Annales de l’institut Fourier (AIF)

Hida, Haruzo

On $p$-adic $L$-functions of $GL(2)\times GL(2)$ over totally real fields

Kappeler, Thomas

Fibration of the phase space for the Korteweg-de Vries equation

Mantlik, Frank

Partial differential operators depending analytically on a parameter

Anoussis, Michalis

Sur les caractères des groupes de Lie résolubles

Chaumat, Jacques

Chollet, Anne-Marie

Régularité höldérienne de l’opérateur $\overline{\partial }$ sur le triangle de Hartogs

Du'c, Nguyen Hu'u

Pham, Frédéric

Germes de configurations legendriennes stables et fonctions d'Airy-Weber généralisées

Nabutovsky, Alexander

Smoothing of real algebraic hypersurfaces by rigid isotopies

Berteloot, F.

Cœuré, Gérard

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
F. BERTELOOT
GÉRARD CŒURÉ
Domaines de C2, pseudoconvexes et de type fini ayant
un groupe non compact d’automorphismes
Annales de l’institut Fourier, tome 41, no 1 (1991), p. 77-86
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
41, 1 (1991), 77-86
DOMAINES DE C2, PSEUDOCONVEXES ET DE TYPE FINI
AYANT UN GROUPE NON COMPACT D^AUTOMORPHISMES
par F. BERTELOOT & G. COEURÉ
Introduction.
Soit Q un domaine borné de C71, à frontière lisse, ayant un groupe
d'automorphismes Aut(fl) non compact. Il est bien connu qu'il existe une
suite hn dans Aut(Q), uniformément convergente sur tout compact vers
une application h holomorphe de Q dans la frontière 90. De plus, si 9Q est
de type fini au sens de Catlin [2], la frontière ne peut contenir de courbe
holomorphe, il en résulte que h(fl) est réduit à un point qui sera noté {a}
dans la suite; lorsque {a} est un point de stricte pseudoconvexité, Rosay
[8] démontre que fî est biholomorphe à la boule euclidienne.
Pour construire un biholomorphisme de ïï sur un bon domaine
modèle, on utilise la méthode de dilatation de Pincuk. Lorsque Q est
dans C2, pseudo-convexe et à frontière analytique, Bedford et Pincuk [1]
démontrent que f2 est biholomorphe à un domaine de la forme {Re w -(-
j ^ j 2 m ^ 0} où 2m est le type du point limite d'un groupe parabolique à un
paramètre que contient Aut(Q).
Notre généralisation aux domaines de type fini nous a conduit à
préciser une propriété d'attraction de disques analytiques (cf. Théorème 1).
Cette propriété est la clef d'un argument de famille normale qui permet de
Mots-clés : Groupe d'automorphismes - Pseudoconvexité - Familles normales.
Classification A.M.S. : 32M99 - 32F15 - 32A17.
78 F. BERTELOOT & G. COEURÉ
compléter la démonstration de la proposition 2.3 dans l'article de Bedford-
Pincuk [!].(*)
L'article est organisé de la façon suivante : dans la première partie,
nous décrivons les coordonnées introduites par Fornaess et Sibony dans
[3]. Ces coordonnées nous permettent d'énoncer la propriété d'attraction
de disques analytiques avec précision; ceci fait l'objet de la seconde partie.
Nous terminons en appliquant ces résultats à la démonstration du théorème
principal (théorème 2).
1. Coordonnées canoniques de Fornaess-Sibony [3].
Soit fî un domaine de C2, à frontière lisse au voisinage de {a}; il
existe un voisinage U de {a} tel que
- II existe un système de coordonnées holomorphes dans lequel
H H U = {(z,w) ; r(w,z) = Re w 4- 0(z,ïm w) < 0}, où 6 s'annule au
moins à l'ordre 2 à l'origine et est C°° .
- Pour chaque entier k > 1, il existe <Ï> : U x C2 —> C2, C°° et
vérifiant :
