Annales de l’institut Fourier (AIF)

Arraut, Jose Luis

Craizer, Marcos

Foliations of $M^3$ defined by ${\mathbb {R}}^2$-actions

Fels, Gregor

A differential geometric characterization of invariant domains of holomorphy

Simon, Stéphane

Champs totalement radiaux sur une structure de Thom-Mather

Nikolski, Nikolai

Distance formulae and invariant subspaces, with an application to localization of zeros of the Riemann $\zeta $-function

Shackell, John

Growth orders occurring in expansions of Hardy-field solutions of algebraic differential equations

Noot, Rutger

Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Bayad, Abdelmejid

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
ABDELMEJID BAYAD
Loi de réciprocité quadratique dans les corps
quadratiques imaginaires
Annales de l’institut Fourier, tome 45, no 5 (1995), p. 1223-1237
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1995__45_5_1223_0>
© Annales de l’institut Fourier, 1995, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »
(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-
nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-
tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-
fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Ann. Inst. Fourier, Grenoble
45, 5 (1995), 1223-1237
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE
DANS LES CORPS QUADRATIQUES IMAGINAIRES
par Abdelmejid BAYAD
0. Introduction.
Soit p un nombre premier 7^ 2, et soit S une partie de F^ telle que F^
soit réunion disjointe de S et —5'. Si s e S et a 6 F^, on a alors
as = e(a, s)sa? avec £•(0, s) = ±1 et Sa G S'.
Le symbole de Legendre ( - ) est défini comme suit :
(0.1) ©=11^)'
- sçS
c'est le lemme de Gauss qui donne cela (cf. [7], chap. 1, Appendice). Alors
pour tout q premier 7^ 2 et de p, on a
(0.2) ^)^)=(-1)(P-1)(.-D/4^
c'est la loi de réciprocité quadratique dans Q, due à Gauss.
Dans ce travail, on part d'une courbe elliptique définie sur un corps
quadratique imaginaire et à multiplication complexe par l'anneau des
entiers de ce corps et on construit des fonctions elliptiques.
D'autre part, on fait apparaître des formules produits relatives à ces
fonctions elliptiques et obtenues grâce à l'arithmétique sur cette courbe.
Mots-clés : Loi de réciprocité quadratique - Formule produit - Courbe elliptique -
Multiplication complexe.
Classification math. : 11R04 - 14H52 - 11G15 - 14K22.
1224 ABDELMEJID BAYAD
II est à noter que nos formules produits sont à rapprocher de celles
obtenues par D.S. Kubert [3], §4 pour la fonction elliptique p de Weiers-
trass utilisée pour montrer la loi de réciprocité cubique d'Eisenstein dans
Q(^/:::3). En outre, dans le cadre des corps quadratiques imaginaires, nos
formules produits jouent le même rôle que la formule de multiplication de
la fonction sinus, suivante :
