Annales de l’institut Fourier (AIF)

Burns, David J.

Factorisability and wildly ramified Galois extensions

Merel, Loïc

Opérateurs de Hecke pour $\Gamma _0(N)$ et fractions continues

Mourtada, Abderaouf

Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude

Jeddi, Ahmed

Singularité réelle isolée

Aubry, M.

Lemaire, Jean-Michel

Sur certaines équivalences d'homotopies

Ma Li

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
MA LI
On equivariant harmonic maps defined
on a Lorentz manifold
Annales de l’institut Fourier, tome 41, no 2 (1991), p. 511-518
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1991__41_2_511_0>
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
42, 2 (1991), 511-518.
ON EQUIVARIANT HARMONIC MAPS DEFINED
ON A LORENTZ MANIFOLD
by MA LI
1. Introduction.
It is interesting to study harmonic maps from a Lorentz manifold
into a Riemannian manifold. In this case, the harmonic map equation
is a Hyperbolic system of second order. In this paper, we look for
equivariant harmonic maps defined on a specific Lorentz manifold ;
namely, the Lorentz manifold M = Mo x R with the space-time metric
ds2 = dt2 - S2(t)dc52
where (Mo,da2) be the symmetric space for a compact Lie group G
with a bi-invariant Riemannian metric da2 and S(t) is a smooth positive
function defined on R. The target manifold is a compact Riemannian
manifold (N,h) admitting an isometric group action of G. This kind
of problem is called a a-model in Physics literature and one may see
[G] and [EL] for further datum. Without loss of generality, we may
assume that N is a submanifold of some Euclidean space R1' by Nash's
isometrical imbedding theorem, so we may think of G as <= S0(k) with
its Lie algebra LG c: so (k) the Lie algebra of S0(k) whose elements
are skew-matrices.
By definition, a smooth map u from M to N is called a harmonic
map if it is a critical point of the following action integral
E,(u)- [ (Tr^u^S^^d^dt
J M Q X I
= [ f ^B^-S-^V.u^S^d^dt
Ji JMQ
Key-words : Equivariant - Harmonic map - Minimax principle - Lorentz manifold.
A.M.S. Classification : 53C50 - 58E05 - 58E10 - 58F21.
512 MA LI
for every interval I = [a,b] c: R among all maps of its class, here
n = dimMo, d[i is the invariant measure of (Mo.rfcr), • is the usual
norm induced by Rfi and Vo is the co variant derivative induced by da2
on MQ.
We will prove the following
THEOREM. - Let M and ' N be the manifold defined above. Suppose
S(t) is a smooth positive periodic function of period 2n, then, there exist
infinitely many G-equivariant harmonic maps which are of period In in t
from M to N .
By equivariant, we mean that the map u\ M -> N satisfies
u ( g ' m , t ) = g-u(m,t)
for every g e G and (m.QeMo x R. We denote the set of equivariant
maps M and it is non-empty by our assumptions on M and N. Select
a basis {^}^i (note n = dim MQ = dim^G) of the Lie group G and
let{^}^i denote the corresponding basis of its Lie algebra. Fix meMo
and write x(t) = u(m,t). Because u is an equivariant map,
u(exp (sAj)m,t) = exp (sAj) u(m,t). Differentiating it vv.r.r. s at s = 0
we get that Vou(m,t)(Aj) = Aju(m,t) (matrix multiplication in R^.
From this and the invariance of the metric do2, the action integral
E i ( ' ) for the (z-equivariant map u becomes
r r
E,(u) = ^ (l^(m,0|2 - S-\t) ̂  ^(m.O)!2)^)^
jMo Jl j=l
=Vol(Mo)F,(x),
where the last integral factor Fi(x) will be written as F(x) when I = S1.
It will be shown by the minimax principle that there exist infinitely
many critical points of F(-) just like closed geodesies in N . But here
we should mention that it is conceptually different from the closed
geodesic case because the Euler-Lagrange equation for our F ( - ) is a
non-autonomous one (see Lemma 2 below).
2. Some well-known facts.