- <I>(^,») est polynomiale et $($,$) = 0;
- Il existe un voisinage V de {a} et Vç de $ tels que V C V^ C U
et ^(^•) est un biholomorpbisme de Vç sur la boule unité B de C2, quel
que soit ^ € Y; - p : (^,t) —> ^(^•^(O,^) est un difféomorphisme de
(ôflnv)x ]-i,i[ sur y;
- r o $(^ •)-1 - r(0 ̂  p = Re w + ̂ k P ,̂ z) + Im w ̂ f Qi(^ z)
+cr2fc-n(^)+^2(^Im w ) + I m wa^iÇ^z),
sur V x B; Pi et Qi sont des polynômes homogènes en z et z de d°<, ai
s'annule au moins à l'ordre i en z ou Im w . PI, Qi et cr^ sont (7°° . Pf($, •)
et ^(^•) sont sans terme harmonique.
De plus :
Si {a} est de type 2k au sens de Catlin : inf^ sup^ ||^($î»)|| > 0, où
I I I I désigne une norme sur les polynômes de d° < 2k.
Si, fl, est pseudo-convexe, on a sur (9fî D V) x B :
(*) Bedford et Pincuk viennent de généraliser leurs résultats aux domaines pseudo-convexes,
de type fini dans Cn dont la forme de Levi satisfait une propriété qui est toujours réalisée
dans C2 (communication des auteurs).
DOMAINES DE C2 79
(i.i) Eî \\Qi^ •)\\ \z\1 < M E^ llfl(^ •)11 HT72.
(1.2) II existe une constante L et P(^z) sousharmonique en z tel
que :
" 2k
Re^+L^KP^^X- ^||PK$^)|||^r+(Imw)2
2
sur (ôfîriV) x $(^nny).
On utilisera les bi-disques R et Ç de Catlin définis ainsi :
R^,e)={\z\<r^,e),\w\<£}
Q^£)=^•)-lm,£))
""^'^'^(TO^lî)1"'^2'-'2'-
On sait d'après les travaux de Catlin [2]
(1.3K'e Ç(^) ̂  r(^6) ̂  r(^).
En fait, la fonction r est définie par Catlin dans un autre système de
coordonnées; mais d'après la proposition 1.3 de [2], r est intrinsèque à une
équivalence près.
2. Un résultat sur le contrôle de disques analytiques dans Q D V.
Soit A le disque unité de C et Ay, celui de rayon r.
THÉORÈME 1. — Ji existe £Q > 0, un voisinage V de a relativement
compact dans V et une fonction c(r) définie sur [0,1] tels que :
pour tout disque analytique h : A —> fl H V, on ait :
/i(o)çç(^n
^ e QflnV ^ => /i(A^) c Q(^c(r)e).
0 < e < £o }
Démonstration. — Nous procédons en trois étapes.
1ère étape :
Soit £o tel que Ç(^, e) soit contenu dans Y, pour tout ^ dans V et tout
e < £Q ; on peut alors considérer ç(h) = (jr-1)!^^)) et t(h) = (^"^(^(O)),
on a alors : $(^(/i),/i(0)) = (0^(/i)) avec -e < t(h) < 0 et ^(/i) e QfïnV.
80 F. BERTELOOT fe G. COEURÉ
Cette partie de la démonstration consiste à établir qu'il existe une fonction
c(r) sur [0,1[ tel que : $(^(/i),/i(A^)) est contenu dans le polydisque :
{M<r(^),c(r)£), H<c(r)v^}.
Dans le cas contraire, il existerait r dans [0,1[, une suite hn de disques
analytiques, une suite En et une suite ^ dans 9fl H V tels que, si l'on
considère hn = ^n,An), on ait :
- MO) = (0, tn) avec 0 > tn > -En ;
- hn(^r) n'est pas contenu dans le bi-disque [\z\ < r^n^riEn), |w| <
n^} qui contient le bi-disque n^ ' {\z\ < r(^,^), H < y^J.
Considérons la fonction ^(^,w) = (———-\ " 4- ^Im ^2, où ^
V7"^^;^^)/ £n
/ -. \ l / ^ n
est le premier entier qui vérifie r(^£n) = .,- n .„ , (2 < ^ <
,. Vll^nAsn-»®)!!/
D'après (1.2), on a :
FRe (w+Lw^+P^,^) < -[||p^(^.)|| |^|^+[lm ^|2]
(i) ^ <-^n^n(^,w),
[ sur l'ouvert Q(^) = $(^, Q H Y) .
Les travaux de N. Sibony [9] nous apprennent que toute fonction u
sur la frontière de Q(^) se prolonge, par la méthode des enveloppes de
Perron-Bremmerman, en une. fonction ù plurisousharmonique sur ^(^n) et
continue sur 0(^n) .
Il résulte alors de (i) :
(n) -2^n(UO)) > -2 .
La construction de la fonction pn qui suit s'inspire d'une idée de N.
