Annales de l’institut Fourier (AIF)

Ramis, Jean-Pierre

Sibuya, Yasutaka

A new proof of multisummability of formal solutions of non linear meromorphic differential equations

Craizer, Marcos

Homogenization of codimension 1 actions of ${\mathbb {R}}^n$ near a compact orbit

Audin, Michèle

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
MICHÈLE AUDIN
Vecteurs propres de matrices de Jacobi
Annales de l’institut Fourier, tome 44, no 5 (1994), p. 1505-1517
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
44, 5 (1994), 1505-1517
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI
par
Michèle AUDIN
1. Introduction.
Dans cette note, je voudrais faire une remarque que j'ai trouvée un
peu étonnante à propos du système de Toda.
Le problème. — La terminologie «système intégrable» est parfois
un peu ambiguë : il est question d'un système hamiltonien qui se trouve
posséder beaucoup d'intégrales premières, mais bien souvent — même si les
auteurs ne le signalent pas toujours — dès qu'on a identifié les intégrales
premières pour le système de départ, on ne s'intéresse plus tant à ce
système qu'à un niveau commun de ces intégrales, voire à tous les systèmes
intégrables qu'elles définissent.
Chacun sait qu'on peut écrire le système différentiel dit «système
de Toda périodique» comme une équation différentielle dans un certain
espace de matrices de Jacobi. Le fait est que ce système est intégrable et
que les niveaux communs des intégrales premières sont tout simplement
des ensembles de matrices ayant même spectre : ils ont donc une définition
purement algébrique (d'algèbre linéaire, même).
Les auteurs de [1] ont mis en évidence une très belle géométrie dans la
façon dont ces ensembles isospectraux peuvent se compactifier pour devenir
des variétés abéliennes.
La philosophie. — II m'a semblé que, bien sûr, on pouvait étudier cette
situation en regardant comment les solutions du système de Toda devenaient
infinies, mais après tout pourquoi ce système? et même pourquoi utiliser
Moés-ciés : Systèmes complètement intégrables - Réseaux de Toda - Matrices de
Jacobi — Equations de Lax — Variétés abéliennes réelles.
Classification A.M.S. : 58F07 - 14P25 - 58F05 - 58F14.
1506 MICHÈLE AUDIN
les solutions à'un système? et pourquoi ne pas considérer les niveaux en
eux-mêmes et les étudier directement ?
Si les matrices qu'ils contiennent ont toutes les mêmes valeurs propres,
considérons leurs vecteurs propres — c'est d'autant plus tentant qu'ils sont
bien compris (voir [3]) et qu'on sait a priori qu'ils peuvent donner des
renseignements sur les niveaux (voir par exemple [4] et même, dans ce cas
précis, le §4.1 de [1]).
La surprise. — Ce qui est plus étonnant, c'est que cette géométrie
à l'infini va mettre en évidence une direction privilégiée : on compactifie
le niveau en lui ajoutant une famille (ordonnée) d'hypersurfaces. Deux
consécutives sont tangentes entre elles et la famille des hyperplans tangents
le long de l'intersection est le pinceau des hyperplans contenant une droite
bien précise^... et cette direction est celle du flot de Toda : on peut certes
comprendre toute la géométrie sans système hamiltonien, mais en retour,
la géométrie nous donne un système hamiltonien meilleur que tous ceux
que nous aurions pu considérer.
1. Matrices de Jacobi.
Les matrices de Jacobi considérées ici sont les matrices infinies
tridiagonales symétriques périodiques :
M=
0
\
^n+l
Ûn+1
0
Ûn+1
bi
ai
0
0
ai
b2
0,2
0
Û2
On
dn &n+l Ûn+i
(1) Toute cette géométrie est dans une variété abélienne, donc tous les espaces tangents
sont identifiés.
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI 1507
de sorte que la matrice finie
MA=
/ &i ai 0
Ol &2 Û2
0 Û2 ' • •
Ûn+lA\
M
alors
^n+l
\ Ï / \
rri
Un &n+l /\an+lA~1
contient toute l'information : si
( ' ' 'xi an+iXo + ̂ 1^1 + ai*K2
Ûn^n + 6n+ia;n+l + Ûn+î n+2
b^x-t + aia;2 + an+iAa;n+i
Mx
^n+l / yan+iA"1^! + CLnXn + 671+1^+1
ce qui est bien la même chose si on convient de poser A • Xi = Xi_çn+i)'
La donnée de la matrice M, comme celle de la matrice M\ est
équivalente à celle du couple de vecteurs
(a, b) = (ai , . . . ,an+i ,6i , . . . ,6n+i) .
Je supposerai de plus que ̂  bi = 0 de sorte que M\ ç. s [71-1-1.
2. Leurs valeurs propres.
Le polynôme caractéristique det(M^ — fjiïd) est de la forme
n+l
-:h(n^+^+w
i=l
OU
P(^=(-l)n+l/.n+l+Jfl(a,^n-l+...+^-l(a,6)/x+^(a,&).