sm(mx) = (-l)^771-1 sm(x) TT sm(x + 27r5) sm(x - 27r5)J--L \ m / \ m )
SÇ.O
pour démontrer (0.2).
En conséquence, cet article généralise la loi de réciprocité quadratique
de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires.
Enfin, ce travail se compose de trois parties. Dans la première partie,
on développe notre théorie ci-dessus où le corps quadratique imaginaire est
de discriminant différent de -4 et -3, dans la deuxième partie on traite le
cas particulier où le corps est (Q^v^î). Dans la troisième partie, on traite
le cas où le corps quadratique imaginaire est (Q^v^^)-
Nos principaux résultats sont les théorèmes 1.10, 2.9 et 3.7.
Remerciements.
Je tiens à remercier les membres de l'Institut Fourier qui m'ont permis
de réaliser ce travail dans de bonnes conditions; mes remerciements vont
tout particulièrement à l'équipe de théorie des nombres et au Professeur
Gilles Robert qui a corrigé la version préliminaire de cet article.
1. Loi de réciprocité quadratique dans un corps quadratique
imaginaire K différent de Q(î) et Q(j').
On note par Zo;i+Zo;2 l'anneau des entiers de K, avec Im(o;2/^i)>0.
Nous associons à Zo;i -(- Zc^a la fonction p de Weierstrass donnée par :
(") ^=^ ,E [(^-^].
tL>€Za;i+Zo>2 v /
o^O
Nous définissons aussi les séries ̂ 2(^1+^2) et ^(Zo^i-j-Zc^) d'Eisenstein
par
^2:=^2(Za;i+Za;2)=60 ^ \
u/eZtt»^ -i-Zo»2
u/^O
et
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1225
gs := gsÇ^i + Zo;2) =140 V^ 1 .
—^ ù^6
a>çZtfc>^ -("Zti»^
o;^0
D'après (cf. [4], chap. 1, §2, th. 5), on a
pf(z)2=^(z)3-g^(z)-g3
donc le point (p(^), p'^)) appartient à la courbe d'équation
0-2) Y^^-g^X-g^
son discriminant est A = gj - 27g j.
LEMME 1.3. — La courbe E définie par :
^:y2=4X3 -^X-^
est une courbe elliptique sur une extension algébrique L / K de degré au
plus égal à 6.
Preuve. — Tout d'abord, remarquons que les deux fonctions ellipti-
ques suivantes ont le même diviseur :
z^P'(z?
, „ (.(.)-P(^)) (pw-^)) (pw-pc^)).
En effet,
"'(-î)= -^)
(1.4) ?-(-'?)=-.-(?)
p'(-ï^î) = -p'(" '̂î)
car la fonction z i—> ^(z) est impaire.
D'autre part, grâce à la périodicité de z i—> p'(^) on a alors
^)=-^^)=^)
(1.5) p-(-^),-p.(^^)^.^)
et
/ / ^1 + ̂ 2 \ / /^1+^2 , , \ / /^1+^2\
^ l——^—J = -^ (—^—— +^1 +^2) = P /(——2——)
d'où (1.4) et (1.5) impliquent
P-(^) =?•(•?) =P'(^)=0,
1226 ABDELMEJID BAYAD
donc
(1.6) (^)=2(^)+2(^)+2(a4^)-6(0)
et l'expression (1.6) n'est rien d'autre que le diviseur de la fonction."(p(.)-^))(^)-p(^))(^-p(1^)).
Donc ces deux fonctions elliptiques ne diffèrent que d'une constante multi-
plicative. Cette constante n'est rien d'autre que 4. En effet, cela se déduit
des égalités suivantes :
lim z2^) = 1 et lim z^^{z} = -2.
Ainsi
^ = 4(?(.) - p(^)) (?(.) - p(^)) (?(.) - pp^));
comme la valence de z i—> ^(z) est 3 (resp. z i—> p(z) est 2), alors
/o;i\ /^2\ /^i+ci;2\
Pl-^-J? ^ \ ^ ~ ) et ^——9——) sont Q^^û^s. Par suite, les racines de
