Annales de l’institut Fourier (AIF)

Barlet, Daniel

Mardhy, A.

Un critère topologique d’existence de pôles pour le prolongement méromorphe de $\int _A f^\lambda \square $

Patras, Frédéric

La décomposition en poids des algèbres de Hopf

Wambst, Marc

Complexes de Koszul quantiques

Ecalle, J.

Schlomiuk, D.

The nilpotent part and distinguished form of resonant vector fields or diffeomorphisms

Cerveau, Dominique

Minimaux des feuilletages algébriques de ${\mathbb {C}}{\mathbb {D}}(n)$

Thomsen, Klaus

Finite sums and products of commutators in inductive limit $C^*$-algebras

Dloussky, Georges

Colmatage de surfaces holomorphes et classification des surfaces compactes

Perrin-Riou, Bernadette

Fonctions $L\, p$-adiques d’une courbe elliptique et points rationnels

Cano, José

An extension of the Newton-Puiseux polygon construction to give solutions of Pfaffian forms

Canalis-Durand, Mireille

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
MIREILLE CANALIS-DURAND
Solution formelle Gevrey d’une équation
singulièrement perturbée : le cas multidimensionel
Annales de l’institut Fourier, tome 43, no 2 (1993), p. 469-483
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1993__43_2_469_0>
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
43, 2 (1993), 469-483
SOLUTION FORMELLE GEVREY D'UNE ÉQUATION
SINGULIÈREMENT PERTURBÉE :
LE CAS MULTIDIMENSIONNEL
par Mireille CANALIS-DURAND
1. INTRODUCTION
1.1. Présentation du problème.
Considérons l'équation différentielle singulièrement perturbée :
(1) e^=G^,x,a,e)dx
où G est une fonction analytique des variables ç,x et a sur V = D(^o,n)
x .0(0,7*2) x ^(ao.rs) C C71 x C x C avec n, 7-2, r^ > 0 ç C71 x C x C
et Gevrey 1 en e pour e ç S (S secteur d'ouverture strictement inférieure
à7r).
Cela veut dire qu'on associe de manière unique à la fonction G une
série formelle en e : ^ Fp(^x,a) ^ où les fonctions Tp(^x,a) sont
p>_o
analytiques sur V et telles que :
3K, L > 0 / I I Fp ||p < K Lp p\
Soit S = {(^x) ç C71 x C / G(^x, ao,0) = 0} la courbe lente de
l'équation singulière.
Nous faisons les hypothèses supplémentaires :
Mots-Clés : Equations différentielles - Développements asymptotiques - Séries Gevrey
Classification A.M.S. : 34E05.
470 MIREILLE CANALIS-DURAND
• II existe une application x —> (f)(x) analytique sur un voisinage ouvert
1 de 0 dans C, à valeurs dans C71, telle que :
<^(0) = ̂ o
et Va;, x e l , G((/)(x),x,ao,0) = 0.
• La fonction analytique définie par u(x) = D^G((/)(x),x,ao,0)
est telle que n(0) possède 0 comme valeur propre simple et
^(detu(;r))^o^0.
Dans cet article, sous une hypothèse supplémentaire (H), détaillée
plus loin, nous allons montrer que les solutions formelles en e de l'équa-
tion différentielle singulière sont Gevrey 1 [7]. Ce résultat constitue une
généralisation de [2] qui traite l'exemple de l'équation de Van der Pol et de
[3] qui traite du cas unidimensionnel. Pour cette généralisation, nous nous