1508 MICHÈLE AUDIN
Fixons c e C - {0}. Pour chaque vecteur h = ( /^ i , . . . ,/iyj ç C71,
considérons l'ensemble 7^ de tous les couples (a, b) tels que la matrice M\
associée ait
c(A + A-1) + (-l)^1^1 + h^71-1 + ... + hn
comme polynôme caractéristique. En d'autres termes, on a ainsi fixé un
niveau commun des fonctions H^,... ,Hn et en même temps une courbe
algébrique
Ch=C: c(\-^\-l)-^P(^=0
dite courbe spectrale puisqu'elle décrit le spectre des matrices M\ e 7^.
Remarque. — On aurait pu couper la matrice infinie M à un autre
endroit, sans changer le polynôme caractéristique de la matrice M\ obtenue.
Restant en dimension finie, pour
/O A\0= ' / : •.. •
V i o/
QM\Q~1 est la matrice aM\ déduite de M\ par la permutation circulaire
0- : (û i , . . . , an+i , &! , . . . , bn-^-l) l——> ( ûn+ l , a i , . . . , an ,&n+l ,6 l , . . . ,&n) .
En particulier, M\ et aM\ ont même polynôme caractéristique et
les fonctions Tï i , . . . , Hn sont invariantes par cette transformation.
L'ensemble 7^ est ainsi muni d'une opération du groupe Z/(n + 1)Z.
Etude de la courbe C. — On appellera encore C la courbe complétée
et normalisée au-dessus de A = 0 et A = oo. C'est très simple ici : il suffit
de regarder l'équation de la partie affine de C pour s'apercevoir qu'elle
n'a qu'une branche (en 0 comme en oo), il suffit donc de rajouter deux
points : A = (0,oo) et B = (00,00) (coordonnées (A,/^) e P1 x P1). Ainsi
par exemple les diviseurs des fonctions A et p, sont-ils :
f ( A ) = ( n + l ) A - ( n + l ) B ,
t (^)=(^)o-A-B,
(u,)o désignant le diviseur des zéros de p.. En particulier, (A - B) représente
un élément d'ordre n + 1 dans Pic0 (G). L'application [i : C -» P1 est
de degré 2, c'est le revêtement double qui correspond à l'involution
T : (A,/^) h-^ (A~1,/^).
Pour résumer :
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI 1509
PROPOSITION 1. — La courbe C est hyperelliptique de genre n,
revêtement double (par /^) de P1 ramifié en les 2n + 2 racines de P(/^)2 - 4c2.
Elle possède un diviseur de degré 0, de la forme A — r(A), dont la classe est
un élément d'ordre n 4-1 de Pic°(C).
3. Leurs vecteurs propres.
Quand la courbe C est lisse, à tout élément (a,&) de 7/i, on peut
associer un fibre en droites complexes sur C, sous-fibre de C x C71'^1, dont
la fibre en un point (A, fi) est — au moins si le point est assez général — la
droite propre de M\ pour la valeur propre ji : comme la courbe est lisse, il
n'y a pas de difficulté à prolonger une application
(C — un nombre fini de points ) —> P71
à C tout entière. On peut ainsi définir une application T^ —> Pic(C). Pour
avoir des degrés positifs, on considérera plutôt le fibre dual ; on aura ainsi
une application
^ : ̂  —. Pic^C).
Le calcul du degré est facile à partir de Riemann-Roch, mais sera aussi
une conséquence de la détermination explicite d'un diviseur représentant
y?(M^), voir la proposition 4.
PROPOSITION 2.
deZ/(n+l)Z :
L'application (p entrelace les deux opérations
(p o-(a, b) = y?(a, b) + B - A.
Démonstration. — C'est plus ou moins évident si l'on pense à la
matrice infinie M : il est alors clair que
Mx
/ xl \
Xn
\^n+l/
=^
/ a;i \
^"n
\^n+l/
^=> aM\
/A^+i\
Xl
\ Xn j
= p,
l \Xn-{-l \
Xl
\ Xn /
Ainsi, si (^>(M\) est le diviseur «pôles — zéros» de la section v du fibre des
vecteurs propres, alors (p{a(M\)) est le diviseur des «pôles — zéros» du
1510 MICHÈLE AUDIN
vecteur
/ XXn-^-1 \
Xl
\ Xn )
pour v =
/ xl \
Xn
\^n+l7\ Xn )
On en déduit facilement la proposition. D
Remarque. — Multiplier les n 4-1 coordonnées de v par A ajouterait
au diviseur «pôles — zéros» le diviseur de A~1, soit (n 4- 1)(B — A). Ici,
une seule coordonnée est multipliée par À, c'est pourquoi on n'ajoute
que (B - A).
4. Image de l'application de vecteurs propres.
Appelons Ck l'image de C^~^ dans C^ par
^ Qj '—' ̂  Qj + (n ~ k + ̂  + kA-
L'image de Cjc dans Pic^ÇC) est un translaté T>k du diviseur ©.
PROPOSITION 3. — L'image de (p dans Pic^C) est le complémentaire
de la réunion des T>k ( l < Â ; < n + l ) .
Remarque. — II est habituel dans ce genre de situation (application
de vecteurs propres) d'obtenir le complémentaire d'un avatar du diviseur ©
(voir [4] par exemple). Ici l'équivariance (proposition 2) impose un complé-
mentaire invariant par la translation par (B — A).