Sibony dans [9].
La fonction gn = ̂ (^n+^n-H^P+lwl2 est strictement p.s.h. continue
sur Q(^) qui est pseudo-convexe; étant donnée une fonction 0n strictement
positive, continue sur Q(^) et tendant vers 0 au bord de Q(^n), il existe,
d'après un théorème de Richberg [7] (voir aussi [4], page 38), une fonction
/n, G00, strictement p.s.h. sur O(^) et telle que \fn - Qn\ < On-
Supposons de plus que les On soient choisis tels que 6n(hn(ft}) < 1 et
posons pn = fn + ^n. Cette fonction est p.s.h. sur îî(^) et on a :
^la^j-d^'+^DIa^);
DOMAINES DE C2 81
ainsi pn est bornée supérieurement sur fl(Çn) par une constante indépen-
dante de n
Pn(hnW) > -2^n(hnW) - 1 > -3 .
En utilisant la formule de Gauss, on obtient :
/lro dt ( ~ { ~
\ — A[pn o hn]drdr = / pn o hn - pn ° M°) .
JO L ^M^ J|r|=ro
où r < 7*0 < 1.
Il en résulte que J , , ^ , A [ p n O hn}drdr est borné supérieurement par
une constante indépendante de n, pour tout r' €]r,ro[.
T-» / ^n,l ^n,2 \ TT r\ ' ^Posons ———r, —— == Hn' On aurait :
\r(^en) ^/e^)
^ A[(|z|^' + (Im w)2) o Hn}drdr borné supérieurement en n
J\r\<r'
et H^nik.^oo.
En multipliant Hn par une suite convenable tendant vers 0, on aurait
une suite Kn de disques analytiques définis sur A^/ tels que :
/ A[|^|^+(Im wY}dTdT< ( A[(|/z|^'-h(Im w)2) o Kn}drdr< -1-
^X,,(A,./) J\T\<r' zn
et ||^n||A, -^00.
Les laplaciens de l^l^" et (Im w)2 sont uniformément bornés infé-
rieurement par 1 sur un compact dont on peut choisir la mesure égale à
3. Les composantes de Kn dont on prend la restriction à Ay./ prennent
donc leurs valeurs dans C privé d'une partie de mesure positive; la suite
Kn est donc une famille normale sur Ay/ , ce qui est contradictoire avec
lim IIJ^Ik. = oo et KnW = O(HnW) = 0(y^J •
n—>oo
2ème étape :
On affine la "majoration" obtenue : si h satisfait les mêmes hypothèses
que précédemment alors : <^(/i),/i(A^)] C {\z\ < r(^(/i),c(r)é:)Jw| <
c(r)e} (où c désigne une nouvelle fonction).
On notera plus brièvement ^ pour ^(h) et (f) pour (f){ii(h), •). Désignons
par g (g == (91,92)) le disque (f) o h. Soit r et r' tels que 0 < r < r1 < 1.
82 F. BERTELOOT & G. COEURÉ
D'après la 1ère étape, on a :
(1) H < r'^ |ffi(()| ^ r^,c(r')e) et \g^(t)\ < c{r')^e .
d'où
2k
(2) \t\<r'^^\P^g,(t))\<c(r')e.
2
Tenant compte de (1.1) et de r^c^e) ̂  (c^e)1/2^ on a aussi
k
(3) |^| < r 1 ̂  ̂  |Ç^iW)| ̂  (c^)1/^1/^ .
i
(1), (2) et (3) permettent alors de déduire de p o g < 0 la majoration
(4) M <r1 ̂  Re g^(t) < Mc(r')e
où M est une constante convenable ne dépendant que de la taille du
voisinage V de a.
L'ensemble des disques holomorphes / de A dans {Re w < 0} tels
que /(O) = -1 est relativement compact pour la topologie de Montel. Il
existe donc une fonction A : [0,1[-^ R+ telle que l'on ait pour ces disques •
sup \f(u)\ < A(A).
N<A
La majoration (4) permet d'appliquer cette remarque au disque /
défini par f(u) = ̂ [l+M^r')]-1^^)-^^^). Le choix de À = r / r 1
fournit l'estimation annoncée.
Sème étape :
On considère enfin le cas d'un disque quelconque.
Puisque /i(0) ç Q(^e) on a |r o h(0)\ ̂  e. D'autre part,
r o h(0) = r[((^(/l),•)-l((U(/l))] ̂  -t{h) .
Ainsi |[/i(0) - ̂ (/i)|| ̂  e et, d'après la 2ème étape :
(^ h(Ar)cQ^(h)^c(r)e).
En utilisant à nouveau l'appartenance de /i(0) à Q{^e), on observe
que ç(h) ç Q(^Cie) pour une constante ci convenable. On a donc, d'après
1.3 :
(2) Q^W,c(r)e)cQ(^w(r)e)