4X3 - g^X - g^ sont distinctes, ce qui implique que A = gj - 27g^ -^ 0.
Alors, la courbe E est une courbe elliptique.
En outre,
^^-^))(x-^))(x-p(ïl^))
de ce fait, on déduit que E est définie sur ̂ (pp), pf^), p^^2))
et d'après la théorie de la multiplication complexe cette extension a un
degré au plus égal à 6.
On définit, maintenant, la fonction elliptique / associée au réseau
Zo;i + Zo;2 par
(17) f(z}- | ^W-92 ^)-P(^).
( } f { ) ~ \ P(T) - P(^) ———W)———5
f^2
on a alors le résultat suivant :
THÉORÈME 1.8 (Formule produit).
i)/w(^)=i.
2) On a Ja formule produit, pour v ç Zù;i + Zo>2» (v, 2) = 1 ;
/(^)=^/(-ï) H f(z+a)
açKer v
Q^O
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1227
où^=±let^=v n f(a+'^\
a^Kerv \ ^ ^ç
Ot^O
Démonstration. — Pour démontrer 1) il suffit de remarquer que la
fonction z i-» f(z)f^z +-,.-) est elliptique pour Zù;i + Zo;2 et dont le
diviseur est nul, donc c'est une constante et pour finir on détermine cette
constante :
lim f(z)f(z+'^\z
u}-^ -l-tfc'2o'l+a'2 \ 2 /
12p(^)2-^ (p(.)-p(^^)) (p(.+^)-p(^^))
^V^v^y ̂ ^ p/(^p/^+^)
12p(^)2-^ ,^(^^)(p(^)-p(^^))
^^)_p(S^) • ^(ïl^)^(ïz)
^(ï)2-^
——-——-———, d'après l'équation de la courbe E
p"(ï)
= 1.
Montrons le 2) du théorème 1.8.
D'une part, on remarque que les deux fonctions z ^—> f(vz) et
z 1-^ fÇ2) II /(z + a) son^ elliptiques pour Zo;i + Zo;2 et ont le même
açKer t»
Q^O
diviseur, donc elles diffèrent d'une constante ^v- D'autre part, comme
(v, 2) = 1, il existe X(v), Y(v) éléments de Zo;i + Zo;2 tels que :
X(v) • v + 2Y {v) = 1.
Ceci implique
/M)'/^^))
donc
f(v ' z ) f ( v ( z + XÇv)^}} = 1, d'après le 1) ci-dessus.
Alors
l=f(v'z)f(v(z-^X(v)^))
=C.f(z)f(^X(v)^) n f(^a)f(z^X(v)^)
oiçKer v
a^O
1228 ABDELMEJID BAYAD
et comme (X(v), 2) = 1 et / est elliptique pour Zo;i + Zo;2, on obtient
1^/(.)/(.+^) n /(^)/(.+a+^);
açKerv
Q^O
d'après le 1) du théorème 1.8, on a alors :
e. == i.
On sait même plus
/(^)$„ = lim
°f^) H f(z+a)
açKer-L
ot^O
ce qui donne
$.= n fw
açKeri.
Q^O
et d'après le 1) du théorème 1.8, on obtient
ç.=. n f(-^)-
-xçKerv
a^O
Ce qui termine la preuve du théorème 1.8.
DÉFINITION 1.9. — Pour a,f3 e Za;i+Z^2, avec (a, 2) = ((3,2)
= (a,/?) = 1, on définit le symbole quadratique (a^ par
V p / 2a'n^).
o-es'/3
où aa = £(a,a)7(cr) avec 5(a,a) e {-1,1}, 7(^) ^ S^ et {So,-Sp} est
un système complet de représentants de (Zo;i + Z^2)//^(Zo;i + Zù;2).
On peut alors énoncer notre premier résultat principal :
THÉORÈME 1.10 (Loi de réciprocité quadratique dans K). —
Soient a, f3 ç Za;i + Za;2, avec (a, 2) = (/3,2) = (a, /?) = 1. On a alors
/a\ / /3\-1 -̂ -l -ïLî l .vw- i ^)-i
^2U2 =^ ^ ^^ 2 -———
où ^o $/3 ê {1, -1} tels que :
^= a n f(^^) ^ ^ = ( 3 n ^+^)-
-vCKo,.^ ~1 - ^T^ -1 v ^ /^çKeroc -rçKer/3
^^o ^^o
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1229
Démonstration. — En fait, on peut écrire