La proposition 3 est inspirée du résultat de [1] mentionné dans
l'introduction. Elle est conséquence de la détermination explicite d'un
diviseur représentant (p(M\) et donc, essentiellement de [3] :
PROPOSITION 4. — Soit A^j == (—l)^ fois le mineur obtenu en
retirant à la matrice M\ — p,ïd sa i-ème ligne et sa j-ème colonne.
Les fonctions méromorphes Ayi+i^ et A^+i^n+i ont n zéros communs
Qij • • • 5 Qn (I!^ dépendant pas de k e { l , . . . , n}) sur C et le diviseur des
vecteurs propres est équivalent à
PI + • • • + Pn + nB
(où Pi = rQi ) dans Pic271 (G). De plus, le diviseur effectif D = Pi + • • • + Pn
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI
est général et vérifie, pour tout k e { l , . . . , n},
h°(D + (n - k + 1)B - {n - k + 1)A) = 1.
Un vecteur propre de MA est exhibé dans [3], c'est
/ A^i,i \ /A^+i,i/A^+i^+i\
ou encore w =v =
1511
An+1,71
\ Ayi-l-l^+l /
An+l,n/Ayi+i^+l
\ 1 /
qui, lui, ne s'annule pas. Remarquons encore que Ayi+i^+i est un polynôme
en p, de degré n (et ne fait pas intervenir A) et que An+i,fc est un polynôme
de degré (n — 1) en ji où A apparaît comme facteur de jln~k.
On vérifie alors aisément que le diviseur des pôles de w est exactement
celui donné dans l'énoncé.
Les autres assertions sont fondées sur le fait que, pour tout fc,
la fonction fk = An+i^/A^+i,n+i (A;-ème coordonnée de w) est dans
C(D + (n - k + 1)B - (n - k + 1)A) (voir [3] pour les détails). D
Remarque. — L'application (p est un revêtement de groupe (Z/2)71
de son image : (/^((^(MA)) est l'intersection de la classe de conjugaison
de M\ sous GL(n + 1;C) avec 7^ (voir [4]), c'est-à-dire ici les matrices
correspondant aux
(£ia i , . . . ,£n+ian+i ,&i , . . . ,&n+i ) avec s? = 1 et ]^[^=1.
i
On aurait d'ailleurs pu remarquer a priori que les Hi ne dépendaient que
des carrés des 0.1 : en effet, la matrice M\ est conjuguée à
0^+iAc-1^/
VcA-1
bi
a2,
0
1
b2
aj
0
1
Nx=
0
1
^n+1
par la matrice diagonale des (1, ai, 0103,..., ai • • • un).
Modulo le «changement de variables » Xi = a?, l'application (p devient
un isomorphisme sur son image (c'est parfois le système ainsi transformé
qui est étudié, notamment dans [1]).
1512 MICHÈLE AUDIN
5. Géométrie dans la jacobienne.
PROPOSITION 5. — Les diviseurs T>k Gt Pfc+i se rencontrent le long
d'un translaté de Pimage de C^'2^ et y sont tangentes. Les hyperplans
tangents le long de Fintersection sont tous les hyperplans de H1 (Oc) qui
contiennent la droite engendrée par la classe du cocycle ^.
Dans cet énoncé, il faut bien sûr lire Pn+2 = ^i- La première
assertion est un des exemples de [1] ; la seconde est une remarque de
mon cru. Elle montre que, dans la jacobienne de C, il y a une direction
privilégiée. Expliquons d'abord comment 11 peut être un vecteur tangent à
la jacobienne de C. L'espace tangent (en n'importe quel point) à Pic271 (C)
est H1 (Oc)' La courbe C se recouvre par les ouverts U^- et U-^ où A 7^ oo
et A 7^ 0 respectivement. Etant non complètes, donc affines, les courbes
U-^ sont acycliques pour Oc '• c'est pourquoi on peut considérer H1 (Oc)
comme les classes de 1-cocycles de ce recouvrement.
Démonstration. — A cause de l'invariance de la situation par la
translation (B — A), il suffit de considérer T>o et T>\ ; de plus, on peut
tout translater pour se placer dans Pic71"1 (C) où T>o va s'appeler Wn-i
(le «diviseur 6 canonique», image de C^"1) dans Pic77'"1 (G)) et où,
naturellement, Di sera Wn-i + B — A.
On vérifie alors l'égalité (ensembliste) :
Wn-i n (l^-i + B - A) = [L e Pic71"1^) 1 h°(L - A) > 1}
et le membre de droite n'est autre que l'image Wn-2 de C^"2^ dans Pic71"1
par l'application
J l > l + • • •+^ r^ -2—— [R l+ ' - 'Rn-2+A] .
D'autre part, on connaît l'intersection homologique, qui doit être 2[T^-2]
(c'est la formule de Poincaré) ; on a donc la tangence des deux diviseurs
(voir par exemple [2] pour ces résultats classiques sur les jacobiennes).
