71 ce qui
entraîne que Xr = XE • X^r^ ' Comme la fonction caractéristique de
E est un multiplicateur de Bp^ÇR71) (\E peut toujours s'écrire comme
produit de fonctions caractéristiques de demi-espaces de R71 , or on sait [7],
p. 158 que celles-ci sont des multiplicateurs), on va prouver simplement que
l'application notée J qui à r associe ^[^r]" est continue.
Dans un premier temps on va se placer en dimension n = 1 . Soit ro
un réel strictement supérieur à a . Si r est dans un petit voisinage de ro ,
on a J(r) - J(ro) = ±X[ro,r] et donc
IIW-J^I^^C.Ir-roP^-5;
CALCUL FONCTIONNEL DANS LES ESPACES DE BESOV 161
comme s < 1/p on a la continuité de J sur ]a, +oo[. Lorsque r est dans un
voisinage à droite de a ,
W - J(d)\\^ = ||X[a,r]||̂  = C(r -a)^-8 ;
si r est dans un voisinage à gauche de a , on a
J(a) - J(r) = 0 .
En dimension n quelconque, pour 7*0 > a et r voisin de ro , (on
supposera par exemple r > ro) la différence entre J(r) et J(ro) est la
fonction caractéristique du complémentaire de [a,^]71 dans [a,^ qu'on
notera D . Cet ensemble n'est plus un pavé, on va alors le découper en
pavés disjoints. On note Dfc l'un des pavés constitué des points de R71 qui
ont k coordonnées dans [a,ro] et les (n - k) autres dans [ro,r] .
Pour k fixé dans {0, . . . , n - 1} on a exactement C^ pavés Dk et ces
pavés sont évidemment disjoints. En notant UDk la réunion, à k fixé, de
tous ces pavés, D est alors la réunion pour k variant de 0 à n - 1 de UDk .
On a alors J(r) - <7(ro) = Y^XDj, où la sommation porte sur k ainsi que
sur le nombre de Dk (à k fixé) ; d'où
ii^)-^o)ii^<Eii^ii^
n-l
<^E^(r-ro)(n-fc)/p(ro-a)^((n-fe)/(r--ro)5+fc/(ro-a)5)
fc=o
n-l
< ̂ E ̂ {(r - r^-^-^n - jfc)(ro - a)^-8
k=0
+ k(r - ro^-^^ro - a)^/^-5} .
Puisque (n/p) - s > 0 et pour tout A ; , 0 < J f c < y i - l , ( n - k ) / p - s >
(1/p) - s > 0 et (n - k ) / p > 1/p > 0 , chacun des termes de la somme tend
vers 0 quand r tend vers ro .
Si r > a, on a J(r) - J(a) = J(r) et ||J(r)||^ = Cn(r - a)^/^-5;
si r < a, on a J(r) = <7(a) = 0 . Ce qui prouve bien9 la continuité de J et
termine la démonstration de la seconde étape. D
Conclusion.
Le théorème 1 est probablement vrai sous l'hypothèse naturelle
0 < s < inf(l,n/p) . Cependant, pour s > 1/p , les fonctions caractéristi-
ques de pavés n'appartiennent plus à B^q et notre démonstration ne s'étend
pas de façon immédiate à des fonctions caractéristiques lissées.
162 G.BOURDAUD et D.KATEB
BIBLIOGRAPHIE
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[2] J. BERGH et J. LÔFSTRÔM, Interpolation spaces, Springer, 1976.
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[7] H. TRIEBEL, Theory of Function Spaces, Birkhauser, 1983.
Manuscrit reçu lé 5 juin 1989.
G. BOURDAUD et D. KATEB,
Université Paris VII
C.N.R.S. U.A. 122
Théories géométriques
Tour 45-55, 5e étage-Bureau 08
2, Place Jussieu
75251 Paris Cedex 05 (France).
D. KATEB,
Laboratoire d'analyse fonctionnelle
Institut des sciences exactes
Département de mathématiques
Université d'Oran Es-Sénia (Algérie).


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