Since the Aj is a skew-symmetric matrix, there exists a non-negative
symmetric matrix A such that
f ^ J - - ^A,Ar= - A\
r i j= i
513LORENTZ HARMONIC MAPS
So
(1) F(x) = ^\\x'W
2-S-2(t}\AxW^)S'•(t)dt.
Jo
Think of M,x5 1 as a Riemannian manifold with the met̂
dt2 + S'O) do2 we may define a Hilbert manifold H = tV • (A?ox ^ .yv)
for 1 large enough. Now, ^ admits an isometnc group action
(u s ^ K ^ u - g o f G . Applying the theorem in page 23 of R. S Falais
[P2] to F on H and to the fixed point set of the map u -^ - u - g ,
we find
LEMMA 1. - IfueJ^, then u is harmonic if and only if x(t) = u(m,t)
is a critical point for F,(x) for all intervals I c R.
Let 0 be an open uniform tubular neighborhood of N in R" such
that the P: <9 -> N given by P(y) = the nearest point in N to y , is a
smooth fibration.
LEMMA 2- - The Euler-Lagrange equations for an equivariant harmonic
map from M to N are
(2) S-"(t)(Sn(t)x'y - D^P(x,x-) + S-\t)A^x = 0.
which is a non-autonomous system except if S(t) = const.
Proof. - Suppose x is the critical point of F(.) -h?hco^70n^
to the equivariant harmonic map we consider. For T| e W • (S ,K ) ,
[> 0 is small enough, we have that P(x(.)^(.)) is a smooth curve
in W^S^Ny^iyeW^^S^R^y^eN} passing through x for
s e(-e,e). Hence
0= 2-lrf/ds|,,oWx+srl))
=1^ f IDP^.O^O+sri'CO)!2^)^
Ids ,.,0 Js1
- f \AP(x(t)+sT}(t))^S"-\t)dt
Jsi
= f ^^'(O^W^n^+^^wmt)^
LI
«/ •J
- f (A^x(t)^(t)>Sn-\t)dt
Js1
514 MA LI
= [ <x(o,rr(o>^(o^
Js1
+ [ (^P^x'W^x'W-S-^^A^^^^S^t^dt.
Jsi
Since P(x) = x , we have that DP^{x) = x\ So by integration by part
we get (2). Since, for S{9) 7^ const.,
(^(Ol^-^Ol^Ol2)^)
is not conserved, (2) is a non-autonomous system. D
Define
A' = \\N) == W^(S\N).
It is well-known that A^AQ is a Hilbert manifold [PI]. Since N is
compact, there exist constants c; > 0 ( f = l , 2 , 3 ) such that
(3) c,D(y) - 03 ^ F(^) ^ c,D{y) - €3 ,
f
here D(y) := \y\'{ = \ \ y ' 2 for every y e A1. We will also need the
Js1
following inequality
(4) l ^ loo ^ |^(0)| + c^L,
for every y e A' and the Sobolev imbedding ^l'2(5>l,7^) -^ C^S^R')
is compact.
LEMMA 3. — i)^-) satisfies Palais and Smale condition C;
ii) For every c > 0, ^r^ exists an integer h = n(c) SKC^I that
H\Q = 0
/or n > n, wh^r^ /c = T^'^—oo.c].
Proof. — i) Suppose {x^} c: A1 is a sequence such that
(5) F{x^} -^ c
and
(6) ^F(xJ^O, in ^-1.
LORENTZ HARMONIC MAPS 515
Since N is compact, we may assume that x^(0) -> p . By inequality (3),
we get that, there exist a constant C > 0 such that
(7) D{x^) ̂  C.
So we may assume that x^ -> ^ in C^1,^). Now,
<AF(xJ,n>=2[ «x /,rl />+<7)2P(x /,x),r|>-^-2(0<^2x,r|»^(0.
Js1
Take T| = x^ - x^ and x = x^, x^ in (6), we get by (7) and (4)
that
o(l) = 2-l<^(xJ--dF(xJ,x,-x,>
^ Ci7)(x^-xJ - 2C|x^-xJ^
- f ^-^^X^^-xJ.x.-x,)
Jsi
^c,D(x^-Xn) - 2C^(1).
Here we implicity used boundness of the positive function S(t). Hence,
TXx^-xJ = o(l).
ii) This is borrowed from Milnor's book (see theorem 16.2 in [M]).
Since /c is a strong deformation retract of a finite dimensional manifold,
whose dimension n depends on c, then, we get the conclusion if we
let n(c) = n. D
Now, let us recall a result of M. Vigue-Poirrier and D. Sullivan
[V-PS] about the topology of A1.
PROPOSITION 4. — If N is compact and simply connected, then there
exists an infinite set of positive integers M c= f^ such that
^(A1) ^ 0
for q e M .
3. Final argument.
Consider a non-trivial oce^*(A1) and set
(8) a == {^cA^oO^O},
where
fg:^*(A1) -^ H^(B)
516 MA LI
is the homomorphism induced by the inclusion
I B - . B -> A1.
Remark 5. — a defined in (8) is non-empty and contains the compact
support of a fe-chain a e a, k = deg a, which is not homologous to
constant by the nontrivial property of a.
LEMMA 6. — Let ae^f*(A1), a ^ 0 anrf rf^/in^
(9) c,, = inf sup F(B).
B ea