Pour montrer la deuxième assertion, on considère l'application d'Abel-
Jacobi u basée en un point RQ :
C^ ———> ^(^cY/A
E^ — (^Er^)
i i "^O
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI 1513
(d est un entier quelconque, concrètement ici d = n — 1 ou n — 2 et A
désigne le réseau des périodes). L'hyperplan qui nous intéresse est l'image
de l'application tangente en D = ̂  Ri + A :
T^71-1) ——^—— H0^
Tp.Cx'-xTR^CxTAC
($1, . . . ,$n-2^) '————————^ (^ ̂  ^^Rztô) + ^A(^))
hyperplan de Jf°(^^)* (qu'il faudra encore identifier à H1 (Oc)), ou droite
de H°(^), celle d'équations c^ = = . . . = = c^_2 = UJA = 0. Bien sûr,
toutes ces droites (quand ̂  Ri varie dans C^"2^) sont toutes les droites de
l'hyperplan d'équation LJA = 0 dans H°(fl.^). Autrement dit, les hyperplans
tangents le long de l'intersection de VQ et Pi sont tous les hyperplans de
Jî'°(Q^)* qui contiennent la droite engendrée par la forme linéaire uj i—> UJA-
II ne reste plus qu'à identifier cette droite via l'isomorphisme de Iî'°(Q^)*.
Ici, on peut raconter la dualité de Serre comme l'isomorphisme déduit de
la forme bilinéaire non dégénérée :
H^^xH^Oc) ——— C
(a;,/) i——> RésA(f^)
(f est toujours un 1-cocycle du recouvrement U^. UU-). Il ne reste donc
qu'à vérifier que
uj^ = 0 ^=^ RésA(^) = 0
ce qui est clair puisque u = I/JLA est une uniformisante au voisinage de A,
où pw s'écrit a(u) du/u avec a holomorphe et a(0) =0. D
6. Un système intégrable.
On munit sln-{-i de sa forme de Killing pour l'identifier à son dual,
de sorte qu'elle devient une variété de Poisson. L'espace Ec des matrices
M\ == (a, b) avec Y[ ai = c est une orbite, donc symplectique.
Appelons ̂  le terme constant dans le polynôme (en À, A"1) trM^1.
C'est une fonction définie sur Ec\ soit Xi le champ hamiltonien associé.
1514 MICHÈLE AUDIN
Les fonctions g\,..., gn commutent grâce au théorème dit « AdIer-Kostant-
Symes» (voir en particulier [4] dans ce cas). De plus, grâce aux formules
de Newton (reliant sommes de puissances et fonctions symétriques
élémentaires), ( jF/ i , . . . ^ H k ) = (^ i , . . . , ^ f c ) pour tout k de sorte que T^
est un niveau commun des gz.
C'est un résultat classique des méthodes algébro-géométriques
exposées dans [4] que :
PROPOSITION 6. — Si C est lisse, Pimage de Xi par F application
tangente à y est un vecteur (constant) de la droite engendrée par /^
dans H1 (Oc).
Mais les n vecteurs / ^ , . . . , p71 sont indépendants : écrivons l'équation
de C sous la forme y2 = P(p)2 — 4c2. On a alors précisément :
LEMME 7. — La base de H1 (Oc) duale de la base ( — ? • • • ? '-——' )
de H°(^) est celle des classes (^n , . . . , ̂ ). y y
On en déduit immédiatement que, pourvu que C soit lisse, le niveau T^
est régulier (et aussi que les flots des champs de vecteurs X\,..., Xn sont
linéarisés sur lajacobienne de C).
Le système de Toda. — Du point de vue géométrique, on n'a considéré
ici qu'un niveau commun de n fonctions qui commutent sur Ec. Aucune
des fonctions de l'algèbre qu'elles engendrent n'est a priori meilleure que
les autres. Pourtant, cette seule géométrie nous a permis de distinguer,
dans la jacobienne de (7, une direction privilégiée (proposition 5) : celle
définie par fJi. Il y a donc aussi une direction tangente à 7^ qui est
privilégiée et la proposition 6 nous apprend laquelle : c'est celle du champ
de vecteurs X\. Le système hamiltonien associé à X\, comme celui associé
à n'importe lequel des X^, est complètement intégrable... mais celui-là est
particulièrement célèbre, puisqu'il s'agit du sytème de Toda périodique (ici
pour n + 1 particules).
7. Une remarque sur la topologie.
Plaçons-nous dans le cas où n = 2 et faisons le «changement de
variables » évoqué dans la remarque finale du paragraphe 4 : on considère
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI 1515
l'ensemble 7^ des matrices
Nx=
{
\cA-1
bi
Xl
0
1
&2
X2
0
1
•Tn+iÀC l\
0
1
^n+1 /
avec
3:1 • • • Xn-^-1 = C ,
, ^>=0, i][>?+^>=^,
JJ ̂  - 3:163 - x^b-t - a;3&2 = ^2.
La variété algébrique réelle 7^ est donc difféomorphe à la partie réelle
du complémentaire des trois exemplaires de la courbe dans sa jacobienne.
Remarquons que les intégrales premières ne sont plus propres de sorte que
leur niveau commun 7^ peut ne plus être compact.
La courbe hyperelliptique
C : c(À + A-1) - /23 + h^ii + h2
est lisse exactement quand
^(^) = (-^3 + h^ + /i2 - 2c)(-^3 + h^ + /i2 + 2c)
n'a pas de racine multiple, c'est-à-dire à l'extérieur de la réunion des deux
courbes à cusps translatées du discriminant des polynômes de degré 3
représentés sur la figure 1.