/ \ aa /(^cr)£(a-a)=W)=7w)
car / est impaire. Donc
(a\ ^ -pr f(aa) ^ ,-r f(aa)
^h ^î^ àl^
et du théorème 1.8, on déduit que
fa© 2 = ^ 2 n n ^+^v^-^)
cres^ <r'€Sc,
et Œ)^^ n n /^+^)/(<.-<./).</3^
(765'^ cr'çSft
Par suite, on obtient
/a\ / / î \ -1 -̂ -l -ïLî nl jv(a)-i ^(/3)-i
^Mj2 =^ ^ ^^ 2 ' 2
où ̂  et ̂  sont donnés par le théorème 1.8. Ce qui montre le théorème 1.10.
2. Loi de réciprocité quadratique dans 0(^/^1).
L'anneau des entiers de (Q^y/^l) est l'anneau fL[^/~z\\. On considère
la courbe elliptique E définie sur Q(^/::î) par le modèle de Weierstrass
(2.1) E:Y2=^X3-X).
Cette courbe a multiplication complexe par Zlv^^î], alors E comme variété
complexe est isomorphe à C/Zlv^T] et cet isomorphisme est donné par :
C/Zlv^] —— E(C)
(2.2) z ^ (p^),^)) si^Z[^î]
z '—> 0 si z ç rL\\/~=:\\
où p est la fonction de Weierstrass pour le réseau ZI^/^T]. Le point M de
coordonnées (p(^), p'(^)) est dit de paramètre z. D'autre part, la fonction
p de Weierstrass associée au réseau ZI^/^] vérifie :
(2.3)
p(iz) = -p(^) et son diviseur est (p) = 2(—— î ) - 2(0)
p / ( ^ z ) = ^ p / ( z ) et son diviseur est (p7) = (1)+Q)+(^+1^ - 3(0).
1230 ABDELMEJID BAYAD
On considère maintenant la fonction elliptique pour le réseau Zlv^^î]
définie par
(.4) ^-vw^.
V>(^)P'(Z)
On a alors le résultat :
THÉORÈME 2.5 (Formule produit).
1)f(iz)=if(z)etf(z)f(z-^)=i.
2) Soit v € ZI-/^], (v, 2) = 1, on a alors la formule produit
î(vz)=U{z) I] f(z+a)
oiçKen
Ot^O
où ^ est la racine 4ème de l'unité telle que : ^y = vmodpl et ou
pj = 2Z[\/rî] et Ker î; est 2e noyau de rendomorphisme de E qui à z i—^ vz.
Démonstration. — D'après (2.3) et (2.4), il est clair que : f(iz) =
if(z). Soit maintenant, la fonction z ̂  f(z) • f ( z - -\ qui est elliptique
pour le réseau Ztv/^î]. D'autre part, son diviseur est donné par
(/).(/(.4)) - (OH(^)-(I)-(l).(^).(|)-(o)-(^)
=0
donc, d'après la théorie des fonctions elliptiques, la fonction qui à
z ̂  f(z)f^z - . ) est une constante. En outre, pour z == ——x- on a
/ l+ î \ , / 1+ î 1\ . r/^-^ . 1 - l+ ^^
A-^)'^-^-^'1^^)-^"^-)-
Ceci est égal à î/(1—^) = î. D'où f(z)f(z - 1) == i.
Montrons le 2) du théorème 2.5.
On compare les diviseurs des fonctions elliptiques se trouvant de
chaque côté de l'égalité 2) du théorème 2.5, on remarque que z ^-> f{vz)
et z !-)• f(z) ]"[ f(z + a) ont le même diviseur.
açKerv
oi^O
Plus important, le 1) du théorème 2.5 implique que
- / î + 1 , \ . / î - h l . \ . , / î -h l \ ,/ 1+î \
/(-T-+a)/(-ï--^a)=-^^(-T-+a)/(^•^-+a)
. .c/î+l \ ,c / l+ î 1\
=-^•f(-^+a)f(-^+a-2)
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1231
donc, on arrange le produit ]~[ / ( —— 4- a ) comme suit :
aCKerv v 4 /
M n /(^'/(^•m1^)/^-)
QiGKeri» OtÇ.Sv
• n /(^C?-»)
aç-Sv
et où 5'y est un système de représentants modulo v tels que : {0, Sy, —6'y,
îS'-uî —îSv} forme un système complet de représentants de Z[\/—l]/'yZ[—l].