sommes placés dans les hypothèses où G. Wallet démontre l'existence de so-
lutions surstables [10]. Remarquons que le caractère Gevrey 1 des solutions
formelles permet également, par des procédés de sommation approchée ins-
pirés des théorèmes de sommation [4], [5], [8], d'obtenir l'existence de telles
solutions modulo une décroissance exponentielle ainsi que les véritables
solutions comme on le montre dans [2] sur un exemple .
Y. Sibuya a démontré le caractère Gevrey des solutions formelles
dans le cas où la partie linéaire de l'équation perturbée est inversible [9].
Nous allons montrer la propriété Gevrey dans le cas d'une partie linéaire
singulière et ceci par des méthodes de majorations directes.
1.2. Un changement de variable.
Redressons la situation en effectuant le changement de variable :
$ - (f)(x) a-ao
^ == —————, x == x^ a = ————.
e 6
L'équation (1) devient alors :
(2) e^ = u(x)Z + a-^((f)(x), x, ao, 0) - ̂ (x) + eF(Z, x, a, e).
La fonction G est une fonction analytique des variables ç,x et a sur
D{^o^-i) x D(0,r2) x D(ao,rs) et Gevrey 1 en e pour e e S. De plus, la
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 471
fonction 0 est analytique sur 1 et <^(0) = ^o? il existe donc un réel r, r > 0
tel que <^D(0,r)) C ̂ (^r7), r 1 < r-.
2à
Ainsi, ^(x) est une fonction analytique sur P(0, r) et F(Z, x, a, e) est
une fonction analytique de Z, a: et a sur D ( $o, rl ) x -D(0, r) x D(0,7*3) et
V 2 /
Gevrey 1 en e pour e € <S, | e [^ 1.
1.3. Découplage des équations.
Nous utilisons un résultat de V.I. Arnold [1] relatif aux formes
normales afin de découpler l'équation (2).
THÉORÈME 1. — Soit HQ le supplémentaire stable par n(0) de ker n(0).
Il existe, sur un voisinage U de 0 dans C, des fonctions analytiques À,p, A :
À : U —> C avec À(0) ^ 0
p'M—^GLn(C)
K'M—.GZ^_i(C)
telles que, quel que soit x dans U, Pendomorphisme x —> p(x)u(x)p(x)~1
se décompose dans kern(O) + HQ sous la forme suivante :
i \ ( \ / \-i / x\(x) 0 \p(x)u(x)p(x) 1^ ^ ̂ .
Notations. — Le théorème 1 permet, par le changement de variable
Y = p(x)Z, de transformer l'équation (2) par projection sur kern(O) + HQ
dans C x C71-1 en :
^-j- = xX(x)y^+Q(x,yz,y,a,e) / .
dx oùy=f^V
c^ = A(^+7i(^2/i,^a,e) v y ^
Nous faisons l'hypothèse supplémentaire (H) :
9G
^(^(0),0,ao,0)^o.
472 MIREILLE CANALIS-DURAND
r\^^
Ainsi, la fonction définie par s(x) = p(x) ^— ((f)(x), x, ao, 0) |kern(o) es^
telle que 5(0) 7^ O. Le système différentiel que nous étudions s'écrit donc :
{ e-j71 = xk(x)y-i + a s(x) - ̂ i{x) + e Q(x, y^y, a, e){Ea) ^e-^- = A(x)y + a t(x) - ̂ (x) + e H(x, y^,y, a, e)
où 5, t, A, '0i et ^2 sont des fonctions analytiques de x et les fonctions Q
et Ti sont des fonctions analytiques des variables a*, ^/i, î/, a et Gevrey 1
en e.
2. SÉRIES FORMELLES
Nous allons chercher les solutions formelles de {Ea)- Nous appelle-
rons :
yi^E^ a=^6^
A;>0 fc>0
et dans C71-1 :
y^^fk avecfk=(f^^fî}).
k>0
Nous voulons déterminer les coefficients a^ de la série a, les fonctions