TTi^n, Ca fs a critical value of F on A1; moreover, if \ve assume that
^^(A1) 7^ 0/or infinitely many q, there exists a sequence {cj of critical
values of F defined as in (9) \vhich satisfies that
(9') Ca -^ + oo , as deg a -> + oo .
Proof. — By our Remark 5 we have
c^ < + GO .
Suppose some c^ is not a critical value of F , then by lemma 3 i) and
a well-known deformation lemma in page 125 of R. S. Palais[Pl], we
know that there exists a positive numbers and a homeomorphism ri
on A1 such that
(10) r|(F^,)c=F^_,.
Since
r|*:7^(r|(A1)) -. ^(A1)
is an isomorphism, we have that
i^w-w-'-iBW^Q
for all B G Q L . Hence T| leaves a invariant. But, by the definition of c^,
there exists B e a such that
supF(5) < c^ + e.
So by (10) and r|(2?)eoc we have
supF(r|(5)) < c,- E.
It is absurd.
LORENTZ HARMONIC MAPS 517
To get (97), we take k e ̂  . By lemma 3 ii), there exists n = n(k) e N
such that H^Ik) == 0 for q > n. By our assumption on H*(A1) we
may take ^ > n with A^(A1) ^ 0 and consider a e ̂ (A'), a ^ 0.
Denote
/' == {xeA1;^)^},
we claim that
(11) V ^ e a . ^ n / ^ O .
Suppose it is not true, then, there exists Beat such that
B^A^ :=/,,
then
(12) H^(A1) -r^ H^I,) -"L H^B),
where if, f* are the homomorphisms induced by the inclusion maps
12: 4 -^ A', h: B -^ 1^.
Then, by I? e a we have that
(13) ^(o0- W^O.
From (12) and (13) we obtain that j9^(4) ^ 0, a contradiction to our
assumption on^. So (11) is true.
By (11) and our choices of c^ we have that
c, ̂  c,k- C
which implies our conclusion, n
Proof of Theorem. - 1) If N is simply-connected, then the result
follows from Proposition 4 and Lemma 6.
2) If TTi(A^) ^ 0 and finite. Then the universal covering (N,Yl) is
compact. By 1) we have infinitely many critical points x ^ : S1 -> N of
F such that
F(xJ -> + oo , as n + oo .
Therefore, set x^ = IT(xJ, we obtain the existence of infinitely many
critical points of F , and infinitely distinct harmonic maps of periodic
271 in t from M to N by Lemma 1.
518 MA LI
3) If 7ii(AQ == oo . We may get a minimizer of F in each homotopy
class by the Palais-Smale condition in lemma 3 i). D
Remark 7. — (1) Suppose S{t) is not periodic in t. Take / = [0,1],
x(0) and x(l) two point in N , we can prove as in our theorem that
there are infinitely many geometrical distinct critical points of F. It is
interesting to consider the behavior of the orbit of some critical point
of F just like that of the geodesic inN.
(2) It is an open question to obtain our theorem when
S(t) = 1 — cos (0. In this case, the Lorentz manifold M is called
Friedman-Robertson-Walker space-time in general relativity.
Acknowledgement. — The paper was prepared when the author was
a visiting member of ICTP at Trieste, the author would like to thank
Professors J. Eells Jr and A. Verjovsky for their hospitality. The author
would like to thank the referee for his comments on the first version
of this paper.
BIBLIOGRAPHY
[E] J. EELLS Jr, Proc 1981 Shanghai-Hefei Symps. Diff. Geom. Diff. Eq.,
Sci. Press, Beijing, (1984), 55-73.
[EL] J. EELLS Jr and L. LEMAIRE, Another Report on Harmonic Maps, Bull.
London Math. Soc., 20 (1988), 385-524.
[G] Gu Chao-hao, On the Two-dimensional Minkowski space, Comm. Pure
and Appl. Math., 33 (1980), 727-738.
[M] J. MILNOR, Morse Theory, Princeton, 1963.
[PI] R. S. PALAIS, Lusternik-Schnirelmann theory on Banach Manifold,
Topology, 5 (1966), 115-132.
[P2] R. S. PALAIS, The Principle of Symmetric Criticality, Comm. Math.
Phys., 69 (1979), 19-30.
[V-PS] M. VIGUE-POIRRIER, D. SULLIVAN, The Homology Theory of the Closed
Geodesic Problem, J. Diff. Geom., 11 (1976), 633-644.
Manuscrit re^u Ie 16 mai 1990,
revise Ie 5 avril 1991.
MA Li,
Peking university,
Dept of Mathematics
Institute of Mathematics
Beijing- 100871 (Rep. Pop. Chine).