Figure 1
1516 MICHÈLE AUDIN
Celle-ci représente aussi la forme de la partie réelle de la courbe (en
coordonnées ( y , p ) où y2 = 6{^), les points A et B sont les deux points
au-dessus de /z = oo).
La partie réelle de lajacobienne a quatre composantes dans la zone (1),
deux dans les zones (2) et (3) et une dans la zone (4). La figure 2 représente
la partie réelle de la jacobienne avec les trois exemplaires de la courbe
donnés par la proposition 3.
(1)
Figure 2
Le système hamiltonien associé à h\
xi = a*i(^2 - 61)5 ( 6i == xi - a-2,
X'2 = X^ - 62), ^ 62 = 2-2 - ̂ 3,
. X3 = Xs(b-t - 63), [ &3 = Xs - X-t,
est donc un système complètement intégrable (variante de Toda périodique
à trois particules étudiée notamment dans [5]) dont les niveaux réguliers
sont composés de :
• 3 disques, 6 cylindres et 1 tore dans la zone (1) ;
• 3 disques et 3 cylindres dans les zones (2) et (3) ;
• 3 disques dans la zone (4).
VECTEURS PROPRES DE MATRICES DE JACOBI 1517
BIBLIOGRAPHIE
[1] M. ADLER, P. VANMOERBEKE, Thé Toda lattice, Dynkin diagrams, singularities
and Abelian varieties, Invent. Math., 103 (1991), 223-278.
[2] H. LANGE, Ch. BIRKENHAKE, Complex Abelian varieties, Grundiehren der
math. Wissenschaften, Springer, 1992.
[3] P. VANMOERBEKE, D. MUMFORD, Thé spectrum of différence operators and
algebraic curves, Acta Math., 143 (1979), 93-154.
[4] A.G. REYMAN, M.A. SEMENOV-TIAN-SHANSKY, Réduction of Hamiltonian
Systems, affine Lie algebras and Lax équations II, Invent. Math., 63 (1981),
423-432.
[5] P. VANHAECKE, Linearising two-dimensional integrable Systems and thé cons-
truction of action-angle variables, Math. Z., 211 (1992), 265-313.
Manuscrit reçu le 13 janvier 1994.
MICHÈLE AUDIN,
Institut de Recherche de Mathématique Avancée
Université Louis Pasteur et CNRS
7, rue René Descartes
67084 Strasbourg Cedex (France)
niaudin@math.u-strasbg.fr.


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ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
YVES FÉLIX
JEAN-CLAUDE THOMAS
Homologie des espaces de lacets des espaces
de configuration
Annales de l’institut Fourier, tome 44, no 2 (1994), p. 559-568
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
44, 2 (1994), 559-568
HOMOLOGIE DES ESPACES DE LACETS
DES ESPACES DE CONFIGURATION
par Y. FÉLIX et J.-C. THOMAS
1. Introduction.
Dans tout ce texte, M désigne une variété compacte simplement
connexe de dimension n sans bord et Fp désigne soit le corps fini à p
éléments, soit le corps Q des nombres rationnels lorsque p = 0.
L'espace des configurations de k points de M, k > 1, est la variété
définie par :
FÇM.k) = {(a'i,^,...,.^) | Xi e M ,Xi^ Xj pourî -^ j}.
Le type d'homotopie des espaces F(M,k) est lié à de nombreux autres
invariants homotopiques de M, à la composante de l'identité des groupes
Aut(M) des automorphismes de M et Diff(M) des difféomorphismes de
M ([6]), ainsi qu'à la cohomologie de Gelfand-Fuks de l'algèbre de Lie des
champs de vecteurs ([5]). Ceci motive la recherche d'un maximum d'infor-
mations sur l'homotopie et la cohomologie des espaces de configurations.
Que connaissons-nous au juste à propos du type d'homotopie des
espaces F(M^k) et de leurs invariants homologiques ? La cohomologie de
F{M,k) a été calculée par F. Cohen lorsque M = W1 ([4]). Avec Taylor,
ce dernier a également mis au point une suite spectrale qui converge vers
la cohomologie de F(M^ k) et dont le terme E\ est un quotient de l'algèbre
fr^IEr.ÀOîFp) (g) (^H^M-^p)) ([5]). Lorsque M est une surface, les
nombres de Betti de F(M'^k) pour k <: 3 ont été déterminés par Brown et
White ([3]).
Cette recherche a été rendue possible par un accord de coopération CNRS-CGRI.
Mots-clés : Espace de lacets — Algèbre de Hopf — Séries de Poincaré — Espace de
configurations.
Classification A.M.S. : 57R19 - 55P35 - 57N60.
560 Y. FÉLIX, J.-C. THOMAS
Le groupe de permutations S^ agit librement sur F{M^k) et le
quotient, l'espace des configurations non ordonnées, se note habituellement
C(M^k). Dans un travail récent ([!]), Bôdigheimer, Cohen et Taylor
indiquent comment calculer les nombres de Betti de (7(M; k) en fonction
des nombres de Betti de M et de Phomologie des espaces f^S^.