où es > 0 est une constante indépendante de ^, h et e.
DOMAINES DE C2 83
La conclusion résulte immédiatement de (1) et (2).
Remarque. — Les techniques utilisées dans cette démonstration per-
mettent aussi d'établir qu'un domaine fî de C2, défini par ^ = {(w^z) ç
C2 \ Re w + ^p(z) < 0} où (p est une fonction sousharmonique de classe (72,
est faut si mes [z ç. C \ A(^(z) > 0} > 0.
3. Application aux problèmes de familles normales
dans la méthode de dilatation des coordonnées.
Nous commençons par décrire la méthode de dilatation des coor-
données de S. Pincuk dans le contexte qui nous intéresse (voir [6] pour
d'autres exemples).
îî étant un domaine de C2 dont la frontière est (7°°, pseudoconvexe
et de type 2k en un point a, nous considérons une suite (^n)n de points
de <9Q tendant vers a. Pour n assez grand, les biholomorphismes <î>(^,»)
sont définis sur un voisinage U de a et l'on peut associer à toute suite
(^n)n (^n > 0) de limite nulle, une suite de "dilatations" (^n)n définies par
An,(w, z) = ( —, ————- ) . On vérifie facilement que la suite de domaines
\Sn r{kn^n)j
A^O<Î)(^, •)(î7nn) converge après extraction éventuelle vers un domaine D
^ 2k
défini par D == {Re w +P(z) < 0} où P(z) = lim —^Pi^n,rÇ^£n)z)-
n en 2
P est donc un polynôme réel sans termes harmoniques et dont le degré est
inférieur ou égal à 2k.
Supposons maintenant disposer d'une suite (Fn)n d'applications ho-
lomorphes d'un domaine u} C C^ (p > 1) dans 0 telle que lim Fn(zQ) = a et
n
^(^îiî Fn{zo)) == ( — ^ n î O ) pour un point ZQ fixé de uj. La méthode re-
pose entièrement sur la normalité de la suite {Gn)n définie par Gn =
A^ o $(^,») o Fn. A cet effet, nous montrons que (modulo extraction)
la suite (Gn)n converge uniformément sur tout compact de u vers une ap-
plication G de uj dans î> telle que G(zo) = (—1,0). Remarquons qu'une
limite éventuelle G de (C?n)n vérifie G(zo) = ( — l ^ O ) et prend ses valeurs
dans î>. La proposition qui suit montre que {Gn)n est uniformément borné
sur tout compact de uj . La propriété de convergence attendue s'en déduit
par procédé diagonal.
84 F. BERTELOOT & G. COEURÉ
PROPOSITION. — Soit Q un domaine de C2 dont la frontière est
C°°, pseudoconvexe et de type 2k en a et uj un domaine de C^ (p > 1).
Alors il existe un voisinage V de a et, pour chaque compact connexe K de
a; contenant ZQ, des constantes e(K) et c(K) telles que :
- pour toute application holomorphe F : uj —> fl
\F(zo)-a\<e(K)}
^ e V n QÇt
0 < e < e(K)
F(zo)eQ(^e)
F ( K ) c Q ( ^ c { K ) e ) .
Démonstration. — Soient CQ > 0 et V le voisinage de a donnés par
le théorème 1. Soit K = {z G u j / d ( z , K ) < ̂ } où ro = d(K,9u;).
Un argument classique de localisation montre qu'il existe £o{K) > 0
tel que \F(zo) - a| < £o(K) ^ F(K) C V1 H Q pour toute F : uû -^ fl
holomorphe.
La remarque suivante se déduit alors facilement du théorème 1; il
existe c > 0 tel que F[B(z, ro/4)] C Q(^ ce) pour tout $ e V H 9^1 et tout
z e K dès lors que \F(zo) - a\ < eo(K) et F ( z ) € Ç($^) avec ^ < eo.
Considérons un recouvrement de K par des boules Z?(^,ro/4); j =
0, . . . , N telles que Zj e B(^-i, ro/4) H K.
La proposition s'obtient en posant e{K) = min ( £o(K), -———„- ) ,
\ ( c + l ) ^ /
c(X) = cN et en appliquant successivement la remarque précédente aux
boules F[B(zk, ro/4)], k = l ,7v. D
Nous sommes maintenant en mesure d'utiliser cette méthode pour
établir le