f^(x) définies en tout point d'un voisinage de 0, coefficients de la série y\
et les fonctions fk(x) définies en tout point d'un voisinage de 0 dans C71"1,
coefficients de la série y .
Injectons ^i, y et à dans l'équation ÇEa) et identifions les puissances
de e.
2.1. Le ternie constant.
Nous avons :
0 = x\{x)f^(x) + aos{x) - ̂ i{x)
0 = A(x)fo{x) + aot(x) - ̂ {x).
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 473
Comme f^(x) ne possède pas de pôle en x =0, il vient :
a^^Wetf^)=^,A(^\
s \(x) \ s(x) j
- A ^ 1 5 ^ / M l \\ v(x) ~ VWou A est 1 opérateur : A[v{x)) := ————-—-x
fo(x) = A-\x)(^{x) - aot(x)).
Remarquons que les fonctions f^ et /o sont holomorphes au voisinage de 0.
2.2. Le problème formel associé.
Soient ^ gp^.y.x.a^ et ^ hp{y^,y,x,a)€p les séries formelles
p>o p^o
associées aux fonctions Q et H Gevrey 1 en e pour e ç. S. Ces séries
formelles sont à coefficients analytiques en (î/i,^/,a;,a) dans un voisinage
V de (^(OUoWAao) dans C^2.
Le système (Ea) se ré-écrit alors formellement {Fa) :
e^ = ^)M^)-^1(:C))+S(:C) (a-ao)+e ^^(2/1,^^0)6^
^ P>O
e^ = A(al)(^)-/o(.2l))+^)(a-ao)+e^/^p(^l,^^a)ep.
p^o
Et en développant les fonctions analytiques g? et hp par rapport aux
variables (y^,y,a) au voisinage de (f^(x),fo{x),aQ), on obtient le système
différentiel dans C{a-}[[e]] :
(3)
e—— =x\(x)(y-i(x)-f^{x))+s{x){a-ao)+ç ^ ûpqr(^)ep(2/-/o)q(a-ao)r
p,q,r>0
(4)-
e^=A(a;)(y(a;)-/o(a;))+<(a;)(o-ao)+e ^ ^(^e^y-yo)11^-^)'
p,q,r>0
où q := (ci, ..,ç,) et (î/ - /o)11 ̂  (î/i - /o1)91^ - /o2)92-^ - /o")971.
D'après les hypothèses faites sur Q et H^ il existe ^ positif tel que
VP? q^ ^ 0, les fonctions Opqr et /îpqy. sont analytiques pour x dans D(0, Q.
474 MIREILLE CANALIS-DURAND
Pour ce système différentiel, nous allons montrer que les solutions
formelles y\ et y dans C{.r}[[e]] et a € C[[e]] sont Gevrey 1 en e. Nous
aurons ainsi résolu le problème formel associé.
3. FORMULES DE RÉCURRENCE
Nous nous plaçons dans le cadre formel et nous étudions les équations
(3) et (4). Les fonctions analytiques k^s^fQ^apçyriftpqr^ et le nombre
complexe ûo so^ des données du problème. Nous rappelons que nous
cherchons à déterminer les coefficients a,k de la série a, les fonctions f^{x)
définies en tout point d'un voisinage de 0, coefficients de la série y\ et
les fonctions fk(x) définies en tout point d'un voisinage de 0 dans C71"1,
coefficients de la série y .
3.1. Notations.
Pour k >_ 0, notons Gj^+i (respectivement ff^+i) le coefficient de e^ -
considéré comme une fonction de x - dans :
e ^9p{y\^y^,à) (?
p>o
( respectivement dans :
e ^hp(y\,y,x,à) e^.
p>.o
• Hypothèse : Comme les majorations des fonctions f^ 2 < ( < n,
seront identiques, nous supposons sans perte de généralité que n = 2.
• Expression de G/c+i :
kGk+i = y^p
p=o
où Bk = Oikw et pour 0 < p < k - 1 :
k-p A;-p-(çi+r) k-p
Bp = ^ ^ Y ^ apqlq2rdtql,q2Jr,k-p~^ / ^ ^qiOr^qiftjr^k-p
gi+r=l 92=1 çi+r=l
k-p
+ ^ ^ Oip0q20^0,q2ft,k-p-