Désignons par N le complémentaire d'un point dans M. Le groupe
Diff(M) agissant de manière transitive sur M, le type d'homotopie de N ne
dépend pas du point choisi. Notre résultat concerne les variétés compactes
simplement connexes qui vérifient la condition Ip suivante relative au corps
F,:
_ f l'inclusion N '—> M induit un morphisme surjectif
p [ H^N'^p) -^ H^M'^p)."P —
Cette condition est souvent réalisée.
THÉORÈME ([15], Th 5.1). — Toute variété compacte simplement
connexe dont la cohomologie rationnelle n^est pas engendrée par un seul
générateur vérifie IQ.
THÉORÈME ([11]). — Toute variété compacte simplement connexe de
dimension n satisfait Ip lorsque p est un nombre premier impair tel que
(1) 7f* (M; ¥p) n 'est pas engendrée comme algèbre par un seul généra-
teur,
(2) p > nm où m désigne le nombre minimum de générateurs du
groupe abélien gradué H^{M\ Z).
A ces deux théorèmes nous ajoutons :
PROPOSITION. — Soit M une variété compacte simplement connexe
dont la cohomologie rationnelle est engendrée par au moins deux généra-
teurs. Si pour un sous-anneau R de Q, le R-module H^ (M; R) est libre,
alors pour tout nombre premier p non inversible dans R la condition Ip est
satisfaite.
Notons Qm = {Qii^T'-iQm} un ensemble de m points distincts
dans M. Le groupe des difféomorphismes de M agit transitivement sur
l'ensemble F(M^ k). Il s'ensuit que l'espace F {M —Qrm k) ne dépend pas, à
homéomorphisme près, du choix des points formant l'ensemble Qm' D'autre
part, pour m > 2, l'espace M — Cm a clairement le type d'homotopie du
HOMOLOGIE DES ESPACES DE LACETS ' 561
bouquet de N et de S (m — 1) où S(j) désigne un bouquet de j sphères de
dimension n — 1.
Dans ([6]), Fadell and Neuwirth considèrent une suite de fibrations
localement triviales :
F(N, k-1) F(M-Q2, k - 2).. .F(M-Q,+i, k - i - 1)... M-Qk-i
[ l ... [ ... l
F(M,/c) F ( N ^ k - l ) . . . F(M-Q^k-i) .. .F(M-Qk-2^)
l l ... i ... i
M A^ ... M-Qi . . . M-Qk-2
Ces fibrations admettent des sections pour î > 1. De plus, si n est
impair, alors elles admettent toutes une section ([6]).
Notre résultat concerne la structure de Phomologie de l'espace des
lacets des espaces de configuration. Fixons le corps des coefficients Fp. Si X
désigne un espace connexe par arcs, nous notons par Px = Px(f) la série de
Poincaré de X à coefficients dans le corps Fp : Px(t) = S dim ^(x^ ̂ p)^'
i
THÉORÈME. — Soit M une variété compacte simplement connexe
de dimension n vérifiant Ip et dont F espace vectoriel de cohomologie à
coefficients dans le corps ¥p est au moins de dimension trois. Alors,
1) pour tout k > 2, on a une suite exacte d'algèbres de Hopf
^ ^ H^FÇN.k- l);Fp) -. ̂ (OF(M,Â;);Fp) -. H^M^Wp) -^ ¥ p .
2) La série de Poincaré de l'espace fîF(M; k) est donnée par
p _ ______^A^_______
^^-nU^^-i-i^p^y
Rappelions que pour les espaces simplement connexes, on a un
isomorphisme ^,(QX;Q) ^ UTT^X) (g)Q.
D'autre part, du point de vue de leur type d'homotopie rationnelle,
les CW complexes finis se répartissent en deux catégories. On distingue les
espaces elliptiques pour lesquels la somme ^ dinur^X) ^ Q est finie et
i>2
les espaces hyperboliques pour lesquels la suite ^ dim7Tj(X) 0 Q a une
j<i
croissance exponentielle ([7]). Nous en déduisons :
562 Y. FÉLIX, J.-C. THOMAS
COROLLAIRE. — Soit M une variété compacte simplement connexe,
alors, pour k >_ 2, de trois choses Pune :
1) Ou bien, l'espace F(M, k) est hyperbolique et TT^(^F(M, k)) (g) Q
contient une algèbre de Lie libre a deux générateurs.
2) Ou bien M a le type d^homotopie rationnelle d'une sphère S71,
et k < 3. On a alors F(M,2) ~o S71, F(M,3) ~o 'S'271-1 si n est pair et
F (M, 3) ~o S^ x S71-1 si n est impair.
3) Ou bien H"(M',Q) ^ (Q^]/^1, n > 2 et k = 2. Dans ce cas,
F(M,2) est un espace formel de cohomologie rationnelle (Q[x^y]/(xn^l,
f>y-Q,M=M.
i=0
Preuve. — L'inclusion 7r*(M — Qk) C TT^(F(M,Â;)) montre que
7r^(fLF(M,Â*)) (g) Q contient une algèbre de Lie libre dans les trois cas
suivants :
a) L'algèbre J:f*(M;Q) requiert au moins deux générateurs et k = 1,
cas inerte ([15]),
b) la cohomologie réduite de M est rationnellement non nulle et k > 2,
c) k > 3.