THÉORÈME 2. — Soit Sî un domaine borné de C2 dont la frontière
est C°°, pseudoconvexe de type 2k en a. Si il existe une suite (^n)n d^au-
tomorphismes analytiques de Q et un point ZQ de Q tels que lim<^(zo) = û
u
alors Q est holomorphiquement équivalent àV= {(w^z) ç. C2/Rew +
P(z) < 0} ou P est un polynôme réel sous-harmonique sans termes
harmoniques de degré inférieur ou égal à 2k.
Remarque. — On vérifie facilement que ce théorème reste vrai si
l'adhérence du domaine Q admet un voisinage taut.
DOMAINES DE C2 85
Démonstration du théorème 2 . — Nous reprenons les notations
précédentes. Pour n assez grand; (^n(^o) C U et il existe un unique
^ ç Î7 H <9fî tel que $(^,(^n(zo)) = (-^n/0) avec On > 0. On a, bien
sûr, \ïmen = 0 et lim^ = a.
n n
Introduisons les suites de domaines (fln)n et (T>n)n définies par
Q^ == (^(nnC/) et Pn = An0$(^,»)([7n^) où An désigne la dilatation
/ . / w 2; \
^^'^ij-
\b •
Nous disposons donc d'une suite de biholomorphismes Sïn —ï ^n
définis par ^n == ^n ° ̂ (^•) 0 ^n et vérifiant les propriétés suivantes
(modulo extraction) :
1. On converge vers fî (argument de localisation appliqué à (^n).
2. Vn converge vers V = {Re w + P(z)}, (choix de A^).
3. (^n)n converge uniformément sur tout compact de fî vers une
application ^ de îî dans V telle que ^(zo) = (-1,0). (On applique la
discussion précédente à Fn = ̂ pn et ^ CC H; ZQ € uj).
4. (^ r^ l)n converge uniformément sur tout compact de P.
Un théorème de Greene et Krantz (cf. [5]) permet alors d'affirmer que
^ réalise le biholomorphisme attendu. La sous-harmonicité de P résulte de
la pseudoconvexité de D. D
BIBLIOGRAPHIE
[1] E. BEDFORD and S. PINCUK, Domains in C2 with non compact holomorphic
automorphism groups, Math. USSR Sbornik, Vol. 63, (1989), 141-151.
[2] D. CATLIN, Estimâtes of invariant metrics on pseudoconvex domains of dimension
two, Math. Z., 200, (1989), 429-466.
[3] J.E. FORNAESS and N. SIBONY, Construction of p.s.h. functions on weakiy
pseudoconvex domains, Duke Math., J. 58, 633-655.
[4] J.E. FORNAESS and B. STENSONES, Lectures on counterexamples in several
complex variables, Mathematical Notes, Princeton University Press.
[5] R.E. GREENE and S.G. KRANTZ, Characterizations of certain weakiy pseudoconvex
domains with non compact automorphism groups, Lecture Notes in Math., 1268,
(1987), 121-157.
[6] S. PINCUK, Holomorphic maps in C71 and thé problem of holomorphic équivalence,
Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 19, Springer Verlag (1989).
[7] R. RICHBERG, Stetige streng pseudokonvexe Funktionen, Math. Ann., 175 (1968),
251-286.
86 F. BERTELOOT fe G. COEURÉ
[8] J.P. ROSAY, Sur une caractérisation de la boule parmi les domaines de C" par
son groupe d'automorphismes, Ann. Inst. Fourier, 29-4 (1979), 91-97.
[9] N. SIBONY, Une classe de domaines pseudoconvexes, Duke Math. J., 55, n°2 (1987),
299-319.
Manuscrit reçu le 14 novembre 1990,
révisé le 1er février 1991.
F. BERTELOOT & G. COEURÉ,
Université des Sciences fe Techniques
de Lille Flandres Artois
UFR de Mathématiques Pures & Appliquées
URA CNRS 751
59655 Villeneuve d'Ascq Cedex.


Domaines de ${\bf C}^2$, pseudoconvexes et de type fini ayant un groupe non compact d’automorphismes

Lehmann, Daniel

Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier

Jolissaint, P.

Valette, A.

Normes de Sobolev et convoluteurs bornés sur $L^2(G)$

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