92=1
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 475
On notera : f-^ le produit des fonctions .Ai.Aa—.Afc et °ik ^ somme
îl + ... + î fc -
1- A .E f\f\n,qi.q2j-r,k-p — ^J ^a^
^^i.^r^-p
^qi fi.3r.k-p = ^ /1^^
o'^gl+<TJ7•=A;-P
^0,g2,0,fc-p = ^ /2^.
^Ç2=fc-P
3.2. Les formules de récurrence.
THÉORÈME 2. — Avec les notations précédentes, les coefficients a^,
f^(x) et fk(x) sont uniques et s'obtiennent à F aide des formules de
récurrence suivantes :
(5) Ofc+l =
/,1 (0) - Gfc+i(0)
s(0)
(6)
el'
f^W={-WA^fk ~Gk+l)(x)
A \ S /
_ v{x) - v(0)
x
^ t i -lî ^ . A / / \ \ "\vu 1 u \ - ' /ou A est loperateur : A(v(x)) := -—————
(7) fk+i(x) = A-\x)(f'k - Hk+i - ak+i t)(x).
Preuve. — Identifions les termes en facteur de e'14"1 dans l'équation
(3):
f^{x) = x\(x)f^(x) + s(x)ak^.i + Gk+i(x)
ainsi :
(ft\x)-G^(x) \
—————— — aic+i
s(x)s(x)
\{x)fwW =
Afin que î^\{x) soit définie en 0, nous avons :
ûfe+i =
fUO)-Gk+i(0)
s(0)
476
et
MIREILLE CANALIS-DURAND
fi^^Af^-0^}
W \ s(x) j
où A est l'opérateur défini précédemment.
Identifions les termes en facteur de e^ dans l'équation (4) :
fk(x) = A(x)fk^x) + ak-^it(x) + Hk^-i(x)
ainsi :
À+i(^) = A-1^)^ - Hk+i - afc+i t)(x).
Les fonctions f^ et /fc+i sont holomorphes au voisinage de 0.
4. THÉORÈME DE MAJORATION
On va effectuer des majorations directes sur les formules de récurrence
obtenues dans le théorème 2.
4.1. Les données du problème.
Soit p un réel positif non nul strictement inférieur au minimum des
rayons de convergence des fonctions analytiques définies précédemment.
On prendra, pour les majorations, les normes suivantes :
I I /fc1 ||̂  := sup | f^x) 1 pour x ç DÇO.tp)
I I fk \\tp := Max|| fj, ||̂  pour 2 < l < n
I I A ||̂  := Max|| Aij ||̂  pour 1 < ij < n - 1.
Soit c un réel dépendant de p qui vérifie les inégalités suivantes :
c > 2, c > p/2 et c majore les normes suivantes :
1 1 ^ 1 1 ; lldl ; llïll ; II ^2 HP ; II A-l HP 5 II ^oo ||^ ; II A)OO L ;P p ^ p r p
1 1 ^ llp ; II /o llp; H /o Hp ; |ao |p.
De plus, c vérifie || a^ \\^ ^ c^l^+r p! où | q |:= ̂  + ... + ̂  (et de
même pour les fonctions /3pqy.).
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 477
4.2. Les outils de la démonstration.
4.2.1. Lemme de majoration des dérivées [6].
Soit / analytique sur un disque de rayon p, soit ty € [0,1[ et soit
k^O :
VMo^<l, ll/lltp<(^-^
^
v^<«i, iin^^ .̂
4.2.2. Majoration de || A(/) ||.
Soit / analytique sur un disque de rayon p, soit to € ]0,1[. On a alors :
VMo<^< l , 1 | A ( / ) | | ^ < 2 ||/||^.
pîo
4.2.3. Combinatoire.
• Appelons 5^n la quantité :
Sk,n == ^ îl! î2!...^!.
Zl+...+îfc = •^, Zl>l,...,Zfc>l
Nous avons la majoration :
^^^(n+l-Â;)!.
Cette majoration se montre par récurrence sur l'entier k. Nous avons :
52,n = l! (n - 1)! + 2! (n - 2)! + ... + (n - 2)! 2! + (n - 1)! l! < 4 (n - 1)!.
Supposons la majoration vraie jusqu'à l'ordre fc, k > 2.
n—fc n—fc
5fc+i,n = ̂  « 5fc,n-, ^ ̂  (! 4'^-l (n+l-l-k)\
1=1 i=i
478 MIREILLE CANALIS-DURAND
or