Alors
n /(lTl+°)=^-/(iTl+»)/(•iîl+")
aç.Kerv aÇiSv
• n -/(^l+<«)/(i^•+°)
aç-Sv
n . » / î + l , \ r^+l , 1\- -^(-r^^^-r^0^-^
aCSv
n . . / î+ l , \ . / î+1 . , 1\-z/(^+a)/(-^z4-a-^)
ae-5'v
=1.
On obtient
^)=^.l-p^) ]̂  ^4-^)
açKerv
ajt.0
et
/ l+î\ / 1 + î l+î\
A^;•-T-)=^^•^+(Î;-^•^
=/(^•3-^)=^, car(î;-^)l^eZ[^ï]
ce qui termine la démonstration du théorème 2.5.
COROLLAIRE 2.7. — Soit v e Zlv^î], (î;, 2) = 1, on a alors
( 1 si v =. 1 mod p|<./ \ ^ <•/ \ TT <./ \ ^ ^ —1 s i ^ = — l m o d p 3/(-) - W Y[ /(. + a) ou $„ = ^ ^ ̂  ^ 2
ol^0 -i si v = -îmodpj.
DÉFINITION 2.8. — Soient a, (3 e Zt^/^] tels que
( a ,2 )=( /3 ,2 )=(a , /3 )==l .
1232 ABDELMEJID BAYAD
( cy \On définit le symbole quadratique — ) comme suit :
/3/2
f^} .̂  n î^\ ( j ) ^ ' 11 f(^\ '
' açS^UiSft J v /
où {0,6^, -Sfs,iS(3, -iSft} forme un système complet de représentants de
Z[^Î]//3Z[^Î].
Cette définition est une formulation analytique du lemme de Gauss
généralisé ([6]).
On est maintenant en mesure d'énoncer notre deuxième résultat :
THÉORÈME 2.9 (Loi de réciprocité quadratique dans (Q^y/1"!)).
Soient a, {5 6 ZI^/^T], (a, 2) = (/?, 2) = (a, /?) = 2. AJors on a
/ON / / î \- l -̂ ^1 Ĵ Lrl iV(a)-l A^)-l
y2'U2 ==^ 2 ^ 2 (-1) 2 2
où N(o) est la norme de a dans (QKv/^ÎVQ et ̂  et ̂  sont donnés par le
corollaire 2.7.
Démonstration. — D'après la définition 2.8 et le théorème 2.5, on a
( a } = Vf A^)
W2 li /(cr)
' açSftUiSft u v /= n ^ n ^+^)
aÇSgUiSQ ff'eKera
p • <T'^0=^^i n n /^+^)/^-^ /)
açS^UiSo a'çSaUiSa
d'autre part,
(j),^^ n n /«'+<'')
CTÇSaUiSa (T'eKer/î
o-^O=^^1 n n /(^+^)/(^-^).
(T€ SaUiSa (T'çSffUiSo
En échangeant cr et a ' on obtient
©.1=^"1 n n /(<^w-)
açSoUiSft a'çSaUiSa
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1233
donc
^a\ //î\-i -ta—-
^h\a)î -sa ^
(^ ^r1-.^^.
\B)A 2 n n
crçSftUiSft a'çS^UiSa
NW-I NW-I= ^ 2 ^ 2 n n -1
açSftUiSo cr'çSaUiSa
/(tr-aQ
î^'-^
ce qui donne bien
/a^ //?^-i -L l̂ l̂ .̂ _l.̂ l̂
W2U2 -sa ^ (-1).{3)2\a) ~^
3. Loi de réciprocité quadratique dans Q^V^^S).
____ 1 i / 0
L'anneau des entiers de 0(^/^3) est l'anneau Z[j], j = ——-——. On
considère la courbe elliptique E dont le modèle de Weierstrass est donné
par
(3.1) E : Y2 = 4(X3 - 1).
Cette courbe elliptique a multiplication complexe par Z[j] et E en tant que
variété complexe, est isomorphe à C/Z[j] et cet isomorphisme est donné
par :
C/Z[j] —. E(C)
(3.2) z ^ (^),p'(^)) si^Z[j]
z i—^ 0 si ^ e Z[j].
Cette fois-ci la fonction p est la fonction de Weierstrass associée au réseau
Z[j]. Maintenant, on considère la fonction g elliptique pour le réseau Z[j]
définie par
(s., ^=2^(j)(^i> ̂ y.
Cette fonction a pour diviseur
(^(Ç)-G)-(I)-
Cela se déduit aisément du lemme suivant :
LEMME 3.4. — Les diviseurs de p et p' sont donnés par
(^('-i1)^-^)-2'»'
'̂ (iHlHÇ)-»
1234 ABDELMEJID BAYAD
En outre,
pC^) =jp(^) et p'c^) = p'(^).