L'étude du cas particulier des sphères est faite dans l'article de Fadell
et Neuwirth ([6]), la description de F(M,2) dans le second cas résulte de
la suite spectrale de Cohen-Taylor ([5]). D
2. Démonstration du théorème.
2.1. Rappelons, ([10]), que si un espace a le type d'homotopie d'un CW
complexe simplement connexe fini, alors la réunion des sous-algèbres de
Hopf normales résolubles de 7ï^(f2X;Fp) est encore une sous-algèbre nor-
male résoluble appelée radical de H^{^iX;¥p) et notée J?(X;Fp). Lorsque
R(X',¥p) = 0, nous disons que l'espace X est p-semi-simple. Si R(X',¥p)
est non nul, alors il contient toujours un élément central primitif. En effet,
il suffit de considérer un élément de plus bas degré dans la sous-algèbre de
Hopf dérivée maximale non triviale de R(X; Fp). Il s'ensuit qu'un espace X
est p-semi-simple si et seulement si H^(Q.X',¥p) ne contient aucun élément
central primitif.
HOMOLOGIE DES ESPACES DE LACETS 563
Avec S. Halperin, nous avons étudié les liens entre les structures
cTalgèbres de Hopf sur les homologies de la fibre, de l'espace total et de la
base dans une fibration multiplicative. Pour résumer les résultats obtenus,
([8]), considérons une fibration
F ^ E - ^ B ,
formée d'espaces simplement connexes avec homologies de type fini.
Dans ce cas, la suite spectrale de Serre de ^ÎF —> ^IE —> Q.B est une
suite spectrale du premier quadrant formée d'algèbres de Hopf bigraduées.
De plus,
i) E^t = Hs^lB) (g) Ht{^F), comme algèbre de Hopf.
ii) Pour tout r >_ 2, l'algèbre de Hopf W est isomorphe au produit
tensoriel E^ o ̂  E^ ^ 0 A Y7' où A Y7' désigne une algèbre extérieure primi-
tivement engendrée en degrés impairs ([8]).
iii) Les différentielles cT de la suite spectrale vérifient :
cTÇE^eV^CZE^^E^^
où E^ ^ = Q) E^, et ZE'Q^ désigne la sous-algèbre engendrée par les
s>o
éléments centraux primitifs de EQ ^ ([8]).
iv) Si R(F;¥p) = 0, la suite spectrale dégénère au terme E2 et on a
donc une suite courte exacte d'algèbres de Hopf :
Çîj^ ^ip^
¥ p ^ H ^ F ' ^ p ) — — H ^ E ^ p ) ——^(^B;Fp)^Fp,([8]).
v) En particulier, lorsque F et B sont simplement connexes et p-semi-
simples, alors E est aussi semi-simple.
2.2. Pour l >_ 2, les espaces M — Qi ont le type d'homotopie de
N V S(l — 1). L'homologie de leur espace de lacets H^(fl(M — Q^);Fp) est
donc isomorphe au produit libre H^^N;¥p)UT(V(l-l)) o\iT(V(l-l)) est
une algèbre tensorielle engendrée par un espace vectoriel V(l — 1) concentré
en degré n — 2 et de dimension l — 1. En particulier, si Fhomologie réduite
de N est non nulle, l'algèbre H^(^t(M — Q^);Fp) n'a pas d'élément central
primitif pour l >_ 2.
LEMME. — Si M satisfait Jp, alors l'espace N = M — Qi est p-semi-
simple.
564 Y. FÉLIX, J.-C. THOMAS
Preuve. — Ecrivons M = N\Jen. L'application d'attachement de la
v
dernière cellule (p : Â^"1 —^ N détermine une classe a ç Hn-^^N-, Fp). No-
tons J l'idéal engendré par a dans H^N; Fp) et par E° = @E^q l'algèbre
bigraduée associée à la filtration J-adique de H^(fl,N;¥p). L'hypothèse Ip
entraîne l'existence d'isomorphismes bigradués ([15], 2.3, 2.4 )
E^ = H^N^p)/J ^ H^M^p) E° ̂  E^UT(a).
Il s'ensuit que E° et a fortiori H^(^ÎN;¥p) ne possèdent aucun élément
central primitif. D
2.3. Pour démontrer le théorème, il suffit maintenant de considérer
la suite de fibrations
F(M - Q,+i, k - i - 1) -^ F(M - Ç,, k - Ï ) -. M - Q,.
Une induction décroissante sur les entiers l > 1 montre d'après (v) que les
espaces F (M — Qi,k — l) sont p-semi-simples pour l > 1. L'assertion (iv)
fournit alors la première moitié du théorème. La seconde partie du théorème
résulte directement des formules suivantes sur les séries de Poincaré :
P^Î(XVY) = PÇIX~ + PQ,Y~ — 1,
et ([13], Th. 1),
PflN^+tn-2PçîM)=PçîM.
D
3. Preuve de la proposition.
Désignons par F la fibre homotopique de l'inclusion naturelle N c-^
M. Par ([12]), nous savons que l'homologie réduite de F à coefficients dans
l'anneau R est un H^(^M',R)-mod\ûe libre engendré par un élément de
degré n — 1. Comme H^(M; R) n'a pas de torsion, il en est de même pour
H^R).