On equivariant harmonic maps defined on a Lorentz manifold

Idrissi, Elhassan

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
ELHASSAN IDRISSI
Quelques contre-exemples pour la LS catégorie
d’une algèbre de cochaînes
Annales de l’institut Fourier, tome 41, no 4 (1991), p. 989-1003
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
41, 4 (1991), 989-1003.
QUELQUES CONTRE-EXEMPLES
POUR LA L.S.-CATÉGORIE
D^UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES
par Elhassan IDRISSI
I. Introduction.
Soit k un corps de caractéristique quelconque. Une fe-algèbre de
cochaînes (A,d) est une k-algèbre différentielle graduée (en abrégé a.d.g.),
concentrée en degrés positifs ou nuls et dont la différentielle est de
degré 1 . On suppose de plus que H°(A) = k , H^A) = 0 et pour tout
f , dimH\A) < oo. L'exemple standard d'un tel objet est l'algèbre
C*(X;k) des cochaînes singulières à coefficients dans k d'un CW-
complexe 1-connexe de type fini X. Halperin et Lemaire [5] ont introduit
les invariants numériques
AcaiÇA), lMcat(A) et r Meut (A)
tels que :
i) max (7Mcat (A ), rMcat (A ) ) ̂  Acsit (A ) ).
ii) Si A = C*(X;k) alors AcaiÇA) ^ cat(JT),
où cat (X) désigne la cétégorie de Lusternik-Schnirelmann de l'espace
topologique X. Elle est définie par :
cat (X) ^ n si X peut être recouvert
par (n+1) ouverts contractiles dans X.
Lorsque l'on se restreint aux algèbres de cochaînes commutatives
graduées alors
lMcâi(A) = r Meut (A)
Mots-clés : Modèles minimaux - Catégorie de Lusternik-Schnirelmann.
Classification A.M.S. : 55M30 - 55P50 - 55U15.
990 ELHASSAN IDRISSI
et la valeur commune de ces invariants est notée Mcat(^). En outre
K. Hess [6] a démontré que si k = Q> alors,
(*) Meut (A) = Acat(A).
Ce résultat associé à celui de Jessup [7] démontre la conjecture de
Ganéa
eut (Xx s " ) = cat(A') + 1
pour les espaces rationnels.
Notre premier exemple montre que pour les algèbres de cochaînes
quelconques,
IMcni(A) ^ r Meut (A),
bien que H (A) soit une algèbre graduée commutative.
Afin d'étendre les résultats de Hess et de Jessup en caractéristique
non nul, Ndombol [2] introduit l'invariant biMcat (.4), pour les algèbres
de cochaînes quelconques et établit que
(**) Acat(A) = biMcat Q4).
Dans l'exemple IV, nous montrons que
rMcat (A) ^ biMcat (A) et /Mcat (A) ^ biMcat (A).
Finalement, nous nous plaçons dans le contexte de la L. ̂ .-catégorie
d'un homorphisme dans la catégorie des a.d.g. Les invariants précédents
se généralisent (cat (id^) = cat (A)) et l'on a
e(f) < max (/Mcat CO.rMcat (/)) ^ biMcat (/) ^ Acat (/).
Ceci nous permet, dans l'exemple V, de montrer que le résultat (**)
de Ndombol ne s'étend pas à la catégorie d'un homomorphisme
d'algèbres de cochaînes. Signalons que lorsque k = Q, il existe une
application continue qui induit au niveau des cochaînes un homomor-
phisme tel que Acat (/) ^ biMcat (/) [8].
Je remercie J. C. Thomas, qui m'a donné des indications fort utiles
pour l'élaboration de ce travail.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 991
II. Définitions.
Soit k un corps de caractéristique quelconque. Les espaces vectoriels
et les algèbres considérés sont sur k et nous écrirons simplement (x) au
lieu ® .
k
1. Rappels.
Soient (T(V),d) un T-modèle minimal [5], B une algèbre de cochaînes
et
/:(T(F),rf)^ B
un morphisme d'a.d.g. Alors / induit sur B une structure naturelle de
T( ̂ -module à gauche (resp. à droite, de bimodule) différentiel gradué.
On note 7^ "(F) l'idéal différentiel de T(V) engendré par les produits
des éléments de V de longueur supérieure à n, on note encore à la
différentielle induite par d sur le quotient J^n/r^fT). D'après [5], il
existe un modèle minimal de la projection P : T(V) -> T(V)/T>n(V),
qui est unique à isomorphisme près :
T(V) J^ T(V)|T>n(V)
i N. c± \|/
T{V@W)
