Annales de l’institut Fourier (AIF)

Couveignes, Jean-Marc

Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0

Cartwright, Donald I.

Kaimanovich, Vadim A.

Woess, Wolfgang

Random walks on the affine group of local fields and of homogeneous trees

Cassou-Noguès, Philippe

Taylor, Martin J.

Espaces homogènes principaux, unités elliptiques et fonctions $L $

Mendes, Luis G.

Sebastiani, Marcos

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
LUIS G. MENDES
MARCOS SEBASTIANI
Sur la densité des systèmes de Pfaff sans
solution algébrique
Annales de l’institut Fourier, tome 44, no 1 (1994), p. 271-276
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1994__44_1_271_0>
© Annales de l’institut Fourier, 1994, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »
(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-
nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-
tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-
fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Ann. Inst. Fourier, Grenoble
44, 1 (1994), 271-276
SUR LA DENSITE DES SYSTEMES DE PFAFF
SANS SOLUTION ALGÉBRIQUE
par L.G. MENDES et M. SEBASTIANI
Dans ce qui suit "surface" voudra dire "variété analytique complexe,
connexe, de dimension T et "surface algébrique" voudra dire "surface
algébrique projective, complexe, lisse, connexe".
Si M est une surface, on notera II(M) l'ensemble des systèmes de Pfaff
analytiques (de dimension 1) sur M n'ayant que des singularités isolées.
II(M) est muni d'une topologie naturelle, voir [LN].
DÉFINITION 1. — Si M est une surface algébrique et fl. € II(M),
une solution algébrique de f2 est une courbe algébrique X C M telle que
X - Sing(Q) est une feuiiie du feuilletage défini par Q. dans M - Sing(^).
DÉFINITION 2. — Si M est une surface et f2 e II(M), fî est rigide
si fî est un point isolé de II(M) (c'est-à-dire, tout F e II(M) assez proche
de fî est identique à fl.).
Rappelons la suivante :
DÉFINITION 3. — Une surface algébrique M est géométriquement
réglée si il existe une courbe projective lisse C et un morphisme lisse
p : M —^ C dont les fibres sont isomorphes à la droite projective Pi.
L^objet de cet article est de prouver le :
Mots-clés : Feuilletage analytique - Surface rationnelle.
Classification A.M.S. : 58F18.
272 L.G. MENDES et M. SEBASTIANI
THÉORÈME. — Soit M une surface algébrique qui domine une sur-
face géométriquement réglée. Alors il existe un Q, ç n(M) qui est rigide et
qui possède des solutions algébriques.
COROLLAIRE. — Soit M une surface algébrique rationnelle non
isomorphe à PS. Alors il existe un Q. e II(M) qui est rigide et qui possède
des solutions algébriques.
En particulier, l'ensemble des ^l e II(M) sans solution algébrique
23'est pas dense dans II (M).
Preuve du corollaire. — Si M est rationnelle et non isomorphe à ?2,
alors M domine une surface géométriquement réglée et on peut appliquer le
théorème. En effet, d'après [B], th. 5.10, M domine une surface Fn ([B] 4.1)
avec n ̂  1 ou bien M domine P2. Mais, dans ce dernier cas, M domine Fi
([B] prop. 4.1) puisque M n'est pas isomorphe à Pa. D
Par contre, aucun f^ ç II(P2) n'est rigide (voir [J]).
Ce travail a été motivé par la lecture de l'article [LN] (où l'on
trouve des exemples de surfaces dans lesquelles l'ensemble des systèmes
de Pfaff sans solution algébrique n'est pas dense) et par des entretiens
avec C. Camacho qui nous ont suggéré d'utiliser la classe de Chern. Des