Démonstration. — On sait queP(^)=?+„E,(^•)Î-^
u;̂ 0
donc
^(^) = ~2~^ + ̂  (T^———\2" ~~ -^)72^2 z-^ \{rïZ—UJY u j 2 /J (.i<=7.r-.i V•J -'^ez[j]
u;̂ 0
on change uj en '̂0;, on obtient
fp(3z) = ̂ 2 + 5, ̂  ((^)2 ~ ̂ )= '^^
u^O
car la multiplication par j laisse stable Z[j]. De cela, on déduit que les
zéros de p(^) sont Ker(j — 1) \ {0}. De plus, en dérivant les deux côtés des
égalités p(jz) = jp{z) et p(—z) = p(z) on obtient
pf(jz)=p/(z) et pf(-z)=-pf(z).
De ce fait, on déduit que si ZQ est un zéro de p'(^) alors 2^0, j^o, j2^ et
—^o? —J^Oî —J^ZQ le sont. Or 2^0 ne peut être égal à 0 car 0 est un pôle
triple pour p'(^). D'où ^o, jzo et J^ZQ sont distincts et comme la valence
de p' est égale à 3, on a forcément ZQ = —ZQ, ce qui donne
(^OHIHÇ)-3'»)-
On a alors le résultat suivant :
THÉORÈME 3.5 (Formule produit).
1) 9(-^) = -39^) et g(z)g(z + J) = 1.
2) On a la, formule produit, pour v € Z[j], (î;, 2) = 1 :
g(vz) = Çvg(z) JJ g(z + a), avec ^ = ±1
açKer v
a^O
déterminé par ̂  = v fj 5 r ( a + ^ ) •
r^(=T<pri» v ^ /açKerv
Démonstration. — Comme la fonction p est paire et p' est impaire,
on a g(—z) = —^(2?). D'autre part, la fonction z i—> ^(^)^(^ + -) est
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1235
elliptique pour le réseau Z[j] dont le diviseur est nul, donc c'est une fonction
constante. Déterminons cette constante :
\im^g(z)g(z-^—\
z^2^-
/1 \2 P(^)-P(^)
=4(j-l)p(-) lim————T-^O-^2)
V2/ ^P'W^+è)
^ èP-ffîM)^-^=-^j-lfjp(l.\ Um —2——'-^^A——27 u——2/ /
p^^^^(^)p//(^)(.-^)^<,((.-^)2)
_ 2Q-l)^p(j)2 _ 2Q-l)^p(,)2 _ _ i
/,\ — / \ 2 — f)\3 3)
^'0) 6,2p(,) 3
=1.
D'où 1).
Montrons maintenant le 2).
Les deux fonctions z \—> g(vz) et z i—^ g{z) ]"[ g(z + a) sont
a€Kerv
a^O
elliptiques pour Z[j] et ont le même diviseur, donc elles diffèrent à une
constante multiplicative dépendant de v, ^y. Le calcul de la constante se
fait comme suit :
d'une part
g(vz)gÇvÇz + ̂ )) = g(vz)g(vz + j)
=g(vz)g(vz+^
=1,
d'autre part,
g(vz)g(vz+^ =^(^(^+^) II P^+^(^+^+^)
û£Kert?
a^O
d'après 1), cela donne
g{vz)g(v(z + ̂ )) = ̂
d'où
ç.2 = 1.
1236 ABDELMEJID BAYAD
Aussi
9(vz) vs"= ̂ 'gW~n~g(^)= n 5(")
açKer v açKer v
ci^.0 cf^O
et d'après 1) du théorème 3.5, on a
^=v n 9(a+^)•
açKer v
a^O
Ceci termine la démonstration du théorème 3.5.
DÉFINITION 3.6. — Pour a,/3 ç Z[j], (a, 2) = (/î,2) = (a,/3) = 1.
On définit le symbole quadratique ( — } par
\ p / 2
(H) = II ^O^) où ^a=e(a,or)^(a)
2 ^e^
avec ^(a, o-) G {—1,1}, 7(0) e 5/3 et {5'/?, —'S'/?} est un système complet des
représentants de Z[j]//3Z[j] \ {0}.
On peut donc énoncer notre troisième résultat principal :
THÉORÈME 3.7 (Loi de .réciprocité quadratique dans Q(j)). —
Soient a, /? e Z[j], (a, /?) = (a, 2) = (/3,2) = 1. On a alors
/a\ //3\-i _ -̂ î  -̂ L-l NW-INW-I
^MaÂ "^ ^ ^ ^ 2
où ^V(Q;) désigne la norme de a dans Q(^')/Q et $0: = a ]"[ ^(7 + -),
-/êKera '< 2/