où P est la projection canonique: T(V) -> TfTVr^fT).
2. Définitions.
Acat(f) (resp. biMcat(/), /Mcat(/), rMcat(/), e,(f)) est le plus
petit entier naturel n tel qu'il existe un morphisme r : T(V@W) -> B
d'algèbres différentielles (resp. T(F)-bimodules différentiels, T(r)-modules
différentiels à gauche, T(r)-modules différentiels à droite, d'espaces
vectoriels gradués différentiels), tel que ri = /.
Soient h : A -> B un morphisme d'a.d.g. et \)/: (T(V),d) -> A, un
modèle minimal de A, au sens de [5] on pose :
(.4cat (^),biMcat (^i),;Mcat (/i),rMcat (h),e^h))
= (^cat (/n|/), biMcat (^v|/), /Mcat (/î\|/), rMcat (/î\|/), ̂ W)) •
^92 ELHASSAN IDRISSI
En particulier : si h = id^ on trouve [5], [2] :
(Acat (h), biMcat (7i), /Mcat (h), rMcat (h), e^h))
= (Acut (A), biMcat Q4)^Mcat (.4), rMcat (^), e^A)).
Des définitions il résulte clairement :
e(f) ̂  max (rMcat (/), /Mcat (/) ^ biMcat (/) ^ ^cat (/)).
Pour calculer effectivement ces invariants, il faut disposer d'une
factorisation \|/ qui soit maniable. Remarquons à ce propos que le
morphisme d'a.g., ^ : T(V@ W) -^ T^/T^^V^ est une résolution
semi-libre au sens de [l], [4] dans la catégorie des T( D-module à
gauche (resp. à droite).
Pour la suite, nous avons besoin de la construction explicite d'une
résolution de nrVr^F) comme T(r)-module à gauche (resp. à
droite, de bimodule).
Soit (T(Y),d) un T-modèle minimal. Posons M == s(V@n+l) où
s : V -. V est l'opérateur de suspension, de degré - 1, défini par
(svy = ^+1.
3. Résolution semi-libre de (TW/r^F),^) comme T(V)-module
différentiel à gauche.
Considérons Pisomorphisme de ^-espaces vectoriels gradués :
oc : r(F)®M-^ T^ÇV); a ^ s x - ^ Ç - l ^ a ^ x , | a \ = degré de a.
On étend la différentielle d de T(V) à une différentielle ô sur
T(V) (g) (feOOM), en posant pour tout a e T(F), et tout sx e M:
ô(a®5x) = (a-a'^aXa^sx).
D'après [3], (T(r)(x)(fe@M),ô) est une résolution semi-libre de
{TÇV^IT^ÇV)^) comme T(F)-module différentiel à gauche.
Le morphisme
F ' . (T(T)(x)(fc©M),8) ̂  (T^/T^ÇV)^)
défini par :
F\T(V) ® f e = P ® i d , F\k® M = 0,
est un quasi-isomorphisme.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 993
4. Résolution semi-libre de (^(D/r^r»,^) comme T(V)-module
différentiel à droite.
Considérons risomorphisme de fc-espaces vectoriels gradués :
a : M ® T(V) -> T^ÇV) ; sy (g) a -. y ® a.
On étend la différentielle d de T(V) à une différentielle S sur
(7c©M) (g) T(D, en posant pour tout a e T(F), et tout sx e M ;
Ô(sx®û) = (a-a^daXs^®^).
De même ((k@M)®T(V),S) est une résolution semi-libre de
(^(D/r^fT),^) comme T(r)-module différentiel à droite.
5. Résolution semi-libre de (^^/T'^F)^) comm^ T(V)-bimodule
différentiel [2].
i) Un morphisme de T( r)-bimodule différentiel
h: {T(V)®(k@sV)®T(V),d,) -^ (T(V),d)
est obtenu en posant :
/ î( l®l(x)l) == 1
A(l®si?®l) = 0 ; pour tout v e V
et
^i(^®101) = dv ® 1 ® 1,
rfi(l®l®t;) = 1 ® 1 ® dv,
rfl(l®SÎ;®l) = Î ; ® 1 ® 1 - 1 ® 1 ® 1 ; - ^(rfl;),
où l'application S : T+(V) -> T(V) ® sV ® T(^) est définie, pour tout
U i , . . . , ̂  e V, par:
^l® • • • ®Vm) = 1 ® SV^ ® î;2 ® • • • ® Vm
m-l
+ Z (-l)^'"^-^ ® • • • ® ^--i ® SI;, ® V^, ® • • • ® ̂
7 = 2
+ (-l)1"^---4-'^-!^ ® . . . ® V^,, ® 5 ^ ® 1.
ii) Une structure de T(r)-module à droite sur T(V) ® (k@M) est
donnée par :
f (a®l) # a' = a . a ' ® 1
[(a®5x) # a' = a.a"1^®^),
avec a e T(F), a' e FfT), sx e M.
^94 ELHASSAN IDRISSI
Alors
û) (T(V)®(k@M)) ®Tm(T(V)®(k@sV)®T(V))
= (r(r)®(fe©5F©M©M®sF)(x)r(F)),7))
fc) F®T(v)h est une résolution semi-libre de T^V)/^"^) comme
T(T)-bimodule différentiel.
c) D vérifie les relations :
D(\®sv®\) = rfi( l®sy®l)
^(1®5X®1) == (5(1®5X®1)
Z>(l®5X®5t;®l) = X ® SV (X) 1
- a~1 ^oc(l®sx) ® su (x) 1
+ (-l)^(Kx)sx) # y ® 1
+ (-ly^C^.x) ® 1 ® u
+ (- l)1"1 S (- 1)^.^(1 ®sx) # S ] dv) ® sy, ® (S](dv))