entretiens avec E. Ghys nous ont amenés à améliorer une première version
de cet article.
1. Préliminaires.
Dans ce paragraphe 1, M dénotera une surface et S une surface de
Riemann compacte plongée dans M.
DÉFINITION 4. — Soit ^ e II(M). On dit que S est une solution
persistante de f2 si
a) S C M - Sing(n)
b) S est une feuille de ^|(M - Sing(^))
c) il existe un voisinage W de îî dans n(M) tel que si F ç. W alors S
est feuille de F\{M - Sing(r)).
Notons T(M) (Resp. T(S)) le fibre tangent de M (Resp. 5').
DENSITE DES SYSTÈMES DE PFAFF 273
LEMME 1. — Supposons que :
i) S est isomorphe à Pi et
n) T(M)\S se décompose analytiquement :
T(M)\S=T(S)@N
où N est un fibre vectoriel holomorphe de dimension 1 de base S.
Soit f2 e n(M) tel que S C M - Sing(^) et S est une feuille de
^|(M-Sing(^)).
Alors S est solution persistante de Çl\U pour tout voisinage ouvert U
de S dans M.
Exemple 1. — Soit K une surface de Riemann compacte non-
isomorphe à Pi. Alors, il existe uj -^ 0 1-forme holomorphe sur K. Soit D
un disque de centre 0 e C. Soient M = K x D , S = K x {0}, pi : M -^ K
et p2 : M -^ D les projections, ^ e II(M) défini par p^(dz) = 0 où z est la
coordonnée dans D. ̂  n'a pas de point singulier et ses feuilles sont K x {z}^
z ç D . Soit ^A C n(M) défini par
P^(dz)+\p^) =0 a v e c A e C , À ^ 0.
(Cette équation définit bien un système de Pfaff à singularités isolées
puisque p^(dz) + Apî(o;) n'est pas la forme nulle.)
Alors, S C M - Sing(f2A) n'est pas feuille de ^l\ et QA —^ ^ quand
A —> 0. Ainsi 5' n'est pas persistante pour f^.
Par contre, d'après le lemme 1, S est persistante si K est isomorphe
à Pi.
Exemple 2. — Si L est une droite dans ?2, alors la condition ii) du
lemme 1 est satisfaite, puisque L est transverse aux droites passant par un
point Q ^ L. Si on éclate dans PS un point P e L, la transformée stricte L
de L conserve cette propriété (on relève les droites passant par Q différentes
de la droite PQ et on complète par la droite exceptionnelle).
Soit Q. e II(P2) tel que L est une solution algébrique de Q, fî n'a
qu'un point singulier P sur L et ce point est dicritique (au sens que si on
éclate P dans ?2, le transformé strict 0 de ^ n'a aucun point singulier sur
la droite exceptionnelle). Alors L est une solution persistante de Q, d'après
le lemme 1.
Le lemme 1 est conséquence immédiate du suivant.
274 L.G. MENDES et M. SEBASTIANI
LEMME 2. — Dans les hypothèses du lemme 1, soit U D S un ouvert
et soit A e n(î7) tel que S CU - Sing(A) et Ax ^ N3; pour tout x e S (où
x —>• Ax est le champ de droites définit par A dans U — Sing(A)^). Alors S
est solution algébrique de A.
La démonstration du lemme 2 s'appuie sur le
LEMME 3. — Dans les hypothèses du lemme 1, soit PT(M) le fibre
en droites projectives associé à T(M). Soit E = Pr(M)|S' - {N^ x ç S}.
Alors E est un fibre analytique à fibre type C sur S, analytiquement
isomorphe à N 0 T(Sy.
Preuve du lemme 3. — Soient ^ ç Nx, (p e T^ÇSy, x ç S.
L'isomorphisme est défini par
^0^—,{<^)^+^; v e r^(S')} e E^.
D
Preuve du lemme 2. — La correspondance x —> Aa; définit une
section analytique de E. Pour prouver que S est encore feuille de A\U —
Sing(A) il suffit de prouver que cette section est identique à la section
x^W).
Supposons que ces sections ne soient pas identiques. Alors, d'après
le lemme 3, N 0 T(S')* admettrait une section analytique différente de la
section nulle. Donc, l'indice de auto-intersection de la section nulle serait
> 0. Alors,