Dans ce cas, l'algèbre des cochaînes C^(^F'^R) admet un modèle
minimal. C'est-à-dire qu'il existe un morphisme d'algèbres différentielles
graduées
(T{W\D)-.C^F^R)
HOMOLOGIE DES ESPACES DE LACETS 565
induisant un isomorphisme en homologie, avec les propriétés suivantes :
W = s-^F; R) D(W) C T^ÇW).
Considérons maintenant le diagramme commutatif :
{T(W),D) ^ (r(iy(g)Q),D(g)i)
i i
C^F'^R) -^ C,(^F;Q).
Les applications verticales sont des quasi-isomorphismes et les appli-
cations horizontales des injections. Dans ([15]), Halperin et Lemaire mon-
trent que ^(fîF;Q) est isomorphe à l'algèbre tensorielle sur W 0 Q. Il
s'ensuit que D 0 1 est nul et, par le diagramme ci-dessus, D est aussi nul.
Si p est non inversible dans R, alors H^{F\ R) (g) Fp = Iï*(F; Fp). En
tensorisant le quasi-isomorphisme
(T(W),0)^C*(^F;J?)
avec Fp, nous obtenons un quasi-isomorphisme d'algèbres graduées
rOr^FîF^o) -^^(QF;Fp).
Ceci démontre que H^(^îF-,¥p) est une algèbre tensorielle sur au moins
deux générateurs, et que R(F',¥p) = 0. Par le point (iv), la suite spectrale
de Serre de la fibration
0F -> ÇIN -^ ÇtM
dégénère au terme E2 et la condition Ip est bien vérifiée. D
4. Type cThomotopie des espaces de configurations
de deux points de M.
Soit M une variété différentiable compacte simplement connexe de
dimension n, on considère le diagramme suivant formé de fibrations
M-{*} ^ M
[ i l k
F(M, 2) ^ M xM
I T T [ p
M = M.
566 Y. FÉLIX, J.-C. THOMAS
Les différentes applications sont définies par les formules i(m) = (*,m),
k(m) = (*,m), h(m) = m, j(m,n) = (m,n), 7r(m,n) = m = p(m,n).
Comme M est compact, /^ est injective en homologie et il en est donc de
même pour la composée
M - {*} ̂  M ̂  M x M.
Il en résulte que l'application
^(M-{*})^^(F(M,2))
est aussi injective et donc que la suite spectrale de Serre pour la fibration
de gauche dégénère au terme E^.
D'autre part, les fibres homotopiques de j et de h sont les mêmes.
Lorsque la cohomologie rationnelle de M n'est pas engendrée par un seul
générateur, il résulte de ([13]) que la fibre homotopique F de j a le type
d'homotopie rationnelle d'un bouquet infini de sphères. Dans tous les cas
([12]), la série de Poincaré Pp est donnée par la formule :
Pp=l+tn-lP^M.
Désignons par A(M) l'algèbre des formes de de Rham sur la variété
M, et par (AZ, d) -^ A(M) un modèle minimal sur R de M. Par le théorème
de Halperin sur le modèle des fibrations ([14]), F(M,2) admet un modèle
sur M de la forme
(AZ (g) AZ (g AV, D) ̂  A(F(M, 2)),
avec D(z (g) 1 (g) 1) = d(z) (g) 1 (g) 1 et D(l (g) z (g) 1) = 1 (g) d(z) (g) 1. De plus,
V = Qz^y^, et D(v) = ̂  ai<S>f3i, les o^ désignant une famille de cocyles
i
de f\Z représentant une base de la cohomologie de M et les /^ des cocyles
représentant les classes duales pour la dualité de Poincaré. Ce dernier point
résulte directement de l'étude de la cohomologie des espaces F(M, 2) faite
par Cohen et Taylor dans ([5]).
Dans certains cas, ceci suffit pour connaître le type d'homotopie
rationnelle ou réelle de F(M,2). Ainsi,
COROLLAIRE. — Si M est une somme connexe de r copies du produit
de deux sphères de même dimension, M = ̂ (fi'771 x -S'771), alors la variété
F{M, 2) est formelle et admet pour cohomologie l'algèbre
IT(F(M, 2) ^ JT(M) 0 7T(M)/J,
HOMOLOGIE DES ESPACES DE LACETS 567
où 1 désigne l'idéal engendré par la somme ̂  Xi (g) yi, les Xi désignant une
i
base de H* (M) et les yi des classes duales pour la dualité de Poincaré.
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Math. Scand., 61 (1987), 39-67.
Manuscrit reçu le 4 juin 1992,
révisé le 10 août 1993.
Y. FELIX,
Université Catholique de Louvain
Institut Mathématique
2 chemin du Cyclotron
1348 Louvain-la-Neuve (Belgique)
et
J.-C. THOMAS,
Université des Sciences
et Techniques de Lille 1
Département de Mathématiques
59655 Villeneuve d'Ascq Cedex (France).


Homologie des espaces de lacets des espaces de configuration

Friedlander, Eric M.

Mazur, Barry

Correspondence homomorphisms for singular varieties

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