avec^ î; e ^, sx e M, sv e s ¥ , Vj désigne une base homogène de F, et
S ] , S] sont les endomorphismes de T(V) définis par:
s dv = E S](dv) (g) si;, (g) ^(du) e r(F) (x) sF ® T(F).
Du lemme de relèvement [l], on déduit :
6. PROPOSITION. - Avec les notations précédentes,
a) /Mcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
r : T(V) ® (fe©M) -^ B de T(V)-modules différentiels à gauche tel que
ri = f.
b) rMcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
r : (k@M) ® T(V) -^ B de T(V)-modules différentiels à droite tel que
ri == f.
c) biMcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
R : T(V) (x) (kQ)M@sV@M®sV) ® T(V) -. B
de T(V)-bimodules différentiels tel que Ri = /.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 995
Alors le résultat de B. Ndombol [N] se généralise en :
7. PROPOSITION.
a) /Mcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
r : T(V) (x) (k@M) -. B de T(¥)-modules différentiels à gauche tel que
r( l©l) == 1.
b) rMcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
r : (fc©M) ® T(V) -> B de T(V)-modules différentiels à droite tel que
r(l®l) == 1.
c) biMcat (/) ^ n si et seulement si il existe un morphisme
R : T(V) (x) (k@M(SsV@M®sV) ® T{V) -> B
de T(V)-bimodules différentiels tel que R(l ® 1 ® 1) = 1 et R(l ®sv® 1) = 0.
III. Exemple où /Mcat (1 )̂ ¥- rMcat (1^).
1. On construit un T-modèle minimal A = (T(V),d) dont la
cohomologie est une algèbre graduée commutative. L'espace vectoriel V
est muni d'une nouvelle graduation V = © V^ telle que pour n > 2
on a : n^1
d(V^) c: T^\V^.^ @ (^®(^)@-..©^_^)
© T\V^' • •®^-i))) © [V^T(V^^],
où
^W) ^ V(D © Vw © • • • © V^
et lYd), r(T(^))] désigne le sous-espace vectoriel de T(V) engendré par
des éléments de la forme vx - (-1)""^; avec ve V^, x e T(Vç^)
et dx = 0.
On pose :
^(D l'espace vectoriel engendré par deux éléments a et a' :
\a\ = 2 = 1^1, da = 0 = d a ' .
F(2) l'espace vectoriel engendré par deux éléments b et V
\b\ = 3 = |^[, db' == a1 M, db = a.a'
V^ = s{[x] G H^KV^QV^) x ç r^(^© ^))©(^i)®^))
© T\V^@[V^T(V^)}}.
d: V^ -. T^ÇV^V^ © (V^®V^) © T\V^ © [V^T(V^)}
996 ELHASSAN IDRISSI
est une section de la restriction à
T^(V^ © V^) © (V^ ® V^) ©.T2^)) © [Vç^T(V^)}
de la projection
^ : ^(^(i)©^(2)) n Kerrf -> ̂ (r^i)®^))).
V^ = s{[x] G ̂ (T^-^lx e r^^)
©(^1)®(^2)©--©^-1)))
©^(^©•••©^-i))
©[^D,r(^,_^]}.
d: V^ -. T^\V^-^ © (^œ®(^© ... © ^_^)
© ^(^©•••©^-^©[^^(^^^
est une section de la restriction à
^(^.-l)) © (^1)®(^2)©-"©^-1)))
©W(2)©—©^-i))©[^œ,T(^_,0]
de la projection
p : T(^-I))| n Ker^ -^ H(T(V^_^).
2. H(T(V)) est commutative, en effet si [x], [̂ ] e H(T(V)) alors par
construction
xy - Ç-iy^yx
est un bord.
3. Montrons que ;Mcat(T(^)) = 2.
On a ?Mcat (T(F)) ^ 2 car rf(a) = 0 et a2 n'est pas un bord. Reste
à montrer que /Mcat(T(F)) ^ 2.
D'après le corollaire, il suffit de construire un morphisme
r : (T(F)®(fc©M),8) ̂  (T(Y),d)
de r(F)-modules différentiels à gauche tel que r ( l ( x ) l ) = l , avec
M=s(V®3). On note (i^i^h) le tridegré d'un élément
5(xi®X2®X3) es(F(^®F(^®F(^) c M et on ordonne les triplets par
l'ordre lexicographique inverse. La différentielle, 8, baisse le tridegré
des éléments de k 00 M.
Construisons r , par récurrence sur le tridegré.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 997
Soit (x,y,z) de tridegré (1,1,1) alors x, y , z e V^ et par conséquent
dx = dy = dz = 0.
D'autre part, la définition de ô montre que :
r8(l®s(xi®.X2®X3)) == r(xi .X2.X3) = x ^ . x ^ . x ^ e T\V).
Par construction de à, il existe y e T(r) tel que :
r8(l®5(Xi®X2®X3)) = dv.
On pose r(l®5(xi®;x:2®X3)) = v .
On remarque que y ^ F(I) car u 7^ 0 et u = 5.
Supposons avoir construit r en tridegré {i^.i^i^ < (p,q,t) tel que:
r6 = dr,
et considérons (Xp,Xg,Xt) de tridegré (p,q,t) alors
r8(l®5(Xp®Xç®x^)) = r (Xp .Xg .X(®l -a - l r f (Xp .Xg .x^) )
= Xp.Xg.Xt - r(a~1 d ( X p . X g . X t ) ) .