n-k
J^l\ (n+l- ;- fc)!<4 (n-k)\
1=1
donc
n-k
Sk^n < 4^ ̂  l\ {n + 1 - l - k)\ < ̂  (n - k)\
1=1
• Appelons T0^ la quantité :
n-l
Tcn=Y,ck (n-k)\.
k=0
Nous avons la majoration :
T^ ^ 0e n\
en effet :
I n—l / i \ i n—1 k_yc _^ fc (n-fc)! y. ̂
n' "-2-'n "' ^ Â;!A;=0 fc=0
4.3. Majoration de ai, /i1 et /i.
Nous supposons que la constante c, définie précédemment, vérifie de
e 2plus : c > - et c > —.
P Rto
D'après les formules de récurrence (5), (6) et (7), nous avons :
f1 ' — r 9<-3
a, = ^"——^(O) d'où | ai |̂  ———
s (1 -1)
A-H^)-"^
/i = A-^/o - ̂ i - ffli^) cî'oà II /i ||̂  4C-.^1 — tj
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 479
4.4. Le théorème de majoration.
THÉORÈME 3. — Soient p et c définis précédemment et soit to réel,
0 < to < 1. Quel que soit t ç. [to, 1[, les séries ^ f^(x)€k, pour 1 < i <, n
fc^O
sont Gevrey 1 pour x ç P(0, tp) et ^ a^ est Gevrey 1. Plus précisément,
k>0
quel que soit k > 1 :
, , Mk
1 (̂1 '̂
ll/X^(r^ .
Mk
II /. 11^ ^ (T^ fc!
où M = Mc5^.
Preuve. — D'après les formules de récurrence (5), (6) et (7),
a,+i = ^——^±^(0) d'où | a,+i |< c (|| f^ ||̂  + || G^i II,,)
s
f^i = ̂ A f41 "Gfc+l) d'où II /^, ||̂  < c3 (II /,1' II,, + II G î H,,)
A \ s )
A+i = K-\fk - H^i - ait) d'où I I A+i II,, ^ c (|| ̂  ||,, + || H^i ||,,
+ 1 ûfc+i 1 I I ^ l i t?)-
On est donc amené à majorer || G/c+i ||, et || Jï^+i I l ip - Le choix de
la constante c permet de donner une même majoration des deux quantités
précédentes.
De plus, la preuve du théorème va découler du lemme suivant :
LEMME 1. — Soit (un)n "^ suite définie par :
u\ donné et Hn+i < a (n + 1) Un + f3un , ni, a, /? > 0
alors
^n+i < ̂ i ̂ n (n + 1)! où M = a + /3.
480 MIREILLE CANALIS-DURAND
La preuve de ce lemme est triviale et on appliquera le résultat de ce
lemme à la suite Uk = Majc(|| f^ ||̂ , || fk ||^).
4.4.1. Majoration de || G^+i \\tp-
LEMME 2. — Soit Uk = Max(|| f^ ||^ . || fk IL). Si ron suppose que Uk
Mk
est majoré par une quantité du type annoncé, à savoir ————-^ k\, alors :
[1 — t)
II Gfc+i ||̂  < 7^ où 7 == l^e80.
Preuve du lemme.
k
Gk-^l \\tp ̂  ̂  II B? \\tp
p=0
Bk lltp <. ̂  k\
et pour 0 < p < k — 1 :
k-p k-p-(qi+r)
^iitp^ E E ^ '̂p'n ̂ ^,k-p il,,
gi+r=l 92=1
fc-p
+ ^ cP^^^^-p^
9i4-r=l
fc-p
+ ̂  ̂ p\\\ ̂ ^k-p H,,.
92=1
Or :
^^k-p\\,p< E ii^A.^iitp
^i4"'71^4"^7'"^"33
^q2^k-p \\tp < ̂  _ ^k-p $^ zi!...^!z'i!...^!ji!...^!.
v 7 (T^+<7^+(7^=fe-p
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 481
D'après la notation S^+^+^-p du paragraphe (2.2.3), nous avons :
M^
II ""9i,92,J'r,A;-p II,, < / _ f\k-p ^qi+q^r.k-p-
D'après les majorations du paragraphe (2.2.3), nous avons :
M^
II ^i,92j^-p ll̂  < (i_^-p 4gl+g2+r-l (fc -p+ 1 - ci - 92 - r)!.
• De même, nous avons :
il ̂ ,o,̂ -p iit̂  E 11^^ il,,
(7^gl+aJr-=fc-P
^ffc-P
II ^1,0,^^-p ll,p < ^_^k-p 491+r-l (A: -p+ 1 - ci - r)!.
• Et également :
I I ^o^k-p II,, <. ^ I I /2^ ||̂
^=k-p
M^
II ^0,ç.,0,.-p II,, < k-p 492-1 ^ - P + 1 - 92)!.