-c^o
de même ̂  = (3 ]"[ ^[7 + .), avec ̂ , ̂  ^ {-1^ 1}-
-y€Ker/3 \ ^/
-y^O
Démonstration. — La preuve de ce résultat est similaire à celle du
OL(J
théorème 1.10. En effet, on peut écrire ç(a,a) = ——-. D'autre part,
7(cr)
g{aa) = g Ce (a, a)^ (a)) = e{a^a)g(^(a)) car g est impaire; d'où
aa p(Q;(7)
£(a^a) = —— = . . ...
7(^) 9^))
Alors
^a^ ^ TT ^(aa) ^ TT ^(û/cr)v^2 .U^ )̂ .iî )
LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE 1237
on déduit du théorème 3.5 que
(^=^-1 n n 9^+^)9^-^
a(ESo a'çSc,
de même ©,=^ n ^^(7/+<T)^ /-(7)•
v'eSc, o-es/î
Cela implique
( a } (^y1 .çN^f-NM^(^N^-lNW-l
l/îMaÂ ~^ sa ( 1)
où $Q et ^f) sont donnés par le théorème 3.5; d'où le théorème 3.7.
BIBLIOGRAPHIE
[1] R. FUETER, Vorlesungen ùber die singulàren Moduin und die complexe Multipli-
kation der elliptischen Funktionnen, Teubner, Leipzig, 1 (1924), II (1927).
[2] H. HASSE, Zetafunktion und L-Funktion zu einem arithmetischen Funktionen-
kôrper vom Fermatschen Typus, Abh. Deutsch. Akad. der Wiss. zu Berlin, Klase
f. Math. u. Allg. Naturw., Jahrg., 1954, Heft4.
[3] D.S. KUBERT, Product formulae on elliptic curves, Invent. Math., 117 (1994), 227-
273.
[4] S. LANG, Elliptic functions, Reading MA, Addison-Wesley, 1973.
[5] T. KUBOTA, Reciprocities in Gauss' and Eisenstein's number fieids, J. fur reine
und angew. Math., 208 (1961), 35-50.
[6] H. REICHARDT, Eine Bemerkung zur théorie der Jacobischen symbols, Math.
Nachr., 19 (1958), 171-175.
[7] J.-P. SERRE, Cours d'arithmétique, PUF, 970.
Manuscrit reçu le 16 janvier 1995,
accepté le 13 juin 1995.
Abdelmejid BAYAD,
Institut Fourier
Université de Grenoble 1
URA 188 du CNRS
BP 74
38402 St Martin d'Hères (France).


Loi de réciprocité quadratique dans les corps quadratiques imaginaires

Guin, Daniel

Cohomologie des algèbres de Lie croisées et $K$-théorie de Milnor additive

Kohler, Franz

Feuilletages holomorphes singuliers sur les surfaces contenant une coquille sphérique globale

Shen, Zhongwei

$L^p$ estimates for Schrödinger operators with certain potentials

Not a member yet

Foliations of $M^3$ defined by ${\mathbb {R}}^2$ -actions

A differential geometric characterization of invariant domains of holomorphy

Champs totalement radiaux sur une structure de Thom-Mather

Distance formulae and invariant subspaces, with an application to localization of zeros of the Riemann $\zeta$ -function

Growth orders occurring in expansions of Hardy-field solutions of algebraic differential equations

Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Loi de réciprocité quadratique dans les corps quadratiques imaginaires

Cohomologie des algèbres de Lie croisées et $K$ -théorie de Milnor additive

Feuilletages holomorphes singuliers sur les surfaces contenant une coquille sphérique globale

$L^p$ estimates for Schrödinger operators with certain potentials

3,503

3,732