Posons: d(Xp.Xg.Xt) = ̂  y'i ® y! où ^/ est un mot de longueur 3 et
y\ est un mot de longueur ^ 1. Comme r est T(F)-linéaire à gauche,
nous obtenons :
r6((l®s(XpS)x,®x,))) = Xp.x^x, - rfoc-1^ ̂ (x)^))
\ \ i //
= x?.x,.x, - ^(-ir^.^l®^))-
\ ; /
Or, d'après l'hypothèse de récurrence dr 8(l®s(x^®Xg®x^)) = 0.
Pour des raisons de degré, r(l®5^^) ^ F(I), par suite
rô((l®5(x,®x,®^))) e T^F) ® (^^©T^(r)).
Alors, par construction de (T(F),d) il existe v e (V^^T^^V)) tel
que :
rô(l®5(Xp®Xg®x^)) = rfy.
On pose: r(l®s(Xp®Xg®x^)) = r.
D'où l'existence de r.
998 ELHASSAN IDRISSI
4. Vérifions que rMcat (r(D) > 2.
Supposons que rMcat(r(^)) ^ 2. D'après le corollaire, il existe un
morphisme r : (fe©M) ® T(V) -^ T(V) de T(F)-modules différentiels à
droite avec, r(l®l) = 1 et M = sV®3.
Calculons r(s(a®a®a)®l) ;
rfF(s(â®a®a)®l) == rS(5(a®û®a)®l)
= r(l®a3)
= a3.
D'où r(s(a®a®a)®l) = r avec y e F^), dv = a3.
Maintenant calculons r3(s(a®û®fc)®l) :
rS(s(â®û®b)®l) = r(a®fl®^-5(a®a®a)®^)
= ^.fc - v.a',
qui ne peut pas être un bord. D'où la contradiction.
IV. Exemple où biMcat(^l) ^ /Mcat(^),
et où biMcat(^) ^ rMcat(^).
1. On construit un T-modèle minimal A = (T(V),d) tel que:
V = © F(O, d^ = 0 et dV^ c= ^^^«o) pour f ^ 2.
i^l
Plus précisément, posons :
V^ = ka@ ka' et V^ = sÇT3^))
avec |fl | = 2 = \a ' \ , da = 0 = dû', si u G ^2) alors u = s'^w),
w e T^^I)), on pose : dv = w
^(3) = s{[x] e H+(T(y^@y^)\xe T^(V^@V^}.
d : ^(3) -> ^^3(^(l)©^(2)) est une section de la restriction à T"\V^@V^)
de la projection
p : T(V^@V^ n Kerd -^ ^(T(^©^))).
,̂ = s{[x]eH+(T(¥^,^)\xeT^(V^^}.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 999
d : V^ -> ^(T^-I)) est une section de la restriction à T^fT^-i))
de la projection
p : T(^,^)nKerrf ^ H(T(V^.^).
2. Montrons que biMcat(T(F)) > 2.
Sinon, d'après le corollaire, il existe un morphisme,
R: T(V) ® (k@M(SsV@M®sV) ® T(V) -^ T(V)
de T(r)-bimodules différentiels tel que ^(1®1®1) = 1 et
R{\®sv®\) = 0.
Alors,
RD{\®s(a®a®d)) = R(a(S)a®a)
D'où par construction, 7?(l®s(a(x)a®û)) = b avec b e V^ et db = a3.
7?Z)(l(x)s(a®â(g)ûO) = jR(aY®l®l)
= oV
et 7?(l®s(fl®a®â /)) = ^ avec b' e V^ et àV = a^a1. Par suite,
7^(l®s(a®a®û)®s^®l) = ^(a^sa'®! -a®s(a®a®^) ® 1
+ 1 ® s(a®fl®a)®a')
= aV + b a ' .
Or ce dernier élément ne peut pas être un bord car dV c= T^fT).
D'où une contradiction.
3. Montrons que lMcat(T(V),d) = 2 .
Comme 2 = nil (7^(7^)) ^ /Mcat (T(^)), reste à montrer que
/Mcat(T(F),rf) < 2.
Soit M = sV®\ On va construire par récurrence un morphisme
r : T(V) ® (fe©M) -^ T(r) de r(F)-modules diiïérentiels à gauche tel
que r(l®l) = 1. Posons: s(x^®x^®x^ e M est de tridegré O'i,^^) si
x/ e F(^.) ; j = 1, 2, 3. On note M<(^ ̂  l'espace vectoriel engendré par
les éléments de tridegré < (p,^,r).
1000 ELHASSAN IDRISSI
Soit 5(xi®X2®X3) e M de tridegré (1,1,1) alors x, e F(I), dx, = 0.
Alors,
rD(l®s(xi®X2®X3)) = r(xi .X2.X3®l)
= X i . X 2 . X 3 .
Par construction, il existe y e V^ tel que :
dy = r2)(l®5(xi®X2®X3)).
On pose :
r(l®s(Xi®X2®X3)) = y .
Supposons avoir construit r pour tout générateur s(Xi®X2®X3) de M
de tridegré < (p,q,t), et tel que dr = rD.
Soit maintenant 5(Xp®Xg®x<) e M de tridegré (p,q,t).
rD(l®s(Xp®Xg®Xt)) = ^Xp.Xg.x^Ol-or^x^x^Xf))
= X p . X g . x ^ - r(^~1 d(Xp®Xg<SXt)).
Puisque d(Y) cz T^\V), alors d(Xp.Xg.Xt) = ^ ̂  0 ^F avec y ' / est un
i
mot de longueur 3 et y\ est un mot de longueur ^ 2. Alors
rZ)(l®5(x^OOXg®x,)) == Xp.Xq.Xt - r^a"1^^®^))
\ \ i / /
= Xp.x,.x, - (^(-Wi'r^®sy';)\
\ i /
D'où rD(l®5(x^®x,®x,)) e T^(V).
Comme -D(l®5(Xp®Xg®x<)) e T(V) ® (fe©Af<(^ç^)), d'après l'hy-
pothèse de récurrence on a :
rf(rj9(l®5(Xp®Xç®x^) = 0.
D'où par construction, il existe y e V tel que :
rD(l®s(Xp®x^®x^)) = rf^.
On pose r(l®5(Xp®Xg®x^)) = y, d'où l'existence de r.
Conclusion: JMcat (T(V),d) = 1.