En reportant les inégalités précédentes dans l'expression de Bp, il
vient :
«^(^y^ë^-
\ / v / gi+r=l
fc-P-(9l+r)
^ (4c)^2 (A:-p+l-(gi+r)-Ç2)!
92=1
/ c f l _^ \ p ^ k-p
+ " M ^'0^^ ^ (4^1+r- l(fc-p+l-^+r))!
\ / v / 9i+r=l
/ c f l - ^X^ ^ A;-p
+ ( - M j ^'(T^ E^4^2-1^-^!-^-
482 MIREILLE CANALIS-DURAND
D'après les majorations du paragraphe (2.2.3), nous avons :
"BP"<^(c(lMt))î'p'c(TM-.4ce4c E (^^-^-P+l-te+r))!
9l+r=l
«(^•w^^
Enfin :
ii ̂ ii,.< ̂ -̂ (̂ y,,,(.-,,).
Et :
II G^ ̂  < c^! + 6À- M- "ff f^y ^!(fc-p)!
v ^ p=o \ /
Mk
II Gfe+i ||̂  ^ ^ fc! + ôc^80 .———^ 2 fc! œr c ̂  M.
(1 t)
Ainsi : |[ Gfc+i ||̂  < 7 Uk avec 7 = lâc^^e^.
4.4.2. Fin de là preuve du théorème de majoration.
Les expressions de /^ et de fk+i nous donnent :
ç4
II ^+111^ ^ n^ï)^ +1) uk + C37nfc
c2 + c3
II A+i lltp < ^ _ x ( f c + l ) ^+(c+c2)7nfc.
D'après la définition de ̂  et puisque c > 2, nous avons :
"^(^^^(T^-
II résulte du lemme 1 que :
/C4+c3-Y^^c^c3 .
^(TT^f)^'"1-
SOLUTIONS FORMELLES GEVREY D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 483
4c5D'après la valeur de 7 et puisque u\ = j-——., on conclut que :(1 — t )
(14c5g8c^+l
^^TT^)^^1^
De plus, |afe+i| est inférieur à || f^ \\^ , ce qui termine la preuve du
théorème.
Remerciements : Je remercie B. Candelpergher de l'Université de
Nice pour ses remarques et ses suggestions ainsi que les organisateurs
du Séminaire d'Analyse Complexe de l'Université de Provence qui m'ont
permis de simplifier la présentation des majorations.
BIBLIOGRAPHIE
[1] V.I. ARNOLD, Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différen-
tielles ordinaires, MOSCOU, Editions MIR, 1978.
[2] M. CANALIS-DURAND, Formai Expansion of van der Pol Equation Canard
Solutions are Gevrey. Dynamic Bifurcations, 1990, Springer-Verlag, pp. 29-39.
[3] M. CANALIS-DURAND, Solution formelle Gevrey d'une équation singulièrement
perturbée, Université de Nice, prépublication 277 (1990).
[4] B. CANDELPERGHER, Une introduction à la résurgence, Gazette des Mathéma-
ticiens, 42 (1989), 31-64.
[5] J. ECALLE, Les fonctions résurgentes. Université de Paris Sud, prépublication
(1985), Tomes 1-3.
[6] B. MALGRANGE, Frobenius avec singularités-1. Codimension un, Publ. Math.
IHES, 46 (1976), 163-173.
[7] J.P. RAMIS, Dévissage Gevrey. Journées singulières de Dijon, 1978, Astérisque,
59-60 (1978), 173-204.
[8] J.P. RAMIS, Les séries fc-sommables et leurs applications, Lecture Notes in
Physics, Springer-Verlag, 126 (1980).
[9] Y. SIBUYA, Gevrey property bf formai solutions in a parameter. School of
Mathematics, University of Minnesota, Minneapolis, Minnesota 55455 USA, 1989,
Preprint.
[10] G. WALLET, Overstability in Arbitrary Dimension. Dynamic Bifurcations, 1990,
Springer-Verlag, pp. 57-70.
Manuscrit reçu le 15 juillet 1992,
révisé le 9 novembre 1992.
Mireille CANALIS-DURAND,
Université d'Aix-Marseille III
FEA - Laboratoire LMA
3, avenue Robert Schuman
13628 Aix-en-Provence (France).


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