(ci(A^r(5)*),[5])>0
où [S] est la classe fondamentale de S et c\ est la première classe de Chern.
D'autre part, comme S est isomorphe à Pi, on a :
<ci(A^ r(5)*), [S}) = <ci(AO, [S]) - (ci (S), [S}) = (ci (7V), [5]) - 2.
Mais, d'après la formule de Camacho-Sad [C-S],
(ci (N), [S]} =0
et on arrive à une contradiction. D
DENSITÉ DES SYSTÈMES DE PFAFF 275
2. Preuve du Théorème.
Soit N une surface géométriquement réglée telle qu'il existe un
morphisme birrationnel f : M —> N. Alors, il existe un ensemble fini F C N
tel que / : U —^ V est un isomorphisme, o\iV=N— F et U = /^(V).
Soit p : N —> C un morphisme lisse, où C est une courbe projective
lisse, dont les fibres sont isomorphismes à Pi. Alors, p est une fibration
analytiquement localement triviale ([B], th. 3.4).
Soit Q e II(7V) dont les feuilles sont les fibres de p.
Soit A C G un ouvert connexe non-vide tel que W = p~^(A) C V
et que p|v^ : TV —^ A soit analytiquement trivial. Au moyen d'une
trivialisation on obtient un champ analytique de droites tangentes x —> Nx
sur W transverse aux fibres.
Soit B C C un ouvert non-vide tel que ~B C A. Soit W = P^ÇB).
Comme W ' C W est compact, pour tout A e II(iy) assez proche de fl.\W
on aura :
a) A n'a pas de point singulier dans W et
b) Ax ^ Nx pour tout x C W.
D'après le lemme 2 appliqué à p~l{y) pour chaque y e B, on a que
p^Çy) est aussi feuille de A. Alors ̂ {W = K\W. Donc ̂  = A. Ceci montre
que fl\W est rigide. Donc, /*(^)|/-1(W) est rigide, puisque / : U -^ V est
un isomorphisme et W CV. Donc, /*(fî) est rigide. En plus, /-l(p-l(î/))
est une feuille de /*(n) pour chaque y e A. Donc, /*(^) possède des
solutions algébriques. D
276 L.G. MENDES et M. SEBASTIANI
BIBLIOGRAPHIE
[LN] A. LINS NETO, Construction of singular holomorphic vector fieids and foliations in
dimension two, J. Differential Geometry, 26 (1987), 1-31.
[J] J.-P. JOUANOLOU, Equations de Pfaff algébriques, Lecture Notes in Math. Springer
Verlag, vol. 708, 1979.
[B] A. BEAUVILLE, Surfaces Algébriques Complexes, Astérisque, vol. 54 (1978).
[C-S] C. CAMACHO et P. SAD, Invariant varieties through singularities of holomorphic
vector fieids, Ann. of Math., 115 (1982), 579-595.
Manuscrit reçu le 15 juin 1993,
révisé le 30 août 1993.
L.G. MENDES,
R. Vicente da Fontoura 1087/4
Porto Alegre, RS 90630-000 (Brésil).
M. SEBASTIANI,
Rua Cristiano Fischer 120/207
Porto Alegre, RS 91410-000 (Brésil).


Sur la densité des systèmes de Pfaff sans solution algébrique

Phan Nguyen Huynh

Sur la topologie de l'espace des systèmes linéaires hamiltoniens anti symétriques accessibles

Philippon, Patrice

Sur des hauteurs alternatives. II

Jakobson, Dmitry

Quantum unique ergodicity for Eisenstein series on $PSL_2({\mathbb {Z}}\backslash PSL_2({\mathbb {R}})$

Not a member yet

Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0

Random walks on the affine group of local fields and of homogeneous trees

Espaces homogènes principaux, unités elliptiques et fonctions $L$

Sur la densité des systèmes de Pfaff sans solution algébrique

Sur la topologie de l'espace des systèmes linéaires hamiltoniens anti symétriques accessibles

Sur des hauteurs alternatives. II

Quantum unique ergodicity for Eisenstein series on $PSL_2({\mathbb {Z}}\backslash PSL_2({\mathbb {R}})$

Superharmonic extension and harmonic approximation

Ferromagnetic integrals, correlations and maximum principles

Spherical functions on ordered symmetric spaces

3,503

3,732