De même, on trouve rMcat (T(V),d) = 2.
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 1001
V. Exemple où biMcat (/) ^ Acîit (f).
Soient (T(V),d) un modèle libre minimal, et n un entier arbi-
traire. Considérons une factorisation de la projection
^(W^-^TW/T-W.d).
(T(V),d) _^ (T(V)/T>\V),d)
i N^ ^ \(/
(T(V)uT(W),D)
(u désigne le coproduit dans la catégorie des k-a.d.g.).
Soient U un espace vectoriel isomorphe à T+(W),
y : U ^ T^W)
un isomorphisme d'espaces vectoriels, et P : T+(W) -> U l'inverse de y .
On définit une différentielle ô sur (T(V) u T(U)), en posant :
f8(u) == d(v) si v G F,
\8(u) == (^up)dy(M) si M e (7,
alors ô est une dérivation, en effet :
S\v) = d\v) =0 , si v e V .
8\u) = 8((irfup)dy(u))
=(idu^d(dy(u))
= 0 , si u e U .
Remarque. — 6(U) appartient au sous-espace vectoriel T(V) u (kçQU)
de T(V) u T(U).
LEMME 1. - Soit l'inclusion j : (T(F),rf) -> (T(V)uT(U),o). Alors
biMcat (/') ^ n.
Pr^^. - Soit l'inclusion r : ((T(^)ur(H^),2)) -> (r(r)uT(£/),8),
r = i W u p . Clairement, r est un morphisme de T(r)-bimodules
1002 ELHASSAN IDRISSI
différentiels. On a donc le diagramme commutatif ci-dessous :
(T(r),d) JL. (T(r)uT((7),8)
1 ^\ r
(T(V)uT(W),D)
et par définition biMcat (/) ^ n.
Considérons le cas particulier suivant: n == 1, T(V) = T(^) avec
1 ^ 1 = 2.
LEMME 2. — Soit j comme dans le lemme 1, alors :
i) biMcat (j) = 1.
ii) ^cat (/') ^ 2.
Preuve. — Un simple calcul nous donne,
(T(a)uT(W)) = (T(a)uT(w3,W4,^)uT(^)),
avec : w ; | = f e t | w ' ^ 5 si w' e W .
CD\v, = a2
^ 2)^4 = 0.^3 — Wa.a
(.Z)VV5 = Ws .Wa - âLW4 - W4.â .
i) Montrons que biMcat (/') = 1 .
biMcat (/•) 7e 0 car 7* : H(T(a),d) -^ H(T(a)uT(U)^) est non nulle.
D'après le lemme 1, on a alors biMcat (/') = 1.
ii) Montrons que Acat (/) ^ 2.
Supposons que Acëii (/') ^ 1, par définition, il existe un morphisme
d'a.d.g.
{ ' . (T(d)uT{W\D) -> (r(a)uT(t/),8)
tel que ^i = j d'où ^(a) = a.
Et pour des raisons de degré on a :
(Y(W3) = P(W3)
^(^4) = P(W4) + \a\ \çk
U^,)eT(V) u(k@U),
LA CATÉGORIE D'UNE ALGÈBRE DE COCHAÎNES 1003
mais,
8<f(w5) = ^(ws)
= ^(W3®W3-û®W4-W4®â)
= P(w3).P(w3)-a.P(w4)-P(wQ.a - 2^a3
qui ne peut pas être un bord car Ô(T(a) u (/c®£/)) c= (r(â)u(^©C/))
et \u\ ^ 6 si ue T"\U).
D'où la contradiction.
BIBLIOGRAPHIE
[1] L. AVRAMOV, S. HALPERIN, Through thé looking glass : a dictionary between
rational homotopy theory and local algebra, Lect. Notes in Math. Springer-
Verlag, 1183 (1986), 1-27.
[2] B. NDOMBOL, Sur la catégorie des algèbres de cochaînes, preprint.
[3] Y. FÉLIX, S. HALPERIN, J. M. LEMAIRE, J. C. THOMAS, Mod p loop space
homology, Inventiones Math., 95 (1989), 247-262.
[4] Y. FÉLIX, S. HALPERIN, J. C. THOMAS, Gorenstein spaces, Adv. m Math., 71
(1988), 92-112.
[5] S. HALPERIN, J. M. LEMAIRE, Notions of category in differential algebra, Lect.
Notes in Math. Springer-Verlag, 1318 (1988), 138-154.
[6] K. HESS, A proof of Ganéa's conjecture for rational spaces, Ph. D. thesis
M.I.T. Cambridge (1988).
[7] B. JESSUP, Rational Lusternik-Schnirelman category, fibrations and a conjecture
of Ganéa, Ph. D. thesis Univ. of Toronto (1987).
[8] E. IDRISSI, Un exemple où Mcat est différent de ^cat, C.R.A.S., Paris, t. 310,
Série 1 (1990), 599-602.
Manuscrit reçu le 9 mai 1990,
révisé le 20 novembre 1990.
Elhassan IDRISSI,
Université des Sciences et Techniques
de Lille-Flandres-Artois
URA au CNRS D751
UFR de Mathématiques
59655 Villeneuve d'Ascq Cedex (France).


Quelques contre-exemples pour la LS catégorie d'une algèbre de cochaînes

Boileau, Michel

Collins, D. J.

Zieschang, H.

Genus 2 Heegaard decompositions of small Seifert manifolds

Nakayama, Hiromichi

Transversely affine foliations of some surface bundles over $S^1$ of pseudo-Anosov type

Tougeron, Jean-Claude

Inégalités de Łojasiewicz globales

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